Appunti della lezione del Prof. Stefano De Marchi del /0/6 a cura del Prof. Fernando D Angelo. Premessa. Equazioni differenziali. In generale un equazione differenziale di ordine n si può scrivere nel modo seguente: (, ) 0 ( n () F,,..., ) o più sinteticamente: () F ( n) (,,,..., ) 0 Ad esempio: + + 0 è un equazione differenziale del terzo ordine. Le soluzioni di un equazione differenziale in alcuni casi si possono dare in forma analitica, in altri si possono calcolare in modo numerico. Esempi di equazioni differenziali. Esempio. Crescita di una popolazione. Le variabili in gioco sono: a) t: tempo (variabile indipendente) b) P: numero di individui della popolazione. Considereremo due modelli. Modello : Crescita proporzionale al numero di individui. k () P ( t) k P( t), > 0 La () è un esempio di equazione differenziale del primo ordine. Nella notazione () si scriverebbe così: t (4) F ( t, P, P ) P ( t) k P( ) 0 Osservazione. In questo modello si assumono condizioni ideali per la crescita (ad es. risorse di cibo illimitate e assenza di predatori). Osservazione. La () ammette evidentemente la soluzione banale P( t) 0 in cui, se la popolazione iniziale è nulla, la popolazione rimane identicamente nulla. Il caso interessante però si ha quando la popolazione è positiva, P ( t) > 0, perché in tal caso dalla () anche ( ) > 0 Verifichiamo adesso per sostituzione diretta che (5) ( ) P t C e è soluzione della (). Infatti (6) P ( t) Ck e e dunque sostituendo nella la (5) e la (6) nella (): (7) Ck e k C e. Osservazione. Dal momento che vogliamo che la popolazione sia un numero positivo nella (5) dobbiamo considerare solo valori + C R. P t e dunque la popolazione è crescente. (Fig.)
La (5) in effetti rappresenta una famiglia di soluzioni dipendente dal parametro soprastante). Si può determinare il valore della costante C assegnando la condizione iniziale : + C R (si veda la Fig. k 0 (8) P ( 0 ) C e C Po Si ottiene quindi la soluzione particolare: (9) P( t) P o e in cui P o è la popolazione iniziale. In sintesi la (9) è la soluzione del problema: ( t) k P( t) ( 0) P, k > 0 (0) P P o Consideriamo adesso un altro modello. Assumiamo che l ambiente abbia risorse finite di cibo e inoltre siano presenti predatori: questi elementi sono in grado di limitare la popolazione. Modello. P () ( ) ( ) ( t) P t k P t, k > 0, K > 0 K in cui la costante k è il tasso di crescita della popolazione e K è la popolazione asintotica. La () è detta equazione logistica ed è anche nota come modello di Verhulst. Questo modello di crescita della popolazione fu infatti proposto da Pierre François Verhulst (matematico e statistico belga). Osservazione 4. i. Se P ( t) << K ( t) la () diventa ( ) ( ) P 0 K P t k P t, cioè ritroviamo il primo modello. Quando gli individui della popolazione sono pochi non si accorgono della limitatezza del loro contesto ambientale e crescono inizialmente in modo esponenziale. ii. Se P ( t) ( ) P t > K < 0 P ( t ) < 0 K Se la popolazione supera il valore K il modello impone la decrescita della popolazione: matematicamente P ( t) < 0 implica che ( t) iii. P( t) 0 P( t) K P sia una funzione decrescente. (Fig.) Sono soluzioni costanti particolari (per convincersene basta sostituire nella ()). iv. il modello () quindi descrive due regimi possibili: 0 < P P( t) < K P ( t) > 0 P( t) crescente ( t) > K P ( t) < 0 P( t) decrescente In Fig. si mostra una soluzione particolare ottenuta con il software Octave. Si guardi il tutorial online sulla risoluzione dell equazione logistica con Octave.
Esempio. Oscillazioni verticali in una molla. Consideriamo una molla (di massa trascurabile). Un estremo della molla è fissato ad un sostegno, all altro estremo è agganciata una massa m (si veda la figura a lato). Il sistema è in equilibrio nella posizione P * dove la forza elastica e la forza peso sono opposte. Se si perturba il sistema inizialmente fermo a partire dalla posizione di equilibrio, ad esempio allontanando verso il basso la massa m, il sistema oscilla attorno alla posizione di equilibrio. Le oscillazioni, assumendo che il moto sia idealmente unidimensionale, sono governate dall equazione scalare: () ma k in cui k è la costante elastica della molla. Essendo dv a e v d d si ha anche ( t) a Osservazione. L abitudine da parte dei fisici di indicare con un punto la derivazione rispetto al tempo risale alla notazione introdotta da Newton. La () si può pertanto riscrivere nel modo seguente: d ɺ () m m ( t) m k (4) ( t) che diventa: k k e infine, posto, m m (5) ( t) ɺɺ. che è un esempio di equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. È facile verificare che la soluzione generale della (5) è data da:. (6) ( t) Asin t + Bcos t Infatti dalla (6) : (7) ( t) A cos t B sin t (8) ( t) A sin t B cos t ( Asin t + Bcos t) ( t) e quindi la (5) è soddisfatta. Altri esempi di equazioni differenziali. ; dividiamo ambo i membri per () e poi integriamo membro a membro: (9) ln d + C d C e e C e
(0) ; integrando membro a membro: d 4 4 + C () d [ ] Verifichiamo per sostituzione diretta che + C e C e C e ( ) ( C e ) ( + C e ) ( C e ) C e ( ) C e ( C e ) + C e [ ( ) ] ( + C e ) ( C e ) C e è soluzione della (). 4C e C e ( ) ( ) C e C e ( C e ) In generale il problema di Cauch o problema ai valori iniziali si formalizza nel modo seguente: () f ( ) ( ) ; o o Ad esempio assegnando la condizione iniziale ( 0 ) troviamo la soluzione particolare dell equazione (): () ( 0) + C e C e 0 + C C + C C C ~ + e e (4) + e e 4
Esercizi assegnati per la lezione successiva. ) Verificare che la funzione (5) + ; ) Verificare che la funzione sin cos cos (6) + ( tg) ( 0) è una soluzione particolare dell equazione: risolve il problema di Cauch: cos π π, r t ) Per quali valori di r la funzione ( ) (7) + 6 0? ; e è soluzione dell equazione differenziale 4) Delle sottoelencate funzioni quale/quali è/sono soluzioni dell equazione differenziale + + 0? a) b) c) d) e e e e 5) Data l equazione differenziale: (8) i. Dedurre qualche proprietà delle soluzioni; ii. Verificare che è soluzione; + C iii. Esistono soluzioni della () diverse da? + C iv. Risolvere il problema di Cauch : ( 0) 5
Altri esempi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Campo di direzioni. Il problema: (9) + ( 0) si può interpretare facilmente in senso geometrico nel piano cartesiano. In ogni punto del piano P (, ) della retta tangente al grafico nel punto P. è assegnato il valore della derivata prima della funzione, quindi la pendenza Si può allora realizzare un grafico in cui in ogni punto del piano si rappresenta il versore tangente al grafico della funzione in quel punto (vedi Fig.). Nella Fig.4 è rappresentata la particolare funzione soluzione del problema di Cauch (9). Nella Fig.5 sono rappresentare 4 soluzioni relative a 4 diverse condizioni iniziali. Fig. Fig.4 Fig.5 Un problema analogo è dato da: (0) + ( 0) 0 Per capire l andamento delle soluzioni si potrebbe realizzare una tabella del tipo: - - 0 - - 0 0 0 0 0 0-0 4 Nella Fig.6 sottostante si mostra un grafico in cui in ogni punto del piano si rappresenta il versore tangente al grafico della funzione in quel punto. Nella Fig.7 è rappresentata la particolare funzione soluzione del problema di Cauch (0). 6
Fig.6 Fig.7 7