isequazioni di I grado Si risolvono come le equazioni di grado con la sola differenza che se si cambiano di segno tutti i termini bisogna cambiare anche il verso della disequazione. Pertanto si opera nel seguente modo. Si svolgono gli eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se questi sono presenti 2. Si trasportano tutti i monomi contenenti l incognita al primo membro e tutte le costanti al secondo membro 3. Si riducono i termini simili 4. La disequazione si riduce alla seguente forma normale ax b 5. Se il coefficiente dell incognita è diverso da zero ed è positivo si dividono entrambi i membri per tale coefficiente 6. Se il coefficiente dell incognita è diverso da zero ed è negativo, prima di dividere si cambia di segno e di verso la disequazione. 7. Se il coefficiente dell incognita è zero, la disequazione risulta vera o falsa indipendentemente dal valore che si attribuisce all incognita. Se è sempre vera la soluzione sarà S = R; se è falsa la disequazione non sarà mai soddisfatta e S =. Esempio 4x 3 5 + 2x 2 > 3x + 2 2 on ci sono prodotti da svolgere. Eliminiamo i denominatori riducendo primo i due membri allo stesso denominatore 2(4x ) 3(5 + 2x) 6 > 2 3(3x + 2) 2 6 Moltiplicando entrambi i membri per 6 si eliminano i denominatori Svolgiamo i prodotti 2(4x ) 3(5 + 2x) > 3(3x + 2) 2 8x 2 5 6x > 9x + 6 2
Trasportiamo tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutte le costanti al secondo membro 8x 6x 9x > +6 2 + 2 + 5 Sommiamo i termini simili 7x > Cambiamo di segno e di verso 7x < ividendo tutto per il coefficiente dell incognita si ha la soluzione x < 7 Rappresentiamo la soluzione Scriviamo l insieme S delle soluzioni 7 S =] ; 7 [ Risoluzione grafica di una disequazione numerica di grado Una disequazione di grado può essere anche scritta nel seguente modo mx + q 0 Ponendo y = mx + q La disequazione equivale al seguente sistema misto Che può essere interpretato graficamente. y = mx + q { y 0
L equazione y = mx + q rappresenta, nel piano cartesiano una retta. La disequazione y 0 rappresenta il semipiano delle ordinate positive o negativo incluso o meno l asse delle. I punti che soddisfano il sistema sono tutti quei punti che appartengono alla retta e al semipiano relativo. Esempio Risolvere graficamente la disequazione Essa è equivalente al sistema misto x + > 0 y = x + { y > 0 Si tratta di determinare i punti della retta che giacciono nel semipiano positivo delle ordinate Rappresentiamo la retta y = x + relativamente al semipiano interessato I punti che soddisfano la disequazione sono tutti i punti che appartengono alla semiretta che si trova al di sopra dell asse delle x. Le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti di tale semiretta con l esclusione del punto di ascissa -. L insieme delle soluzioni è pertanto l intervallo S =]; + [ Esempio 2 Risolvere graficamente la disequazione 2 x + 0
Essa è equivalente al sistema misto { y = 2 x + y 0 Si tratta di determinare i punti della retta che giacciono nel semipiano negativo delle ordinate incluso il punto della retta appartenente all asse delle x. Rappresentiamo la retta y = x + relativamente al semipiano interessato 2 I punti che soddisfano la disequazione sono tutti i punti che appartengono alla semiretta che si trova al di sotto dell asse delle x. Le soluzioni della disequazione sono le ascisse dei punti di tale semiretta incluso il punto di ascissa -2. L insieme delle soluzioni è pertanto l intervallo S =] ; 2] isequazioni frazionarie e disequazioni intere. Il metodo di risoluzione che esporremo ci consentirà di risolvere disequazioni del tipo ax + b (ax + b)(cx + d) > 0; (ax + b)(cx + d)(ex + f) < 0; 0; ecc. cx + d (ex + f) Per risolvere tali tipi di disequazioni conviene seguire il seguente procedimento. Se il 2 membro della disequazioni non è zero, si trasportano tutti i termini al primo membro in modo che al 2 membro compaia solo lo zero 2. Si cerca di scrivere il membro come prodotto di polinomi di grado oppure come frazione avente numeratore e denominatore polinomi di o prodotti di tali polinomi.
3. I fattori sempre positivi si possono trascurare in quanto non incidono sul segno della disequazione. 4. Si studia il segno di ciascuno degli altri polinomi sempre con il verso > e con il verso solo per i polinomi del numeratore se nel verso della disequazione da studiare è presente l uguale. 5. Si disegna uno schema grafico che visualizza il variare dei segni dei singoli fattori al variare dell incognita 6. Si determina il segno della disequazione ricordando che un prodotto o un rapporto è positivo se i fattori negativi sono in numero pari e negativo se sono in numero dispari. 7. Tenendo conto dei risultati ottenuti si determinerà l insieme delle soluzioni della disequazione. Alcuni esempi chiariranno meglio quanto detto Esempio Trasportiamo tutti i termini al membro Riduciamo allo stesso denominatore x + 2 > 3 + x 2 2x x + 2 3 + x 2 2x > 0 x + 2 3 + x 2( x) > 0 2 + 4( x) 3 x 2( x) 2 + 4 4x 3 x 2( x) 5x + 3 2( x) > 0 Il fattore 2 del denominatore si può trascurare per cui la disequazione da studiare è Studiamo il segno del numeratore 5x + 3 ( x) > 0 > 0 > 0 5x + 3 > 0 x < 3 5
Studiamo il segno del denominatore x > 0 x < isegniamo lo schema grafico che riassume il variare dei segni 3 5 + - + Si conclude che la disequazione è soddisfatta per L insieme delle soluzioni è x < 3 5 x > S =] ; 3 [ ]; + [ 5 Esempio 2 x 2 2x + x + 3 Trasformiamo la disequazione in una forma equivalente Studiamo il segno del numeratore 0 (x ) 2 x + 3 0 (x ) 2 0 (x )2 > 0 x x = 0 x = Studiamo il segno del denominatore x + 3 > 0 x > 3
isegniamo lo schema grafico che riassume il variare dei segni 3 - + 0 + Si conclude che la disequazione è soddisfatta per x < 3 x = L insieme delle soluzioni è S =] ; 3[ {} Esempio 3 x 2 4 x 2 2x 3 > 0 Trasformiamo la disequazione in una forma equivalente (x + 2)(x 2) (x 3)(x + ) > 0 Studiamo il segno dei fattori del numeratore x + 2 > 0 x > 2 x 2 > 0 x > 2 Studiamo il segno dei fattori del denominatore x 3 > 0 x > 3 x + > 0 x >
isegniamo lo schema grafico che riassume il variare dei segni 2 2 3 + - + - + Si conclude che la disequazione è soddisfatta per L insieme delle soluzioni è x < 2 < x < 2 x > 3 S =] ; 2[ ] ; 2[ ]3: + [ Sistemi di disequazioni efinizione Si chiama sistema di disequazioni un insieme di due o più disequazioni, tutte nella stessa incognita, considerate contemporaneamente. efinizione Si dice che un numero è soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituito all incognita, trasforma le disequazioni del sistema in diseguaglianze vere. Per risolvere un sistema di disequazioni è sufficiente risolvere singolarmente ciascuna disequazione del sistema. L insieme delle soluzioni del sistema sarà dato dall intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni. Per determinare tale insieme si farà la rappresentazione grafica dell insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione. L insieme delle soluzioni del sistema sarà costituito da tutti quegli intervalli in cui sono soddisfatte tutte le disequazioni; tali intervalli sono quelli in cui tutte le linee sono continue. Qualora una disequazione risulta sempre falsa il sistema sarà impossibile e l insieme delle soluzione sarà l insieme vuoto. Se invece una disequazione risulta sempre vera si può trascurare.
Esempio 2x + < x { 3(4 + x) 7x x < 0 Risolviamo singolarmente le disequazioni del sistema a disequazione 2x + < x x < 2 a disequazione 2 + 3x 7x x 3 3 a disequazione x < 0 x < Il sistema è equivalente al sistema 2x + < x { 3(4 + x) 7x x < 0 x < { x 3 x < Per determinare l insieme delle soluzioni del sistema facciamo la rappresentazione grafica dell insieme delle soluzioni di ciascuna disequazione 3 al grafico deduciamo che l intersezione delle soluzioni è x < La soluzione del sistema è S =] ; [ Bibliografia:. odero P. Baroncini R. Manfredi: Lineamenti di Matematica Ghisetti & Corvi Editori