Prova scritta finale 9 giugno 5 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. orenzo Marrucci anno accademico 4-5 Tempo a disposizione: 3 ore Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO uso della calcolatrice: AMMESSO Nota: per lasciare un margine di recupero, il totale dei punti a disposizione è fissato a 3 invece che a 3. ) Considerate un sistema D dato da una buca di energia potenziale rettangolare finita di profondità U = 6 ev e lunghezza molto piccola. Sulla buca incide un elettrone proveniente da sinistra, di energia E = ev. Calcolate (a) la lunghezza d onda di de Broglie dell elettrone fuori la buca (regione I) e quella dentro la buca (regione II). Ad un certo istante, l elettrone, passando sopra la buca, emette un fotone UV di lunghezza d onda pari a 3.6 nm. Calcolate (b) l energia E (espressa in ev) assunta dall elettrone dopo l emissione del fotone, deducendo da questa se l elettrone alla fine risulti legato o meno alla buca. Scrivete poi (c) l espressione della funzione d onda (relativa all energia E ) dell elettrone nelle tre regioni I, II e III (senza determinare il valore delle costanti che vi compaiono). Dato che la buca è molto piccola, è possibile fare l approssimazione e trascurare del tutto la probabilità di trovare l elettrone all interno della buca. In questa approssimazione, determinare (d) la regione I lunghezza d tale che l elettrone abbia il 99% di probabilità di trovarsi entro una distanza d dal centro della buca, ossia, posizionando l origine dell asse x al centro della buca, nell intervallo x < d. Infine, assumiamo che l elettrone ad un certo punto assorba un altro fotone UV della medesima lunghezza d onda di quello emesso prima e si ritrovi quindi nuovamente libero nella regione III, viaggiando verso destra. Supponiamo inoltre che nella regione III si trovi anche un altro elettrone che viaggia verso destra e che possiede l energia E =.4 ev. Assumendo che i due elettroni abbiano il medesimo spin, calcolare (e) quali sono le distanze più probabili tra le posizioni dei due elettroni. [punti: a = ; b = ; c = ; d = ; e = ] E U(x) / / U regione II regione III x ) Considerate un sistema D dato da una buca di energia potenziale infinita quadrata di lato = 5 Å, come rappresentato in figura. Assumendo che la buca contenga 5 elettroni, calcolate (a) l energia totale e la configurazione elettronica dello stato fondamentale del sistema (considerate anche lo spin). Considerate ora un singolo elettrone nella stessa buca, che al tempo t = occupi uno stato quantistico non stazionario dato dalla seguente U = U = espressione: ψ ( x, y) = [ φ( x, y) + φ( x, y) + iφ( x, y) ], dove φ (, ) 3 nn x y sono le autofunzioni normalizzate della buca quadrata corrispondenti ai numeri quantici n e n. Calcolate (b) i valori che possono risultare da una misura di energia sull elettrone e le corrispondenti probabilità di ciascun valore. Infine, determinate (c) la legge oraria che descrive il moto della posizione media r (t) dell elettrone all interno della buca, specificando anche di che tipo di moto si tratta. [punti: a = 3; b = 3; c = ] Alcune formule matematiche utili per questo esercizio: α β = ( α β) ( α + β) ( nπx ) dx= 8 xsin ( nπx ) dx = ; xsin ( πx ) sin ( πx ) dx 4 = 9π sin sin cos cos ; sin ; 3) In non più di una pagina trattate uno dei seguenti due argomenti, a scelta (MA NON PIÙ DI UNO) [punti: 8]: a. Spiegate l idea di de Broglie delle onde di materia, e in quale modo questa fornì una prima giustificazione della particolare regola di quantizzazione proposta da Bohr per l atomo di idrogeno. b. Osservabili e operatori in meccanica quantistica. Carica dell elettrone e =,6 9 C Costante di Planck ridotta ħ =,55 34 J s Massa dell elettrone m = 9, 3 kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
seconda pagina - Prova scritta finale 9/6/5 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci 4) TEST (vale punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME: NOME: MATRICOA: a) Citare uno qualsiasi dei (numerosi) problemi che rendevano non soddisfacente il modello atomico di Rutherford (modello a sistema-solare) secondo la fisica classica: b) In un sistema D, misurando la posizione di una particella la cui funzione d onda (normalizzata) è ψ(x), quale formula fornisce la probabilità che tale posizione ricada nell intervallo [x, x ]? c) Enunciate la relazione di indeterminazione di Heisenberg (D): d) Quale energia possiede una particella la cui funzione d onda sia ψ(x,t) = N exp[ ax ibt], dove N, a e b sono parametri reali? e) Della radiazione elettromagnetica incide su un oscillatore armonico quantistico, di frequenza caratteristica (angolare) ω. Quali frequenze deve avere la radiazione elettromagnetica per essere assorbita dall oscillatore? f) Quali valori può assumere la componente z del momento angolare (orbitale) di una particella, se il modulo dello stesso ha il valore =? g) Scrivete la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell atomo di boro (simbolo B, numero atomico Z = 5): h) Sempre nell atomo di boro (simbolo B, numero atomico Z = 5), determinate anche la configurazione elettronica del primo stato eccitato (in approssimazione di campo medio autoconsistente a simmetria sferica):
Soluzioni degli esercizi Esercizio Nella regione I, l energia E dell elettrone è solo cinetica perché U =. Perciò si ha E p k = = m m da cui otteniamo k = me () Nella regione II, invece, si ha p k E = + U = + U m m da cui k = m E U () dove va tenuto presente che U è negativo e pari a 6 ev, per cui E U = 8 ev (ovviamente questi risultati si possono ottenere anche risolvendo l equazione di Schroedinger nelle due regioni). Dai numeri d onde k e k otteniamo immediatamente le corrispondenti lunghezze d onda di de Broglie: risposta a: π h λ = = = 8.7 Å k me π h λ = = =. Å k m E U Il fotone UV emesso ha una lunghezza d onda λ f = 3.6 nm, per cui possiede un energia E f = hν f = hc/λ f = ev che è stata sottratta all elettrone. Quindi l energia dell elettrone dopo l emissione è risposta b: E = E E f = E hc/λ f = ev Essendo questa un energia negativa ed essendo l energia potenziale nulla all infinito nel sistema considerato, ne deduciamo che l elettrone dopo l emissione risulta legato alla buca di potenziale. espressione della funzione d onda φ(x) dell elettrone nelle tre regioni si ottiene risolvendo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo con energia E = E. Nelle regioni I e III, dove U(x) =, si ha la seguente equazione: d φ = E φ mdx le cui soluzioni sono gli esponenziali reali φ = exp(±χx) con χ = m E ( ) (3)
a soluzione exp( χx) è però non valida fisicamente e quindi va esclusa nella regione I, perché diverge per x, mentre la soluzione exp(+χx) va esclusa nella regione III, perché divergente per x +. Nella regione II l equazione di Schroedinger è invece la seguente: d φ + U φ = Eφ mdx e le soluzioni sono gli esponenziali complessi exp(±ik x) dove k = m E U (4), entrambi fisicamente validi. Quindi l espressione complessiva per la funzione d onda dell elettrone è la seguente χ x Ae x / (regione I) ikx ikx risposta c: φ( x) = Be + Ce / x / (regione II) χ x De x / (regione III) dove χ e k sono date dalle (3) e (4) mentre le ampiezze A, B, C e D sono da determinare con le condizioni di raccordo e quella di normalizzazione (ma il testo non richiede questo lavoro). a probabilità di trovare l elettrone entro la distanza d dal centro della buca si calcola con la seguente espressione: d P x < d = φ( x) dx (5) d valida purché φ sia normalizzata. Ponendo e trascurando del tutto il contributo della regione II interna alla buca di potenziale, nonché sfruttando il fatto che la funzione d onda deve necessariamente essere simmetrica o antisimmetrica rispetto al centro della buca (per la simmetria del problema), per cui si ha necessariamente A = ±D, l integrale (5) si riscrive come segue: d χx χx d χd ( < ) φ = = = ( ) (6) d A A P x d x dx A e dx e e χ χ Per determinare A basta normalizzare la funzione d onda. In pratica bisogna eseguire lo stesso integrale (5) con la sostituzione d, e imporre che il risultato sia uguale a uno. Cioè si ha A P( x < ) φ( x) dx= = χ che inserito nella (6) fornisce il nostro risultato finale: ( < ) P x d e χd Per avere la probabilità P = 99% =.99, quindi, si deve avere risposta d: ( P) ln d = =.4 Å χ
Dopo l assorbimento del fotone UV, l elettrone si ritrova nuovamente ad avere l energia iniziale E. I due elettroni presenti nella regione III, quindi, occupano due stati di particella libera corrispondenti alle energie E e E con propagazione verso destra. I due stati stazionari occupati sono quindi dati dalle seguenti funzioni d onda (non normalizzabili): φa ( x) = Ne φ ( x) = Ne b ikax ikbx dove k a = k è dato dalla () e kb = me = k.. k o stato complessivo dei due elettroni è quindi dato dalla seguente funzione d onda: N ψ ( x, x) = [ φa( x) φb( x) φa( x) φb( x) ] = e e ( + ) ( + ) ikx a kx b ikx a kx b Il modulo quadro di questa funzione d onda fornisce la probabilità congiunta di trovare i due elettroni nelle posizioni x e x : { } 4 = ψ = ρ( x, x ) ( x, x ) N cos ka kb x x Si vede quindi che la probabilità dipende solo dalla distanza tra le due posizioni x = x x, ed esibisce oscillazioni sinusoidali. e distanze cui corrisponde un massimo di probabilità sono quelle per le quali il coseno vale, ossia risposta e: ( n + ) π x= ( n+ ) λ con n=,,, k k b a dove λ è la lunghezza d onda di de Broglie già data per la risposta (a). E interessante notare che vi sono anche distanze cui corrisponde una densità di probabilità nulla, ossia impossibili per i due elettroni, che sono quelle per le quali il coseno vale, ossia nπ x= k k b a nλ Esercizio Risolvendo il problema per separazione di variabili, lo si scompone in due problemi D per le due coordinate x e y. Ciascuno dei due problemi corrisponde ad una buca di potenziale rettangolare infinita, le cui soluzioni sono note. Perciò otteniamo la seguente soluzione complessiva: nπx nπy φnn ( xy, ) = φ ( x) φ( y) = sin sin π E = E+ E = E( n + n) con E = =.5 ev m dove i due numeri quantici n e n iniziano da e assumono solo valori positivi.
I livelli di energia più bassi sono i seguenti: (,) E = E (,) e (,) E = 5E (,) E = 8E e così via. Se ci sono 5 elettroni, lo stato fondamentale del sistema complessivo si ottiene riempendo dal basso questi livelli di energia. Tenendo conto dello spin, un singolo orbitale può ospitare due elettroni, per cui si ha la seguente configurazione elettronica: risposta (a): Configurazione stato fondamentale (SF): (,) [(,)+(,)] 3 energia corrispondente è la somma delle energie di tutti gli elettroni, ossia: E SF = E + 3 5E = 9 E 8.5 ev Per la risposta (b), possiamo sfruttare il fatto che lo stato quantistico dell elettrone è scritto esplicitamente come combinazione lineare di stati stazionari. Perciò, in caso di misura dell energia, i risultati possibili sono proprio le energie degli stati stazionari coinvolti nella combinazione lineare e le probabilità sono date dai moduli quadri dei rispettivi coefficienti. Nel caso nostro gli stati coinvolti nella combinazione lineare sono tre, corrispondenti alle coppie di numeri quantici (,), (,) e (,). Il primo stato ha energia E = 3 ev e gli altri due 5E = 7.5 ev e questi due valori sono quindi gli unici possibili risultati di una misura di energia sull elettrone. e probabilità sono pari a c nm = / 3 = /3 per ciascuno stato (perché i = ), per cui la prima energia ha una probabilità di /3 33% e la seconda energia ha una probabilità complessiva di /3 67%. In sintesi: risposta b: energie possibili in caso di misura: E = E = 3 ev con probabilità P = /3 33% E = 5E = 7.5 ev con probabilità P = /3 67% Per determinare la posizione media in funzione del tempo è necessario scrivere innanzitutto la funzione d onda in funzione del tempo, che si ottiene da quella iniziale data nel testo inserendo gli esponenziali complessi exp( iet/ħ) a fattore di ciascun termine della combinazione lineare: ψ ( xyt,, ) = φ ( xye, ) + φ ( xye, ) + iφ ( xye, ) 3 i Et/ i5 Et/ i5 Et/ (7) Da questa troviamo la seguente distribuzione di probabilità in funzione del tempo per la posizione dell elettrone: ρ( xyt,, ) = ψ( xyt,, ) = ψψ = 3 φ( xy, ) + φ( xy, ) + φ( xy, ) + + φ ( xy, ) φ ( xy, )cos(3 Et/ ) + φ ( xy, ) φ ( xy, )sin(3 Et/ ) dove nello svolgere i calcoli abbiamo sfruttato il fatto che le autofunzioni φ (, ) nn x y sono reali. Con questa distribuzione di probabilità, andiamo adesso a calcolare il valore medio della coordinata x. Per risparmiare calcoli, sfruttiamo il fatto che il valore medio delle coordinate in ciascuna autofunzione φ (, ) nn x y è esattamente al centro della buca, ossia in /. Otteniamo quindi 3 cos(3 / ) sin(3 / ) x = + + + I Et + I Et dove gli integrali I e I sono i seguenti: ]
πx πx πy πx πx πy I = xsin sin sin dxdy xsin sin dx sin dy = = πx πx 6 = xsin sin dx = 9π πx πy πy πx πy πy I = xsin sin sin dxdy xsin dx sin sin dy = = π x = x dx φ y φ y = sin, Allo stesso modo calcoliamo il valore medio della coordinata y: 3 cos(3 / ) sin(3 / ) y = + + + I3 Et + I4 Et dove gli integrali sono ora I 3 = I = e I 4 = I, come si vede subito, ad esempio scambiando le variabili di integrazione x e y. Mettendo insieme questi risultati si trova la seguente legge oraria: risposta c: r 3 cos(3 Et / ) x 7π () t = = y 3 sin(3 Et / ) 7π che può essere agevolmente riconosciuta come la legge oraria di un moto circolare uniforme con verso antiorario, con un orbita centrata nel centro della buca (/, /) con raggio pari a r = 3/(7π ) =.6 Å. Il periodo di rotazione è T = h/(3e ) =.9 fs.