Elettrotecnica B - SUISS

Elettrotecnica B - SUISS Esercitazione 2 Serena Panati Politecnico di Torino - INFN Torino 25-26 Gennaio 2016 1 / 72

Lista dei contenuti Richiami dalla teoria Condensatori Condensatori in serie Condensatori in parallelo Circuiti in regime sinusoidale Tipi di onde Descrizione di un onda sinusoidale Sfasamento Valore medio e valore efficace Onda sinusoidale: descrizione alternativa Richiami sui numeri complessi Fasori Circuiti in regime transitorio Circuito RC: carica del condensatore Bilancio energetico Circuito RC: scarica del condensatore Elementi passivi in regime sinusoidale Sfasamento di R vs C Impedenza complessa Impedenze complesse Confronto regimi DC e regime AC 2 / 72

Richiami dalla teoria 3 / 72

Il condensatore È un elemento passivo; È costituito da due conduttori separati da un isolante. È caratterizzato dal valore di capacità elettrica. È un dispositivo che consente di immagazzinare la carica elettrica e l energia elettrostatica. Come la resistenza elettrica, la capacità elettrica dipende dalle caratteristiche geometriche del condensatore. In particolare nel caso di armature piane e parallele la capacità elettrica C dipende dall area delle armature, dalla distanza alla quale si trovano e dal dielettrico posto tra di esse: C = ɛ S d 4 / 72

Il condensatore Supponiamo di applicare una differenza di potenziale V 0 tra le armature di un condensatore. Allora su ciascuna delle armature, si accumulerà la carica +Q e Q (Principio di conservazione della carica). Infatti, una volta chiuso lo switch, gli elettroni dell armatura A si muovono verso il morsetto positivo del generatore. Questo implica che su A ci sarà un accumulo di carica positiva. 5 / 72

Carica e capacità D altra parte, gli elettroni si sposteranno dal polo negativo del generatore verso l armatura B, caricandola negativamente. Dopo un certo intervallo di tempo, il processo di carica si ferma: nessuna carica fluisce nel circuito (I 0 0) e la differenza di potenziale ai capi del condensatore risulta: Q = C V 0 La costante di proporzionalità C è la capacità elettrica e si misura in farad (F): 1F = 1C 1V 6 / 72

Condensatori in serie Quando due condensatori sono in serie, questo vuol dire che la differenza di potenziale agli estremi (complessiva) è uguale alla somma delle d.d.p. parziali. Sui condensatori C 1, C 2 e C 3 si accumulano rispettivamente le cariche Q 1, Q 2 e Q 3. Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni si ha: V 0 = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 + Q 3 C 3 7 / 72

Condensatori in serie Per il principio di conservazione della carica, su ciascuna armatura dei tre condensatori si accumulerà la stessa carica Q. V 0 = Q 1 + Q 2 + Q ( 3 1 = Q + 1 + 1 ) = Q C 1 C 2 C 3 C 1 C 2 C 3 C eq 1 C eq = 1 C 1 + 1 C 2 + 1 C 3 Generalizzando al caso di N condensatori in serie: 1 C eq = N 1 C i=1 i 8 / 72

Condensatori in parallelo Due condensatori sono collegati in parallelo quando la differenza di potenziale ai loro estremi è la stessa. Cosa possiamo dire sulla carica? Sui condensatori C 1, C 2 e C 3 si accumulano rispettivamente le cariche Q 1, Q 2 e Q 3. Per cui si ha V 0 = Q 1 C 1 = Q 2 C 2 = Q 3 C 3 9 / 72

Condensatori in parallelo Se sommiamo la carica accumulata su ciascun condensatore si ha: Q eq = Q 1 + Q 2 + Q 3 = V 0 (C 1 + C 2 + C 3 ) Il circuito con i condensatori in parallelo è schematizzabile come un circuito con un condensatore equivalente. Infatti, se si considera la carica totale Q eq si ha: Q eq = V 0 C eq Generalizzando al caso di N condensatori in parallelo: C eq = N i=1 C i 10 / 72

Circuiti in regime sinusoidale 11 / 72

Circuiti in regime sinusoidale Nel 1888 Nikola Tesla introdusse l uso della corrente alternata (AC), indispensabile per l impiego dei trasformatori, al fine di trasmettere l energia elettrica a grandi distanze e con perdite trascurabili sulle linee di trasmissione. Un trasformatore serve per abbassare e innalzare il valore di tensione in modo efficiente, e con poche perdite, mantenendo costante la potenza erogata. Un trasformatore reale richiede grandezze variabili nel tempo per generare una f.e.m indotta. 12 / 72

Circuiti in regime sinusoidale Un regime in cui i valori di tensione o di corrente variano nel tempo è detto regime di corrente alternata. La funzione f (t) cambia nel tempo e può essere sia positiva che negativa. 13 / 72

Segnali variabili nel tempo - Onda quadra Onda quadra A(t) = 4 π n=1 sin(2n 1)t (2n 1) 14 / 72

Segnali variabili nel tempo - Onda triangolare Onda triangolare 4 V M T (t kt ) V M 4 V M T (t T 2 kt ) V M kt t < T 2 + kt T 2 + kt t < T kt 15 / 72

Segnali variabili nel tempo - Onda sinusoidale ( ) 2π A(t) = A p sin (2πft + φ) = A p sin (ωt + φ) = A p sin T + φ dove: A = Ampiezza dell onda f = Frequenza ω = Pulsazione T = Periodo φ = Fase 16 / 72

Descrizione di un onda sinusoidale A = Ampiezza dell onda È il valore che l onda assume al suo massimo ed è altrimenti indicata con A p. Le sue unità di misura sono le stesse della grandezza che stiamo descrivendo (V, A, W, etc...). Ampiezza picco-picco A pp è pari al doppio dell ampiezza di picco A p :. A pp = 2A p Talvolta è utile descrivere l ampiezza dell onda in termini di ampiezza efficace o ampiezza rms: A eff = A rms = A p 2 Quando vogliamo confrontare l ampiezza di due onde, e quindi la loro potenza, usiamo il Decibel (db): ( ) ( ) ( ) P1 A 2 db = 10log = 10log 1 A1 = 20log P 2 A 2 2 A 2 17 / 72

Descrizione di un onda sinusoidale F = Frequenza La frequenza di un onda è uguale al numero di cicli che l onda compie nell unità di tempo di 1s. La sua unità di misura è l Hertz: 1Hz = 1 s ω = Pulsazione È ottenuta a partire dalla frequenza: ω = 2πf La sua misura è il radiante al secondo, rad/s. 18 / 72

Descrizione di un onda sinusoidale T = Periodo È l intervallo di ripetizione dell onda, ovvero è la distanza tra due massimi o due minimi consecutivi. È il tempo impiegato dall onda per compiere un intero ciclo. Valgono le relazioni: T = 1 f T = 2π ω La sua unità di misura è il secondo s. φ = Fase Ci dice il valore della grandezza A(t) al tempo t = 0: A(t = 0) = Asin(φ) Il suo valore si esprime in radianti: rad 19 / 72

Sfasamento Questi due segnali oscillano alla stessa frequenza f ma hanno una differenza di fase φ = 0.78rad. onda violetta: A(t) = sin(2πft) onda azzurra: A(t) = sin(2πft + 0.78) 20 / 72

Riassunto dei parametri descrittivi 21 / 72

Valore medio e valore efficace In un periodo T il valore medio di una funzione periodica, ed in particolare per un onda sinusoidale, è nullo: A = 1 T T 0 A p sin(2πft + φ)dt = 0 Il valore efficace di una funzione sinusoidale è definito come: A 2 rms = 1 T T 0 A 2 psin 2 (2πft + φ)dt = A p 2 22 / 72

A cosa serve il valore efficace? Supponiamo di avere un generatore di tensione sinusoidale. La potenza dissipata sulla resistenza sarà anche essa di tipo sinusoidale perché vale sempre la formula P = I 2 R. 23 / 72

A cosa serve il valore efficace? La potenza dissipata sulla resistenza è dunque: P = I 2 R = I 2 pr sin 2 (2πft) La potenza media dissipata in un ciclo è I 2 pr/2 ed è uguale alla potenza che si dissiperebbe sulla resistenza se scorresse una corrente DC pari a I DC = I rms Pertanto la potenza media dissipata in un intero ciclo risulta: P = 1 2 I2 pr 24 / 72

Onda sinusoidale - Descrizione Alternativa Abbiamo descritto un onda sinusoidale come: A(t) = A p sin(2πft + φ) Consideriamo a questo punto la circonferenza generata dal vettore di ampiezza A p che ruota in senso antiorario con velocità angolare (= pulsazione) ω: A x (t) = A p cos(ωt) A y (t) = A p sin(ωt) θ = ωt ω = dθ dt 25 / 72

Onda sinusoidale - Descrizione Alternativa A x (t) = A p cos(ωt + φ) A y (t) = A p sin(ωt + φ) Quando il vettore A ha compiuto un giro di 360 gradi (2π rad), si dice che l onda ha compiuto un ciclo. I due vettori di ampiezza A 1 e A 2 hanno la stessa velocità angolare ω ma sono sfasati l uno rispetto all altro di φ. A questo sfasamento corrisponde un intervallo di tempo t 0 : φ = 2πt 0 T φ = φ 2 φ 1 26 / 72

Rappresentazione grafica 27 / 72

Richiami sui numeri complessi 28 / 72

Richiami sui numeri complessi Un numero complesso z si rappresenta come la somma di una parte reale e una parte immaginaria: z = a + jb = Re(z) + Im(z) a e b sono numeri reali; j è l unità immaginaria: j = 1 e j j = 1 È possibile rappresentare un numero complesso come un punto nel piano complesso in cui in ascissa riportiamo Re(z) mentre in ordinata riportiamo Im(z). 29 / 72

Richiami sui numeri complessi Esattamente come abbiamo visto per un onda sinusoidale, il numero complesso z si può rappresentare mediante il suo modulo e la sua fase: z = z (cos θ + j sin θ) z è il modulo di z ed è definito come: z = a 2 + b 2 θ è l angolo che il punto z forma con l asse Re(z): θ = tan 1 b a Inoltre vale la relazione cos 2 θ + sin 2 θ = 1 30 / 72

Richiami sui numeri complessi Poiché è possibile riscrivere : cos θ + j sin θ = e jθ allora possiamo descrivere z in forma più compatta utilizzando la notazione esponenziale: z = z (cos θ + j sin θ) = z e jθ Se abbiamo un numero complesso z = a + jb, possiamo definire anche il suo complesso coniugato z = a jb. Moltiplicando un numero complesso z per il suo complesso coniugato z si ottiene: z z = (a + jb)(a jb) = a 2 j 2 b 2 = a 2 + b 2 = z 2 z z = z 2 e jθ e jθ = z 2 e j(θ θ) = z 2 31 / 72

Richiami sui numeri complessi Legame tra numeri complessi e grandezze sinusoidali A x (t) = A p cos(ωt) A y (t) = A p sin(ωt) Re(θ) = z cos(θ) Im(θ) = z sin(θ) 32 / 72

Fasori I vettori nel piano complesso che rappresentano sinusoidi sono detti fasori. Essi possono essere descritti come: S = S p e jωt e jφ Se disegniamo il vettore S nel piano complesso, allora questo è un vettore che ha: Lunghezza S p ; Angolo di fase (con l asse reale) φ; Velocità angolare (= pulsazione) ω. 33 / 72

Fasori La corrispondenza tra sinusoidi e fasori è data da: S(t) = S p cos(ωt + φ) S = S p e jωt e jφ ATTENZIONE!!! Per descrivere l onda prenderemo sempre la parte reale del fasore: S(t) = S p cos(ωt + φ) = Re [S p [cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)]] Un modo alternativo di rappresentare il legame tra sinusoidi e fasori è quello di utilizzare il valore efficace (rms) dell onda: S 2 rms = S2 p 2 S rms = S p 2 S(t) = S p cos(ωt + φ) = 2S rms cos(ωt + φ) 34 / 72

Circuiti in regime transitorio 35 / 72

Circuito RC: evoluzione temporale Carica del condensatore Supponiamo che il condensatore C sia scarico: Q(t = 0) = 0. Ad un istante t > 0 spostiamo l interruttore dal punto B al punto A. Sappiamo che, dopo un intervallo di tempo caratteristico τ 0 il circuito raggiungerà lo stato di equilibrio in cui il condensatore risulterà carico. a) Come si carica la capacità C? b) Quanto vale la costante di tempo? c) Come varia la corrente nel circuito? d) Come varia la tensione ai capi di C? e) Come varia la tensione ai capi di R? 36 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore a) Come si carica la capacità C? Equazione della maglia: dove V 0 = i(t) R + Q(t) C i(t) = dq(t) dt Integro entrambi i membri dell equazione = 1 RC (V 0C Q(t)) Q(t) t dq(t) (V 0 0 C Q(t)) = dt RC ln V 0 C Q(t) = t 0 V 0 0 C RC Che posso riscrivere come: Q(t) = V 0 C 1 e RC t 37 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore b) Quanto vale la costante di tempo? La costante di tempo dipende solo dai valori di R e C. Valutiamola in due casi differenti: Circuito 1 Circuito 2 t 0,1 = R 1 C 1 = 2ns t 0,2 = R 2 C 2 = 10ns Quale capacità si caricherà per prima tra C 1 e C 2? 38 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore Se costruissimo i nostri due circuiti sulla breadboard, quello che osserveremmo è mostrato in figura: Poiché il circuito 2 ha una costante di tempo maggiore di quella del circuito 1, è necessario un intervallo di tempo maggiore perché si porti all equilibrio. 39 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore Circuito 1 40 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore Circuito 2 41 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore Partendo nuovamente dalla: Q(t) = V 0 C c) Come varia la corrente nel circuito? Poichè i(t) = dq(t) dt d) Come varia la tensione ai capi di C? e) Come varia la tensione ai capi di R? ( ) 1 e t RC i(t) = V 0 R e t RC V C = Q(t) ( ) C = V 0 1 e t RC V R = i(t) R = V 0 e t RC 42 / 72

Circuito RC - Carica del condensatore Cosa vediamo sull oscilloscopio? 43 / 72

Bilancio energetico La potenza erogata dal generatore è in parte dissipata dalla resistenza (effetto Joule) e in parte accumulata nel condensatore. Il bilancio energetico sarà allora: E gen = E R = E C = 0 0 0 V 0 i(t)dt = R i 2 (t)dt = Q(t)V C dt = 0 V 2 0 C 0 0 0 V 0 V0 R e t RC dt = V 2 0 R RC = V 2 0 C R V 0 2 R 2 e 2t 1 V RC dt = 0 2 2 R RC = 1 2 V 0 2 C ( V 0 C 1 t ) ( V 0 1 t ) dt = RC RC ( 1 t RC ) 2 dt = 1 2 V 2 0 C Esattamente metà della energia erogata dal generatore viene accumulata sul condensatore! 44 / 72

Bilancio energetico Circuito 1 E gen = (1V ) 2 1pF = 10 12 J = 1pJ E R = 0.5 (1V ) 2 1pF = 0.5pJ E C = 0.5 (1V ) 2 1pF = 0.5pJ Circuito 2 E gen = (1V ) 2 2pF = 10 12 J = 2pJ E R = 0.5 (1V ) 2 2pF = 1pJ E C = 0.5 (1V ) 2 1pF = 0.5pJ 45 / 72

Circuito RC: evoluzione temporale Scarica del condensatore Supponiamo che il condensatore C sia carico: Q(t 0 ) = Q 0. Ad un istante t > t 0 spostiamo l interruttore dal punto B al punto A. Sappiamo che, dopo un intervallo di tempo caratteristico τ 0, il circuito raggiungerà lo stato di equilibrio in cui il condensatore risulterà carico. a) Come si scarica la capacità C? b) Quanto vale la costante di tempo? c) Come varia la corrente nel circuito? d) Come varia la tensione ai capi di C? e) Come varia la tensione ai capi di R? 46 / 72

Circuito RC: evoluzione temporale Scarica del condensatore a) Come si scarica la capacità C? Equazione della maglia: Poiché 0 = IR + Q(t) C I = dq(t) dt Integriamo ambo i membri: Q(t) V 0C 0 = dq(t) R + Q(t) dt C dq (t) t Q (t) = dt t 0 τ 0 Q(t) = Q 0 e t t 0 τ 0 47 / 72

Circuito RC - Scarica del condensatore Equazione di partenza: 0 = dq(t) R + Q(t) dt C La tensione ai capi di C varierà con la legge: V C = Q(t) C = V 0Ce t t 0 τ 0 b) Quanto vale la costante di tempo? Le costanti di tempo τ 0,1 e τ 0,2 rimangono inalterate. La corrente i(t) varierà con la legge: = Q 0 e t t 0 τ 0 τ 0 La tensione ai capi di R varierà con la legge: i(t) = dq(t) dt = V t t 0C 0 RC e τ 0 = V t t 0 0 R e τ 0 V R = i(t)r = V 0 e t t 0 τ 0 Durante la scarica del condensatore, l energia che era stata accumulata in fase di carica viene rilasciata per far scorrere corrente ed è dissipata sulla resistenza. 48 / 72

Circuito RC - Scarica del condensatore Cosa vedo sull oscilloscopio? Potenziale ai capi di C Carica: Scarica: V C = Q(t) C = V 0 ) (1 e t RC V C = Q(t) C = V 0Ce t t 0 τ 0 Potenziale ai capi di R Carica: V R = i(t)r = V 0 e t RC Scarica: V R = i(t)r = V 0 e t t 0 τ 0 49 / 72

Circuito RC - Scarica del condensatore Perché RC è un tempo? I(ampere) = Q(coulomb) t(s) C(farad) = Q(coulomb) V (volt) Q(coulomb) = I(ampere) t(s) Quindi: Per cui: V (volt) = R(ohm) I(ampere) R(ohm) = C(farad) = I(ampere) t(s) V (volt) = I(ampere) V (volt) V (volt) I(ampere) t(s) = t(s) R(ohm) R(ohm) C(farad) = t(s) 50 / 72

Circuito RC - Carica e scarica del condensatore con un onda di periodo T Circuito 1: T /2 = 20ns >> R 1 C 1 = 2ns 51 / 72

Circuito RC - Carica e scarica del condensatore con un onda di periodo T Circuito 1: T /2 = 20ns = R 1 C 1 = 2ns 52 / 72

Circuito RC - Carica e scarica del condensatore con un onda di periodo T Circuito 1: T /2 = 0.250ns << R 1 C 1 = 2ns 53 / 72

Circuito RC - Carica e scarica del condensatore con un onda di periodo T Circuito 1: T /2 = 40ns >> R 1 C 1 = 10ns 54 / 72

Circuito RC - Carica e scarica del condensatore con un onda di periodo T Circuito 1: T /2 = 20ns = R 1 C 1 = 10n 55 / 72

Elementi passivi in regime sinusoidale 56 / 72

Sfasamento di R vs C Equazione del circuito: v(t) = i(t)r i(t) = V p R sin(ωt) In un resistore la d.d.p. e la corrente sono in fase. Equazione del circuito: v(t) = q(t) C i(t) = dq(t) = C dv(t) = ωcv p cos(ωt) dt dt In un condensatore la d.d.p. e la corrente sono in sfasate di π/2. 57 / 72

Regime AC - Resistore 58 / 72

Regime AC - Condensatore 59 / 72

Regime AC - Condensatore 60 / 72

Impedenza complessa L impedenza viene solitamente indicata con Z; è possibile darne una notazione polare: e l angolo θ è pari a: V I = Z = R + jx Z = Z e jθ θ = arctan X R l impedenza è una grandezza vettoriale che indica la forza di opposizione di un circuito al passaggio di una corrente elettrica alternata o, più in generale, di una corrente variabile. l inverso dell impedenza è detto ammettenza e viene indicata con Y (Y = Z 1 ) (ohm 1 ); il modulo si misura in ohm e la fase in gradi (o radianti); tiene conto dei fenomeni di consumo di energia elettrica e dei fenomeni di accumulo di energia elettromagnetica. 61 / 72

Impedenza complessa la parte immaginaria dell impedenza, detta reattanza, X, anch essa espressa in ohm, è associata ai fenomeni energetici di accumulo. La reattanza è causata dalla presenza di induttori e/o condensatori nel circuito; essa produce una differenza di fase tra la corrente e la tensione del circuito. X = X C + X L XC è detta reattanza capacitiva ed è pari a X C = 1 ωc ; XL è detta reattanza induttiva ed è pari a X L = ωl; in regime di corrente continua l impedenza rappresenta infatti la resistenza elettrica (legge di Ohm, V = RI); 62 / 72

Impedenza complessa La tensione e la corrente ai capi degli elementi passivi hanno una differenza di fase φ. Per tenere conto di questo si suole definire la legge di Ohm generalizzata: V = ZI Per ricavare l impedenza di ciascun componente possiamo utilizzare i fasori. Come sappiamo: v(t) = Re [V p e j(ωt+φ)] 63 / 72

Impedenze complesse V (t) = V P sin(ωt + φ) Resistore In un resistore la d.d.p. e la corrente sono in fase Z = R Condensatore In un condensatore la d.d.p e la corrente sono sfasate di π/2 Z = V p e jωt V P Cωe j(ωt+π/2) = 1 Cωe jπ/2 = 1 jcω L impedenza del condensatore diminuisce all aumentare della frequenza e viceversa. 64 / 72

Significato di Z - Rappresentazione Come abbiamo visto fino a qui, i componenti di un circuito possono essere caratterizzati da un impedenza complessa Z che nel piano complesso può essere scritta come: Z = R + jx = Z e jφ R tiene conto del consumo di potenza X tiene conto dello sfasamento tra v(t) ed i(t). 65 / 72

Reattanza Equazione del circuito: Equazione del circuito: R = V p V p R In un resistore il rapporto tra la tensione e la corrente di picco è costante rispetto alla frequenza ed è uguale a R. v(t) = V p sin(ωt) i(t) = ωcv p cos(ωt) In un condensatore il rapporto tra la tensione e la corrente di picco è definito reattanza. X C = V p = 1 ωcv p ωc La reattanza dunque dipende dalla frequenza ω. 66 / 72

Reattanza Equazione del circuito: v(t) = q(t) C i(t) = dq(t) dt = C dv(t) dt i(t) = ωcv p cos(ωt) P = v(t) i(t) = ωcv 2 p sin(ωt) cos(ωt) Nota bene: la potenza media è nulla P = 1 T T 0 ωcv 2 p sin(ωt) cos(ωt)dt = 0 67 / 72

Confronto regime DC e regime AC REGIME DC Legge ai nodi - KCL REGIME AC Legge ai nodi - KCL n I i = 0 i=1 n I i e j(ωt+φi ) = i=1 n I i e jφi = 0 i=1 Legge ai nodi - KVL Legge ai nodi - KVL n V i = 0 i=1 n V i e j(ωt+φi ) = i=1 n V i e jφi = 0 i=1 68 / 72

Confronto regime DC e regime AC REGIME DC Componenti in serie R eq,s = C 1 eq,s = n i=1 n i=1 Componenti in parallelo R 1 eq,p = C eq,p = n i=1 n i=1 R i C 1 i R 1 i C i REGIME AC Componenti in serie Z eq,s = n i=1 Componenti in parallelo Z 1 eq,p = n i=1 Z i Z 1 i 69 / 72

Studio di circuiti in regime sinusoidale In regime AC vale sempre il teorema di Thevenin ma: La tensione e le correnti equivalenti dipendono dal tempo; La resistenza equivalente è sostituita dalla impedenza equivalente. Come si studiano i circuiti in regime sinusoidale? 70 / 72

Studio di circuiti in regime sinusoidale V in (ω) = V in cos(ωt + φ in ) V out (ω) = V out cos(ωt + φ out ) Il segnale di ingresso e quello di uscita hanno la stessa frequenza f = ω 2π L ampiezza del segnale di uscita dipende dall ampiezza del segnale di ingresso, dal circuito in esame e dalla frequenza. Il segnale di ingresso e quello di uscita possono avere una differenza di fase che dipende dalla frequenza: φ = φ out φ in Si suole definire una funzione di trasferimento A V, caratterizzata da ampiezza e fase: A V (ω) = V out(ω) V in (ω) 71 / 72

Argomenti: altri esercizi DC e AC Prossima Esercitazione: 2 Febbraio 2016 impostazione relazioni di laboratorio 72 / 72