SPINTA DELLE TERRE E MURI DI SOSTEGNO Esercizi svolti

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale (www.dicea.unifi.it/geotecnica) SPINTA DELLE TERRE E MURI DI SOSTEGNO Esercizi svolti Corso di Geotecnica Ingegneria Edile, A.A. 00\0 Johann Facciorusso johannf@dicea.unifi.it http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

SPINTA ATTIVA E PASSIVA Spinta attiva e passiva Esercizio Si consideri una parete rigida verticale e liscia, di altezza H = 5 m, che sostiene un terrapieno, omogeneo e con piano di campagna orizzontale, costituito da sabbia con peso di volume saturo, γ sat, di 0 kn/m 3 e angolo di resistenza al taglio, ϕ, pari a 30. Il livello di falda èal piano di campagna e si assuma γ w = 0 kn/m 3. Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione: a) l andamento delle pressioni limite attive σ ha lungo il parametro interno della parete; b) la forza risultante S TOT che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza d S del punto di applicazione dalla base della parete. /80

Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Dati: Altezza della parete (H) = 5 m Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) = 0 Parete liscia angolo d attrito (δ) = 0 Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale (β) = 0 Sabbia (c ) = 0 kpa Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 30 Peso di volume saturo della sabbia (γ sat ) = 0 kn/m 3 Peso specifico dell acqua (γ w ) = 0 kn/m 3 Profondità della falda (z w ) = 0 m H 3/80

Svolgimento: Spinta attiva e passiva a) Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione l andamento delle pressioni limite attive σ ha lungo il parametro interno della parete; Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, secondo cui: z = 0 σʹ = K σʹ senφ' π φ' ha A vo con: K A = = tan + senφ' 4 In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: σ v0 K A = tan (45 30 /) = 0.33 Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci H verticali lungo il parametro interno della parete, individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza. σ v0 (0) = σ v (0) u(0)= 0 kpa σ v0 (H) = σ v (H) u(h) = γ sat H γ w H= (00 50) kpa = 50 kpa z σ v0 (H) dove la pressione interstiziale alla base del muro èstata calcolata nell ipotesi di assenza di filtrazione (pressione idrostatica) 4/80

Svolgimento: Spinta attiva e passiva Si calcolano le pressioni limite attive nei medesimi punti: σ ha (0) = K A σ v0 (0) = 0 kpa A z = 0 σ ha,u σ ha (H) = K A σ v0 (H) = 0.33 50 kpa = 6.7 kpa e si determina l andamento tra i punti considerati, che sarà sempre lineare. b) Si determini la forza risultante S TOT che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza z S del punto di applicazione dalla base della parete. H La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S TOT ) èla somma del contributo del terreno (spinta attiva, S A ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): C D S TOT = S A + S W z σ ha (H) u(h) dove la spinta attiva èl area della distribuzione delle pressioni limite attiva (triangolo AC): S A = ½ σ ha (H) H = ½ 6.7 kn/m 5m = 4.7 kn/m e la spinta idrostatica èl area della distribuzione delle pressioni interstiziali (triangolo AD): S W = ½ u(a) H = ½ 50 kn/m 5m = 5 kn/m 5/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale vale dunque: A z = 0 σ ha,u S TOT = S A + S W = (5 + 4.7)kN/m = 66.7 kn/m Le due spinte sono applicate in corrispondenza del baricentro delle relative distribuzioni, che per entrambe è situato a /3 dell altezza della parete dalla base del muro e quindi anche la loro risultante ha punto di applicazione a distanza dalla base del muro: d S = /3 H =.7 m H S A S W C D z σ ha (H) u(h) d S N.. Si osservi come la spinta dell acqua sia preponderante rispetto a quella del terreno 6/80

Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Esercizio Con riferimento alla situazione riportata in Figura ed assumendo γ w = 0 kn/m 3, si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno: la spinta totale agente a monte, S, e a valle della parete, S ; il momento risultante di tali spinte, M e M, e le distanze, d e d dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete. q = 0 kpa s H = m Sabbia: γ sat = 9 kn/m ϕ = 5 3 H = 4m Sabbia: γ sat = 0 kn/m ϕ = 30 3 7/80

Dati: Strato Profondità dello strato (H ) = m Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 5 Peso di volume saturo (γ sat ) = 9 kn/m 3 Spinta attiva e passiva Strato Profondità dello strato (H ) = 4 m Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 30 Peso di volume saturo (γ sat ) = 0 kn/m 3 Parete liscia angolo d attrito (δ) = 0 Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale (β) = 0 Sabbia (c ) = 0 kpa Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) = 0 Peso specifico dell acqua (γ w ) = 0 kn/m 3 Profondità della falda (z w ) = m Sovraccarico (q) = 0 kpa H q H 8/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: a) Si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno la spinta totale agente a monte, S, e a valle della parete, S ; Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sulla parete, a monte (strato e ), e la distribuzione delle pressioni limite passive agenti a valle (strato ): senφ' π φ' σʹ = K σʹ K A = = tan ha A vo con: + senφ' 4 σʹ = K σʹ + senφʹ π φʹ Valle Monte hp P vo con: K = = tan + P senφʹ 4 In particolare risulta: K A = tan (45 5 /) = 0.4 K A = tan (45 30 /) = 0.33 K P = tan (45 +30 /)= /K A = 3 OSS. La parete è progettata per sostenere le pareti laterali di uno scavo o un terrapieno e, considerati i possibili movimenti della parete (spostamenti o rotazioni verso valle) raggiungerà la condizione di equilibrio limite per spinta attiva a monte e passiva a valle H H 9/80 q

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali a monte della parete (prescindendo per il momento dal sovraccarico), individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (A, e C): σ v0 (A) = σ v (A) u(a)= 0 kpa σ v0 () = σ v () u()= γ sat H = 9 kpa= 38 kpa σ v0 (C) = σ v (C) u(c)= γ sat H + γ sat H γ w H = (9 + 0 4 0 4)kPa = 78 kpa dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata calcolata considerando che non vi è Valle filtrazione (pressione idrostatica). Quindi si calcolano le pressioni limite attive nei medesimi punti e si disegna il corrispondente andamento (lineare): σ ha (A) = K A σ v0 (A) = 0 kpa σ ha ( ) = K A σ v0 () = 0.4 38 kpa = 5.6 kpa σ ha ( + ) = K A σ v0 () = 0.33 38 kpa =.5 kpa σ ha (C) = K A σ v0 (C) = 0.33 78 kpa = 5.7 kpa H H Monte A σ ha z C 0/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La pressione limite attiva agente a monte della parete dovuta al sovraccarico è costante con la profondità in ciascuno strato e vale: σ ha,q = K A q = 0.4 0 = 8. kpa σ ha,q = K A q = 0.33 0 = 6.6 kpa Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali a valle della parete, individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (D e E): σ v (E) = σ v (E) u(e)= 0 kpa σ v (D) = σ v (D) u(d)=γ sat H γ w H = (0 4 0 4)kPa Valle = 40 kpa dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata calcolata considerando che non vi è filtrazione Monte A σ ha (pressione idrostatica). H Quindi si calcolano le pressioni limite passive nei medesimi punti e E σ si disegna il corrispondente hp andamento (lineare): σ hp (E) = K P σ v0 (E) = 0 kpa σ hp (D) = K P σ v0 (D) = 3 40 kpa = 0 kpa D z C H /80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno a monte sulla parete (S ) èla somma del contributo del terreno (spinta attiva, S A ), del sovraccarico (S q ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): S = S A + S q + S W dove la spinta attiva èl area della distribuzione delle pressioni limite attive: S A = A + A + A 3 A = ½σ ha ( ) H = ½ 5.6 = 5.6 kn/m A = σ ha ( + ) H =.5 4 = 50 kn/m A 3 = ½ [σ ha (C) σ ha ( + )] H = 6.4 kn/m S A = A + A + A 3 = 9 kn/m e la spinta attiva dovuta al sovraccarico vale: H A 4 σ ha, u S q = A 4 + A 5 A 4 = σ ha,q H = 8. = 6.4 kn/m E A F A 5 = σ ha,q H = 6.6 4 = 6.4 kn/m S q = A 4 + A 5 = 4.8 kn/m H A A 5 A 6 D C A 3 H /80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: e la spinta idrostatica èl area della distribuzione delle pressioni interstiziali: S W = A 6 = ½ u(c) H = ½ 40 4 = 80 kn/m La spinta totale vale dunque: S = S A + S q + S W = (9 + 4.8+ 80)kN/m = 4.8 kn/m La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno a valle sulla parete (S ) èla somma del contributo del terreno (spinta passiva, S P ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): S = S P + S W dove la spinta passiva è l area della distribuzione delle pressioni limite σ ha, passive: S P = A 7 = ½ σ hp (D) H = ½ 0 4 = 40 kn/m e la spinta idrostatica èl area della distribuzione delle A 4 A pressioni interstiziali: E F S σ W = A 8 = S W = 80 kn/m hp La spinta totale vale dunque: S = S P + S W = (40 + 80)kN/m = 30 kn/m A 8 S A 7 A D C A 3 H S A 5 A 6 u H H 3/80

Svolgimento: Spinta attiva e passiva b) Si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno, il momento risultante di tali spinte, M e M, e le distanze, d e d dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete. Si determinano i baricentri delle aree che compongono le spinte e quindi i bracci delle relative risultanti rispetto al piede della parete (D): d A = H + H /3 = 4+/3 = 4.67 m d A4 = H + H / = 4+/ = 5 m d A = d A5 = H / = 4/ = m d A3 = d A6 = d A7 = d A8 = H /3 = 4/3 =.33 m Il momento risultante delle azioni che agiscono a monte della parete è dunque: M σ ha, = A d A +A d A +A 3 d A3 +A 4 d A4 +A 5 d A5 +A 6 d A6 = = 5.6 4.67+50 +6.4.33 +6.4 5+6.4 +80.33 = 449. kn e a valle: A 4 A M = A 7 d A7 +A 8 d A8 = 40.33 + 80.33 = 45.6 kn E F e i punti di applicazione delle σ hp risultanti hanno distanza dal piede della parete: S A d = M /S = 449./4.8 =.09 m A 5 A 8 S A d 7 = M /S = 45.6/30 =.33 m d A Geotecnica 3 H d A 6 D C u H H 4/80

Esercizio 3 SPINTA ATTIVA E PASSIVA Spinta attiva e passiva Un muro a parametro interno verticale di altezza H = 6 m, sostiene uno strato di argilla con le seguenti caratteristiche geotecniche: γ = 9 kn/m 3, c u = 50 kpa, ϕ = 6 e c = 0 kpa. Il livello di falda è al piano di campagna. Si determini, nell ipotesi di assenza di attrito tra terreno e muro, il diagramma della spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, S b.t. e a lungo termine, S l.t. ( assumendo γ w = 0 kn/m 3 ). Dati: Altezza della parete (H) = 6 m Terrapieno orizzontale angolo d inclinazione rispetto all orizzontale (β) = 0 Parete liscia angolo d attrito (δ) = 0 Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) = 0 Coesione (c ) = 0 kpa Coesione non drenata (c u ) = 50 kpa Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 6 Peso di volume (γ) = 9 kn/m 3 Peso specifico dell acqua (γ w ) = 0 kn/m 3 H 5/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si determini, nell ipotesi di assenza di attrito tra terreno e muro, il diagramma della spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, S b.t. e a lungo termine, S l.t. ( assumendo γ w = 0 kn/m 3 ). Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, nel caso di terreno coesivo, secondo cui: a lungo termine: senφ' π φ' z = 0 σʹ = K σʹ cʹ K ha A vo A con: K A = = tan + senφ' 4 a breve termine: σ ha = σ vo c In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: K A = tan (45 6 /) = 0.39 u Si calcola la distribuzione delle tensioni totali verticali lungo il parametro interno della parete: σ v0 (0) = 0 kpa σ v0 (H) = γ H = (9 6) kpa = 4 kpa H z σ v0 (H) 6/80 σ v0

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola la distribuzione delle pressioni interstiziali lungo il parametro interno della parete: u(0) = 0 kpa u(h) = γ w H= (6 0) kpa = 60 kpa Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali lungo il parametro interno della parete: z = 0 σ v0, σ v0, u σ v0 (0) = σ v (0) u(0)= 0 kpa σ v0 (H) = σ v (H) u(h) = γ H γ w H= (4 60) kpa = 54 kpa dove la pressione interstiziale alla base del muro H è stata calcolata nell ipotesi di assenza di filtrazione (pressione idrostatica). z 7/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Si calcola l andamento le pressioni limite attive efficaci (a lungo termine): σ ha (0) = K A σ v0 (0) c K A = 0 0.39 =.5 kpa σ ha (H) = K A σ v0 (H) c K A = 0.39 54 0 0.39 = 8.6 kpa e la profondità critica in cui tali pressioni si annullano (O): A cʹ z = c = 0/(9 0.39) = 3.56 m γʹ K A La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S l.t. ) a lungo termine èla somma del contributo del terreno (spinta O attiva, S A ) e dell acqua (spinta idrostatica, S W ): z = 0 z c σ ha, u H S l.t. = S A + S W dove la spinta attiva èl area della distribuzione delle pressioni limite attiva, calcolata assumendo tali pressione nulle al di sopra della profondità critica (triangolo OC): z S A = ½ σ ha (H) (H z c ) = ½ 8.6 kn/m (6 3.56)m = 0.5 kn/m + C D σ ha (H) u(h) 8/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: e la spinta idrostatica èl area della distribuzione delle pressioni interstiziali (triangolo AD): S W = ½ u(a) H = ½ 60 kn/m 6m = 80 kn/m La spinta totale a lungo termine vale dunque: S l.t. = S A + S W = (0.5 + 80)kN/m = 90.5 kn/m OSS. In questo caso non si considera, data la posizione della falda, il contributo dell acqua di infiltrazione al di sopra della profondità critica. Si calcola l andamento le pressioni limite attive totali (a breve termine): σ ha (0) = σ v0 (0) c u = 50 = 00 kpa A z = 0 σ ha (H) = σ v0 (H) c u = 4 50 = 4 kpa e la profondità critica in cui tali pressioni si annullano (O): c u z = = 50/9 = 5.6 m c γ O z c S w S l.t. H σ ha z + S a C 9/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: La spinta totale (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S b.t. ) a breve termine è data dalla somma delle pressioni limite attive totali, calcolata assumendo tali pressione nulle al di sopra della profondità critica (triangolo OC):: S b.t. = S A = ½ σ ha (H) (H z c ) = ½ 4 kn/m (6 5.6)m = 5. kn/m OSS. In questo caso nel calcolo della spinta totale non si considera il contributo dell acqua di falda, né, data la posizione della falda, il contributo dell acqua di infiltrazione al di sopra della profondità critica. A z = 0 z c σ ha O H z + C σ ha (H) S b.t. 0/80

Spinta attiva e passiva SPINTA ATTIVA E PASSIVA Esercizio 4 Un muro in cemento armato di altezza H = 6 m, sostiene un terrapieno di sabbia asciutta, avente γ = 8 kn/m 3 e ϕ = 30. Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro: a) in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine); b) considerando un angolo di attrito terreno muro δ = ϕ nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac); c) ipotizzando anche che il piano di campagna sia inclinato, rispetto all orizzontale, di un angolo β = 30. Dati: Altezza della parete (H) = 6 m Sabbia (c ) = 0 kpa Peso di volume (γ) = 8 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 30 Profondità della falda (z w ) >> H Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) = 0 Angolo d attrito terreno parete (δ = ϕ ) = 30 Angolo d inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale (β) = 0 H δ S A /80 β

Svolgimento: senφ' π φ' σʹ = K σʹ ha A vo con: K A = = tan + senφ' 4 In particolare, all interno del deposito omogeneo, risulta: K A = tan (45 30 /) = 0.33 Spinta attiva e passiva a) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro: in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine) e terrapieno orizzontale Considerata l ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, secondo cui: Si calcola la distribuzione delle tensioni efficaci verticali lungo il parametro interno della parete: σ v0 (0) = σ v (0) = 0 kpa σ v0 (H) = σ v (H) = γ H = (8 6) kpa = 08 kpa H A z = 0 σ v0 z σ v0 (H) /80

Svolgimento: Spinta attiva e passiva Si calcola la distribuzione delle pressioni limite attive lungo il parametro interno della parete: σ ha (0) = K A σ v0 (0) = 0 kpa σ ha (H) = K A σ v0 (H) = 0.33 08 kpa = 35.6 kpa La spinta attiva (per unità di lunghezza della parete) esercitata dal terreno sulla parete (S A ) è data dall area della distribuzione delle pressioni limite attiva (triangolo AC): S A A(R) = ½ σ ha (H) H = ½ 35.6 kn/m 6m = 06.9 kn/m z = 0 σ ha e coincide con la spinta totale (non essendo presente la falda): S TOT = S A = 06.9 kn/m N.. La spinta, in questo caso, è orizzontale e applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro: H S A d A = /3 H = /3 6m = m d A z C 3/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: b) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro considerando un angolo di attrito terreno muro δ = ϕ nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale. Considerata l ipotesi di attrito tra muro e terreno, non può essere applicata la teoria di Rankine per il calcolo della spinta attiva agente sul parametro interno della parete. A seconda della forma ipotizzata per la superficie di rottura esistono differenti teorie che forniscono una soluzione in forma analitica o numerica (grafica o tabellare) per il calcolo del modulo della spinta attiva, ma che non consentono di determinare la distribuzione delle pressioni limite attive e quindi il punto di applicazione della spinta. In particolare, nell ipotesi di superficie di rottura piana, si può applicare la teoria di Coulomb che fornisce il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto: S A = γ H K A con: K A = cos λ cos ( λ + δ ) cos + ( φ' λ) sen( δ + φ' ) sen( φ' β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) 4/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: In questo caso (λ = 0 ; β = 0 ; δ = ϕ = 30 ) risulta: S K A A(C) cos ( φʹ λ) = = sen( δ + φʹ) sen( φʹ β) cos λ cos( λ + δ) + cos 0 cos( λ + δ) cos( λ β) cos ( 30) cos( 30) = = sen( 30) sen( 30) sen( 30) cos( 30) + + cos( 30) cos( 30) = γ H K A = ½ 8 6 0.37 = 9.9 kn/m N.. La spinta, in questo caso, è inclinata verso l alto dell angolo di attrito, ma non se ne conosce il punto di applicazione, che, si assume comunque ad una distanza dalla base del muro pari a /3 dell altezza del muro, come suggerito dalla teoria di Rankine: d A = /3 H = /3 6m = m OSS. La spinta calcolata col metodo di Coulomb nel caso δ = 0 coincide con quella di Rankine: S A(C) = S A(R) cos ( 0 + 30) = 0.37 H cos + ( 30 0) sen( 0 + 30) sen( 30 0) cos( 0 + 30) cos( 0 0) S A δ d A 5/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Nell ipotesi di superficie di rottura curvilinea, si può applicare la teoria di Navfac per superficie a spirale logaritmica, che fornisce per via numerica il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto: S = γ H K A A con K A fornito in forma grafica (β/ϕ = 0; δ = ϕ =30 ): K A = 0.3 S A(N) = γ H K = ½ 8 6 0.3 = 03.7 kn/m A β/ϕ = 0; δ = ϕ 6/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Se invece si applica la teoria di Caquot e Kerisel (β = 0; δ/ϕ = ; ϕ = 30 ), utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare : K A = 0.3 S = γ H A(CQ) K A = ½ 8 6 0.3 = 00.4 kn/m φ 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 δ 0,8 0,65 0,53 0,44 0,37 0,3 0,6 0, 0,9 0,6 =,6,66,0 3,04 4,6 6,56 0,7 8, 35,0 75,0 φ' δ 0,8 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3 =,4,59,06,7 3,6 5,5 8,00,8,0 4,0 φ' 3 δ 0,8 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,5 0,0 0,6 0,3 =,,5,89,38 3,03 4,0 5,55 8,0,0 9,0 φ' 3 δ 0,84 0,70 0,59 0,49 0,4 0,33 0,7 0, 0,7 0,3 = 0,9,4,70,04,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 φ' k a k p Valida per β = λ = 0 7/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: c) Calcolare la spinta attiva, S A, agente sul muro considerando un angolo di attrito terreno muro δ = ϕ, con il piano di campagna inclinato, rispetto all orizzontale, di un angolo β = 30, nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale. Nell ipotesi di superficie di rottura piana, secondo la teoria di Coulomb nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto. In questo caso (λ = 0 ; β = 30 ; δ = ϕ = 30 ) risulta: K S A = A(C) cos = λ cos = γ H ( λ + δ) cos ( 30) K cos + A + ( φʹ λ) sen( δ + φʹ) sen( φʹ β) cos( λ + δ) cos( λ β) cos ( 30) sen( 30) sen0 ( 30) cos( 30) cos = = cos cos( 30) 0 cos = ½ 8 6 0.87 = 8.9 kn/m ( 0 + 30) = 0.87 cos + ( 30 0) sen( 0 + 30) sen( 30 30) cos( 0 + 30) cos( 0 30) 8/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: N.. La spinta, in questo caso, è inclinata verso l alto dell angolo di attrito, ma non se ne conosce il punto di applicazione, che, si assume comunque ad una distanza dalla base del muro pari a /3 dell altezza del muro, come suggerito dalla teoria di Rankine: d A = /3 H = /3 6m = m β H δ S A d A 9/80

Svolgimento: Spinta attiva e passiva Nell ipotesi di superficie di rottura curvilinea, applicando la teoria di Navfac il modulo della spinta attiva, nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto, è pari a S A = γ H K con K A fornito in forma grafica (β/ϕ = ; δ = ϕ =30 ): K A = 0.9 S A(N) = γ H A K = ½ 8 6 0.9 = 98. kn/m A β/ϕ = ; δ = ϕ =30 30/80

Spinta attiva e passiva Svolgimento: Se invece si applica la teoria di Caquot e Kerisel (δ = ϕ = 30 ; λ = 0 ), utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare : K A = 0.87 S A(CQ) = γ H K A = ½ 8 6 0.87 = 8.9 kn/m β -30-8 0 +8 +30 K A 0,3 0,57 0,308 0,409 0,866 K P 0,84,85 6,56,8 6, Valida per λ = 0; δ = ϕ =30 3/80

Spinta attiva e passiva OSSERVAZIONI ) La presenza dell attrito tra terreno e muro (δ) determina, a parità delle altre condizioni, un incremento della spinta attiva in modulo poco significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb: S A(R) = 06.9 kn/m < S A(C) = 9.9 kn/m mentre comporta un inclinazione, verso l alto, della spinta attiva di un angolo pari all angolo di attrito (δ), per cui la componente instabilizzante della spinta (ovvero la componente orizzontale) di fatto si riduce : S A(C),H = 9.9 cos30 kn/m = 03.8 kn/m < S A(R),H = S A(R) = 06.9 kn/m e la componente stabilizzante della spinta (ovvero la componente verticale) aumenta : S A(C),V = 9.9 sen30 kn/m = 60 kn/m > S A(R),V = 0 kn/m L effetto complessivo dell attrito tra terreno e muro sulla stabilità del muro è quindi benefico. H S A(c),V S A(c),H S A(c) δ S A(R) d A 3/80

Spinta attiva e passiva ) L effetto dell inclinazione del terrapieno (β), a parità di inclinazione della spinta (e quindi delle condizioni di attrito) è quello di incrementare il modulo della spinta attiva in modo significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb: S A(C) = 9.9 kn/m < < S A(C),β = 8.9 kn/m con un conseguente aggravio delle condizioni di carico a sfavore della stabilita. 3) Il metodo utilizzato, a parità di H condizioni di attrito e di inclinazione del pendio (e quindi di inclinazione della spinta) influisce poco sensibilmente sul modulo della spinta attiva e quindi le soluzioni ottenute possono ritenersi tutte utili ai fini del calcolo della stabilità del muro. Ad esempio nel caso di pendio: S A(C),β = 8.9 kn/m S A(CQ),β < S Α(Ν),β = 98. kn/m d A S A(c),β δ S A(c) β 33/80

VERIFICHE DI STAILITÀ 5 m Esercizio 5 (Esame del 6/04/007) Viene realizzato un muro di sostegno a gravità in c.a.(γ m = 5 kn/m 3 ), della forma e delle dimensioni riportate in Figura, per sostenere un terrapieno omogeneo costituito prevalentemente da sabbia (γ = 9.5 kn/m 3, ϕʹ = 38 ) e con piano di campagna inclinato di un angolo β = 5. Si consideri la presenza dellʹattrito tra terreno e muro (δ = 5 ) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche del terrapieno e che la falda sia a grande distanza dal piano di campagna. Si determini: a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; c)si verifichi la stabilità della fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno)..6 m.7 m α 5 34/80

VERIFICHE DI STAILITÀ Dati: Caratteristiche del muro Altezza del muro (H) = 5 m Larghezza del muro al piede () =.7 m Larghezza del muro al tetto (b) =.6 m H Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) Angolo d attrito terreno parete (δ) = 0 Peso specifico del c.a. (γ m ) = 5 kn/m 3 b β S λ A δ λ Caratteristiche del terrapieno Terreno omogeneo, sabbia (c ) = 0 kpa Peso di volume (γ) = 9.5 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 38 Inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale (β) = 5 Profondità della falda (z w ) >> H 35/80

Svolgimento: a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; Sul muro di sostegno agiscono (per unità di lunghezza del muro): y b il peso del muro: W = γ m (A + A ) A = b H =.6m 5m = 8 m A = ( b) H/ = (.7.6)m 5m/ =.75 m W = γ m (A + A ) = 5kN/m 3 (8+.75)m = 68.75 kn/m b/ ( b)/3 che agisce in direzione verticale ed il braccio rispetto al H A piede esterno del muro O è: x M = [(A x A )+(A x A )]/(A +A ) H/ dove : H/3 x A = b/ =.6/ m = 0.8 m O x x A = b + ( b)/3 = [.6 + (.7.6)/3] m =.97 m x M = [(A x A )+(A x A )/(A +A )] = [(8 0.8)+(.75.97)]m 3 /(8+.75)m =. m N..: Il baricentro di un rettangolo si trova a distanza da ciascun lato pari alla lunghezza del lato adiacente, mentre il baricentro di un triangolo rettangolo si trova a distanza dai lati che formano l angolo retto pari a /3 della lunghezza del lato adiacente A 36/80

Svolgimento: la spinta attiva (calcolata secondo la teoria di Coulomb): y b S A = /γ K A H con : K A = cos λ cos ( λ + δ) cos + ( φʹ λ) sen( δ + φʹ) sen( φʹ β) cos( λ + δ) cos( λ β) In questo caso risulta: β = 5 ; δ = 0 ; ϕ = 38 e λ = arctg( b)/h =.4. H x M W λ S A δ λ Quindi: K A = cos =.4 cos cos (.4 + 5) cos + (.4) cos( 37.4) cos ( 38.4) sen( 5 + 38) sen( 38 5) cos(.4 + 5) cos(.4 5) + ( 5.6) sen cos ( 63) sen(3) ( 37.4) cos(.6) = 0.38 O x S A = /γ K A H = ½ 9.5 5 0.38 kn/m = 9.6 kn/m 37/80

Svolgimento: La spinta è inclinata di δ rispetto alla normale alla parete e quindi di δ+λ rispetto all orizzontale e si suppone applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro pari a /3 dell altezza, ovvero nel punto di coordinate: y S = H/3 = 5/3 m =.67 m x S = H/3 tgλ = (.7 5/3 tg.4 ) m =.33 m Quindi può essere scomposta in una componente orizzontale: y S AH = S A cos(δ+λ) = 9.6 kn/m cos(0+.4) = 78. kn/m con braccio rispetto a O: y S =.67 m ed in una componente verticale: S AV = S A sen(δ+λ) = 95. kn/m sen(0+.4) = 5 kn/m con braccio rispetto a O: x S =.33 m H W b x M λ S A δ S AH S AV λ y S O x S x 38/80

Svolgimento: la forza di attrito agente alla base del muro: T = R V tgδ b dove R V èla risultante di tutte le componenti verticali delle forze agenti sul muro, ovvero: R V = W + S AV = (68.75 + 5) kn/m = 39.75 kn/m e δ b èl angolo d attrito tra terreno e base del muro ed in genere si assume: δ y b = δ = 0 b Quindi: T = R V tgδ b = 39.75 kn/m tg 0 = 6.4 kn/m N..: Nel caso in cui il terreno di fondazione sia diverso da quello costituente il terrapieno allora δ b δ e nel caso in cui sia terreno coesivo, allora deve essere considerato anche il contributo dell adesione (c A ) e la forza corrispondente, che agisce nella stessa direzione e verso di T, e che ad essa si somma: c A H O x M W x S λ S A δ S AH T S AV λ y S x 39/80

Svolgimento: Ai fini della traslazione orizzontale del muro verso valle, la risultante delle forze che determinano lo slittamento (orizzontale) è: H SL = S AH = 78. kn/m e la risultante orizzontale delle forze resistenti è: H ST = T = 6.4 kn/m Se si esegue la verifica in base al D.M..03.988 (verifica allo slittamento lungo la base): FS = H ST /H INST = 6.4/78. =.49 >.3 (SODDISFATTA) b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; Ai fini della rotazione (antioraria) del muro rispetto al piede esterno (O), il momento risultante delle forze instabilizzanti è: M RI, = S AH y S = 78. kn/m.67 m = 30.6 kn oppure: M RI, = S AH y S S AV x S = 78. kn/m.67 m 5kN/m.33 m =.8 kn 40/80

Svolgimento: e il momento risultante delle forze stabilizzanti vale: M ST, = W x M + S AV x S = 68.75 kn/m. m + 5kN/m.33 m = 44.5kN oppure: M ST, = W x M = 68.75kN/m. m = 95.6 kn Se si esegue la verifica in base al D.M..03.988 (verifica ribaltamento): y b FS = M ST, /M RI, = 95.6/.8 = 5 >.5 (SODDISFATTA) c) Si verifichi la stabilità della fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno). Ai fini della verifica della capacità portante della fondazione si ipotizza che il terrapieno sia allo stesso livello da entrambi i lati della fondazione (per applicare le formule note) e, per porsi nella condizione più cautelativa, si considera il livello più basso. H O x M W x S λ S A δ S AH T S AV λ y S x 4/80

Svolgimento: Nel caso specifico significa che la profondità del piano di posa vale: D = 0 Inoltre si suppone la fondazione nastriforme di larghezza e il carico trasmesso al terreno sottostante in condizioni di esercizio è dato dalla risultante della spinta attiva e del peso, quindi ha componente orizzontale e verticale rispettivamente: R V = W + S AV = 39.75 kn/m x R e R H = S AH = 78. kn/m con angolo di inclinazione: ψ = arctg(r H /R V )= arctg(78./39.75) = 3.7 O σ max ψ R H R V R V x ed è applicata nel punto di ascissa (rispetto al piede esterno O): x R = M TOT /R V = (M ST M RI )/R V = (95.6.8) kn/39.75kn/m = 0.89 m e l eccentricità rispetto all asse della fondazione vale: e = / x R = (.7/ 0.89)m = 0.46 m /6 CASO LIMITE (sezione interamente reagente) R R σ = V 6e σ = V 6e 0 max + = 39.5 kpa min 4/80

Svolgimento: Il carico limite è dato da (Vesic, 975): q = c N s d i b g + q N s d i lim Essendo: c c il terreno incoerente (c = 0): c c la profondità del piano di posa, D = 0 q = 0 d c, d q, d γ = la fondazione nastriforme s c, s q, s γ = c c q q q q b il terrapieno e la fondazione orizzontali: b c, b q, b γ = g c, g q, g γ = l espressione del carico limite diventa: = q γ ʹ N i lim γ γ q g q + γ ' N γ s γ d γ i γ b γ g γ 43/80

Svolgimento: dove: i fattori di capacità portante valgono: N q = e π tgφ tg φ (45 + ) ( ) φ Nγ = Nq tg = (48.9 ) tg38 = 74.8 la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale: = e =.7 0.46 =.78 m = e πtg38 tg (45 +38 /) = 48.9 il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato con H/V = 78./39.75 = 0.4): + m L = + L L + m L = L + m+ i γ = H m = m L cos ϑ + m sen ϑ V dove θ èl angolo d inclinazione della proiezione del carico rispetto alla lunghezza della fondazione, ovvero θ = 90, quindi: m = m = (per L = + ) i γ =( 0.4) 3 = 0.44 il peso di volume del terreno di fondazione γ = 9.5 kn/m 3 (essendo il terreno asciutto) 44/80

Svolgimento: Il carico limite vale dunque: = q γ ʹ N i lim γ γ = ½ 9.5 kn/m 3.78m 74.8 0.44 = 57. kpa Se si esegue la verifica in base al D.M..03.988 (verifica di capacità portante): FS = qlim /R V = 57..78/39.75 = 3. > (SODDISFATTA) N.. Nel caso in cui sia prevista anche una verifica strutturale dell opera, dovranno essere considerate, oltre alle azioni trasmesse dal terrapieno lungo la parete, anche la distribuzione delle pressioni di contatto agenti alla base. Inoltre, nel caso in cui il terreno di fondazione sia di tipo coesivo la verifica della capacità portante dovrà essere condotta anche a breve termine e nel caso in cui anche il terreno sostenuto sia di tipo coesivo, le verifiche dovranno essere condotte anche a breve termine, considerando il contributo della spinta attiva calcolata in termini di tensioni totali. 45/80

Esercizio 6 VERIFICHE DI STAILITÀ Si consideri il muro di sostegno a mensola in c.a. riportato in Figura, che sostiene un terreno costituito da sabbia ghiaiosa incoerente di densità medio alta con angolo di pendio β = 0. Il terreno antistante il muro e quello di b =0,5m q k = 0 kpa fondazione hanno le stesse caratteristiche del terreno sostenuto. La superficie di β = 0 intradosso della soletta di fondazione del muro è gettata in opera a contatto con il terreno. Il livello di falda èmolto al di sotto φʹk = 3 h=6 m della zona di influenza del muro. Si effettui H la verifica geotecnica secondo le normativa italiana previgente (D.M. /03/988) e secondo le nuove Norme Tecniche per le b b 3 b Costruzioni (NTC 08). h =h =0,8 m γ k = 0 kn/m 3 0,95 0,7 3,5 46/80

Dati: Caratteristiche del muro Altezza del paramento del muro (h) = 6 m Profondità del piano di posa (h ) = 0.8 m Spessore della soletta di fondazione (h ) = 0.8 m Spessore del paramento alla sommità (b ) = 0.5 m h=6 m Spessore del paramento alla sommità (b 3 ) = 0.7 m Lunghezza della scarpa posteriore (b ) = 0.95 m Lunghezza della scarpa anteriore (b) = 3.5 m Peso specifico del c.a. (γ m ) = 4 kn/m 3 b =0,5m b b 3 b Caratteristiche del terrapieno h =h =0,8 m Terreno omogeneo, sabbia (c ) = 0 kpa Peso di volume (γ k ) = 0 kn/m 3 0,95 0,7 Angolo di resistenza al taglio (ϕ k ) = 3 Angolo d attrito terreno parete (δ k = ϕ k ) = 3 Profondità della falda (z w ) >> H Sovraccarico (q k ) = 0 kpa Inclinazione del terrapieno rispetto all orizzontale (β) = 0 q k = 0 kpa β = 0 3,5 H φʹk = 3 γ k = 0 kn/m 3 47/80

Svolgimento: Nel calcolo delle forze che agiscono sul muro per le verifiche di stabilità, si considera : il terreno che grava sulla soletta di fondazione come parte integrante del muro (e quindi contribuisce al suo peso); la superficie verticale che delimita tale terreno come una parete virtuale su cui agisce la spinta attiva (a monte) e la spinta passiva (a valle), purché l ipotetico cuneo di rottura sia compreso entro tale volume di terreno. La larghezza del muro è: = b + b 3 + b = (0.95 + 0.7 + 3.5)m = 5.5 m La profondità del piano di posa: D = h = h = 0.8 m L altezza della parete virtuale vale: H = h + h + b tgβ = (0.8 + 6 + 3.5 tg0 ) m = 8.07 m 48/80

Verifiche secondo la precedente normativa (D.M. marzo 988) Le forze che agiscono sul muro sono: il peso del muro (comprendente il terreno che grava sulla soletta a monte) che agisce in direzione verticale: W = γ m (A + A +A 3 + A 4 ) + γ k (A 5 + A 6 ) A = (b + b 3 ) h = (0.95 + 0.7)m 0.8m =.3 m A = b h = 3.5m 0.8m =.8 m A 3 = (b 3 b ) h/ = (0.7 0.5)m 6m/ = 0.6 m A 4 = b h = 0.5m 6m = 3 m b =0,5m b A 5 = b h= 3.5m 6m = m h=6 hm A 6 = b (btgβ)/= 3.5m 3.5m tg0 / =.3 m dove ciascun contributo agisce in direzione 3 verticale e il relativo bracco rispetto al piede O vale: h =h D =0,8 = hm x = (b + b 3 )/ = (0.95 + 0.7)/ m = 0.85 m x O = x 5 = b + b 3 + b/ = (0.95 + 0.7 + 3.5/) m = 3.4 m x 3 = b + /3(b 3 b ) = 0.95 + /3 (0.7 0.5) m =.08 m x 4 = b +(b 3 b ) + b / = (0.95 + 0.7 0.5 + 0.5/) m =.4 m x 6 = b +b 3 + /3b = (0.95 + 0.7 +/3 3.5) m = 3.98 m 4 b b 3 b q k = 0 kpa q k 6 β = 0 5 H 7 8 x 49/80

il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono dati dalla somma dei singoli contributi: W = γ m A = 4kN/m 3.3m = 3.68 kn/m W = γ m A = 4kN/m 3.8m = 67.0 kn/m W 3 = γ m A 3 = 4kN/m 3 0.6m = 4.40 kn/m W 4 = γ m A 4 = 4kN/m 3 3m = 7.00 kn/m W 5 = γ k A 5 = 0kN/m 3 m = 40.00 kn/m W 6 = γ k A 6 = 0kN/m 3.3m = 44.60 kn/m W = 6 i= W i = 649.88 kn/m M = W x = 3.68kN/m 0.85m = 6.4 kn M = W x = 67.kN/m 3.4m = 8.48 kn M 3 = W 3 x 3 = 4.4kN/m.08m = 5.55 kn M 4 = W 4 x 4 = 7kN/m.4m = 00.80 kn M 5 = W 5 x 5 = 40kN/m 3.4m = 48.00 kn M 6 = W 6 x 6 = 44.6kN/m 3.98m = 77.5 kn M w M i = 6 i= = 976.48 kn la spinta attiva (esercitata dal terrapieno a monte), che agisce sulla parete virtuale (verticale e senza attrito), calcolata con il metodo di Rankine nel caso di terrapieno inclinato ed inclinata quindi di β rispetto all orizzontale: Terrapieno omogeneo: γ k = 0 kn/m 3 K A cosβ = cosβ + cos 0 = cos 0 + cosβ cosβ cos 0 cos 0 cos ϕʹ cos ϕʹ cos 3 cos 3 k k = = 0.398 50/80

Il modulo della spinta attiva è dato dalla somma del contributo dovuto al peso proprio del terreno e del sovraccarico (nell ipotesi che esso si propaghi all interno del terreno in modo uniforme come nel caso di terrapieno orizzontale): S Aγ = A 8 = σ ha (H) H/ = K A σ v0 (H) H/ = K A γ k cosβ H H/ = 0.398 0 kn/m 3 cos0 8.07 m / = 43.57 kn/m applicato lungo la parete virtuale ad H/3 dalla base del muro. S = 0.398 0 kn/m Aq = A 7 = Δσ ha H = k A q H 8.07m = 3. kn/m applicata lungo la parete virtuale ad H/ dalla base del muro. Le cui componenti orizzontali e verticali e i relativi bracci valgono: S aγ,h = S Aγ cosβ = 43.57 cos0 kn/m = 8.88 kn/m y Aγ = H/3 = 8.07/3 m =.69 m S aγ,v = S Aγ senβ = 43.57 sen0 kn/m = 83.3 kn/m h=6 hm x Aγ = b + b 3 +b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.5 m S Aq,H = S Aq cosβ = 3. cos0 kn/m = 30.8 kn/m y Aq = H/ = 8.07/ m = 4.035 m S Aq,V = S Aq senβ = 3. sen0 kn/m = 0.99 kn/m h =h D =0,8 = hm x Aq = x A = 5.5 m O b =0,5m b b b 3 b 3 4 q k = 0 kpa q k 6 β = 0 5 H S Aq 7 β S Aqv S Aqh S A β S Av S 8 Ah 5/80

La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a O valgono (assumendo positivo il momento che determina una rotazione antioraria): S V = S Aγ.V + S Aq,V = (83.3 + 0.99)kN/m = 94.30 kn/m M AV = (S aγ,v x Aγ + S Aq,V x Aq ) = (83.3 + 0.99)kN/m 5.5 m = 485.645 kn S H = S aγ,h + S Aq,H = (8.88 + 30.8)kN/m = 59.06 kn/m M AH = S aγ,h y Aγ + S Aq,H y Aq = (8.88.69+30.8 4.035)kN = 737.46 kn la spinta passiva (esercitata dal terrapieno a valle), che agisce sulla parete virtuale (verticale e senza attrito), può essere calcolata con il metodo di Rankine nel caso di terrapieno orizzontale ed è orizzontale ed applicata ad una distanza dal piede pari a D/3: (K P = tan (45 +3 /) = 3.55) S P = S PH = σ hp (D) D/ = k P σ v0 (D) D/ = k P γ k D D/ = = 3.55 0 kn/m 3 0.8 m / = 0.83 kn/m con braccio: y P = D/ = 0.8/ m = 0.4 m Cautelativamente la spinta passiva viene trascurata. 5/80

la resistenza d attrito che si sviluppa lungo la base del muro (orizzontale): (coefficiente d attrito: tgδ k = tan(3 ) = 0.65) T = R V tgδ k = (S V + W) tgδ k = (94.30 + 649.88)kN/m tg3 = 465.0 kn/m VERIFICA AL RIALTAMENTO FS = M ST /M RI >.5 Nel calcolo del momento stabilizzante e ribaltante rispetto al piede esterno del muro (O), si considera il peso tra le forze stabilizzanti e la spinta attiva tra quelle ribaltanti (la resistenza d attrito ha momento nullo rispetto al piede O) M ST = M W = 976.48 kn M RI = M AH +M AV = (737.46 485.645) kn = 5.85 kn P p O a W F P a h FS = M ST /M RI = 976.48/5.85 = 7.75 >.5 (SODDISFATTA) N Origine e struttura dei terreni Fondamenti di Geotecnica Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 009/00 53 53/80

VERIFICA ALLA TRASLAZIONE DEL PIANO DI POSA FS = H RES /H SL >.3 La forza resistente agenti nella direzione di slittamento W a del muro (orizzontale), è: H RES = T = 465.0 kn/m La forza che determina lo slittamento del muro (in direzione h orizzontale), è: P p H SL = S H = 59.06 kn/m O F FS = H RES /H SL = 465.06/59.06 =.80 >.3 VERIFICA AL CARICO LIMITE DELL INSIEME FONDAZIONE TERRENO Ai fini della verifica della capacità portante della fondazione si ipotizza che la fondazioni sia nastriforme, di larghezza: = 5.5 m Il terreno latistante la fondazione si assume dello stesso tipo del terreno di fondazione ed allo stesso livello ad entrambi i lati della fondazione (per applicare le formule note) e, per porsi nella condizione più cautelativa, si considera il livello più basso (quello a valle): D = 0.8 m P a 54/80

Inoltre il carico trasmesso al terreno sottostante in condizioni di esercizio (Q es ) è dato dalla risultante della spinta attiva e del peso (del muro e del terreno sovrastante la soletta), quindi è inclinato ed ha componente orizzontale e verticale, che, a seconda che si includa (approccio ) o meno (approccio ) anche il contributo del sovraccarico agente sulla parte del terrapieno compreso tra la parete reale e quella virtuale (q b = 0 kn/m 3.5m = 35 kpa), valgono rispettivamente: q k = 0 kpa q R k V() = W + S V + q b = (649.88 + 94.30 + 35) kn/m = 779.8 kn/m b =0,5m b R V() = W + S V = (649.88 + 94.30 ) kn/m = 744.8 kn/m R H = S H = 59.06 kn/m con angolo di inclinazione: Ψ () = arctg(r H /R V() )= arctg(59.06/779.8) = 8.4 Ψ () = arctg(r H /R V() )= arctg(59.06/744.8) = 9. h=6 hm ed è applicata nel punto di ascissa (rispetto al piede esterno O): x R() = M TOT() /R V() = [M ST + q b (b + b 3 + b/) M RI ]/R V() = [976.48 + 35 (0.95+0.7+3.5/) 5.85] kn/(779.8kn/m) =.36 m h =h D =0,8 = hm x O R() = M TOT() /R V() = [M ST M RI ]/R V() = [976.48 5.85] kn/(744.8kn/m) =.3 m b b 3 b 3 4 6 β = 0 5 H 7 55/80 8 x

e l eccentricità rispetto all asse della fondazione vale: e () = / x R() = (5.5/.36)m = 0.5 m < /6 = 0.858 m e () = / x R() = (5.5/.3)m = 0.55 m < /6 = 0.858 m (sezione interamente reagente) Il carico limite è dato da (Vesic, 975): q = c N s d i b g + q N s d i b g + γ ʹ N γ s γ dγ i γ bγ g lim c c c c c c q q q q q q Essendo: il terreno incoerente (c = 0): la profondità del piano di posa, D = 0.8 m (e z w >>D) q = γ k D = 0 kn/m 3 0.8 m = 6 kpa d c, d q, d γ = (cautelativamente) la fondazione nastriforme s c, s q, s γ = il terrapieno e la fondazione orizzontali: b c, b q, b γ = g c, g q, g γ = O σ max x R e ψ R H R V R V γ x σ min 56/80

L espressione del carico limite diventa: dove: i fattori di capacità portante valgono: N q = e π tgφ tg φ (45 + ) ( ) φ = e πtg3 tg (45 +3 /) = 3.5 = q Nq iq + γ ʹ N γ i Nγ = Nq tg = (3.5 ) tg3 = 7.68 la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale: () = e () = 5.5 0.5 = 4.7 m () = e () = 5.5 0.55 = 4.64 m il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato con H/V () = R H /R V() = 59.06/779.8 = 0.33; H/V () = R H /R V() = 59.06/744.8 = 0.348) + m L = + L L + m L = L + m+ i γ = H m = m L cos ϑ + m sen ϑ V dove θ èl angolo d inclinazione della proiezione del carico rispetto alla lunghezza della fondazione, ovvero θ = 90, quindi: I γ() = ( 0.348) 3 = 0.97 I q() = ( 0.348) = 0.445 m = m = (per L = + ) I γ() = ( 0.348) 3 = 0.77 I q() = ( 0.348) = 0.45 il peso di volume del terreno di fondazione γ = 0kN/m 3 (essendo il terreno asciutto) q lim γ 57/80

Svolgimento: Il carico limite vale dunque: q = q N i + γ ʹ N γ i lim q q γ q lim() = 6 kn/m 3.5 0.445 + ½ 0 kn/m 3 4.7m 7.68 0.97 = 55.86 kpa q lim() = 6 kn/m 3.5 0.45 + ½ 0 kn/m 3 4.64m 7.68 0.77 = 53.9 kpa Il carico di esercizio è: q es() = R V / q es() = (779.8kN/m)/(4.7m) = 65.08 kpa q es() = (744.8kN/m)/(4.64m) = 60.38 kpa Il fattore di sicurezza vale: FS = (q lim q)/(q es q) FS () = (55.86 6)/(65.08 6) = 3.60 > (SODDISFATTA) FS () = (53.9 6)/(60.38 6) = 3.44 > (SODDISFATTA) Non si esegue la verifica strutturale e la verifica di stabilità globale. N.. L approccio prevede un carico più inclinato ed una maggiore eccentricità ed è dunque più cautelativo. 58/80

Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 4 gennaio 008). VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI RIALTAMENTO Lo stato limite di ribaltamento non prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione (R d = 0), e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU). per le azioni di progetto si utilizzano i coefficienti parziali γ G sulle azioni (EQU) della Tabella.6.I per i parametri geotecnici di progetto del terreno si utilizzano i coefficienti parziali γ M (M) della Tabella 6..II. La verifica diventa: E d 0 Tutte le azioni agenti sul muro di sostegno possono essere ricondotte a una forza risultante applicata al piano di posa. 59/80

Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 4 gennaio 008) I coefficienti parziali γ M da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono: PARAMETRO Tangente dell angolo di resistenza al taglio Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M ) ( M ) tan φ k γ φ.0.5 Coesione efficace c k γ c.0.5 Resistenza non drenata c uk γ cu.0.4 Peso dell unità di volume γ γ γ.0.0 tg ϕ d = tgϕ k /γ ϕ = tg 3 /.5 = 0.500 ϕ d = arctg(tgϕ k /γ ϕ ) = 6.6 γ d = γ k /γ γ = 0/ kn/m 3 = γ k = 0 kn/m 3 cosβ cosβ cos ϕʹ k cos 0 cos 0 cos 6.6 K = = = 0.530 Ad cosβ + cosβ cos ϕʹ cos 0 + cos 0 cos 6.6 k 60/80

Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 4 gennaio 008) Nel caso delle opere di sostegno si considerano azioni quelle dovute al peso proprio del terreno e del materiale di riempimento, ai sovraccarichi, all acqua, ad eventuali ancoraggi presollecitati, al moto ondoso, ad urti e collisioni, alle variazioni di temperatura e al ghiaccio. Il terreno e l acqua costituiscono carichi permanenti (strutturali) quando, nella modellazione utilizzata, contribuiscono al comportamento dell opera con le loro caratteristiche di peso, resistenza e rigidezza. Il sovraccarico si considera come carico variabile. Tabella 6..I (.6.I) Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni CARICHI EFFETTO Coefficiente Parziale γ F (o γ E ) EQU ( A ) STR ( A ) GEO Favorevole 0,9,0,0 Permanenti γ G Sfavorevole,,3,0 Favorevole 0,0 0,0 0,0 Permanenti non strutturali γ G Sfavorevole,5,5,3 Favorevole 0,0 0,0 0,0 Variabili γ Qi Sfavorevole,5,5,3 6/80

Ai fini della verifica la spinta del terreno dovuta al peso proprio e al sovraccarico rappresentano carichi rispettivamente permanenti strutturali e variabili con effetto sfavorevole, mentre il peso proprio del muro e del terrapieno che grava su di esso rappresentano carichi permanenti strutturali con effetto favorevole: S Aγ(d) = γ G A 8 = γ G σ ha (H) H/ = γ G K Ad σ v0 (H) H/ = γ G K Ad γ d cosβ H H/ =. 0.53 0 kn/m 3 cos0 8.07 m / = 356.79 kn/m S =.5 0.53 0 kn/m Aq(d) = γ Qi A 7 = γ Qi Δσ ha H = γ Qi k A q H 8.07m = 64.6 kn/m Le cui componenti orizzontali e verticali e i q k = 0 kpa q k relativi bracci valgono: b =0,5m b S aγ(d),h = S aγ(d) cosβ = 356.79 cos0 kn/m = 335.7 kn/m 6 y Aγ = H/3 = 8.07/3 m =.69 m β = 0 S aγ(d),v = S aγ(d) senβ = 356.79 sen0 kn/m =.0 kn/m x Aγ = b + b 3 +b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.5 m y Aq = H/ = 8.07/ m = 4.035 m S Aq(d),V = S Aq(d) senβ = 64.6 sen0 kn/m = =.94 kn/m D = h x Aq = x A = 5.5 m h =h =0,8 m h h=6 m S Aq(d),H = S Aq(d) cosβ = 64.6 cos0 kn/m = 60.9 kn/m O b b 3 b 3 4 5 H S Aq 7 β S Aqv S Aqh S A β S S Av 8 Ah 6/80

La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a O valgono (assumendo positivo il momento che determina una rotazione antioraria): S V(d) = S aγ(d).v + S Aq(d),V = (.0 x +.94)kN/m = 43.96 kn/m M AV(d) = (S aγ(d),v x Aγ + S Aq(d),V x Aq ) = (.0 +.94)kN/m 5.5 m = 74.39 kn S H(d) = S aγ(d),h + S Aq(d),H = (335.7 + 60.9)kN/m = 395.56 kn/m M AH(d) = S aγ(d),h y Aγ + S Aq(d),H y Aq = (335.7.69+60.9 4.035)kN = 45.5 kn La spinta passiva (esercitata dal terrapieno a valle), che agisce sulla parete virtuale (verticale e senza attrito), viene trascurata. 63/80

Il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono (sempre assumendo positivo il momento che produce una rotazione antioraria): W d = γ G γ m A = 0.9 4kN/m 3.3m = 8.5 kn/m;m d = W d x = 8.5 kn/m 0.85m = 3.5 kn W d = γ G γ m A = 0.9 4kN/m 3.8m = 60.48 kn/m; M d = W d x = 60.48kN/m 3.4m = 05.63 kn W 3d = γ G γ m A 3 = 0.9 4kN/m 3 0.6m =.96 kn/m; M 3d = W 3d x 3 =.96kN/m.08m = 4.00 kn W 4d = γ G γ m A 4 = 0.9 4kN/m 3 3m = 64.80 kn/m; M 4d = W 4d x 4 = 64.8kN/m.4m = 90.7 kn W 5d = γ G γ m A 5 = 0.9 0kN/m 3 m = 378.00 kn/m; M 5d = W 5d x 5 = 378kN/m 3.4m = 85.0 kn W 6d = γ G γ m A 6 = 0.9 0kN/m 3.3m = 40.4 kn/m; M 6d = W 6d x 6 = 40.4kN/m 3.98m = 59.76 kn D = h h =h =0,8 m h h=6 m O b =0,5m b b b 3 b 3 4 q k = 0 kpa q k 6 β = 0 5 H W (d) W i 7 = 6 i= 8 x = 584.89 kn/m La verifica diventa: M w M = 6 (d) i= E d = M AH(d) + M AV(d) + M W(d) R d = 0 ovvero: i(d) = 778.83 kn E d = (45.5 74.39 778.83)kN = 375.07 kn 0 VERIFICA SODDISFATTA 64/80

Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 4 gennaio 008). VERIFICA ALLO STATO LIMITE PER SCORRIMENTO SUL PIANO DI POSA Lo stato limite di scorrimento prevede la mobilitazione della resistenza del terreno di fondazione lungo il piano di posa (R d > 0), e deve essere trattato come uno stato limite di tipo geotecnico (GEO). per le azioni di progetto si utilizzano i coefficienti parziali γ G sulle azioni (A e/o A) della Tabella.6.I per i parametri geotecnici di progetto del terreno si utilizzano i coefficienti parziali γ M (M e/o M) della Tabella 6..II. per la resistenza di progetto il coefficiente parziale γ R da adottare è fornito dalla Tabella 6.5.I: La verifica diventa: E d R d 65/80

Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 4 gennaio 008) I coefficienti parziali γ M da adottare per determinare i parametri geotecnici di progetto del terreno sono: PARAMETRO Tangente dell angolo di resistenza al taglio Tabella 6..II Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE ( M ) ( M ) tan φ k γ φ.0.5 Coesione efficace c k γ c.0.5 Resistenza non drenata c uk γ cu.0.4 Peso dell unità di volume γ γ γ.0.0 tg ϕ d = tgϕ k /γ ϕ = tg 3 /.00 = 0.65 γ d = γ d = γ d = γ k /γ γ = 0/ kn/m 3 = γ k = 0 kn/m 3 ϕ d = arctg(tgϕ k /γ ϕ ) = 3 ;K Ad = 0.398 tg ϕ d = tgϕ k /γ ϕ = tg 3 /.5 = 0.500 ϕ d = arctg(tgϕ k /γ ϕ ) = 6.6 ;K Ad = 0.530 tg δ d = tgδ k /γ ϕ = tg 3 /.00 = 0.65 δ d = arctg(tgϕ k /γ ϕ ) = 3 tg δ d = tgδ k /γ ϕ = tg 3 /.5 = 0.500 δ d = arctg(tgδ k /γ ϕ ) = 6.6 66/80

Nello stato limite ultimo di collasso per scorrimento, l azione di progetto è data dalla componente della risultante delle forze in direzione parallela al piano di scorrimento della fondazione, mentre la resistenza di progetto èil valore della forza parallela allo piano cui corrisponde lo scorrimento del muro. Tabella 6..I (.6.I) Coefficienti parziali per le azioni o per l effetto delle azioni CARICHI EFFETTO Coefficiente Parziale γ F (o γ E ) EQU ( A ) STR ( A ) GEO Permanenti Permanenti non strutturali Variabili Favorevole 0,9,0,0 γ G Sfavorevole,,3,0 Favorevole 0,0 0,0 0,0 γ G Sfavorevole,5,5,3 Favorevole 0,0 0,0 0,0 γ Qi Sfavorevole,5,5,3 Tabella 6.5.I Coefficienti parziali γ R per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R ) COEFFICIENTE PARZIALE (R ) COEFFICIENTE PARZIALE (R 3 )) Capacità portante della fondazione.0.0.4 Scorrimento.0.0. Resistenza del terreno a valle.0.0.4 67/80