LE LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA 1
Il pimo pincipio della dinamica Obiettivi: conoscee e capie i pincipi della dinamica; conoscee i concetti di massa e peso; conoscee la dinamica e la statica dei sistemi di punti appendee il concetto di momento. 2
Il pimo pincipio della dinamica Basandosi esclusivamente sugli espeimenti analizzati nella lezione pecedente, la elazione, che qui icodiamo: 1 ) a 1 =f/m 1 a 2 =f/m 2.. a n =f/m n non si potebbe consideae stabilita col igoe e la pecisione ichiesta pe una legge geneale e univesale. 3
Il pimo pincipio della dinamica Tuttavia (ifeendoci alle iceche di Galileo) potemo consideala valida con buona appossimazione pe dei sistemi di ifeimento connessi alla supeficie teeste. Anticipando peò alcune nozioni sulle quali toneemo nel seguito, possiamo endeci conto che l espessione (1 ) appesenta una legge univesale. Una bilancia di tosione èun dinamometo molto sensibile, in cui le foze vengono misuate pe mezzo delle eazioni elastiche (tosioni) che esse povocano. Lod Cavendish nel 1771, utilizzando questo delicato stumento, mostò che due copi qualsiasi si attiano con una foza che dipende dalla loo distanza. 4
Il pimo pincipio della dinamica Se i copi sono così piccoli da pote consideae tascuabili le loo dimensioni ispetto alla loo distanza, alloa si tova pecisamente che la foza vaia in agione invesa del quadato della distanza. Taspotando questa legge ai copi celesti e in paticolae applicandola ai copi del sistema planetaio è possibile pevedee quale debba essee il moto dei pianeti. È possibile cioè pevedee che le obite hanno foma ellittica, che i tempi di ivoluzione stanno in ceti appoti con le dimensioni di tali obite ecc. ecc,. 5
Il pimo pincipio della dinamica Il che equivale ad affemae che la (1 ) stabilita da Galileo nel caso molto paticolae di una foza costante e di un sistema di ifeimento teeste, è una legge molto più geneale, valida pe foze molto più complesse, in sistemi di ifeimento ispetto ai quali la tea è solo un punto mateiale. In base a consideazioni di questo genee Newton ha visto nella (1 ) l espessione di un pincipio geneale applicabile a tutti i possibili movimenti dell Univeso. 6
Il pimo pincipio della dinamica E poiché un movimento ha un significato peciso solo se è definito il sistema di ifeimento ispetto al quale lo si osseva, Newton scelse come sistema di ifeimento l Univeso stesso, ossia l insieme delle stelle fisse. Ne segue che potemo assumee come legge fondamentale della dinamica il seguente pincipio. Pe ogni punto mateiale in moto ispetto ad una tena di ifeimento solidale con le stelle fisse (cioè con oigine e assi immobili ispetto a questi asti) la foza, misuata staticamente, è in ogni punto e in ogni istante, popozionale all acceleazione. Inolte, foza e acceleazione (in quanto vettoi) hanno la stessa linea di azione e lo stesso veso. 7
Il secondo pincipio della dinamica In simboli, indicando con f la foza e con l acceleazione si può scivee: (2) f = ma a dove, m è la costante di popozionalità (scalae) che abbiamo chiamato massa. Pima di discutee la (2) vogliamo chiaie alcuni punti dell enunciato pecedente. Intanto osseviamo che la (2) contiene implicitamente il pincipio di inezia, in quanto se poniamo uguale a 0 il valoe della foza, si avà un acceleazione nulla. 8
Il secondo pincipio della dinamica Abbiamo poi palato di foza misuata staticamente, ma appae evidente come sia assudo pensae di misuae con un dinamometo la foza che si esecita fa la Tea e il Sole. Si può peò misuae con un dinamometo la foza che si esecita fa due masse mateiali (come effettivamente ha fatto Cavendish) e poi estendee alla Tea e al Sole il isultato di questa espeienza. In un simile caso, ciò che l ossevazione dietta fonisce non è più il valoe della foza che si esecita fa la tea e il sole, ma il moto che la pima compie intono al secondo, moto che noi potemo confontae col isultato dell espeienza di Cavendish. 9
Il secondo pincipio della dinamica In geneale una misua statica di foza fonià, in foma più o meno indietta, attaveso induzioni, il valoe del vettoe che compae nella (2), come funzione delle coodinate spazio-tempoali, sciveemo petanto: f = f ( x, y, z, t) La (2) stessa ci consentià alloa di iconoscee se quelle induzioni eano lecite e fino a qual punto lo eano. Se invece, pe pecedenti ossevazioni, di tali induzioni eavamo già ceti, la (2) ci sevià, come vedemo, a isolvee completamente il poblema della dinamica del punto. 10
Il secondo pincipio della dinamica Pe un sistema igidamente collegato con la supeficie teeste (come quelli che nomalmente si consideano nelle espeienze di laboatoio) la (2) è vea con buona appossimazione. La tea è peò animata, olte che dal movimento di otazione, anche da un alto movimento ispetto al sole, ossia ispetto a un sistema solidale con le stelle fisse: questo è il moto di ivoluzione, che si svolge con la consideevole velocità media di cica 30 Km/sec. 11
Il secondo pincipio della dinamica Ebbene nessuna espeienza meccanica (e in geneale nessuna espeienza fisica) eseguita sulla tea, consente di mettee in evidenza, duante il peiodo di qualche giono, questo movimento. In un tale intevallo di tempo il moto della tea (a pescindee dalla otazione) è da consideasi, con appossimazione gandissima, ettilineo e unifome. Quanto pecede equivale a die che i fenomeni meccanici si svolgono nello stesso identico modo, cioè seguono le stesse leggi nel sistema ifeito alle stelle fisse, come su un sistema di ifeimento che è in moto ettilineo e unifome ispetto alle stelle fisse. 12
Il secondo pincipio della dinamica Più in geneale se due sistemi di ifeimento qualsiasi sono in moto ettilineo unifome, l uno ispetto all alto, nessuna espeienza è in gado di ilevae che l uno, anziché l alto, è fisso. Le espeienze pemettono solo di stabilie che i due sistemi sono in moto l uno elativamente all alto. Questo è il pimo postulato della teoia della elatività istetta. Il secondo, come vedemo, è quello della costanza della velocità della luce ispetto a qualsiasi sistema di ifeimento. 13
Il secondo pincipio della dinamica Ci limiteemo qui ad indicae che la (2) è da itenesi valida non solo in un qualsiasi sistema di ifeimento univesale solidale con le stelle fisse, ma anche in qualunque alto che si muova ispetto al pimo di moto ettilineo e unifome. Resta infine da chiaie il significato della massa. È un fatto essenziale che, secondo la (2), pe ogni copo mateiale, il fattoe m ha un valoe costante. Vediamo più da vicino cosa significhi. 14
Il secondo pincipio della dinamica v Indicando con la velocità geneica al tempo t, la (2) si scive alloa: f = m dv dt ossia: (2 ) 1 d v = m fdt 15
Il secondo pincipio della dinamica Oa, come abbiamo già visto, all inizio del moto dv èla velocità iniziale acquisita dal mobile tempuscolo dt. La (2 ) espime quindi in questo caso, che l effetto della foza, cioè la velocità inizialmente da essa impessa al punto mobile, è popozionale alla foza stessa e alla duata della sua azione. Questa è una consideazione più appofondita e una enunciazione in temini fomali di quel concetto già intodotto nella pima lezione, ovveo il pincipio del moto incipiente. 16
Il secondo pincipio della dinamica Tattandosi di un atto elementae, ciò ci appae molto natuale, e la costante 1/m figua come quella costante di popozionalità che compendia in sé gli attibuti del copo che intevengono nell atto di moto ma sui quali la foza non può appotae nessuna modificazione. Ammettee valida la (2) anche pe gli atti di moto elementai successivi, mantenendo ad m lo stesso valoe che compae nell equazione del moto incipiente, equivale ad ammettee che questi attibuti imangano tali e quali qualunque sia la velocità posseduta dal mobile nel geneico tempo t. 17
Il secondo pincipio della dinamica Nello scivee la (2) si postula quindi che l equazione dei moti incipienti, così natuale al nosto intuito, valga anche pe tutti gli istanti successivi a quello in cui si è iniziato il moto. La legge fondamentale della dinamica, così come l abbiamo enunciata, pesuppone dunque: che la massa del copo non dipenda dalla velocità. che si assuma, come foza agente sopa un copo in moto, la foza misuata staticamente. A questo valoe di m si dà il nome di massa a iposo. 18
Il secondo pincipio della dinamica Cica il significato della massa e la sua misua, a maggio chiaimento di quanto pecede, dobbiamo ancoa fae le seguenti ossevazioni. In geneale, pe la (2), due punti mateiali che siano, in agione della loo natua fisica soggetti ad una stessa foza, avanno popietà dinamiche distinte solo pe il fatto che a esse spettano due divesi valoi di m (si pensi a due paticelle dotate di una stessa caica e poste in uno stesso campo elettico). 19
Il secondo pincipio della dinamica È alloa chiao che il poblema da cui siamo patiti, cioè quello di pevedee quale saà il moto di un punto mateiale in un dato campo di foze (noto attaveso misue statiche pecedenti) non si isolve, in base alla (2), finché non è nota anche la massa di quel punto. Se la massa non è nota, la (2) ci fonisce solo il valoe del podotto m a e noi in questo caso potemo altenativamente: misuae (in modo indipendente dal movimento) la massa m e quindi deteminae il valoe dell acceleazione e da questa il moto del punto; esaminae il moto medesimo, dedune a e poi, da questo valoe tae quello della massa m=f/a. 20
Il secondo pincipio della dinamica Nel pimo caso la (2) è da consideasi come una vea e popia legge fisica in quanto, in base a due misue peliminai, quella della foza e quella della massa, si è in gado di pevedee quale saà il moto del punto. Nel secondo caso la (2) (pe noi che siamo patiti dalla definizione statica di foza come concetto fondamentale) non è alto che la misua dinamica della massa ossia la definizione fisica di essa come concetto deivato. 21
Massa e peso In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi accetato che possiamo misuae la massa di un copo qualsiasi sottoponendolo ad una foza nota e valutandone poi la coispondente acceleazione. Questa foza può essee il peso. Abbiamo detto che, in un deteminato luogo l acceleazione di gavità è la stessa pe tutti i copi e che, i pesi sono popozionali alle masse ineziali. 22
Massa e peso L aggettivo ineziale seve a pecisae che la massa (appoto fa foza e acceleazione) dà una misua della esistenza che i copi oppongono a cambiae la loo velocità e subie delle acceleazioni. Essendo il peso una foza paticolae, nomalmente alla paola massa si dà un significato diveso, che è quello di quantità di mateia. 23
Massa e peso In base alla legge fondamentale della dinamica abbiamo quindi accetato che possiamo misuae la massa di un copo qualsiasi sottoponendolo ad una foza nota e valutandone poi la coispondente acceleazione. Questa foza può essee il peso. Abbiamo detto che, in un deteminato luogo l acceleazione di gavità è la stessa pe tutti i copi e che, i pesi sono popozionali alle masse ineziali. 24
Massa e peso In geneale in una sostanza omogenea, come pe es. un liquido puo, il peso e quindi, secondo la elazione pecedentemente scitta m=p/g, la massa è popozionale al volume. Inolte il peso di un copo non cambia comunque esso venga defomato. L espessione quantità di mateia è tuttavia un pò vaga, si peciseà pogedendo nello studio dei fenomeni fisici e chimici, quando si avà un idea abbastanza chiaa della costituzione atomica della mateia e quindi del concetto di paticelle elementai ossia di paticelle, fa loo indistinguibili e peciò in tutto identiche. 25
Massa e peso Le masse delle paticelle elementai sono, pe il concetto stesso di paticella elementae, costanti. Una ceta quantità di mateia è costituita sempe da un numeo inteo di queste paticelle, se questo numeo non cambia, la massa di quella quantità imane costante, qualunque siano le azioni fisiche e chimiche alle quali essa viene sottoposta. Il concetto di massa si identifica così con quello di numeo di paticelle. Questa è una delle leggi fondamentali della fisica, cioè il pincipio della consevazione della mateia. A esso fanno isconto alti pincipi del genee come quello della consevazione della caica. Noi ci limiteemo a nominali specialmente peché questi pincipi acquistano un senso peciso e pofondo solo pe chi si è addentato nello studio della fisica. 26
Massa e peso Cica questa affemazione vanno fatte alcune ossevazioni. Intanto fa le azioni fisiche e chimiche sopa accennate occoe escludee le tasfomazioni adioattive e le disintegazioni nucleai. Esse ientano pealto nella legge sopa enunciata quando si tenga conto della tasfomabilità evesibile della massa in enegia secondo la elazione di Einstein: E=mc 2 dove c èla velocità della luce. In secondo luogo appae evidente che, agionando come sopa, la quantità di mateia si identifica col numeo di paticelle, ma non ancoa con la massa ineziale. Toneemo su questo punto nel seguito, pe oa basti ossevae che il concetto di mateia non è indispensabile alla compensione di quello di massa ineziale. 27
Massa e peso Tonando al pincipio di consevazione della mateia (che dipende dalla costanza della massa di un copo o sistema di copi) è bene tene pesente che esso è igoosamente valido finché si pensa di effettuae le misue delle masse (ossia di pesi) in un sistema di ifeimento ispetto al quale le masse in questione sono feme o, come sempe accade nei fenomeni meccanici, hanno velocità piccole ispetto a quella della luce (3x10 9 m/sec). Riteemo inolte, a questo punto della discussione che l equazione m=p/g sia igoosamente valida, ossia che una volta scelta la massa campione, tutte le alte masse si possono misuae confontandole con questa pe mezzo della bilancia, ossia confontandone i coispondenti pesi. 28
Sistemi di misua Da queste consideazioni appae chiao che occoe stabilie dei ifeimenti ceti pe le misue che vogliamo effettuae ovveo, come si dice in temini più pecisi, dobbiamo stabilie uno (o più) sistemi di ifeimento. Assumeemo come massa campione il chilogammo-massa, ossia la massa del campione di platino consevato nel Bueau des poids et mesues di Paigi, consistente in un blocco di platino/iidio che avebbe dovuto avee esattamente la massa di 1 dm 3 di acqua distillata alla pessione nomale e a 4 C di tempeatua (pe la pecisione esso appesenta la massa di dm 3 1,000027 di acqua distillata in quelle condizioni). 29
Sistemi di misua Nella tecnica, e spesso nella fisica, si assume questa unità accanto al meto, al secondo e all ohm intenazionale, come unità fondamentale. Si ha così il sistema MKS (Meto, Kilogammo, Secondo). È chiao, da quanto pecede che la misua delle masse con la bilancia è essenzialmente una misua delle masse gavitazionali e che essa si iduce a quella delle masse ineziali, a causa della costanza di g. 30
Sistemi di misua Nell appossimazione in cui è valida la meccanica classica, la massa èda consideasi igoosamente costante ed e molto più conveniente assumela come unità pimitiva che non la foza peso che vaia invece da luogo a luogo. In paticolae il campione di platino iidato ha una massa che isponde in pieno al pincipio della ipoducibilità delle espeienze, ossia al pincipio di identità delle misue. La sua massa è sempe quella, qualunque sia la pessione, il luogo e le alte condizioni fisiche a cui può essee sottoposto. 31
Indipendenza delle azioni simultanee Si può constatae con numeose espeienze che l azione di una foza è indipendente dallo stato di quiete o di moto peesistente in un punto mobile (Galilei). Pima di esaminae una espeienza di questo tipo è bene fa pesente che questa affemazione è già implicita nella (2). Questa infatti ci dice che la acceleazione podotta da una foza è a = f m indipendentemente da qualsiasi ifeimento allo stato di moto (e in paticolae alla velocità) del punto in cui pensiamo applicata la foza. f 32
Indipendenza delle azioni simultanee L espeienza che possiamo pendee in esame è (vedi figua), quella di un gave lanciato nel vuoto con velocità iniziale in una diezione qualunque 0x, pe es. il poiettile di un ama da fuoco. v o 33
Indipendenza delle azioni simultanee Se vi è indipendenza fa l azione della gavità e la velocità, in ogni istante il poiettile dovebbe essee sollecitato a muovesi nella diezione della veticale veso il basso, con moto unifomemente acceleato, come se fosse stata nulla v 0. Pesa l oigine nella posizione iniziale e l asse delle y veticale volta veso l alto, le equazioni del moto si possono scivee, pe v 0 = 0: x 1 = 0 y 1 = ½gt 2 34
Indipendenza delle azioni simultanee Pe la velocità v 0 impessagli inizialmente invece, indipendentemente dalla gavità il poiettile si dovebbe muovee di moto unifome. Le equazioni di questo moto, ispetto al nosto ifeimento, saebbeo le seguenti: x 2 = v 0x t; y 2 = v 0y t Se l azione della gavità è indipendente dalla velocità del punto, il moto effettivo di questo è la composizione dei due pecedenti: x = x 1 + x 2 = v 0x t; y = y 2 + y 1 = v 0y t - ½gt 2 35
Indipendenza delle azioni simultanee Risolvendo la pima ispetto a t e sostituendo nella seconda si ha: y = (v 0y /v 0x )x - ½[(g/2(v 0x ) 2 ]x 2 che è l equazione di una paabola con l asse veticale. La distanza alla quale il gave inteseca l asse x si icava ponendo y=0. Si ha petanto: x = 2v 0x v 0y /g 36
Misua della foza - Estensione del concetto di foza Come abbiamo visto pe definie il concetto di foza siamo patiti dal misuae le foze con un dinamometo o con qualcosa di equivalente e cioè staticamente. Abbiamo anche detto che ciò va inteso in senso lato, dato che una sola misua di foze, in un dato punto o in cete paticolai condizioni speimentali può essee sufficiente a suggeie una legge, come quella della gavitazione univesale, che ci pemette di definie la foza in tutta una egione di spazio, egione che chiameemo campo di foza. 37
Misua della foza - Estensione del concetto di foza L ossevazione più comune ci dice peò che esistono dei movimenti cui competono delle acceleazioni che non sono così facilmente attibuibili né in modo dietto né in modo indietto a delle foze di natua statica. Pe es. se si espeimenta con un poiettile lanciato nell aia con una velocità iniziale v 0 consideevole, si vede che il moto di questo poiettile non è paabolico. Anche limitando l ossevazione ad una egione di spazio dove non solo la gavità ma anche le condizioni dell aia siano identiche in ogni punto, le taiettoie seguite da uno stesso poiettile non sono pevedibili in base ad una foza ottenuta sommando quella di gavità con una costante, dietta in senso contaio al moto, dovuta alla esistenza dell aia. 38
Misua della foza - Estensione del concetto di foza Si vede invece che queste taiettoie sono caatteizzate, olte che dalla gavità da acceleazioni (dovute alla pesenza dell aia e atte a ostacolae il moto) che dipendono dalla velocità iniziale v 0 e più in geneale dalla velocità che il poiettile ha in un deteminato istante. Se alloa noi vogliamo mantenee alla (2) la sua validità, dobbiamo pensae ad una foza applicata istante pe istante al poiettile la quale dipende non solamente dalle coodinate (ed eventualmente dal tempo), ma anche esplicitamente dalla velocità. 39
Misua della foza - Estensione del concetto di foza Oa una simile foza non si può misuae staticamente e noi ci endiamo conto che in questo caso la (2) ha pe noi il significato di una definizione di foza. Noi infatti potemo misuae questa foza solo misuando l acceleazione competente al moto di quel poiettile e la massa di esso. Il podotto f = ma misueà quella foza non espimibile altimenti con un numeo. 40
Misua della foza - Estensione del concetto di foza Una simile misua della foza si definisce dinamica e iguada molti tipi di foza che si incontano nello studio della fisica. Citiamo ad esempio due tipi di foze quali: la foza di Loentz, che agisce su una caica in moto in una egione di spazio dove siano pesenti campi elettici e magnetici; le eazioni vincolai delle quali abbiamo già dato alcuni cenni. 41
Dinamica e statica dei sistemi di punti Impulso e quantità di moto Si chiama impulso elementae di una foza f nell intevallo di tempo dt, il vettoe infinitesimo: dh = fdt 42
Dinamica e statica dei sistemi di punti Si chiama impulso di una foza duante un intevallo finito di tempo t 2 -t 1, la somma di tutti gli impulsi elementai elativi agli intevalli di tempo infinitesimi dt, in cui si può consideae diviso l intevallo finito t 2 -t 1. L impulso duante l intevallo t 2 -t 1 è dato quindi dall integale: (3) t2 t () fdt f t dt = h 1 dove è da tene pesente che, nel caso geneale, i vettoi infinitesimi fdt cui si applica l integale, sono vaiamente dietti a seconda della diezione assunta da nell intevallo di tempo t 2 -t 1. f 43
Dinamica e statica dei sistemi di punti Si chiama quantità di moto di un punto mateiale il vettoe: q = mv ottenuto moltiplicando la velocità v pe la massa m del punto. 44
Dinamica e statica dei sistemi di punti Quantità di moto e impulso hanno le stesse dimensioni. L equazione fondamentale della dinamica ci indica la agione di questa identità mostando immediatamente come siano fa loo collegate queste due gandezze. Si ha infatti: dv f = ma = m dt (4) da cui, essendo la massa una costante fdt = mdv = d mv = dq ( ) 45
Dinamica e statica dei sistemi di punti Questa elazione può essee enunciata come segue: la vaiazione infinitesima della quantità di moto è uguale all impulso elementae della foza che la ha povocata. Che possiamo anche enunciae: la foza è uguale alla vaiazione della quantità di moto, nell unità di tempo. 46
Dinamica e statica dei sistemi di punti Ovviamente ci si ifeisce, nel caso geneale di una foza vaiabile, al fatto che la (4), dividendo pe l'intevallo dt, diviene: (4 ) f = d mv ( ) dt S intende natualmente che impulso e vaiazione sono elativi allo stesso punto P e allo stesso intevallo di tempo infinitesimo. 47
Dinamica e statica dei sistemi di punti Passando ad un intevallo di tempo finito occoeà integae nell intevallo di tempo t 2 -t 1 ottenendo infine: h = q q elazione che ci pota ad enunciae che: 2 1 la vaiazione della quantità di moto di un punto mateiale è uguale al coispondente impulso della foza applicata. 48
Momento di una foza e momento della quantità di moto In geneale si chiama momento di un vettoe ispetto ad un punto O (che genealmente, ma non sempe, è fisso nel sistema di ifeimento in cui si valuta il vettoe u il podotto vettoiale u (5) K = u del aggio vettoe = R - O (che va dal punto O ad un punto qualsiasi R della etta aa individuata da u ) pe il vettoe medesimo. 49
Momento di una foza e momento della quantità di moto La etta aa si chiama etta d azione del vettoe u Il punto R è un punto qualsiasi di questa etta e l abitaietà di esso dipende dal fatto che il podotto vettoiale u èsempe lo stesso qualunque sia il punto R peso su aa. La cosa si vede subito ossevando che, secondo l intepetazione geometica del podotto vettoiale, il paallelogamma ORUR della figua seguente ha un aea che non dipende dal paticolae punto R scelto su aa. 50
Momento di una foza e momento della quantità di moto In paticolae si può scegliee il punto R 0, piede della pependicolae abbassata da O sulla etta aa. Ne segue che se si indica con δ la misua del segmento OR 0, il modulo del momento di u ispetto a O è dato dal podotto u x δ. 51
Momento di una foza e momento della quantità di moto Fa i momenti di vettoi hanno paticolae impotanza il momento della quantità di moto e il momento di una foza. Sia P un punto in moto ispetto ad una data tena di ifeimento e la sua quantità di moto. q = m v Il momento della quantità di moto di P ispetto ad un punto O (qualsiasi) è il momento del vettoe ispetto a O. q 52
Momento di una foza e momento della quantità di moto Assumendo R coincidente col punto mobile P, questo momento è dato da: (6) p = q = mv = m ( v ) dove è il aggio vettoe =PO (vedi figua). 53
Momento di una foza e momento della quantità di moto p Il vettoe si chiama anche momento di otazione del punto P ispetto ad O nel senso che esso è diveso da zeo quando P ha, ispetto ad O, una velocità tasvesale non nulla. v ϕ Anzi se si immagina di decompoe v nelle sue componenti v ϕ e si vede subito, pe la popietà distibutiva del podotto vettoiale, che: v p = q = m { ( v + v )} = m( v ) + m( v ) = m( v ) ϕ ossia che al vettoe contibuisce solo la componente tasvesale della velocità. ϕ ϕ 54
Momento di una foza e momento della quantità di moto Anzi poiché è nomale a il modulo di è dato da: (7) p = m 2 (dφ/dt) v ϕ p o anche indicando con ω = (dφ/dt) la velocità angolae della otazione di P ispetto a O e intoducendo il vettoe (7') p = m ω ( 2 ) ω 55
Momento di una foza e momento della quantità di moto p Si può ilevae che in questo modo viene ad assumee un aspetto analogo al vettoe q della quantità di moto e che pecisamente i temini che si coispondono sono la velocità e la velocità angolae, la massa m e il podotto m 2. ω A questo podotto si dà il nome di momento d'inezia del punto P ispetto a O. v 56
Momento di una foza e momento della quantità di moto Analogamente si chiama momento di una foza f, ispetto ad un punto O il podotto R O f = f = M ( ) In paticolae la foza può essee applicata in un punto A e può essee comodo scegliee il punto R di cui sopa, coincidente con A. Se x, y, z sono le coodinate di A (o R che sia) e f x, f y, f z, le componenti di, le componenti di M (avendo peso l oigine delle coodinate in O) sono: M x = yf z -zf y ;M y = zf x -xf z ; M z = xf y -yf x. f 57
Momento di una foza e momento della quantità di moto Supponiamo oa di avee un punto mateiale P in moto sotto l azione di una foza f e supponiamo di avee, nel sistema di ifeimento, un punto fisso O ispetto al quale inteessi di consideae il momento della quantità di moto di P, è facile poe in elazione questo momento con quello della foza ispetto allo stesso punto O. Infatti se si moltiplica vettoialmente la (4) pe il aggio vettoe si ottiene = P-O ( f ) dt = d ( mv) 58
Momento di una foza e momento della quantità di moto Oa noi sappiamo che d = v dt ha la diezione di ed è peciò paallelo a e il podotto vettoiale è quindi nullo. v d m v mv La elazione pecedente si può alloa scivee: ( f ) dt = d ( m v ) + d m v 59
Momento di una foza e momento della quantità di moto Effettivamente si ha, eseguendo dei semplici calcoli e tascuando il temine di secondo odine possiamo scivee: (8) md dv d mv = d mv + d mv ( ) ( ) Da cui (9) Mdt = dp 60
Momento di una foza e momento della quantità di moto Questa elazione è fomalmente identica alla (4) posta l equivalenza ta e da un lato e di con dall alto. q p f M La (9) espime il momento dell impulso e si può enunciae: la vaiazione del momento della quantità di moto di un punto mateiale è uguale al coispondente momento dell impulso della foza applicata a quel punto. 61
Momento di una foza e momento della quantità di moto In temini finiti abbiamo, integando la (9): (9 ) t 2 K = Mdt = p p t 1 2 1 Risciviamo la (4) e la (9) nella foma più adatta ad essee applicata al moto di un sistema di punti: f = dq dt M = dp dt 62
Momento di una foza e momento della quantità di moto Possiamo a questo punto enunciane il significato nel modo seguente: In un ifeimento ineziale il moto di un punto mateiale è tale che: a. la foza impessa è, istante pe istante, uguale alla deivata ispetto al tempo della quantità di moto del punto; b. Il momento della foza ispetto ad un punto fisso O è, istante pe istante, uguale alla deivata ispetto al tempo del momento della quantità di moto ispetto allo stesso punto. Questi due enunciati deivano diettamente dal II Pincipio della Dinamica e anzi sono degli enunciati divesi di questa Legge. In paticolae: l enunciato a è il II Pincipio espesso in una foma che include il caso più geneale delle masse vaiabili, l enunciato b espime il II Pincipio con ifeimento a un deteminato punto dello spazio. 63
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Pe intodue il concetto di sistema isolato consideiamo come esempio il sistema Tea - Luna. Questa tuttavia è un'appossimazione gossolana dato che il sistema è in ealtà soggetto all'attazione del sole e degli alti pianeti. Specialmente l'attazione del Sole è evidentemente tutt'alto che tascuabile e lo dimosta la cuvatua della taiettoia che la tea compie intono al sole nel peiodo in cui la luna compie una ivoluzione completa attono alla tea. 64
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Si potà alloa consideae il sistema Tea Sole - Luna come un sistema isolato, tascuando l attazione dei pianeti che è sicuamente più debole. Possiamo quindi pecisae il significato di sistema isolato con la seguente definizione: si dice isolato un sistema i cui punti sono soggetti solo a "foze intene ossia a foze dovute ai copi, e solo ai copi, che appatengono al sistema. 65
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Con queste pemesse si può enunciae il III Pincipio della Dinamica in una foma che non è la più geneale, ma la più adeente ai contolli speimentali e quella che meno si pesta a equivocae. III Pincipio della dinamica: In un ifeimento ineziale, la quantità di moto totale di un sistema isolato imane costante nel tempo. 66
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Pe un sistema isolato vale quindi il pincipio della consevazione della quantità di moto che espimeemo tamite l'equazione: Q = m v t = k i = 1 dove k è una costante. n i 67
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Intoduciamo, sempe sulla base di quanto discusso finoa, il pincipio di azione e eazione. Si considei un sistema costituito da due punti o, più in geneale, da due sistemi paziali A e B. Pe quanto abbiamo visto pecedentemente, la isultante delle foze che A esecita su B è uguale e di veso opposto alla isultante delle foze che B esecita su A. F B F A 68
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Ma affinché nel sistema A + B sia nullo il momento F M i F delle foze intene, A e B devono anche avee la stessa linea di azione peché altimenti esse costituiebbeo una coppia di momento non nullo. Nel caso di due punti P 1 e P 2, ciò è illustato dalla figua seguente. 69
Sistemi isolati e tezo Pincipio della Dinamica Si può alloa affemae che: la foza totale che un sistema di punti mateiali A esecita su un alto sistema di punti B, è uguale in gandezza, dietta secondo la stessa linea di azione, ma con veso opposto, alla foza totale (eazione) che B esecita su A. Questo è il Pincipio di azione e eazione così come, con tutta genealità, fu enunciato da Newton. 70
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