Lavoro Consideriamo un corpo che si sposta da un punto ad un punto lungo una certa traiettoria l e sia F una forza agente sul corpo. Definiamo lavoro fatto dalla forza F sul corpo lungo la traiettoria l la quantita scalare L ab L dl F ds Dove la forza FF(r) e in generale una funzione della posizione e dl F ds F ds cos θ rappresenta il lavoro infinitesimo fatto dalla forza F sul corpo lungo lo spostamento infinitesimo ds. Integrale di linea della forza Notiamo che: dl0 quando F e ds formano un angolo di 90 o dl>0 (<0) quando F e ds formano un angolo minore (maggiore) di 90 o L unita di misura del lavoro nel S.I. e il N m chiamato Joule J. 1 N m 1 J Se su un corpo agiscono contemporaneamente piu forze il lavoro totale puo essere calcolato indifferentemente come: 1)somma dei lavori fatti dalle singole forze; )lavoro fatto dalla forza risultante somma vettoriale di tutte le forze agenti.
Esempio 1 Uomo 1 Uomo y x Due uomini spostano una cassaforte di massa 50 kg per un tratto di lunghezza d 8.50 m da un punto 1 ad un punto su una superficie orizzontale con attrito trascurabile. Il primo uomo esercita sulla cassaforte una forza F 1 di modulo 1 N diretta come in figura, il secondo uomo esercita sulla cassaforte una forza F di modulo 10 N diretta come in figura. Calcolare il lavoro effettuato durante il suddetto spostamento dalle forze F 1, ed F, dalla forza peso F g e dalla forza N che la superficie esercita sulla cassaforte. Calcolare inoltre il lavoro totale svolto dalle suddette 4 forze. Nel presente caso il calcolo del lavoro e particolarmente semplice poiche le forze agenti sono costanti L 1 F 1 ds (F1x i + F1y j) (dxi + dyj) 1 1 1 F1 (cos30)dx F (cos30) 1 dx F1 (cos30) d F1 d 1
Esempio 1 Uomo 1 Uomo y x vremo pertanto L 1 F 1 (cos30) d 1 (cos30) 8.5 88.3 J L F (cos40) d 10 (cos40) 8.5 65.1 J Il lavori della forza peso F g e della forza di reazione N sono ambedue nulli poiche queste due forze sono sempre perpendicolari al vettore spostamento infinitesimo ds lungo la traiettoria : L Fg L N 0 Quindi L Tot L 1 +L 153 J
otenza Consideriamo un corpo al quale sia applicata una forza che in un intervallo di tempo t compia un lavoro L. Definiamo potenza media il rapporto L t nalogamente definiremo potenza istantanea lim t 0 L t dl dt F ds dt F V Dove dl F ds rappresenta il lavoro infinitesimo fatto nel tempo dt. La potenza istantanea puo quindi essere scritta come prodotto scalare fra la forza considerata e la velocita del corpo su cui la forza sta agendo. Nel S.I la unita di misura della potenza e il J/s che prende il nome di Watt 1 W 1 J/s 1 kg (m /s 3 ) ltre due unita di misura per la potenza ancora utilizzate sono: il cavallo vapore CV 1CV735.5 W ed il cavallo vapore britannico hp (horse power) 1hp746 W
Esempio Una automobile di massa m 1500 kg si muove con accelerazione a x 1.00 m/s su una strada in salita inclinata di un angolo θ 10 rispetto all orizzontale. Supponendo che la forza che si oppone al moto, legata agli attriti abbia modulo parametrizzabile come f t 0.700 v, quale sara la potenza sviluppata dal motore nell istante in cui la macchina ha modulo della velocita v 7.0 m/s? v La potenza necessaria e F v F x v Devo quindi calcolare F x componente di F nella direzione di v. So che: F + n + + f t ma, roiettando sull asse x ho: F x - mgsen θ - f t ma x Quindi F x mgsen θ + ma x + f t F x v mgvsen θ + mva x + 0.700 v 3 mgvsen θ 69.0 10 3 W 93.8 CV mva x 40.5 10 3 W 55.1 CV 0.700 v 3 13.8 10 3 W 18.7 CV ertanto 93.8+ 55.1+ 18.7 167 CV
Energia Cinetica Dato un corpo di massa m che si muove con una velocita avente modulo v definiamo energia cinetica K del corpo la grandezza K1/ m v La energia cinetica e quindi una grandezza scalare. La sua unita di misura nel S.I. (cosi come per qualsiasi altro tipo di energia) e il Joule. Infatti: 1 kg (m/s) 1 kg (m/s ) m 1 N m 1 J Una unita di energia comunemente usata nella vita quotidiana (ad esempio per indicare l energia elettrica consumata da un utente) e il kilowatt-ora (kwh) definita come la quantita di energia fornita in un ora alla potenza costante di un kilowatt. ertanto 1 kwh (10 3 J/s)(3600 s )3.6 10 6 J
Teorema dell energia cinetica Il teorema dell energia cinetica afferma che: dato un corpo di massa m che si sposta da un punto ad un punto lungo una traiettoria l, il lavoro compiuto dalla risultante F delle forze agenti sul corpo lungo la stessa traiettoria e uguale alla variazione di energia cinetica del corpo. L dv F ds ma vdt m vdt m dv v dt ma d(v ) d(v v) dv v+ v dv dv v ) L dv v 1/ d(v quindi avremo m d v v m(1 / ) d(v ) 1/m(v v ) K K
lcune considerazioni sulla energia cinetica bbiamo visto che il lavoro L F fatto su una massa m dalla risultante F delle forze agenti su essa e uguale alla sua variazione di energia cinetica. L F K ertanto, se la energia cinetica della massa m diminuisce ( K<0), il lavoro L F fatto su di essa dalla risultante delle forze F e negativo. er la III legge di Newton, se su m agisce una forza risultante F, la massa m esercita sull oggetto che genera la forza F una forza F. Siano: L F il lavoro fatto dalla forza risultante F sulla massa m; L -F il lavoro fatto dalla forza F sull oggetto che genera la forza F. Si avra che: L F -L -F Notiamo che L -F non e altro che il lavoro prodotto dalla massa m sull oggetto che genera la forza F ertanto, in base al teorema della energia cinetica, la energia cinetica della massa m diminuisce di una quantita uguale al lavoro da essa prodotto. Cioe la energia cinetica di un corpo e uguale al lavoro che il corpo e in grado di produrre nel fermarsi. In generale possiamo dire che: La energia cinetica rappresenta la capacita di un corpo a compiere lavoro in virtu del suo moto
Esempio 3 Consideriamo nuovamente quanto discusso nell esempio 1 e calcoliamo la energia cinetica finale della cassaforte utilizzando sia seconda legge di Newton che il teorema dell energia cinetica (Vi0). Uomo 1 Uomo y x Dalla seconda legge di Newton N+F g +F 1 +F ma roiettando sull asse x ho: F x +F 1x ma x er la componente della velocita finale V f abbiamo: V f V i +a x (x f -x i ) 0+ [(F x +F 1x )/m] d La energia cinetica finale K f sara quindi: K f 1/ m V f ½ m ( [(F x +F 1x )/m] d ) (F x +F 1x ) d 153 J Dal Teorema della energia cinetica K f - K i L Tot K f K i + L tot 0 + L 1 + L 153 J
Esempio 4 Una moneta viene lanciata su un piano orizzontale con velocita V o 1.00 m/s. Sapendo che il coefficiente di attrito cinetico fra la moneta ed il piano vale µ c 0.300, quanto spazio d percorre la moneta sul tavolo prima di arrestarsi? Dal teorema dell energia cinetica L Tot K f - K i 0 K i Il lavoro della forza risultante L Tot e uguale a L tot L N + L + L 0 + 0 + L -d Sappiamo che N µ c mg µ c Quindi -d m g µ c -K i -1/ m V 0 Dalla quale si ricava d (V 0 / g µ c ) 0.170 m Notiamo che lo spazio percorso e indipendente dalla massa della moneta. d
lcuni quesiti di verifica 1)Una energia puo misurarsi in kilowatt? Ed in kilowatt ora? )Sapreste enunciare correttamente e dimostrare il teorema della energia cinetica? 3)Un corpo si muove di moto circolare uniforme compiendo tre giri completi su una circonferenza. Quanto vale il lavoro fatto dalla forza centripeta? 4)Il lavoro puo essere negativo? Ed una energia cinetica? 5)Quale e la unita di misura della potenza nel Sistema Internazionale?