ESERIIO 7 - UORAO PROPAAIONE A.A. 6/7 -/4/7 Esercizio ( punti / 8) Prova scritta di propaazione ( parte) - 5 4 V l d f 5Hz V V z 5 5 5.6 mm ( ) d mm (4) Nel circuito in fiura, alimentato alla frequenza di 5 Hz, le linee sono tutte riempite con dielettrico costante ε. r Si determinino il valore di e di e, indipendentemente, il valore minimo di z ed il corrispondente valore minimo di, in modo che il carico assorba tutta la potenza disponibile dal eneratore, indipendentemente dalla lunhezza del tratto di linea centrale di impedenza. Si calcoli poi tale potenza massima. SOLUIONI.5 nf. z 6.7986 mm 9.745 mm P D 5.65 W
A) alcolo di e. La richiesta che il carico assorba la massima potenza disponibile dal eneratore indipendentemente dalla lunhezza del tratto di linea centrale di impedenza, sinifica che a valle di tale impedenza il suo carico deve essere ancora paria a ovvero a 5. Ricadiamo in questo modo nel caso in cui una linea di impedenza caratteristica (enerico) risulta chiusa su un carico (enerico); in tal caso l impedenza di inresso della linea è ancora pari a qualunque sia la sua lunhezza L (vedi appunti teoria), in quanto trattasi di linea adattata. Di conseuenza e l impedenza vala 5 possono essere calcolati richiedendo che a valle della linea, cioè: 5.6 mm d mm d 5 (4 ) onviene innanzitutto ridurre la linea chiusa sul suo carico (noti) ad un'unica impedenza equivalente di inresso alla linea IN con la solita formula del trasporto di impedenza: IN tan tan ( β d ) ( β d ) Serve determinare la lunhezza elettrica della linea per il calcolo della tanente, ovvero lunhezza d onda e costante di propaazione della linea.
Nel vuoto abbiamo che m s π λ β 4.7 [ m ] f 5 8 8 6 [ mm] 9 λ ma essendo tutte le linee riempite con un dielettrico di costante dielettrica ε allora si ha λ π λ 4.464 [ mm] e β 48.96 [ m ] ε λ on quei valori [ m ] [ m] 4.896 rad β d 48.96 tan( β d ). 56 Infine l impedenza di inresso alla della linea vale IN tan tan ( β d ) ( β d ) R ( ) [ X ( ) ( ) ] X 4.85 9.89 i siamo ricondotti a IN 5.6 mm
L impedenza IN viene ora a trovarsi in serie con la reattanza capacitiva X, e ω questa serie si può poi trasportare oltre la linea conducendo ad una nuova impedenza di inresso IN. Prima di applicare la formula del trasporto di impedenza ci occorre al solito la lunhezza elettrica della linea : [ m ].6 [ m].5698 rad (89.94 9 ) β d 48.96 tan( β d ). I calcoli sopra mostrano che la linea può essere considerata con buona approssimazione una linea λ / 4, per cui la sua impedenza di inresso vale IN Re IN X IN X dove si è posto IN Re IN ImIN 4.85 9.89 impedenza di inresso alla linea che in serie alla reattanza capacitiva è diventato il carico della linea. Questa nuova impedenza di inresso IN è a sua volta in serie con la seconda reattanza capacitiva, e tale serie deve essere reale di valore pari a 5 ; cioè: Re IN X IN X X La relazione sopra è una equazione complessa nelle due inconite X e,che può scriversi come un sistema di due equazioni reali in due inconite reali, dop averne fatto il minimo comune multiplo: 4
( Re X X ) X ( X X ) Re IN IN IN IN Re IN IN X ( X X ) ( X X ) IN X Re IN X Re IN Im Re X IN IN ( X X ) IN X 7,965, Resta da determinare il valore della capacità :.5 nf con ω X ω π f 9 rad.4 sec 5
) alcolo di z e. La scelta di X e fatta al punto precedente a permesso di avere come carico alla linea un impedenza di valore pari all impedenza caratteristica della linea stessa. Questo sinifica che l impedenza di inresso della linea, qualsiasi sia la sua lunhezza vale sempre 5. Il circuito si semplifica allora come seue: N LO V f 5Hz V V ( ) z Le inconite z e possono ora essere calcolate sfruttando la teoria dell adattamento coniuato a sinolo Stub. Essendo uno stub in parallelo conviene lavorare in termini di ammettenze. La sezione ideale per l adattamento è quella tratteiata. onviene calcolare a sinistra di questa sezione il eneratore equivalente di Norton (per l adattamento basta solo l ammettenza interna del eneratore equivalente di Norton). N 6
dove 5 ms ( ) ( ) S 4 ( ) ms tan β ( ) Mentre a destra abbiamo un carico che è dato dal parallelo della reattanza dello stub con una ammettenza / : LO ( z) tan β A questo punto per il calcolo di z e, bisona imporre la condizione di adattamento coniuato alla sezione tratteiata cioè: * [ ( ) ( )] ( z ) N N LO LO equazione complessa nelle due inconite z e reali; separando parte reale e immainaria si ottenono due equazioni reali in due inconite reali: N LO ( z) N LO 7
8 Serve sviluppare allora l ammettenza interna del eneratore di norton in parte reale ed immainaria: N N N [ ] Separando parte reale e immainaria si ha: N N Imponendo poi la condizione di adattamento coniuato:
9 Dalla prima si ricava, e una volta noto quest ultimo si può ricavare z dalla seconda: Sviluppando la prima: Equazione di secondo rado in, le cui soluzioni sono ± 4.8746.794 M P I corrispondenti valori di z valono:.589.589 m p m p
rovate le possibili soluzioni per le tanenti tan ( β ) e tan ( β z) ricavare le lunhezze inconite z e ; infatti: z, si possono ora arctan( z ) n π z β arctan β n π La prima soluzione fornisce z e minimi di valore pari a arctan(.589) arctan(.794) π z 6.7986 mm 9.745 mm 48.96 48.96 La seconda soluzione fornisce, viceversa, z e minimi di valore pari a arctan(.589) π z 4.445 48.96 mm arctan(.8746) π.88 48.96 mm Poiché il testo chiede di determinare il minimo valore di z e il corrispondente valore di, sinifica che la soluzione cercata è la prima: z 6.7986 mm 9.745 mm
Per quanto riuarda il calcolo della potenza massima sul carico, essendo riusciti a imporre la condizione di adattamento coniuato e non essendoci altri elementi dissipativi tra il eneratore ed il carico non è assolutamente necessario, come ià accennato, calcolasi il eneratore equivalente di Norton alla sezione dell adattamento e calcolare poi la potenza risolvendo il circuito secondo i principi di Kirchoff. In condizioni di adattamento coniuato la potenza massima dissipata è semplicemente tutta la potenza disponibile dal eneratore: P D 8 V R 9 5.65 W 8