Prima prova intercorso giovedì 0 aprile 006 aurea in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico 005-006 Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci Tempo a disposizione: ore e 0 minuti Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della calcolatrice: AMMESSO Nota: per lasciare un margine di recupero interno a questo compito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 3 invece che a 30, ma il voto massimo di questo scritto ai fini della media per il voto finale resta comunque 30/30. 1) Considerate una catena di 91 pendoli uguali, ciascuno di massa m = 1 kg, sospesi con fili molto lunghi e collegati a due a due da molle uguali. a distanza tra i punti di sospensione di due pendoli consecutivi è pari a 5 cm. Il primo e l ultimo pendolo sono fissati nelle loro posizioni di equilibrio da vincoli rigidi, come mostrato in figura 1 (dove per semplicità sono raffigurati meno pendoli). Facendo varie prove, si osserva che in opportune condizioni i pendoli possono trovarsi ad oscillare tutti di moto armonico. In particolare, in una di queste situazioni, osservando il moto (armonico) del pendolo P posto al centro della catena, si misura che questo passa consecutivamente per la sua posizione verticale (di equilibrio) nei due istanti di tempo t 1 = s (oscillando verso destra) e t = 5 s (oscillando verso sinistra) e che la semi-ampiezza della sua oscillazione è pari a 1.5 cm. Basandovi su queste misure, calcolate (a) la frequenza ciclica di oscillazione, (b) la fase iniziale del moto del pendolo P, (c) la velocità di oscillazione del pendolo P negli stessi istanti indicati prima. Inoltre, si osserva che in quella stessa situazione gli altri pendoli della catena stanno oscillando tutti con la medesima frequenza, ma con ampiezza e fase diversa, salvo per i pendoli numero 31 e 61, che sono invece perfettamente fermi (oltre, ovviamente, al primo e all ultimo pendolo, che sono sempre fermi perché sono bloccati). Da questa osservazione e dai risultati delle misure precedenti, determinate (d) la velocità delle onde sulla catena (nel limite continuo) e calcolate (e) l energia totale del sistema nello stato di oscillazione corrente. Infine, modificate la catena rimuovendo il vincolo rigido che blocca l ultimo pendolo (ma non il primo) e lasciandolo così libero di oscillare come mostrato in figura. Quale sarà, in questa nuova situazione, la minima frequenza ciclica di oscillazione possibile per tale pendolo nell approssimazione del limite continuo (f)? [suggerimento per la domanda f: dovete individuare la nuova condizione al contorno da applicare all estremo della catena] [punti: a = 3; b = 3; c = 3; d = 3; e = ; f = ] Figura 1 (domande a-e) Figura (domanda f) Una formula matematica che può risultare utile: 1 cos( α ) sin α = ) Scrivete un saggio di almeno mezza pagina ma non oltre una pagina su una delle seguenti due tracce, a vostra scelta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8] a. Discutete come sia possibile generare onde su una lunga corda tesa agitandone un estremo e calcolate la forma delle onde generate a partire dal movimento dell estremo stesso. b. Si dice comunemente che le onde trasportano energia. Spiegate il significato preciso di questa affermazione e discutete quale sia il contenuto di energia che può essere associato ad un onda in un sistema ondulatorio specifico di vostra scelta, preso ad esempio. ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
seconda pagina Prima prova scritta intercorso 0/4/006 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci 3) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME: NOME: MATRICOA: a) Il moto di un oscillatore è descritto in notazione complessa dalla seguente espressione: x(t) = A e zt, dove z = ( 0.05 + i 6.8) s 1. Quante oscillazioni compie il sistema e di quale fattore si riduce la loro ampiezza nel corso di 10 secondi? - Si ha ω = 6.8 rad/s per cui ν = ω/(π) = 10 Hz e quindi in 10 s si hanno 100 oscillazioni 0.05 10 0.5 - ampiezza si attenua del fattore e = e = 1 e = 0.6 b) Qual è la manifestazione più evidente del fenomeno della risonanza, in generale? (rispondete in modo semplice, non ci sono trabocchetti, ma cercate di esprimervi in modo preciso) ampiezza di oscillazione aumenta se la frequenza della forzante si avvicina a quella naturale del sistema (picco di risonanza). c) Un sistema di oscillatori accoppiati si trova in un modo normale di oscillazione. Quali caratteristiche indipendenti del moto di ciascun oscillatore devono essere le stesse per tutti i corpi e quali possono essere invece diverse da un corpo all altro? a frequenza ω (oppure ν o il periodo T) deve essere la stessa. ampiezza e fase di oscillazione possono essere diverse. d) Qual è la lunghezza d onda di un onda radio la cui frequenza ciclica è di 30 MHz? λ = c/ν = (3 10 8 m/s) / (3 10 7 Hz) = 10 m e) Quanto vale approssimativamente la minima larghezza di banda che può essere associata ad un pacchetto d onde che ha una durata di 10 ns (nanosecondi)? ω = 1/ t = 10 8 rad/s oppure ν = 16 MHz (ma va bene anche ν 10 8 Hz) f) Cosa distingue le onde meccaniche (ad esempio elastiche) longitudinali da quelle trasversali? Il movimento della materia è parallelo alla direzione di propagazione dell onda nel caso di onde longitudinali, perpendicolare in quelle trasversali g) Un microfono la cui area sensibile è di 10 cm intercetta frontalmente un onda sonora di intensità pari a 100 mw/cm. Quanta energia sonora raccoglie il microfono in un secondo? 100 mw/cm 10 cm = 1 J h) Scrivere l espressione matematica ξ(x,y,z,t) di un onda piana 3D di lunghezza d onda λ nota, che viaggia con velocità v 0 nella direzione positiva dell asse y: in not.compl. ξ = A c exp(iky iωt) con k = π/λ e ω = v 0 k [oppure in not.re. ξ = A cos (ky ωt+ϕ) ]
Esercizio 1 a) Il moto del pendolo P è armonico e quindi possiamo porre ξ P (t) = A cos(ωt+ϕ) (1) dove A = 1.5 cm come riportato nel testo. Per gli istanti t 1 e t la posizione del pendolo è verticale, ossia ξ P = 0. Questo implica che in quegli istanti di tempo l argomento del coseno (la fase totale) vale π/+nπ, dove n è un intero qualsiasi. Inoltre, i due istanti corrispondono a passaggi consecutivi del pendolo per la posizione verticale, per cui possiamo porre ωt 1 + ϕ = π/ + nπ () e ωt + ϕ = π/ + (n+1)π (3). Facendo la differenza membro a membro tra (3) e () otteniamo ω = π/(t t 1 ) (4) da cui si ottiene la frequenza ciclica: ω 1 ν = = = 0.167 Hz π t t ( ) 1 o stesso risultato si ottiene anche più semplicemente notando che l intervallo di tempo t t 1 deve corrispondere a mezzo periodo. b) Una volta determinata ω, la fase iniziale può essere determinata dalla () oppure dalla (3) a meno di un multiplo di π. Otteniamo infatti: ϕ = ωt 1 + nπ + π/ = π[n + 1/ t 1 /(t t 1 )] = π[n + 1/ /3] = π[n 1/6] (5) Per determinare la fase iniziale in modo completo, ossia a meno di un multiplo di π, usiamo anche l informazione sul verso di oscillazione del pendolo P nei due istanti indicati. Considerando il verso destra come quello delle ξ positive e verso sinistra come quello delle ξ negative, osserviamo che ponendo n = 0 (o un qualsiasi numero pari) nella (5), l eq. (1) fornisce un primo passaggio per ξ=0 oscillando verso sinistra (ossia ξ passa da valori positivi a valori negativi), mentre ponendo n = 1 (o un qualsiasi numero dispari) il primo passaggio utile per ξ=0 è verso destra. Quindi il secondo caso è quello giusto, e otteniamo così la risposta finale (attenzione: la risposta giusta cambia se il verso convenzionale delle ξ viene scelto in modo opposto): fase iniziale: ϕ = 5π/6 c) a velocità di oscillazione ad ogni istante di tempo si ottiene derivando la (1) rispetto al tempo:
v P (t) = ωa sin(ωt+ϕ) (6) Negli istanti di tempo t 1 e t in cui il coseno si annulla il seno vale ±1, per cui la velocità nei due istanti di tempo coincide con il valore massimo, ossia velocità pendolo negli istanti t 1 e t : v = ωa = πa/(t t 1 ) = 1.57 cm/s (questo è il modulo, il verso è già dato nel testo) d) a catena con i due pendoli bloccati agli estremi è un risonatore. Dato che i pendoli stanno oscillando tutti in modo armonico con uguale frequenza, il sistema si trova in un modo normale di oscillazione del risonatore. Perciò, il campo ξ(x,t) che descrive il moto di tutti i pendoli nel limite continuo deve essere un onda stazionaria, che in notazione complessa si scrive come segue: ξ(x,t) = A c sin(kx) e iωt (7) dove, per soddisfare l equazione differenziale delle onde, è sottinteso che ω e k sono legate dalla solita relazione di dispersione ω = v 0 k. Per scrivere questa espressione abbiamo posto l origine dell asse x = 0 in corrispondenza del primo pendolo (quello bloccato), e la condizione al contorno ξ = 0 per x = 0 è così automaticamente soddisfatta. altra condizione al contorno sarà ξ = 0 per x =, dove la lunghezza è data da = N x, dove N = 90 è il numero di intervalli tra pendoli (uguale al numero di molle) e x = 5 cm è la distanza tra pendoli consecutivi. Sostituendo questa seconda condizione al contorno nella (7) otteniamo la solita equazione che fissa le frequenze spaziali (o lunghezze d onda) possibili del risonatore: k = nπ con n = 1,, 3,... (8) Quindi i modi normali del sistema sono i seguenti: ξ(x,t) = A c sin(nπx/) e iωt (9) Questa equazione prevede la presenza di pendoli fermi nei nodi dell onda stazionaria. Per avere due pendoli fermi, ossia due nodi, nell intervallo [0, ], escludendo gli estremi, è necessario che sia n = 3. Si può vedere che l eq. (9) per n = 3 prevede che i due pendoli fermi, ossia per i quali la ξ = 0, sono quelli collocati in x = /3 e x = /3, che in termini di numero corrispondono ai pendoli 31 e 61, proprio come indicato nel testo. Ora, dato che conosciamo la frequenza temporale angolare ω e, dall equazione (8) con n = 3, anche quella spaziale k del nostro modo di oscillazione (o equivalentemente ν e λ), possiamo calcolare la velocità delle onde dalla relazione di dispersione velocità delle onde: v ω ( ) π / t t N x 1 0 = = = = = k 3 π / 3( t t1) 3( t t1) 50 cm/s e) energia totale è data dalla somma dell energia cinetica e di quella potenziale elastica delle molle. Per scrivere questi due contributi dobbiamo partire dall espressione (9) del campo (con n = 3) tradotta in notazione reale, che fornisce: ξ(x,t) = A sin(3πx/) cos(ωt ϕ ) (10)
e v(x,t) = ξ/ t = ω A sin(3πx/) sin(ωt ϕ ) (11) dove l ampiezza dell onda A = A c coincide con l ampiezza A = 1.5 cm data nel testo di oscillazione del pendolo P visto che nel punto centrale x = / si ha sin(3π/) = 1. a fase ϕ = arg(a c ) differisce invece da quella determinata per il pendolo P, ma qui non ci interessa determinarla. energia cinetica complessiva del sistema è quindi data da: 1 K ρlv ρω l sin ( ω ϕ ) sin 0 0 1 3π x E = dx= A t dx (1) integrale può essere svolto facilmente utilizzando la formula trigonometrica sin α = [1 cos(α)]/. Inoltre la densità lineare di massa è ρ l = m/ x. Otteniamo perciò = 1 m N 4 x ω ω ϕ = 4 ω ω ϕ ( ) sin ( ) E sin K A t m A t (13) Ora si potrebbe calcolare in modo simile l energia elastica, ma non è necessario. Infatti è chiaro che negli istanti di tempo in cui il cos(ωt ϕ ) = 0 tutti i pendoli sono in posizione verticale per cui le molle sono alla lunghezza di riposo e l energia elastica si annulla. In quegli istanti, quindi, l energia totale coincide con quella cinetica. Essendo anche nei medesimi istanti sin(ωt ϕ ) = ±1, otteniamo la formula finale energia totale del sistema: N Nπ ma E m A 4 4 tot = ω = = ( t t ) 1 5.5 mj f) Se l ultimo pendolo viene reso libero da vincoli, la condizione al contorno ξ = 0 non sarà più valida. Tuttavia, l assenza della molla successiva all ultimo pendolo corrisponde ad un altra condizione al contorno, che nel limite continuo viene determinata come segue. ultimo pendolo soddisfa all equazione F = ma seguente: ( ξ ξ ) d ξ ξ dt x x N + 1 N+ 1 N m = k e( ξn+ 1 ξn) = ke x K x= (14) Nel limite continuo il primo termine va considerato trascurabile (perché proporzionale a m = ρ l x) per cui abbiamo che la nuova condizione al contorno da imporre nel punto x = è la seguente: ξ x x= = 0 (15) Questa condizione va applicata all espressione (7) che già soddisfa la condizione al contorno ξ = 0 per x = 0, che è rimasta inalterata. Otteniamo così che al posto dell equazione (8) si deve avere: k = π/ + nπ con n = 0, 1,, 3,... (16) (va notato che n = 0 è ora possibile perché non conduce all annullamento della soluzione). a frequenza spaziale più bassa si ottiene per n = 0 ed è
k = π/() (17) a corrispondente frequenza temporale angolare è quindi ω = v 0 k = πv 0 /() (18) da cui si ottiene anche la minima frequenza ciclica v 1 4 1 t t ν = 0 = = ( ) 1 7 mhz