Corolli aomaici per la meccaroica Siemi di corollo Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.i variabili di igreo Che co è iema diamico? S variabili di cia U iema diamico i ierfaccia co il reo del modo per mezzo di a erie di variabili, che defiiremo di igreo, ed alre che defiiremo di cia. Defiiamo di igreo le variabili co ci dall eero i ifleza il comporameo del iema, di cia qelle che caraerizzao il comporameo del iema e lle qali offermiamo il oro ieree (ipicamee perché coiicoo l obieivo del corollo. a relazioe che ie ra variabili di igreo e di cia è di caa-effeo e o ha lla a che vedere co relazioi di afflo ed efflo di maeria o eergia (la poraa di cia i erbaoio pò eere variabile di igreo per il iema, e per eempio è comadaa da a pompa. Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco []
ordie del iema C variabili di igreo i v S variabili di cia igreo: = i cia: = v E fficiee decrivere il comporameo diamico di iema mediae relazioi algebriche ra i oi igrei e le e cie? Qai empre o, per de moivi: occorre coocere i valori ai dalle variabili di igreo a parire dall iae iiziale ed occorre coocere a o più codizioi iiziali. C& ( = ( ( = ( + ( C τ d τ Occorre qidi coocere il valore iiziale della eioe e l adameo della corree dall iae iiziale. Il mero miimo di codizioi iiziali che occorre aegare per deermiare e le cie del iema, oi gli adamei degli igrei a parire dall iae iiziale, prede il ome di ordie del iema: lo i idica co. Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [3] o ao o ao del iema ad dao iae riame a la oria paaa del iema fio a qell iae ed è qidi qao occorre coocere per calcolare le cie da qell iae i poi, oi gli igrei. Per qao affermao opra, lo ao i pò eprimere per mezzo di variabili, idicae co i imboli x, x,..., x, che predoo il ome di variabili di ao. Sia m il mero delle variabili di igreo e p il mero di variabili di cia. Si irodcoo i re veori: x x x =, =, = x m p Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [4]
Defiizioe di iema diamico Irodoe le de fzioi veoriali: f g ( x, ( x, f f = f g = g g p ( x, x,..., x,,,..., m ( x, x,..., x,,,..., ( x, x,..., x,,,..., m ( x, x,..., x,,,..., m ( x x x,,...,,,,..., m ( x, x,..., x,,,..., la formlazioe veoriale del iema diamico è la egee : ( = f ( x(, ( ( = g( x(, ( m m, Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [5] Il iema diamico: eempi Ocillaore meccaico: ( = v& ( + Dv( Kp( F + K D p F igreo: = F cia: = p var. di ao: x = p, x = v ( = x ( ( = ( Kx( Dx( + ( ( = x( Pedolo: τ ϑ l mg τ ( = ml ω& ( + mgl i( ϑ( igreo: = τ cia: = ϑ var. di ao: x = ϑ, x = ω ( = x ( g ( = i x ( + l ml ( = x( ( ( Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [6]
Il iema diamico: claificazioi Si dicoo SISO (Sigle Ip Sigle Op i iemi per ci m=p=, geericamee IO (liple Ip liple Op gli alri. Si dicoo lieari i iemi i ci e le eqazioi di ao e e le raformazioi di cia oo fzioi lieari delle variabili di ao e delle variabili di igreo, o lieari i gli alri. Ocillaore meccaico: SISO, lieare Pedolo: SISO, o lieare Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [7] ovimeo Aegaa a codizioe iiziale all iae : x = ( x e a fzioe di igreo a parire da : =, ( ( diciamo movimeo dello ao x( la olzioe delle eqazioi di ao corredae dalla codizioe iiziale aegaa: ( = f ( x(, ( x = x ( e movimeo dell cia la coegee cia, ricavabile dalla raformazioe d cia: = g x, ( ( ( ( Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [8]
Eqilibrio I paricolari movimei coai el empo, aociai a igrei coai, predoo il ome di eqilibri. a ricerca di eveali ai di eqilibrio aociai all igreo i codce allado le derivae elle eqazioi di ao e ricercado le eveali olzioi dell eqazioe veoriale implicia i x : f ( x, = Pedolo: τ ϑ l igreo: = τ cia: = ϑ var. di ao: x = ϑ, x = ω g i l ( x x = + = ml mg Se = i hao i pi di eqlibrio: x = x = x = π x = Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [9] Siemi lieari Qado e le eqazioi del iema oo lieari elle varibili di ao e di igreo, il iema è lieare ed è decrio dalle eqazioi: ( = Ax( + B( ( = Cx( + D( Ocillaore meccaico: K D p F ( = x( ( = Kx( Dx( + ( ( = x( ( A = K C = [ ], D = D, B = U iema lieare i pò ache oeere per liearizzazioe di iema o lieare ell ioro di o ao di eqilibrio: f A = x x,, f B = x, g C = x x,, g D = x, Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco []
Sabilià δ ε x x ovimeo abile movimeo perrbao ε movimeo omiale a abilià è la proprieà dei movimei del iema di reagire a perrbazioi che iervegoo llo ao iiziale, dado logo ad movimeo perrbao che o i alloaa idefiiamee da qello omiale. x ovimeo iabile movimeo perrbao ε ovimeo aioicamee abile x movimeo perrbao ε δ ε x movimeo omiale δ ε x movimeo omiale Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [] Sabilià ei iemi lieari I geerale la abilià è a proprieà dei igoli movimei. Per i iemi lieari i dimora che la dicioe della abilià di ogi movimeo pora all aalii delle olzioi dell eqazioe: δ co: δx ( = Aδx( δx( = δx., ( = x ( x (, δx : = x x. : p p Poiché il rilao di qea aalii è lo eo qalqe ia il movimeo di pareza, i pò cocldere che i i movimei del iema oo abili, o iabili o aioicamee abili. a abilià è qidi a proprieà del iema. Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco []
Crierio degli aovalori Dall aalii delle olzioi dell eqazioe: δ ( = Aδx( δx( = δx., i pooo rarre le egei coclioi (valide per marice A diagoalizzabile. U iema diamico lieare è: aioicamee abile: e e olo e i gli aovalori di A hao pare reale egaiva; abile: e e olo e i gli aovalori di A hao pare reale egaiva o lla e e eioo a pare reale lla; iabile: e e olo e eioo aovalori di A a pare reale poiiva Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [3] Fzioe di raferimeo Si coideri iema lieare: ( = Ax( + B( ( = Cx( + D( E oo che a rappreeazioe aleraiva del iema i oiee irodcedo i veori U( e Y(, ripeivamee veori delle raformae di aplace degli igrei e delle cie del iema diamico. ( eq. differeziali ( raformaa airaformaa U( eq. algebriche Ao lo ao iiziale del iema llo, il legame ra i de veori è epreo dalla fzioe di raferimeo (marice p m: ( = C( I A B D G + Y( Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [4]
Calcolo della fzioe di raferimeo Dal iema (SISO i... al iema i ( = ax( + ax( +... + ax ( + b ( ( = ax( + ax( +... + ax( + b( ( = ax( + ax( +... + ax( + b( ( = cx( + cx ( +... + c x ( + d ( X( = ax( + ax( +... + ax ( + bu ( X( = ax( + ax( +... + ax( + bu( X( = ax( + ax( +... + ax( + bu( Y ( = cx( + cx( +... + cx( + du ( ( ( Y Si riolve il iema i : G ( = f.d.. U Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [5] Srra della fzioe di raferimeo N G ( = D ( ( a fzioe di raferimeo è razioale (rapporo di poliomi. G ( ( z ( z ( zm ( p ( p ( p = ρ, m ρ: coae di raferimeo, z i : zeri p i : poli G ( µ = g ( + τ ( + τ ( + τm~ ( + T ( + T ( + T~ µ: gadago g: ipo T i, τ i : coai di empo Se il deomiaore è di grado, i hao poli (el campo compleo g coa il mero di poli o zeri i = Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [6]
Sabilià e f.d.. Il deomiaore della fzioe di raferimeo coicide, a meo di cacellazioi, co il poliomio caraeriico della marice A. Perao l aalii di abilià pò eere codoa ache i poli della fzioe di raferimeo: Ti i poli a pare reale egaiva a. abilià Almeo polo a pare reale poiiva iabilià Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [7] Siemi del e ordie U iema del ordie: ripoe allo calio T > G ( µ = + T /T Im Re µ T > T U iema del ordie: G ( = µ + ω ζω + ω ζω ω α Im Re ζ = co(α µ µ ζω µ(+e T = π/ω * ζω µ(e Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [8]
a ripoa i freqeza Impoiamo ad iema diamico igreo ioidale: U G( Y ( = Ai( ω + ϕ ϕ/ω T = π/ω Se il iema è aioicamee abile, eario raiorio iiziale, ache l cia è ioidale, co la ea plazioe della ioide i igreo, e rila i paricolare: ( = B i( ω + ψ ( jω B = AG ψ = ϕ + G ( jω ( jω, ω > Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [9] G Ripoa i freqeza Diagrammi di Bode a ripoa i freqeza è a fzioe a valori complei. U modo per rappreearla graficamee è riporare il modlo e la fae al variare di ω: db gradi Diagramma di Bode - odlo - - Diagramma di Bode - Fae -5 odlo -acia: ω i cala log. -ordiaa: G ( jω = log G( jω db Fae -acia: ω i cala log. -ordiaa: fae i gradi - - Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco []
I iemi i aello chio I iemi di corollo prevedoo di orma la chira di aelli di reroazioe + R( G( R(: regolaore G(: iema oo corollo + ( ( = R( G( : f.d.. d aello ( ( = F( = + ( ( F( : f.d.. i aello chio Sl iema di corollo i aello chio i pooo compiere aalii di abilià (omiale e roba e preazioi (aiche e diamiche Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [] Il crierio di abilià di Bode Ipoei ( gadago poiivo e polo a pare reale poiiva + ( db Diagramma di Bode - odlo ω c ω c : plazioe criica ϕ c : fae criica ϕ m : margie di fae gradi - - Diagramma di Bode - Fae - ϕ c -8 ϕ m - ϕ Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [] m = 8 ϕ c Siema a. abile ϕ m >
Il logo delle radici Dao iema di corollo: + ( ( = ρ ( + z ( + z ( + zm ( + p ( + p ( + p Come variao i poli del iema i aello chio al variare di ρ? logo direo ρ > Im logo ivero ρ < Im Eioo regole per racciare rapidamee i loghi z Re z Re p 4 p 3 p p p 4 p p 3 p Qado almeo ramo è el emipiao dero il iema i aello chio è iabile. Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [3] Preazioi aiche i aello chio + e ( ( µ = ( + τ ( + τ ( + τm ( + T ( + T ( T g + Qao vale l errore a regime qado i perrba? g = A Aca( Aram( Apar( ( + µ A µ A µ errore dipede da gadago e ipo di Perché l errore ia llo qado è o calio occorre almeo polo i = (g >. ram( =, par( = /, Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [4]
Preazioi diamiche i aello chio Diagramma di Bode - odlo + e ( Bada paae - - Diagramma di Bode - Fae ω c Co che rapidià iege? e ripoe i aello chio ocillao o oo morzae? - ϕ c -8 - Se ϕ m è elevao le ripoe oo morzae e i earicoo i empo pari a 4 5 vole /ω c ϕ m /ω c E: ω c = rad/ τ a 5/ω c = 5 m Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [5] Siei del corollore + R( G( a iei (o progeo del corollore coie el deermiare la fzioe di raferimeo R( del corollore, daa la fzioe di raferimeo G( del iema oo corollo, i modo da oddifare alce pecifiche di progeo: Sabilià Preazioi aiche Preazioi diamiche Reiezioe di dirbi Specifiche addizioali (rra di R(, vicoli all azioe di corollo I qeo coro ci occperemo del progeo del corollore per problemi di corollo del moo. Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [6]
Corollori PID Nei problemi di corollo del moo i ilizzao molo i corollori PID (ad azioe Proporzioale Iegrale e Derivaiva. a legge di corollo PID el domiio del empo è la egee: P I dτ + ( = K e( + K e( τ K D de( d I aleraiva: KP TI = (empo iegrale de ( ( ( ( KI = KP e + e τ dτ + TD TI d KD T D = (empo derivaivo KP I ermii di fzioe di raferimeo: K I KP + TI + TITD R ( = KP + + KD= KP + + TD = T T I I Corolli aomaici per la meccaroica - Siemi di corollo - P. Rocco [7]