Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) I.) Studiare il comportamento della serie n n (n + )!, I.) Trovare i punti dell iperbole equilatera di equazione x y che sono più vicini al punto di coordinate (a, 0). Discutere le soluzioni al variare del parametro a. I.3) Calcolare il seguente integrale indefinito: + x dx. I.4) Dati i numeri complessi z 4 3i, z + i determinare analiticamente i numeri z + z, z z, z z, z 3z. I.5) Proprietà e criteri delle serie a termini positivi. Svolgimento I.) Si tratta di una serie a termini positivi, se applichiamo il criterio del rapporto otteniamo: lim n pertanto la serie converge. n+ (n + )! 4 lim (n + 3)! n n (n + 3)(n + ) 0. I.) Si tratta di minimizzare la funzione d(x, y) (x a) + y, con il vincolo y x, al variare di a R. Piuttosto che minimizzare la funzione, minimizziamo il suo quadrato f(x) d (x, ± x ) (x a) + x con la condizione che x (il punto (x, x ) deve appartenere alla iperbole). Risulta f (x) (x a) + x 4x a 0 x a/. Discutiamo allora al variare di a quali sono i punti che minimizzano la distanza d. Per ragioni di simmetria basta esaminare il caso a R + 0 minimo in corrispondenza di a 0, allora P ( x, ±y) lo sarà per a. perché se P (x, ±y) è un punto di
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 Se 0 a/, cioè se 0 a, la funzione d risulta crescente nella semiretta [, [ e dunque il punto dell iperbole che minimizza la distanza è il punto (, 0); in tal caso la distanza vale a, se a <, altrimenti vale a. Se invece a > allora la funzione d decresce per x [, a/[, cresce in ]a/, [ e ammette un minimo nel punto x a/; i punti della iperbole cercati sono (a/, ± a /4 ). I.3) Con la sostituzione x t si ottiene dx tdt e dunque ( + x dx t + t dt + t [t log( + t ) + c] t x ) dt x log( + x ) + c. I.4) Dati z 4 3i, z + i risulta allora z + z 3 i 9 + 0 z z 5 5i 5 z z 4 + 3i + + i 5 + 5i z 3z (4 + 3i) 3( i) 9 + i 8 + 44 5
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 3 II appello 6 Febbraio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) II.) Determinare un settore circolare di perimetro assegnato e area massima. II.) Studiare il comportamento della serie n n 0 (log 3) n. II.3) Calcolare il seguente integrale indefinito xarc tan xdx. II.4) Descrivere il luogo rappresenato da z + i + z i 6. II.5) Proprietà delle funzioni derivabili. Svolgimento II.) Se indichiamo con α l angolo al centro che determina il settore e con r il raggio della circonferenza, allora il perimetro e l area del settore valgono: P P (r, α) r + rα r( + α), A(r, α) r α. Ricaviamo il raggio r dalla prima equazione e sostituiamolo nella seconda A(α) ( ) P α, α [0, P r ]. + α r Se deriviamo la funzione area otteniamo: A (α) P (α ) 0 α. ( + α) 3 Il massimo cercato si ottiene allora per α min { }, P r r. II.) Applichiamo il criterio della radice n-esima. dunque la serie converge. ( ) n 0 n lim n (log 3) n log 3 lim n n0/n log 3 lim e 0 n log n 0; n
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 4 II.3) Si risolve per parti, xarc tan xdx ( x II.4) Poniamo z x + iy, allora Se quadriamo ) arc tan xdx x x arc tan x arc tan xdx + x arc tan x arc tan xdx + + x dx x arc tan xdx + arc tan x x x + dx x arc tan x x arc tan x x + arc tan x xarc tan x + x + arc tan x xarc tan x + log(x + ) + c. z + i x + i(y + ), z i x + i(y ) 6 z + i + z i x + (y + ) + x + (y ) 36 x + y + 8 + (x + (y + ) )(x + (y ) ) quadriamo di nuovo l equazione x + y + 4 + x 4 + y 4 + x y + 8x 4 x4 + y 4 + x y + 8x 4 x y x 4 + y 4 + x y + 8x 4 44 + x 4 + y 4 4x 4y + x y 3x + 4y 48. La soluzione cercata è allora l ellisse di equazione 8x + 3y 37.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 5 III appello - 9 Giugno 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) III.) Studiare il comportamento della serie: n + n. n + n n III.) Dati a 4 5i, a + 3i calcolare III.3) Sia f : /, R definita da a a,, a, (a + a ) a,. a a a + a f(x) + x x. Dire se f è integrabile alla Riemann, calcolare la sua funzione integrale e dire se è una primitiva di f. III.4) La funzione integrale: definizione e sue proprietà. n Svolgimento III.) Si tratta di una serie telescopica: n + n n + n III.) La somma parziale n-esima è: s n somma vale. n n n + n + ; pertanto la serie data converge e la sua a a (4 5i) ( + 3i) 8 + i 0i + 5 3 + i a + 3i 3i ( + 3i)( 3i) 3i 3 a + 3i ( + 3i)(4 + 5i a 4 5i (4 5i)(4 + 5i) i 7 4 (a + a ) (4 5i + + 3i) (6 i) 36 4 4i 3 4i a 4 5i (4 5i)(6 + i) 34 i a + a 6 i (6 i)(6 + i) 40
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 6 III.3) La funzione f(x) + x x x / x < 0 + x 0 x è continua nel suo dominio di definizione e dunque è Riemann integrabile e la sua funzione integrale è una sua primitiva. La sua funzione integrale F : [ /, ] R è definita da: x dt / x < 0 / F (x) t 0 x / t dt + 0 x 0 + t [ log ( +t )] x / x < 0 t / [ log ( +t )] 0 + [arc tan t / t]x 0 0 x ( ( log +x ) + log 3 ) / x < 0 x log 3 + arc tan x 0 x III.4) Rivedere attentamente il paragrafo 0 del capitolo 6.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 7 IV appello - Luglio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) IV.) Un triangolo isoscele ha vertice nell origine e base parallela all asse x con vertici sulla parabola y 9 x. Trovare l area del triangolo più grande. IV.) Studiare il comportamento della serie: IV.3) Determinare R(e 3+3πi ), I(e iπ/4 ). IV.4) I numeri complessi. n n!e n n n. Svolgimento IV.) Se con x indichiamo la lunghezza della metà della base del triangolo isoscele, allora l altezza del triangolo è data da h 9 x e la funzione area da massimizzare a(x) x(9 x ), con il vincolo che x [0, 3]. Risulta a (x) 9 3x 0 se e solo se 0 x 3 e quindi il triangolo che massimizza l area ha semibase x 3. IV.) Si tratta di una serie a termini positivi, quindi o converge o diverge. Il criterio del rapporto non ci aiuta in questo caso, infatti: a n+ (n + )!e n+ lim lim n a n n (n + ) n (n + ) n n n!e lim e n n ( ) n n. n + Ciò nonostante questa informazione ci risulta utile per provare che a n+ > a n, infatti risolvendo la disequazione a n+ (n + )!en+ (n + ) n (n + ) > (n)!en (n) n a n otteniamo la nota disuguaglianza che sta alla base della dimostrazione del limite notevole legato al numero di Nepero: ( ) n n + < e n
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 8 IV.3) che risulta vera per ogni n. Pertanto la successione data è monotona crescente e la serie data risulta divergente in quanto lim a n a e > 0. n e 3+3πi e 3 (cos 3π + i sin 3π) e 3 ; R(e 3+3πi ) e 3 e iπ/4 cos π/4 + i sin π/4; I(e iπ/4 ) /
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 9 V appello - Settembre 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) V.) Studiare il comportamento della serie: + n ( ) n+ (e n ). Se la serie converge, dare poi una stima della somma con un errore inferiore a 0 4. V.) ) Si consideri f : IR + IR definita con la legge: f(x) (x n) 3, n x < n +, n, 3, 5, 7,. La f possiede punti di discontinuità? In caso affermativo far vedere che tali discontinuità sono di I specie. f risulta continua? Possiede punti di non derivabilità? In questi ultimi, se esistono calcolare la derivata destra e la sinistra. V.3) Dato un numero complesso z, dare una interpretazione geometrica del numero ze ia con a reale. V.4) Condizioni sufficienti per la sviluppabilità in serie di Taylor. Svolgimento V.) Sia a n e n. limn e n 0. Per ogni n IN an 0 e n + n e n+ e n a n+ e n+ e n an. Risultano allora soddisfatte tutte le ipotesi del Teorema di Leibnitz, la serie data pertanto converge. Converge, ma non assolutamente. Infatti lim n e n n
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 0 e quindi per il criterio del confronto asintotico la serie della serie n a n ha lo stesso comportamento n e quindi diverge. Riepilogando la serie data converge semplicemente. Per quanto riguarda la stima basta ricordare che l errore che si commette sostituendo alla somma della serie la sua somma parziale ennesima R n a n+ basta quindi determinare il primo intero che soddisfa la disequazione e n+ 0 4. n V.) La funzione f è una funzione periodica di periodo. Basta studiare il comportamento in [0, ]]. lim f(x) lim f(x) x 0 + x n + lim f(x) lim f(x) x x n I punti x n, n IN sono punti di discontinuità di prima specie non eliminabile per f. In tali punti però la fiunzione f è continua infatti lim x n f(x). Non sono però punti di derivabilità come si può vedere dal calcolo del limite del rapporto incrementale: ( x) 3 lim x 0 + x (x ) 3 lim x x lim x 0 + 3x x lim x n [x (n )] 3 x n 3 lim x n + [(n + ) x] 3 x n lim x (x )[(x ) + (x ) + ] x lim x x x + 3 V.3) Sia z re it, allora il numero ze ia re i(t+a), la moltiplicazione di un vettore z per e ia si traduce quindi nel ruotarlo in senso antiorario di un angolo a.
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 VI appello - Settembre 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio) VI.) Sia f : [, ] IR convessa con f(0) 0, f( ) f(). Si chiede di dimostrare che: f(x) x per ogni x [, ]; f R[, ]; f(x) x per ogni x [, ] se VI.) Studiare il comportamento della serie: + n f(x)dx. arctan[ ( )n n ]. VI.3) Dato il numero complesso z + i 3 determinare (z) 4. VI.4) Sia E IR un insieme limitato. L estremo inferiore di E è un punto di accumulazione per E? Se la risposta è affermativa, farne la dimostrazione. Se si ritiene che la risposta non sia affermativa si presentano due alternative: a) non è un punto di accumulazione ed in tal caso va dimostrato; b) può essere un punto di accumulazione ed in tal caso va portato un esempio che giustifichi l affermazione. Questa alternativa permette di individuare una condizione su E sotto la quale l estremo inferiore è un punto di accumulazione? Quale è la condizione? In caso affermativo darne la dimostrazione. Svolgimento VI.) La prima proprietà discende direttamente dalla definizione di funzione convessa applicata alla f, infatti per ogni t [0, ], f(t) t e per ogni t [, 0], f(t) t (geometricamente il grafico della f si trova sempre al di sotto del segmento che congiunge rispettivamente i punti (-,) (0,0) e (0,0) (,)). La funzione f è continua in ], [ ed ha al più due punti di discontinuità (x ±). La
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 funzione f è poi limitata superiormente (vista la dimostrazione precedente), se è anche limitata inferiormente allora è anche integrabile alla Riemann. Siccome f è per ipotesi convessa allora per x 0 esiste una retta di appoggio r, cioè il grafico di f si trova sempre al di sopra della retta r, pertanto il grafico di f si trova al di sopra del segmento della retta r compreso tra x e x e questo prova che f è limitata inferiormente. Se poi in qualche t], [ la f non coincidesse con t allora la funzione f(t) t in quel punto sarebbe negativa e per il teorema della permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno di tal punto in cui il segno di f(t) t è ancora negativo, ne segue che l integrale non potrebbe fare. VI.) poiché la funzione arctan x è dispari arctan[ ( )n ] n ( )n arctan[ ]. lim n n arctan[ ] n 0; per ogni n IN arctan[ ] arctan[ ] e quindi, per il criterio di Leibnitz, la serie n+ n converge. Per quanto riguarda la serie dei valori assoluti arctan[ lim ] n n n e quindi, per il criterio del confronto asintotico la serie dei valori assoluti diverge. Quindi la serie data converge semplicemente. VI.3) (z) 4 ( + i ) 4 ( 3 i ) 4 3 ( ) [ i 3 + i ] 3 i 3 VI.4) L estremo inferiore di E può essere un punto di accumulazione. Esempio E {/n}, infe 0 è di accumulazione, se invece E {0, }, infe 0 non è di accumulazione. L estremo inferiore è sempre un punto di aderenza per E, se non appartiene ad E allora necessariamente deve essere di accumulazione