DERIVATE La derivata di una funzione in un punto c, quando esiste, rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c: f ( c) = Df ( c) = m tg = tanα, dove α è l angolo che tale retta forma con la direzione positiva dell asse x. Equazione della retta tangente al grafico di f nel suo punto P(x ;y ): y y = f ( x ) ( x x ) Una funzione f è derivabile in c 1. f è definita in un intorno del punto c; 2. f ( c) = f ( c) = f ( c) 3. f ( c)! 4
Punti di non derivabilità A e B: punti di Flesso a tangente verticale C e D: punti di Cuspide E e F: Punti Angolosi Indicativamente: Se in y = f sono presenti dei moduli (tipo y = x ) è probabile che ci siano punti angolosi; se sono presenti radici di indice pari o dispari ci sono probabilmente punti di flesso a tangente verticale (tipo 3 y = x ) o punti di cuspide (tipo y = 3 x 2 ). 5
TEOREMA di CONTINUITÀ/DERIVABILITÀ f ( x h) f HP) Sia f una funzione derivabile in x In simboli: ed è finito = f ( x ) h h TH) Allora f è continua in x f f ( x ) f x h = f x h = ossia Il teorema afferma che la continuità è una C.N. ma non S. per la derivabilità; la derivabilità è una C.S. ma non N. per la continuità. (Dimostrazione pag. 1627) CRITERIO di DERIVABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ab ; ] e derivabile in ] ; [ Se esiste f (finito o infinito) TH) Allora esiste anche f ( x ) e sono uguali: f ( x ) = f Analogamente: ab tranne al più in x a;b. HP) Sia f una funzione continua in [ ab ; ] e derivabile in ] ; [ Se esiste f (finito o infinito) TH) Allora esiste anche f ( x ) e sono uguali: f ( x ) = f ab tranne al più in x. Applicazione del Criterio di Derivabilità per la ricerca dei punti di non derivabilità 1) Data una funzione y = f x 2) Calcolare la derivata f, determinare il Dominio D f della funzione. e determinare il dominio della funzione derivata prima, 3) Un punto di ascissa x è candidato ad essere punto di non derivabilità se (e solo se): a) x D f ma x D f ; b) x è il punto di passaggio da un espressione analitica ad un altra (per le funzioni definite a tratti), dopo essersi accertati che sia un punto di continuità (dal momento che vale: f non continua in x f non derivabile in x ) 4) Calcolare i iti sinistro e destro della derivata prima : f = l 1 base all esito dei valori ottenuti. DERIVATE FONDAMENTALI e REGOLE DI DERIVAZIONE f D f. = l 2 e classificare il punto x in 6
REGOLE DI DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE (ESPLICITATE) DERIVATA FUNZIONE POTENZA COMPOSTA DERIVATA FUNZIONI ESPONENZIALI COMPOSTE DERIVATA FUNZIONE LOGARITMO COMPOSTA D log! f x =!!!!!.!!"# DERIVATA FUNZIONI GONIOMETRICHE COMPOSTE DERIVATA FUNZIONE VALORE ASSOLUTO 7
TEOREMA della DERIVATA della FUNZIONE INVERSA y f x 1 HP) Sia = una funzione derivabile ed invertibile nell intervallo I e sia x f ( y) Se vale anche f, x I 1 TH) Allora anche x f ( y) DIFFERENZIALE = è derivabile e vale la relazione D f 1 ( y ) = 1 D f ( x ) = la sua funzione inversa. dove y = f ( x ) Segue poi dx = Δx considerando y = x, da cui si ha dy = f dx INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL DIFFERENZIALE: = f Δy f ( x Δx) f dy Si può calcolare f (x Δx) in modo approssimato come f x Δx f ( x Δx) f f Δx Approssimare l incremento di una funzione con il suo differenziale significa approssimare la funzione con la sua retta tangente. 5
TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE annulla. TEOREMA di ROLLE (matematico francese, fine 6) HP) Sia f una funzione continua in [ ab, ; ] derivabile in ] ab ; [ e f ( a) = f ( b) TH) Allora esiste almeno un punto c in ] ab, ; [ in cui f (c) si In simboli: c ] a b[ f ( c) ; : = Interpretazione geometrica: esiste almeno un punto interno all intervallo in cui la retta tangente è parallela all asse x. (Dimostrazione pag. 1718) TEOREMA di LAGRANGE (o teorema del valor medio) (matematico italiano, fine 7) HP) Sia f una funzione continua in [ ab ; ] e derivabile in ] ab ; [ TH) Allora esiste almeno un punto c in ] ab ; [, in cui f ( b) f ( a) f ( c) = b a In simboli: c ] a; b[ : f ( c) = f ( a) f b b a Interpretazione geometrica: esiste almeno un punto interno all intervallo in cui la retta tangente è parallela alla retta passante per il punti A(a; f(a)) e B(b; f(b)). (Dimostrazione pag. 172) Si chiama anche teorema del valor medio perché se la funzione è s=s(t) e si considera la variabile t tempo, il teorema di Lagrange assicura che esiste un istante t=c in cui la velocità istantanea del moto in esame è uguale alla velocità media del moto stesso. 1 COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE HP) Sia f una funzione continua in [ ab ; ] e derivabile in ] ; [ f = x ] a; b[ TH) Allora f ( x ) è costante per ogni x [ a; b] ossia f = k, x a;b,k! ab e 2 COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE HP) Siano f e g due funzioni continue in [ ab ; ] e derivabili in ] ; [ f = g x ] a; b[ TH) Allora f ( x ) e f = g k, x a;b,k! ab e g x differiscono per una costante ossia 6
3 COROLLARIO al TEOREMA di LAGRANGE (crescenza e decrescenza di una funzione) HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in I ) TH) Allora si ha che: se f > x I allora se f < x I allora f x è crescente in I ( f ) f x è decrescente in I ( f ) TEOREMA INVERSO del precedente HP) Sia f una funzione continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I (cioè in TH) Allora si ha che: se f ( x ) è crescente in I ( f ), allora se f ( x ) è decrescente in I ( f ), allora f x x I f x x I I ) TEOREMA DI DE L HOSPITAL (matematico francese, fine 6) HP) 1) Siano f e g due funzioni definite e derivabili in un intorno I x, escluso al più x, con, 2) g x Ix { x} f 3) g = 4) esiste (finito o infinito) TH) Allora esiste anche oppure = f g x f g = l ed è uguale ad l, ossia f x f x = = l g x g x x x TEOREMA DI FERMAT (matematico francese, inizio 6) HP) Sia f una funzione definita in [ ab ; ] e derivabile in ] ab ; [ e sia x ] a b[ max (o di min) relativo. ( x interno all intervallo [ ; ] TH) Allora f ( x ) = ab ) ; ascissa di un punto di N.B. Questo teorema fornisce una C.N. ma non S. per l esistenza di un max o un min relativo in un punto interno ad un intervallo. Non è infatti invertibile: osserva cosa accade nel punto (2;3) in figura. La derivata prima in x=2 è zero, ma non c è né max né min relativo, bensì c è un punto di flesso a tangente orizzontale. 7