Teoria geometrica della propagazione

Teoria geometrica della propagazione Valeria Petrini - Propagazione M

Introduzione Le onde elettromagnetiche, una volta irradiate dall antenna trasmittente possono raggiungere l antenna ricevente in quattro modi: 1. Onda diretta 2. Onda terrestre (superficiale) 3. Onda spaziale 4. Onda di cielo

Introduzione L atmosfera terrestre è una miscela di diversi gas atmosferici che può essere descritta come mezzo dielettrico non omogeneo ad indice di rifrazione variabile. Lo studio della propagazione in mezzi ad indice di rifrazione variabile (n(h)) è molto complesso se condotto in modo esatto a partire dalle equazioni di Maxwell. Risulta allora opportuno lo sviluppo di tecniche alternative, tra le quali l ottica geometrica è una delle più potenti.

Teoria ondulatoria e Teoria geometrica Evoluzione pensiero scientifico: 1. Teoria geometrica 2. Teoria ondulatoria 3. Teoria vettoriale TEORIA GEOMETRICA Approccio che dà alla radiazione elettromagnetica le stesse proprietà dei corpuscoli. La natura della luce ci permette quindi di analizzare alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi (segmenti di retta aventi la direzione del fronte d onda). TEORIA ONDULATORIA Il campo elettromagnetico è descritto dalla cosiddetta funzione d onda che soddisfa l equazione delle onde: " 2 u(r,t) # 1 v 2 $ 2 u(r,t) $t 2 = 0 u( r,t)

Teoria geometrica (o dei raggi) Descrive la propagazione del campo in mezzi non omogenei senza perdite a condizione che gli scostamenti dall uniformità siano piccoli su lunghezze paragonabili alla lunghezza d onda. Esamina, quindi, la propagazione nell ipotesi di λ 0 (frequenze ottiche) trascurando quindi tutti i fenomeni connessi con la diffrazione individuando semplicemente dei raggi di propagazione dell energia. E utile anche alle frequenze radio se si vuole individuare il percorso della normale del fronte d onda in un mezzo indefinitamente esteso. Essendo una teoria scalare, non descrive quei fenomeni che richiedono la conoscenza di tutte le componenti del campo come ad esempio la polarizzazione.

Definizioni Onda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una regione limitata dello spazio, si dice che si ha un onda quando tale perturbazione si propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e modalità che dipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza perturbata. Superficie d onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali la grandezza perturbata varia concordemente nel tempo (punti in cui oscilla in fase). Raggio: data un onda che si propaga in un dato mezzo si definisce raggio ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d onda passante per quel punto.

Equazioni di Maxwell Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo Mezzo omogeneo Presenza di sorgenti di tipo elettrico ') " # E = $ j%µh ( *) " # H = j%& E + J i %' "# D = $ & (' "# J "# B = 0 i = $ j%& Equazioni di Maxwell Equazioni della Divergenza Legge di conservazione della carica

Equazioni di Maxwell Per la risoluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di correnti elettriche impresse facciamo riferimento alla determinazione dei cosiddetti potenziali. A Definisco : potenziale vettore magnetico L equazione da risolvere per determinare è un equazione di Helmholtz non omogenea A " 2 A +# 2 µ$ A = %µj i

Equazioni di Maxwell Ricaviamo, quindi, le espressioni dei campi generati dalle correnti elettriche impresse: H = 1 µ " # A Q: punto potenziante P: punto potenziato E = " # " # A j$µ% & J i j$% La procedura per risolvere queste equazioni richiede l uso delle funzioni di Green. Consideriamo una regione illimitata.

Equazioni di Maxwell Considerando che la soluzione è unica se i campi soddisfano le condizioni di radiazione di Sommerfeld: La soluzione risulta: lim r " r' E( r) = 0 r"r' # $ lim r " r' H( r) = 0 r"r' # $ A( r) = µ 4" # J V i r' ( ) e$% r$r' r $ r' dr'

Equazioni di Maxwell Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo Mezzo omogeneo Assenza di sorgenti ') " # E = $ j%µh ( *) " # H = j%& E Equazioni di Maxwell $ &"# D = 0 % '& "# B = 0 Equazioni della Divergenza " 2 E +# 2 µ$ E = 0 " 2 E #$ 2 E = 0 con " 2 = #$ 2 µ% " 2 H #$ 2 H = 0 Equazioni di Helmholtz Omogenee

Equazioni di Maxwell Facendo l ipotesi di separazione delle variabili le soluzioni risultano: E = E 0e "S#r H = H 0e "S#r con Onda Piana S = a + jk = "ˆ a + jkˆ k = "ˆ a + j# 0ˆ s S : a : k : r : vettore di propagazione vettore attenuazione vettore di fase vettore posizione " 0 = # µ 0 $ 0 E = E 0e " j# 0 r$ˆ s H = H 0e " j# 0 r$ˆ s Dal punto di vista fisico, le onde piane uniformi rappresentano una soluzione sufficientemente approssimata se si è in presenza di una regione di spazio omogenea di dimensioni lineari molto maggiori della lunghezza d onda. per a = 0 Onda Piana Uniforme Superfici equifase : piani "k # raggi rettilinei e paralleli

Consideriamo: Equazioni di Maxwell Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo Mezzo non omogeneo "( r) = " 0 " r ( r) con " 0 = 1 % Farad ( 36# 10$9 & ' m ) * µ = µ 0 Assenza di sorgenti ' )" # E r ( *) " # H r ( ) = $ j%µh( r) ( ) = j%& r ( )E r ( ) Equazioni di Maxwell Analogamente al classico passaggio dalle equazioni di Maxwell a quelle di Helmholtz, si può ottenere: " 2 E( r) + # 2 µ$ ( r )E( r) = " " % E( r) ( )

Equazioni di Maxwell Poiché la soluzione in un mezzo omogeneo normale è data da un onda piana, se si ipotizza che nel mezzo non omogeneo, le variazioni siano piccole su distanze confrontabili con la lunghezza d onda, la soluzione può essere espressa da una funzione con ampiezza non più costante e con superfici equifase non più piane, del tipo: E( r) = E ( 0 r)e " j# 0 S ( r ) H( r) = H ( 0 r)e " j# 0 S ( r ) con " 0 = # µ 0 $ 0 E 0 H 0 Generalizzazione dell espressione precedente, considerando e dipendenti dal punto.

Riprendiamo: D( r) = "( r)e r e n = " ( r r) Sapendo che: Da cui si ottiene: Ottica geometrica classica " 2 E( r) + # 2 µ$ ( r )E( r) = " " % E( r) ( ) ( ) "# D = 0 " #$ E( r) = % #& r( r) & r ( r) D [ ln( f ( x )] = f! f ( x) ( x) " #$ E r " 2 E( r) + # 2 0 n( r)e( r) = $2" " ln n( r) E( r) ( ) = %# ln n 2 ( r) ( ) ( )E r ( ) [ ( )E r ]

Ottica geometrica classica Cerchiamo per " 2 E( r) + # 2 0 n( r)e( r) = $2" [" ln( n( r) )E( r) ] una soluzione del tipo E( r) = E 0( r)e " j# 0 S ( r ) Attraverso il procedimento di Felsen-Marcuvitz [1] otteniamo: E 0[ n 2 " #S 2 ] + 1 { [ ( )] + 2#S#E 0} " j$ 0 E 0# 2 S + 2#S E 0# ln n { [ ( )]} = 0 1 # 2 E ( j$ 0 ) 2 0 + 2# E 0# ln n N.B. Nell espressione è stata trascurata la dipendenza da r

Ottica geometrica classica Dividendo parte reale e parte immaginaria e volendo trovare soluzioni asintotiche per λ 0, otteniamo: $ &"S 2 = n 2 % '& E 0" 2 S + 2"S[ E 0 # "ln( n) ] + 2 ("S # ")E 0 = 0 Equazione iconale Equazione del trasposto

Equazione dei raggi Risolvendo l equazione iconale si può calcolare ( ) S( r) Le superfici per cui S r = costante sono i fronti d onda i quali definiscono la traiettoria del segnale in quanto permettono di individuare i raggi Detto sˆ ( x, y, z) il versore che indica la direzione locale di propagazione, si ha: s ˆ ( ) ( ) s ˆ = "S r n r Direzione del raggio La direzione locale di determina le traiettorie dei raggi Obiettivo: determinare le traiettorie dei raggi a partire dai termini noti, ovvero dalla funzione dell indice di rifrazione

Equazione dei raggi Introduciamo la coordinata curvilinea s del raggio: s P P " ( ) = dx 2 + dy 2 + dz 2 P 0 Consideriamo il versore tangente al raggio in un punto generico: ˆ s (s) = dxˆ x + dyˆ y + dzˆ z dx 2 + dy 2 + dz 2 = dr( s) ds " n( s) dr(s) ds = #S(s) Equazione dei raggi r(s) : Equazione parametrica della traiettoria

Equazione differenziale dei raggi Ciò che si è ricavato è che, sotto opportune ipotesi, la soluzione consiste in un campo TEM locale, la cui direzione di propagazione è ricavabile a partire da S Derivando l equazione dei raggi rispetto ad s si ottiene: Da cui si ottiene: d ds "S(s) d ds " $ # n(s) dr(s) ds ( ) = " % d ds S(s) # $ % ' = d & ds (S(s) ( ) & ( = " "S(s)) s ˆ ' ( ) = "n(s) " d ds # dr(s) & % n(s) ( = )n(s) Equazione differenziale $ ds ' dei raggi

Equazione differenziale dei raggi L equazione differenziale dei raggi ha il grande vantaggio di poter descrivere le traiettoria dei raggi sapendo solo l andamento di n r Trattandosi di un equazione differenziale del II ordine ha infinite soluzioni; per individuare il raggio occorrono 2 condizioni al contorno: ( ) $ r(0) = P! # dr( s)! " ds 0 s= 0 % O = sˆ(0) = sˆ 0 L integrazione dell equazione differenziale dei raggi può essere fatta numericamente con le tecniche di tracciamento dei raggi (Ray Tracing), molto più vantaggiose dell integrazione diretta dell equazione dell iconale

Traiettoria dei raggi In un generico punto della traiettoria è possibile definire il vettore curvatura associato a r(s): c = d 2 r (s) ds 2 = dˆ s (s) ds Indicando con R il raggio di curvatura locale si ha anche: c 1 c cˆ cˆ Il versore ŝ segue la tangente alla = = traiettoria, mentre ĉ è normale ad esso e R sono situati entrambi sul piano osculatore

Traiettoria dei raggi Ricordando l equazione differenziale dei raggi: Dalla definizione di e otteniamo: s ˆ c "n(s) = d # dr(s) & % n(s) ( ds $ ds ' d ds " $ # n(s) dr ds % ' = d & ds n(s)ˆ s (s) ( ) = dn(s) d s s ˆ (s) + dˆ s ds n(s) = dn(s) ds ˆ s (s) + cn(s) c ˆ Moltiplicando scalarmente per : "n(s)# c ˆ = dn(s) ds s { ˆ # c ˆ + n(s)c # c ˆ $ "n(s)ˆ c = n(s)c $ c = "n(s) n(s) 0 ˆ c

Traiettoria dei raggi Sapendo che: c = 1 R " 1 R = #n(s) n(s) $ ˆ c % 0 Equazione della Curvatura L ultima relazione mostra che la direzione di è sempre concorde con quella di "n, ovvero che il raggio tende sempre a piegare verso la regione a indice di rifrazione maggiore (equivalente della legge di Snell). c

Esempio (1) ATMOSFERA OMOGENEA mezzo ad indice di rifrazione costante Equazione differenziale dei raggi: " n d 2 r ds 2 Equazione della curvatura: " n( r) = costante = 0 " r = as + b 1 R = "n n # c ˆ " 1 R = 0 "n = d # ds n dr & % ( $ ds' Le traiettorie sono rettilinee in un mezzo omogeneo, ciascuna con direzione a e passante per r=b

Esempio (2) MEZZO A STRATIFICAZIONE SFERICA n = n( r) " #n r ( ) = dn ( r ) r ˆ dr L equazione differenziale dei raggi risulta: d ds n ( r ) 123 0 dr(s) ds + n( r) d ds " % $ dr(s) ' $ 12 ds 3 ' = (n r # & Moltiplicando vettorialmente per r : " r # n( r)ˆ s = costante ˆ s ( ) " d ds ˆ s (s)# n r ( ) = dn ( r ) Legge di Snell per mezzi a stratificazione sferica: è alla base della propagazione ionosferica e troposferica, che sfruttano la possibilità di avere il rientro a terra dell onda oltre l orizzonte geometrico. dr d ds r " n ( r )ˆ s (s) dr " n # r sin($) = costante ( ) ( ) = r " dn r ˆ r ˆ r = 0

Principio di Fermat Si considerino in un dato mezzo due punti P 1 e P 2 e un percorso che li colleghi; si definisce cammino ottico il seguente funzionale: L 1,2 " P 2 = ˆ n(s)ds P 1 PRINCIPIO di FERMAT: la traiettoria di un raggio rappresenta un minimo del cammino ottico Il principio di Fermat può essere un alternativa alla risoluzione dell equazione differenziale dei raggi; ad esempio in un mezzo omogeneo (n=cost) si ha: L 1,2 # P = " 2 nds = n" P 1 P P 1 2 ds = n! l

Onda piana locale e intensità Riscriviamo: " # E = $ j%µ 0 H " # H = j%& E E = E 0e " j# 0 S H = H 0 e " j# 0 S Equazioni di Maxwell Soluzione equazioni di Maxwell Sostituendo le soluzioni nelle equazioni di Maxwell e considerando: " " # ( f A) = "f # A + f" # A ) #S $ E 0 % & 0 H 0 = 1 # $ E 0 + j' 0 * + #S $ H 0 + ( r E 0 = 1 # $ H 0, + & 0 j' 0

Onda piana locale e intensità Conformemente all intenzione di determinare soluzioni asintotiche perλ 0 (f ) possono essere trascurati i secondi membri delle precedenti espressioni Considerando l equazione iconale: "S = nˆ s " ' ) ( ) *) H 0 E 0 = n # 0 ˆ s $ E 0 = % n & r # 0ˆ s $ H 0 s = ˆ $ E 0 # = n & r # 0 H 0 $ ˆ s N.B. Nelle espressioni è stata trascurata la dipendenza da r

Onda piana locale e intensità * Il vettore di Poynting vale: E " H E0 P = = sˆ 2 2! e quindi l energia si propaga nella direzione dei raggi ottici 2 In conclusione, per descrivere compiutamente la soluzione fornita all ottica geometrica è sufficiente risolvere l equazione iconale e successivamente tutto è descrivibile attraverso un unica funzione scalare, l intensità, costituita dal modulo del vettore di Poynting 1 I = E 2! 0 2 Queste conclusioni giustificano il fatto che nell ottica si sia effettuata una teoria scalare, in quanto ci si basa solo sulle traiettorie dei raggi e sulla loro intensità per descrivere la propagazione

Mezzo non omogeneo: Equazione da risolvere: Riepilogo "( r) = " 0 " r ( r) ( ) " 2 E( r) + # 2 µ$ E( r) = " "% E( r) Soluzione: generalizzazione onda piana Equazione iconale: Equazione dei raggi: "S 2 = n 2 n( s) dr(s) ds = "S(s) ( ) = E 0 r ( ) = H 0 r E r H r ( )e " j# 0S( r) ( )e " j# 0S( r) Equazione della curvatura: i raggi tendono sempre a curvare verso la regione ad indice di rifrazione maggiore; Mezzo omogeneo: traiettorie rettilinee Mezzo a stratificazione sferica: propagazione ionosferica e troposferica

Onda piana locale e intensità Il discorso fin qui fatto presenta tuttavia dei limiti; si consideri un tubo di flusso dell energia (superficie costituita lateralmente da una famiglia di raggi e ortogonalmente da due porzioni di superficie equifase). Applicando il teorema di Poynting (conservazione dell energia) ad un tubo di flusso di sezioni sufficientemente piccole da poter considerare su di esse S costante e supponendo mezzo privo di perdite: 0 = $ P " nd ˆ! = $ P " nd ˆ! + $ P " nd ˆ! + $! d! d! # P 1 " d! 1 1 = P 2 " d! 2 2 # I 1 " d! 1 =! l I P " nd ˆ! # 2 " d! 2 Legge di intensità dell ottica geometrica Università degli Informatica Studi di Bologna e Sistemistica - DEIS Valeria Petrini - Propagazione M

Onda piana locale e intensità Si è ricavato che l intensità è inversamente proporzionale alla superficie di base del tubo di flusso Tale legge cade in difetto qualora si verifichi la convergenza di tutti i raggi in un punto, detto fuoco SPREADING FACTOR: è un fattore che tiene conto dell eventuale allargamento del fronte d onda con la propagazione; la potenza trasportata da un raggio può pertanto diminuire con la distanza anche se il mezzo è privo di perdite A = P 1 P 2 = E 1 E 2 = lim d" 1,d" 2 #0 d" 1 d" 2

Onda piana locale e intensità Se il mezzo è omogeneo (quindi la propagazione avviene per raggi rettilinei) e si ha una generica onda (cioè una generica sorgente) si può dimostrare che: da A (", " s) 1 2, = "! " (" + s)( " + s) 1 1 2 2 C 3 C 4 C 1 C 2 ρ 2 da ρ 1 0 s in cui ρ 1 e ρ 2 sono i raggi di curvatura principali e C 1 C 2 e C 3 C 4 sono le caustiche dell onda. La superficie costituita dall insieme dei punti in cui i raggi convergono si chiama caustica e nel caso tale superficie si riduca ad un punto, i raggi convergono su di esso, che viene detto fuoco. I casi tipici sono solitamente tre: $ ' 0! Onda sferica : ' 1 = ' 2 = ' 0 % A = ' 0 + s!! # Onda cilindrica : ' 1 = &, ' 2 = ' 0 % A =!! Onda piana : ' 1 = ' 2 = & % A = 1! " ' 0 ' + s 0