Dinamica dei sistemi elettromeccanici Equazioni di Lagrange per sistemi elettromeccanici In un sistema che comprenda sia parti meccaniche sia circuiti elettromagnetici, la funzione lagrangiana L em è la somma delle funzioni lagrangiane dei diversi sottosistemi elettromeccanici che compongono il sistema. Nelle parti elettromagnetiche del sistema, la lagrangiana può assumere due formulazioni, a seconda che si usino le coordinate di carica ovvero le coordinate di flusso. Nel seguito utilizzeremo il pedice e per caratterizzare le grandezze elettromagnetiche e il pedice m per caratterizzare le grandezze meccaniche. Coordinate generalizzate di carica Supponiamo di aver scelto come coordinate generalizzate le cariche elettriche q e per i sottosistemi elettromagnetici e gli spostamenti (lineari e/o angolari) q m per i sottosistemi meccanici; avremo pertanto le coordinate generalizzate e le forze generalizzate complessive seguenti [ ] [ ] q q = m F F = m q e La coenergia cinetica totale sarà la somma delle coenergie cinetiche dei sottosistemi F e C (q, q) = C m(q m, q m ) W i ( q e, q m ) e l energia potenziale totale sarà la somma delle energie potenziali dei sottosistemi P(q) = P m (q m ) W c (q e, q m ) Si può osservare come la coenergia cinetica della parte elettrica sia influenzata anche dalle coordinate generalizzate meccaniche; pertanto essa viene scritta come Wi ( q e, q m ), e lo stesso avvenga per l energia potenziale elettrica, che viene perciò indicata come W c (q e, q m ) 1
2 Il lagrangiano totale risulta quindi essere L(q, q) = C (q, q) P(q) = C m(q m, q m ) P m (q m ) W i ( q e, q m ) W c (q e, q m ) Ne segue l espressione della dinamica complessiva ( ) d L L = F m i = 1,..., n m dt q m q ( ) m d L L = F e i = 1,..., n e dt q e q e Queste espressioni possono essere ulteriormente sviluppate nelle due seguenti e dove d dt ( ) C T ( ) m (q m, q m ) C T ( ) m (q m, q m ) W T i ( q e, q m ) (1) q m q m q m ( ) T ( ) T Pm (q m ) Wc (q e, q m ) = F m q m q m ( ) d W T ( ) T i ( q e, q m ) Wc (q e, q m ) = F e (2) dt q e q e W i ( q e, q m ) q m è la variazione della coenergia (cinetica) magnetica/induttiva dovuta ad una variazione delle coordinate meccaniche e W c (q e, q m ) q m è la variazione dell energia (potenziale) capacitiva dovuta ad una variazione delle coordinate meccaniche. Coordinate generalizzate di flusso Supponiamo di aver scelto come coordinate generalizzate elettriche i flussi concatenati λ e per il sistema meccanico gli spostamenti (lineari e/o angolari) q m, avremo come coordinate generalizzate totali e forze generalizzate totali le seguenti [ ] [ ] q q = m F F = m λ La coenergia cinetica totale sarà la somma delle coenergie cinetiche dei sottosistemi F e C (q, q) = C m(q m, q m ) W c ( λ, q m )
e l energia potenziale totale sarà la somma delle energie potenziali dei sottosistemi P(q) = P m (q m ) W i (λ, q m ) Si può osservare come l energia cinetica della parte elettrica sia influenzata anche dalle coordinate generalizzate meccaniche; pertanto essa viene scritta come W c ( λ, q m ), e lo stesso avvenga per l energia potenziale elettrica, che viene quindi indicata con W i (λ, q m ) Il lagrangiano totale risulta perciò essere L(q, q) = C (q, q) P(q) Ne segue l espressione della dinamica complessiva ( ) d L L = F m i = 1,..., n m dt q m q ( ) m d L dt λ L λ = F e i = 1,..., n e Queste espressioni possono essere ulteriormente sviluppate nelle due seguenti ( ) d C T ( ) ( m (q m, q m ) C T m (q m, q m ) Wc ( λ, ) T q m ) (3) dt q m q m q m ( ) T ( ) T Pm (q m ) Wi (λ, q m ) = F m q m q m e ( d Wc ( λ, ) T ( ) T q m ) Wi (λ, q dt λ m ) = F e (4) λ dove Wc ( λ, q m ) q m è la variazione della coenergia (cinetica) capacitiva dovuta ad una variazione delle coordinate meccaniche e W i (λ, q m ) q m è la variazione dell energia (potenziale) magnetica/induttiva dovuta ad una variazione delle coordinate meccaniche. 3 Doppi bipoli elettromeccanici È ora interessante considerare alcune categorie particolari di sistemi elettromeccanici, e in particolare i cosiddetti doppi bipoli, sia di tipo induttivo sia di tipo
4 capacitivo, per poter in seguito introdurre alcuni esempi di sistemi elettromeccanici di interesse per la meccatronica. Per doppio bipolo elettrico (o rete a due porte) si intende una rete che presenta una coppia di morsetti di ingresso (porta di ingresso) ed una coppia di morsetti di uscita (porta di uscita). Se all interno del doppio bipolo non vi sono sorgenti esso viene detto passivo (per approfondimenti, vedere anche [?] e [?]). Per doppio bipolo elettromeccanico si intende un sistema di conversione di energia caratterizzato dal possedere una porta di tipo elettrico, dov è presente una tensione e(t) e una corrente i(t), e una porta di tipo meccanico, dov è presente una velocità v(t) e una forza f(t). I bipoli elettromeccanici sono idealmente reversibili, nel senso che la potenza può fluire dalla porta elettrica alla porta meccanica o viceversa. Nel primo caso si tratta di elementi che trasformano potenza elettrica in meccanica (motori o altri apparati), nel secondo di elementi che trasformano potenza meccanica in elettrica (generatori ecc.). Doppi bipoli induttivi Si tratta di un doppio bipolo in cui la conversione di potenza è ottenuta per mezzo di un elemento induttivo, ai cui capi è presente il flusso λ(t). Figure 1: Doppio bipolo induttivo. La descrizione delle caratteristiche del doppio bipolo si ottiene dalle relazioni costitutive seguenti con i(t) = i(λ(t), x(t)) f(t) = f(λ(t), x(t)) e(t) = dλ(t) dt v(t) = dx(t) dt = λ(t) = ẋ(t) dove x(t) rappresenta lo spostamento generico.
La potenza assorbita dal bipolo risulta essere la differenza tra la potenza entrante e la potenza uscente Passando all energia, avremo: P λ (t) = e(t)i(t) f(t)v(t) = λ(t)i(t) f(t)ẋ(t) ma, sapendo che in generale si può scrivere: P λ dt = dw i (λ, x) = idλ fdx (5) dw i (λ, x) = W i(λ, x) λ risulta immediatamente dalla (5) che: Se invece utilizziamo la coenergia otteniamo: ed essendo, dalla (5), avremo: Ricordando ora che, in generale: risulta immediatamente: Riassumendo: dλ W i(λ, x) dx, i(λ, x) = W i(λ, x) ; f(λ, x) = W i(λ, x) λ W i (i, x) = λi W i (λ, x) dw i (i, x) = idλ λdi dw i (λ, x) idλ dw i (λ, x) = fdx dw i (i, x) = λdi fdx (6) dwi (i, x) = W i (i, x) di W i (i, x) dx i λ(i, x) = W i (i, x) ; f(i, x) = W i (i, x) i dw i (λ, x) = idλ fdx i(λ, x) = W i(λ, x) λ f(λ, x) = W i(λ, x) dw i (i, x) = λdi fdx ; λ(i, x) = W i (i, x) i ; f(i, x) = W i (i, x) 5
6 Flusso lineare corrente Ipotizziamo ora che il flusso concatenato sia lineare rispetto alla λ(i, x) = L(x)i(t) (7) dove L(x) definisce l induttanza del circuito magnetico, che può essere funzione dello spostamento. In tale caso avremo e, di conseguenza: W i (i, x) = 1 2 L(x)i2 (t) f(λ, x) = λ2 2L(x) 2 d dx L(x) oppure f(i, x) = i2 d 2 dx L(x) La tensione e(t) è data da e(t) = d [L(x)i ] = L(x)di dt dt i L(x) ẋ ovvero e = L(x) di dt e dove la tensione e = i L(x) ẋ è dovuta alla variazione dell autoinduttanza del circuito sottoposto ad una deformazione meccanica dello stesso. Doppi bipoli capacitivi Si tratta di un doppio bipolo in cui la conversione di potenza è ottenuta per mezzo di un elemento capacitivo, ai cui capi è presente la carica q(t). Figure 2: Doppio bipolo capacitivo. La descrizione delle caratteristiche del doppio bipolo si ottiene dalle relazioni costitutive seguenti e(t) = e(q(t), x(t)) f(t) = f(q(t), x(t))
7 con i(t) = dq(t) dt v(t) = dx(t) dt = q(t) = ẋ(t) dove x(t) rappresenta lo spostamento generico. La potenza assorbita dal doppio bipolo risulta essere la differenza tra la potenza entrante e la potenza uscente passando all energia, avremo: P q (t) = e(t)i(t) f(t)v(t) = e(t) q(t) f(t)ẋ(t) ma, sapendo che in generale si può scrivere: dw c (q, x) = W c(q, x) q risulta immediatamente che: e(q, x) = W c(q, x) q Se invece utilizziamo la coenergia otteniamo: e poiché dalla (8) si ha avremo: Ricordando ora che, in generale: P q dt = dw c (q, x) = edq fdx (8) dq W c(q, x) dx, ; f(q, x) = W c(q, x) W c (e, x) = eq W c (q, x) dw c (e, x) = edq qde dw c (q, x) edq dw c (q, x) = fdx dw c (e, x) = qde fdx (9) dwc (e, x) = W c (e, x) de W c (e, x) dx e risulta immediatamente: q(e, x) = W c (e, x) ; f(e, x) = W c (e, x) e Riassumendo: dw c (q, x) = edq fdx e(q, x) = W c(q, x) q f(q, x) = W c(q, x) dw c (e, x) = qde fdx q(e, x) = W c (e, x) e f(e, x) = W c (e, x)
8 Carica lineare Ipotizziamo ora che la carica sia una funzione lineare della tensione q(e, x) = C(x)e(t) (10) dove C(x) definisce la capacità del circuito elettrostatico. In tale caso avremo W c (q, x) = 1 q 2 (t) 2 C(x) e, di conseguenza: f(q, x) = q2 2 La corrente i(t) è data da d ( 1 ) dx C(x) oppure f(e, x) = e2 2 d dx C(x) ovvero dove i(t) = d [C(x)e ] = C(x)de dt dt e C(x) ẋ i = C(x) de dt i i = e C(x) ẋ è la corrente dovuta alla variazione della capacità del circuito sottoposto ad una deformazione meccanica dello stesso. Esempi di doppi bipoli elettromeccanici Nel seguito saranno descritti alcuni esempi di doppi bipoli elettromeccanici particolarmente interessanti per le applicazioni in ambito meccatronico. Saranno presi in esame due doppi bipoli induttivi, la sospensione magnetica e il voice-coil, e due doppi bipoli capacitivi, il microfono capacitivo e l attuatore piezoelettrico. Sospensione magnetica Un elettromagnete composto da un cilindro di lunghezza l c e sezione S = πr 2, con N avvolgimenti, tiene sospesa una sfera di materiale ferromagnetico di raggio r e massa m = 4 3 πr3 ρ. La corrente negli avvolgimenti vale i(t), mentre la posizione della sfera rispetto ad un riferimento verticale arbitrario vale x(t). Il circuito magnetico risultante presenta una forza magnetomotrice pari a N i(t); il flusso magnetico ϕ(t) attraversa, nell ordine, il nucleo magnetico, il traferro, la sfera e poi si chiude nell aria ritornando al nucleo, come illustrato in Fig. 3.
9 Figure 3: Sospensione magnetica. Ne segue la relazione dove la riluttanza totale del circuito magnetico vale Ni(t) = R tot ϕ(t) (11) R tot = R nucleo R traferro R sfera R aria Le riluttanze R nucleo e R sfera sono trascurabili rispetto alle altre, in quanto il circuito è composto di materiale ferromagnetico; inoltre, se la sfera è sufficientemente prossima al nucleo, il cammino di ritorno del flusso attraverso l aria non varia significativamente la sua lunghezza al muoversi della sfera. Essendo R traferro = x µ 0 S dove µ 0 è la permeabilità magnetica dell aria, si può scrivere R traferro R aria = x l 0 µ 0 S dove l 0 = R aria µ 0 S è la lunghezza equivalente del cammino in aria del flusso. Dalla (11) risulta e quindi per cui l induttanza del circuito vale Ni(t) = x l 0 µ 0 S ϕ(t) λ = Nϕ(t) = N 2 µ 0 S i(t) (12) l 0 x L(x) = N 2 µ 0 S l 0 x = k l 0 x
10 Supponiamo ora che ai capi del circuito sia presente un generatore ideale di tensione E(t) in serie a una resistenza R. L equazioni dinamiche della sospensione magnetica si ricavano definendo come coordinate generalizzate la carica q(t) nel circuito elettrico e lo spostamento x(t) della sfera. Assumendo C m = coenergia cinetica meccanica C e = coenergia cinetica elettrica P m = energia potenziale meccanica P e = energia potenziale elettrica D m = energia dissipazione meccanica D e = energia dissipazione elettrica F m = forze generalizzate meccaniche F e = forze generalizzate elettriche e adottando l approccio in carica per la parte elettrica, risulta C m = 1 2 mẋ2 Ce Wi ( q, x) = 1 L(x) q2 2 P m = mgx P e W c (q) = 1 q 2 2 C = 0 (non ci sono elementi capacitivi) D m = 1 2 βẋ2 F m = 0 D e = 1 2 R q2 F e = E(t) dove con g si è indicata l accelerazione di gravità e con β 0 la costante di attrito viscoso dovuta al moto della sfera nell aria. Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange d (Cm Ce P m P e ) (C m Ce P m P e ) (D m D e ) dt ẋ ẋ d (Cm Ce P m P e ) (C m Ce P m P e ) (D m D e ) dt q q q = F m = F e ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate: Equazione 1) da cui d Cm dt ẋ (C e P m ) D m ẋ = 0 d dt mẋ k 2(l 0 x) 2 q2 mg βẋ = 0
11 e quindi, trascurando l attrito viscoso mẍ = mg che possiamo anche scrivere come mẍ(t) = mg k 2(l 0 x) 2 q2 k 2(l 0 x(t)) 2 i2 (t) Equazione 2) da cui da cui d Ce dt q D e q = E(t) d [L(x) q ] R q = E(t) dt d dt [L(x) ] q L(x) d [ q ] R q = E(t) dt e quindi che possiamo anche scrivere come k ẋ q L(x) q R q = E(t) (l 0 x) 2 L(x) d kẋ(t) i(t) Ri(t) = E(t) dt (l 0 x(t)) i(t) 2 Si può notare che, nella Equazione 1), nasce il termine C e q = k 2(l 0 x) 2 i2 Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento induttivo, nell ipotesi di relazione flusso-corrente lineare, si ha che nel caso in esame vale proprio f(i, x) = i2 2 f(i, x) = d dx L(x) k 2(l 0 x) 2 i2
12 Voice coil Un altoparlante trasforma segnali elettrici in suoni facendo vibrare una membrana appesa elasticamente alla base rigida dell altoparlante (vedi Figg. 4 e 5). L attuatore che fa vibrare la membrana è un semplice attuatore induttivo detto voice coil; esso è costituito da un nucleo fissato alla base dell altoparlante, composto da un magnete permanente intorno al quale è avvolta una spira fissata alla membrana e attraversata da una corrente variabile. L interazione tra il magnete permanente fisso e la spira mobile percorsa da corrente genera lo spostamento della membrana, che a sua volta produce un onda acustica nello spazio circostante. Figure 4: Un altoparlante voice coil. Figure 5: Schema di principio di un voice coil. La parte meccanica del voice coil è caratterizzata dalla massa m del complesso
13 vibrante, da un coefficiente di attrito β, che modella gli effetti dissipativi dell aria e da una costante elastica k, che modella l effetto elastico della sospensione della membrana alla sua base. La parte elettrica dell attuatore è caratterizzata da una induttanza L, da una resistenza R e da una tensione in ingresso variabile E(t). Un magnete permanente genera un campo magnetico le cui linee di flusso si ripartiscono nella parte superiore e inferiore del circuito magnetico e si richiudono attraverso il traferro; la densità di campo vale B ed è costante nel traferro. Il flusso magnetico Φ dal magnete permanente attraverso gli avvolgimenti vale Φ = 2πrx B dove abbiamo indicato con x la posizione dell avvolgimento rispetto alla faccia esterna del circuito magnetico. Il flusso concatenato può venire scritto come somma di due termini, il primo dovuto al flusso auto-generato dalla corrente che percorre le spire, il secondo dovuto al flusso generato dal magnete permanente e concatenato con le spire; ossia: λ(i, x) = Li K e x (13) dove L è l autoinduttanza dell avvolgimento con N spire e K e = 2πrN B. Come detto sopra supponiamo che ai capi del circuito sia presente, oltre all induttanza, un generatore ideale di tensione E(t) in serie a una resistenza R. L equazioni dinamiche del voice coil si ricavano definendo come coordinate generalizzate la carica q(t) nel circuito elettrico e lo spostamento x(t) della membrana. Assumendo ancora una volta Cm = coenergia cinetica meccanica Ce = coenergia cinetica elettrica P m = energia potenziale meccanica P e = energia potenziale elettrica D m = energia dissipazione meccanica D e = energia dissipazione elettrica F m = forze generalizzate meccaniche F e = forze generalizzate elettriche e adottando l approccio in carica per la parte elettrica, risulta, considerando anche la (6) e la (13) e scegliendo un semplice cammino di integrazione per risolvere l integrale
14 doppio C m = 1 2 mẋ2 Ce Wi ( q, x) = dwi (i, x) = (λdi K e dx) = = x 0 K e (0, x )dx = 1 2 Li2 K e xi P m = 1 2 kx2 P e W c (q) = 1 q 2 2 C = 0 i 0 λ(i, x)di (non ci sono elementi capacitivi) D m = 1 2 βẋ2 F m = 0 D e = 1 2 R q2 F e = E(t) dove con β la costante di attrito viscoso dovuta al moto della membrana nell aria. Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange d (Cm Ce P m P e ) (C m Ce P m P e ) (D m D e ) dt ẋ ẋ d (Cm Ce P m P e ) (C m Ce P m P e ) (D m D e ) dt q q q = F m = F e ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate: Equazione 1) da cui e quindi d Cm dt ẋ (C e P m ) D m ẋ = 0 d dt mẋ kx K e q βẋ = 0 mẍ βẋ kx = K e q che possiamo anche scrivere come mẍ(t) βẋ(t) kx(t) = K e i(t) Equazione 2) da cui d Ce dt q D e q = E(t) d dt [L q K ex] R q = E(t)
15 da cui L q K e ẋ R q = E(t) che possiamo anche scrivere come L d dt i(t) Ri(t) = E(t) K eẋ(t) Si può notare che, nella Equazione 1), nasce il termine K e i(t) Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento induttivo, nell ipotesi di una generica relazione flusso-corrente, si ha f(i, x) = W m(i, x) C e (i, x) che nel caso in esame vale proprio f(i, x) = K e i. Analogamente, nella Equazione 2) nasce il termine K e ẋ che si può ricondurre alla tensione e(t) = λ(t) = d dt [Li K ex] = L di dt e (t) con e (t) = K e ẋ(t). Microfono capacitivo Un microfono capacitivo può sommariamente essere descritto come una membrana che, colpita dalle onde sonore, muove l armatura di un condensatore, facendone variare la capacità. l elemento capacitivo è caricato elettricamente con una tensione E 0 e la variazione di capacità può essere misurata misurando la corrente nel condensatore mediante un amplificatore di resistenza R. La carica sul condensatore è data semplicemente da q(t) = C(x(t))e(t) dove la capacità del condensatore vale C(x(t)) = C 0 d 0 d 0 x(t) avendo indicato con d 0 la posizione nominale a riposo dell armatura del condensatore e con C 0 la sua capacità nominale a x = 0. L armatura possiede una massa m e
16 assume una posizione generica x(t). La forza sul condensatore è nulla quando la carica nel condensatore è nulla; negli altri casi vale f(q(t), x(t)) = 1 d 2 dx Le equazioni costitutive sono quindi d 0 x(t) C 0 d 0 q 2 e(q(t), x(t)) = q(t) C(x(t)) f(q(t), x(t)) = q2 (t) 2C 0 d 0 (14) Figure 6: Schema costruttivo di un microfono capacitivo. Figure 7: Schema funzionale di un microfono capacitivo.
17 Si definiscano, come al solito, le seguenti energie Cm = coenergia cinetica meccanica Ce = coenergia cinetica elettrica P m = energia potenziale meccanica P e = energia potenziale elettrica D m = energia dissipazione meccanica D e = energia dissipazione elettrica F m = forze generalizzate meccaniche F e = forze generalizzate elettriche Questa volta, data la struttura in serie del sistema di alimentazione, si adotti l approccio in carica, dal quale risulta, considerando anche la (9) e le (14), C m = 1 2 mẋ2 P m = 1 2 kx2 P e = 1 2 C(x) C e W i ( q, x) = 1 2 Li2 = 0 essendo L = 0 q 2 D m = 1 2 βẋ2 D e = 1 2 R q2 F m = F (t) F e = E 0 dove con m si indica la massa del cristallo piezoelettrico e dell eventuale struttura ad esso collegata, con β la costante di dissipazione meccanica del materiale e con R la resistenza del circuito di rilevazione. La forza delle onde sonore sul microfono è rappresentata da F (t). Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate: Equazione 1) da cui Equazione 2) da cui d Cm dt ẋ ( P e P m ) D m ẋ = F (t) mẍ(t) βẋ(t) kx(t) q2 (t) 2C 0 d 0 = F (t) P e q D e q = E 0 R q(t) q(t) (d 0 x(t)) C 0 d 0 = E 0
18 Si può notare che, nella Equazione 1), nasce il termine q 2 (t) 2C 0 d 0 Abbiamo visto che in un doppio bipolo contenente un elemento capacitivo, nell ipotesi di una generica relazione carica-tensione, si ha f(q, x) = W c(q, x) che nel caso in esame vale proprio quanto sopra. Analogamente, nella Equazione 2) nasce il termine che si può ricondurre alla tensione q(t) (d 0 x(t)) C 0 d 0 e (t) = W c(q, x) q Attuatore piezoelettrico Questi attuatori utilizzano l effetto piezoelettrico proprio di alcuni materiali. L effetto piezoelettrico, scoperto dai fratelli Curie negli anni Ottanta del diciannovesimo secolo, consiste nella capacità, propria di alcuni cristalli polarizzati, di trasformare energia meccanica in energia elettrica e viceversa (si veda la Fig. 8). In condizioni normali, sulla superficie del materiale può essere osservata una piccola carica elettrica (positiva o negativa), ma tuttavia essa viene velocemente neutralizzata dalle cariche libere di segno opposto presenti nell atmosfera circostante. Quando si applica una forza o un momento al cristallo lungo la direzione di polarizzazione, si produce una deformazione che rompe l allineamento dei bipoli elettrici interni, favorendo un incremento della migrazione di cariche alla superficie del materiale; queste cariche vengono più difficilmente cancellate da cariche libere nell atmosfera e si osserva allora un eccesso temporaneo di cariche superficiali, che può venire sfruttato per generare una differenza di potenziale. Per essere in grado di utilizzare questi materiali al fine di misurare forze e momenti applicati è necessario saper rilevare la carica elettrica superficiale: ciò viene reso possibile inserendo il materiale in sandwich tra due superfici conduttrici, solitamente metalliche, trasformando la struttura in un condensatore, come illustrato in Fig. 9. In modo duale, se dall esterno si applica una tensione al condensatore, il campo elettrico risultante tenderà a riallineare i dipoli elettrici, provocando una deformazione
19 Figure 8: Un cristallo piezoelettrico elettricamente polarizzato: ogni dipolo elettrico si dispone lungo una direzione di polarizzazione. Figure 9: Un sensore capacitivo basato su materiale piezoelettrico. del materiale. Un esempio di questa reversibilità è dato dai traduttori piezoelettrici che possono essere usati sia come microfoni, sia come altoparlanti. Un attuatore piezoelettrico rappresenta quindi un esempio di doppio bipolo capacitivo; vediamo ora di ricavarne le equazioni dinamiche, limitandoci al caso più semplice di un solo grado di libertà meccanico, ossia uno spostamento lungo una sola direzione. Detta x(t) la deformazione totale del materiale piezoelettrico e detta e(t) la tensione ai capi del circuito elettrico, ossia del condensatore equivalente al piezo, si possono ricavare le equazioni costitutive dell attuatore piezoelettrico: q(e, x) = C p x(t) Ce(t) f p (e, x) = Kx(t) C p e(t) (15) dove la f p (t) è la forza piezoelettrica, q(t) è la carica, C p è la costante piezoelettrica, propria del materiale, C è la capacità del circuito e k p è la costante di rigidezza meccanica del cristallo. Va notata la somiglianza della (15) con la precedente (10).
20 elettrodo Materiale dielettrico o strutturale Materiale piezoelettrico Figure 10: Una tipica disposizione di materiale piezoelettrico su una lamina incastrata. Assumendo C m = coenergia cinetica meccanica C e = coenergia cinetica elettrica P m = energia potenziale meccanica P e = energia potenziale elettrica D m = energia dissipazione meccanica D e = energia dissipazione elettrica F m = forze generalizzate meccaniche F e = forze generalizzate elettriche e adottando l approccio in flusso, risulta, considerando anche la (9) e le (15), Cm = 1 2 mẋ2 Ce Wc (e, x) = dwc (e, x) = (f p (e, x)dx q(e, x)de) = = x 0 x P m = 0 P e = 0 D m = 1 2 βẋ2 D e = 1 2R e2 F m = 0 F e = 0 0 f p (0, x )dx k p x (t)dx e 0 e = 1 2 k px 2 C p xe 1 2 Ce2 0 q(e, x)de (C p x(t) C e e (t)) de dove con m si indica la massa del cristallo piezoelettrico e dell eventuale struttura
ad esso collegata, con β la costante di dissipazione meccanica del materiale e con R l eventuale resistenza del circuito di rilevazione. Si sottolinea che l energia potenziale P m è nulla in quanto si suppone siano assenti altri elementi in grado di immagazzinare energia elastica, salvo il cristallo piezoelettrico, la cui rigidità è già stata considerata nelle equazioni costitutive (15). Lo stesso vale per l energia potenziale elettrica, perché non esistono altri elementi in grado di accumulare energia potenziale, salvo l effetto capacitivo del cristallo piezoelettrico già incluso nelle equazioni costitutive (15). Avendo adottato l approccio in flusso per la parte elettrica, le coordinate generalizzate sono lo spostamento x(t) e il flusso concatenato λ(t), che è legato alla e(t) dalla relazione λ(t) = e(t). Possiamo ora scrivere le due equazioni di Lagrange 21 d (Cm Ce P m P e ) (C m Ce P m P e ) (D m D e ) dt ẋ ẋ d (Cm Ce P m P e ) dt λ (C m Ce P m P e ) (D m D e ) λ λ = F m = F e ovvero, considerando le dipendenze delle energie dalle coordinate generalizzate: Equazione 1) da cui e quindi d Cm dt ẋ (C e P m ) D m ẋ = 0 d dt mẋ k px C p e βẋ = 0 mẍ βẋ k p x = C p λ che possiamo anche scrivere come mẍ(t) βẋ(t) k p x(t) = C p e(t) Equazione 2) Considerando l identità λ = e, scriviamo: d Ce dt e D e e = 0 ossia d dt [C px Ce] 1 R e = 0 da cui segue l equazione in corrente: C p ẋ C de(t) dt 1 R e(t) = 0
22 Configurazioni degli attuatori piezoelettrici Una configurazione tipica degli attuatori piezoelettrici monodimensionali si ottiene precaricando il cristallo piezoelettrico con una molla di costante elastica k m, la cui posizione di equilibrio vale x m (vedi Fig. 11); ai capi dell attuatore si pone la tensione di comando e(t). Figure 11: Attuatore piezoelettrico unidimensionale precaricato da una molla. La forza totale sviluppata dall attuatore vale f = f p k m (x x m ) e l attuatore viene descritto dall equazione seguente, simile alla seconda delle (15): f = (k p k m )(x x 0 ) C p e dove x 0 vale x 0 = x mk m k p k m In questa configurazione interpretiamo l attuatore piezoelettrico come una attuatore di forza che sviluppa una forza f(t) comandata dalla tensione e(t). Allora f(t) è vista come un uscita, mentre x(t) è un ingresso (vedi Fig. 12). Figure 12: Attuatore piezoelettrico visto come attuatore di forza. In alternativa, l attuatore può essere visto come un attuatore di spostamento controllato da una tensione e(t), secondo la relazione x(t) = x 0 C p e(t) f k p k m
In questo secondo caso la deflessione x(t) è considerata come una uscita, mentre la forza f(t) agente sull attuatore è un ingresso (vedi Fig. 13). 23 Figure 13: Attuatore piezoelettrico visto come attuatore di posizione. La decisione di considerare l attuatore in uno o nell altro modo dipende da come l attuatore stesso è connesso al sistema da controllare. Se l attuatore è connesso ad una molla, allora l uscita deve essere la deflessione; se l attuatore è collegato ad una massa, allora l uscita deve essere la forza.
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Bibliography [1] S.H. Crandall, D.C.Karnopp, jr. E.F Kurtz, and D.C. Pridmore-Brown. Dynamics of mechanical and Electromechanical Systems. McGraw-Hill, 1968. [2] J. Meisel. Principles of Electromechanical-Energy Conversion. Robert E. Krieger Publishing Company, 1984. 25