Animaione Digitale leione 3 - Geometia of Albeto Boghese /66 Desciione analitica di fome geometiche Desciione paametica Quadiche, Spline, Rappesentaione sotto foma di funioni Mesh, desciione pe punti Insieme di punti + connettività (eg VRML /66
Geometia Analitica Le coodinate dei paameti e dei punti sono espesse in un popio sistema di ifeimento (faemo ifeimento alle mesh pe semplicità i vetici dell oggetto sono definiti ispetto a un oientamento popio e natuale un oggetto complesso può essee decomposto in elementi più semplici col popio ifeimento locale e in seguito assemblato aggagando oggetti elementai e collocae coettamente nello spaio un oggetto si applicano le tasfomaioni che cambianoil ifeimento locale Desciione analitica di fome geometiche semplici e della loo tasfomaione geometica (anche poiettiva 3/66 Sommaio Richiami di algeba delle matici Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 4/66
A αa C Matici T [ ai, j ] A [ a j, i ] [ αai, j ] C A + B [ ai, j + bi, j ] n AB [ ci, j ] dove [ ci, j ] ai, kbk, j k odotto degli elementi di una iga pe gli elementi di una colonna Se A (n m B (m p C (n p A 3 4 B 3 > 7 C 3 7 3 5/66 Matici (opietà La somma è associativa e commutativa (A + B + C A + (B + C Il podotto è associativo ispetto alla somma ma non commutativo (A+BC AC + BC AB BA [ a ] I pe i j i, j altimenti AI A IA vettoe come matice colonna matice : u T identità u u u podotto vettoe matice : v u T M 6/66
Deteminante A [a i,j ] det(a j ( ( i+ j a ij A * ij i ( ( i+ j a ij A * ij A* minoe complementae di A A 3 Elementi sulla iga det(a (- (+ ( [(3 * (- * ] + (- (+ ( [(* (-*] + (- (+3 ( [(*-(3*] -6 + -4 7/66 Matice Invesa A [a i,j ] A - /det(a A A A 3 A A A 3 A A A n 3 33 A 3 A - [ ] [3 ( ] ( [ 3] 3 ( [ ( ] 3 ( /4 3 8 3 5 6 deta -4 AA - -/4 ( + 3( 3 ( + ( 3 + ( ( + ( 3 + ( 8 + 3 4 ( ( 8 + 4 + ( 8 + 4 + ] 3+ 3( 5 ( 6 3+ ( 5 + ( 6 I 3+ ( 5 + ( 6 8/66
A [a i,j ] Matici otonomali Condiione di otogonalità: La somma dei podotti di due ighe o di due colonne è Condiione di nomalità: Il deteminante è Condiione di nomalità: Il deteminante è La somma dei podotti di due ighe o di due colonne è La somma dei quadati degli elementi di una iga o colonna è A A - 9/66 Sistema lineae a + a + a N N b a + a + a N N b a M + a M + a MN N b M A X B M Esempio: 3 + + 4 N 5 4 - + 5 N 3 + 3 + -3 N - M N (Matice di disegno N Vettoe delle incognite Vettoe dei temini noti /66
Sistema lineae: soluione A X B A A X A B (A A - A A X (A A - A B X (A A - A B N> M Numeo equaioni minoi del numeo di incognite - det(a A N M Numeo equaioni uguale al numeo di incognite - det(a A > soluioni det(a A? > soluione N < M Numeo equaioni maggioe del numeo incognite - det(a A > soluioni det(a A? > soluione NB La soluione minimia l eoe ta le ossevaioni ed il modello: min (AX B /66 Sistema lineae: soluione obusta A X B A A X A B X (A A - A B Numeo di condiionamento vaia cica con (A *A Soluione tamite Singula Value Decomposition A X B U W V X B Otonomali Diagonale V T W - U T U W V X V T W - U T B X V T W - U T B Numeo di condiionamento vaia cica con A W - è diagonale w ii - /w ii /66
Richiami di algeba delle matici Sommaio Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 3/66 Vettoi Sono identificati da punti: e Q Sono caatteiati da modulo (distana ta e Q, oientamento e veso Vettoe ( O in osso Con i vettoi posso identificae la posiione di tutti i punti nello spaio Euclideo (R k 4/66
Spai vettoiali (definiione I Uno spaio vettoiale W è un guppo additivo ispetto all addiione sse: E definita l addiione: w + opietà: commutativa, associativa Esistena: dello eo e dell opposto II E definita l opeaione di moltiplicaione numeica pe uno scalae: λ λ opietà: distibutiva ispetto alla somma ed associativa Esistena: dell elemento neuto λ 5/66 Somma e sottaione ta vettoi Il vettoe somma ( + viene ottenuto come segue: A I due vettoi e vengono posiionati in sequena: la posiione finale di coincide con la posiione iniiale di B Il vettoe somma pate dalla posiione iniiale del pimo vettoe ( e ha posiione finale la posiione finale del secondo vettoe ( Il vettoe diffeena ( - viene ottenuto come segue: A I due vettoi e vengono posiionati con l oigine comune B Il vettoe diffeena congiunge le posiioni finali dei vettoi 6/66
Base di uno spaio vettoiale Lineaità: Combinaione lineae: α( u + v αu + α v w α u + α u + + αn u n n α u i i i α u + α u + + αn un iff α α αn ( u,, un ( u,, un sono lineamente indipendenti è una base dello spaio vettoiale 7/66 Base pe uno spaio Euclideo Con i vettoi posso identificae la posiione di tutti i punti nello spaio Euclideo (R k ( O ( + ( + ( O ( - k ( - - i ( - O - O j n i α u i i I vesoi: i, j, k sono i vettoi di lunghea unitaia che individuano gli assi catesiani, sono otogonali, e fomano una tena di vettoi otonomali, una base otogonale (otonomale dello spaio catesiano 8/66
odotto inteno (o scalae cos(θ opietà commutativa: Annullamento del podotto: sse Funione lineae del pimo fattoe e vale la popietà associativa: (λ λ( ( + + 9/66 odotto scalae, significato geometico Da: λ λ u con u vesoe di, segue che: oieione otogonale di un segmento su un alto Calcolo il podotto scalae in questo modo: V VV u α W W W U W V WV ( W u V WV (W V + W V + W V WV cos( α u u Oientamento di (-O: u u u u V W cos α V W u Il coseno dell angolo ta segmenti è il podotto scalae nomaliato /66
opietà del segno del podotto scalae se VW > l angolo α è: 9 < α < 9 se VW l angolo α è: 9 o 9 se VW < l angolo α è: 9 < α < 7 il podotto scalae si può quindi usae pe valutae l oientamento di segmenti Il podotto scalae è nullo se i segmenti sono otogonali (condiione di pependicolaità V VV u α W W W U NB cos(α cos(-α Condiione di otogonalità: /66 ( u,, è la base dellospaio u n Base otogonale Vale la elaione: u i u j i Le basi sono otogonali (eg gli assi coodinati degli spai Euclidei Le coodinate (,, di un punto nello spaio Euclideo non sono alto che la poieione otogonale del vettoe (-O sugli assi B ( O i + j n i α u i i j i j + i j A j O (-O i (-O j i A Le coodinate di un punto si ottengono poiettando (-O sugli assi B Il vettoe (-O, cioè il punto, si ottiene come combinaione lineae delle coodinate moltiplicate pe i vesoi degli assi /66
Base non otogonale dello spaio Euclideo u β (-O u β (-O u β O β u u β u + β u α u + α u β u O β a i? b i 3/66 Calcolo delle coodinate intinseche u O (,3 3 o u [ ], noma unitaia u [ 3/ /], noma unitaia u i [ ], noma unitaia j [ ], noma unitaia AX B j O (,3 i α + α 3/ 3 α + α / A 3 / / α + α 3 α + α A det(a (- 3/(? Quando det(a? det(a (( α 8453 α 394 α u + α u 8453*+394*866 8454*+394*/ α α 3 α i+ α j Coodinate intinseche? poieione otogonale di su u e u 4/66
odotto vettoe (coss poduct W UV i det U V j U V k U V ( U V U V ( U V U V ( U V U V Il isultato è un vettoe a sua volta U i V j W UV ( ( ( [ ] k (,, Il podotto vettoiale non gode della popietà commutativa 5/66 odotto vettoe (significato geometico W UV i det U V j U V k U V ( U V U V ( U V U V ( U V U V Vettoe nomale al piano identificato da U e V W U V α W U V sin(α sin( α ( UV /( U V Il podotto vettoe è nullo se i segmenti sono paalleli Il veso di W è coeente con la egola della mano desta 6/66
odotto vettoe (significato geometico W UV (UV d W i (,, j (,, k (,, U U i + U j + U k V V i + V j + V k W ( U V U d V U V i ( U V U U V j+ ( U V V α Il podotto vettoe (coss poduct si può espimee con i vesoi (icodiamo che la somma di due vettoi è un vettoe i W UV detu V U V k j U V k U V 7/66 Y Lo spaio Euclideo Z X Lo spaio può essee oientato in due modi: mano desta: avvolgete la mano all asse e puntate il pollice veso di voi, viene a desta e va veso l alto (tena destosa mano sinista: avvolgete la mano all asse e puntate il pollice veso di voi, viene a sinista e va veso l alto Questo definisce il wold coodinate sstem in cui sono definiti gli oggetti 8/66
Richiami di algeba delle matici Sommaio Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 9/66 Le coodinate polai cos(θ OH sin(θ H θ H (,θ sono le coodinate polai 3/66
Rette oientate nel piano β o α - o (X,Y X + cos( α Y + cos( β Y o o o + cos(9 α Y o + sin( α cos α+sin α cos α+cos β Relaione di otogonalità -> paameto libeo: coefficiente angolae tg(α La etta nel paino è identificata da 3 paameti indipendenti 3/66 Rette oientate (coseni diettoi AB B(X,Y,Z X o + cos( α Y + cos( β o Z + cos( γ o cos( α cos( β cos( γ [( B A i ]/ ( B A BA / BA [( B A j] / ( B A BA / BA [( B A k] / ( B A BA / BA 3/66
Rette oientate (coseni diettoi Vale la elaione fondamentale: cos α+cos β +cos γ (elaione di otogonalità > paameti La etta nello spaio è identificata da 5 paameti indipendenti 33/66 Coseni diettoi nel piano β α - o (X,Y cos( α cos( β cos(9 α sin( α I coseni diettoi della etta nel piano sono quindi: [cosα, sinα] 34/66
s θ α Angolo ta ette oientate β Coseni diettoi di s: s, s ; angolo β Coseni diettoi di :, ; angolo α β θ + α cos(θ cos(β α cos(αcos(β +sin(αsin(β s + s cos(θ s s + s ( + s (podotto scalae dei vesoi delle due ette Condiione di paallelismo: cos(θ s, s, s Condiione pependicolaità: cos(θ s + s + s (podotto scalae nullo 35/66 I piani nello spaio coseni diettoi: [cos(α, cos(β, cos(γ] π : cos(α + cos(β + cos(γ d 36/66
Rappesentaione di fome semplici Definiione di una base (vettoiale pe lo spaio Euclideo Desciione degli elementi geometici in questo spaio mediante numei che specificano una posiione o una dieione 37/66 Sommaio Richiami di algeba delle matici Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 38/66
Tasfomaioni Tasfomo in Cambia il sistema di ifeimento Cambia la posiione del punto 39/66 Coodinate omogenee Spaio delle classi di equivalena: ogni punto in coodinate catesiane 3D coisponde a infiniti punti nello spaio omogeneo 4D che diffeiscono solo pe un fattoe moltiplicativo w: V (,, coisponde a : V ( X, Y, Z, w Il passaggio ta lo spaio omogeneo e lo spaio 3D: X /w Y /w Z /w solitamente si sceglie w w identifica il punto all sulla etta pe l oigine, passante pe V I coseni diettoi di questa etta saanno: / V, / V, / V 4/66
Tasfomaioni affini appesentate con matici più tasfomaioni possono essee combinate moltiplicando ta loo le matici che appesentano ciascuna tasfomaione loo, ceando una sola tasfomaione maticiale una tasfomaione si ottiene in geneale combinando tasfomaioni di diveso tipo: otaioni, scala, shea e taslaione 4/66 Alcune tasfomaioni affini (II Taslaione tutti i punti si spostano della stessa quantità (vettoe spostamento Di solito si considea la taslaione del baicento Rotaione tutti i punti lungo una etta chiamata asse non si spostano Gli alti punti descivono ciconfeene pependicolai all asse Scala vaiaione della dimensione lungo un asse 4/66
Come tasfomae gli oggetti I vetici dell oggetto vengono tasfomati (le loo coodinate modificate come segue Denotiamo i vetici (punti come vettoe colonna V R, D e S sono matici che appesentano la otaione, taslaione e scala Il puntotasfomato si ottiene come: V V+D taslaione, D è un vettoe di taslaione V SV scala, S è una matice di scala V RV otaione, R è una matice di otaione Nel seguito suppoemo, sena lesioni di genealità, w 43/66 Taslaione in coodinate omogenee Vengono espesse come tasfomaioni nello spaio di coodinate omogenee 4D come podotto ta matici T T T T ' ( + + + T ( ( ' + + + T ' + + + T ( w' + + + cood omogenee 44/66 V ' TV T T T t '/w' ( + T / + T t '/w' ( + T / + T t ' /w' ( + T / + T cood catesiane
Scala S S S S S S V' SV S ' ' ' w' ( S + + + ( + S + + ( + + S + ( + + + cood omogenee s '/w' (S / s '/w' (S / s '/w' (S / cood catesiane 45/66 Sommaio Richiami di algeba delle matici Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 46/66
Ammette appesentaioni divese Angoli sequeniali (oll, pitch e aw Angoli di Euleo Coseni diettoi degli assi Quatenioni La otaione 47/66 La otaione attono a (caso piano ρ (, α ρ cosα ρ sinα (, (, ρ cos(α+θ ρ cos α cos θ + ρ sin α sin θ ρ θ α cos θ + sin θ ρ sin(α+θ ρ cos α sin θ + ρ sin α cos θ sin θ + cos θ 48/66
La otaione attono a (foma maticiale cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ R ρ (, (, θ α O Matice di otaione 3 i 3 i m ij m m ij jk i k det(m Matice otonomale 49/66 Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (, e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in, di un angolo θ Supponiamo che cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ Matice di otaione O θ (, M ' ' ' ' M contiene la poieione degli assi del sistema di ifeimento sugli assi di θ è angolo ta il sistema di ifeimento di aivo e quello di patena 5/66
Significato geometico della matice di otaione Consideiamo che il punto -> sia un punto appatenente all asse, (, e che appatenga ad un asse, ottenuto uotando il sistema di ifeimento in di un angolo - θ Supponiamo che (, M cos ϑ sin ϑ ' ' sin ϑ cos ϑ ' ' M contiene la poieione degli assi (dei vesoi del sistema di ifeimento sugli assi di θ (, Esempio: cos(-θ cos(-θ - cos[(9-θ] -sin(θ Si può estendee a punti che non giacciano su uno dei due assi coodinati 5/66 Rotaione attono a (coodinate omogenee cos θ sin θ V' R V sin θ cos θ ' ' ' w' ( cos θ + sin θ + + ( sin θ + cos θ + + ( + + + ( + + + cood omogenee R R R ' / w' (cosθ + sin θ / ' / w' ( sin θ + cosθ / ' / w' ( / cood catesiane 5/66
Oientamento di un copo igido nello spaio Te paameti: te otaioni indipendenti 53/66 Angoli di oientamento nello spaio 3D Modo geneale: oll, pitch, e aw (ω, φ, k: ollio, beccheggio e deiva Sono 3 otaioni sequeniali, non commutative 54/66
Rotaione attono ad un singolo asse Modo geneale: oll, pitch, e aw (ω, φ, k: ollio, beccheggio e deiva R ω cos ω sin ω sin ω cos ω R φ cos φ sin φ sin φ cos φ R κ cos k sin k sin k cos k 55/66 Rotaioni sequeniali (non vale la popietà commutativa R R ω R φ R κ Ciascuna otaione avviene attono ad un asse coodinato, oientato come isulta dalle otaioni applicate in pecedena agli alti assi 56/66
I Rotaione attono all asse (oll R 'cosω + 'sin ω 'sin ω + 'cosω 57/66 II Rotaione attono all asse (pitch R cosφ + sin φ + sin φ cosφ ' cosφ + ( 'sin ω + ' cosωsin φ 'cosω + 'sin ω 'sin φ + ( 'sin ω + 'cosωcosφ 58/66
III Rotaione attono all asse (aw 3 R 3 3 3 cos k + sin k + sin k cos k 3 3 3 ['cosφ + ( 'sin ω+ 'cosωsin φ]cosk + ['cosω+ 'sin ω]sin k ['cosφ + ( 'sin ω+ 'cosωsin φ]sin k + [' cosω+ 'sin ω]cosk 'sin φ + ( 'sin ω+ 'cosωcosφ 59/66 Dalle otaioni alla matice di otaione Come è legata R alle te otaioni indipendenti? R cos( ϕ cos( k cos( w sink ( sin( w sin( ϕ cos( k sin ( w sink ( + cos( w sin ( ϕ cos( k cos( ϕ sink ( cos( w cos( k + sin ( w sin ( ϕ sink ( sin ( w cos( k cos( w sin ( ϕ sink ( sin ( φ sin ( w cos( ϕ cos( w cos( ϕ Si icava eseguendo le otaioni sequeniali Ogni otaione tiene femo un asse e agisce sul piano pependicolae Rotaioni semplici utiliate dai pogammi di animaione, gestione maticiale efficiente del calcolo 6/66
La ototaslaione in foma maticiale R + T > A X' Y' Z' 3 3 3 3 33 T X T Y T Z Matice di otaione Vettoe di taslaione 6/66 Composiione di tasfomaioni Si possono applicae tasfomaioni in successione, moltiplicando in odine oppotuno le matici V A A V A (A V (A A V la tasf A viene applicata pe pima! icodiamo che il podotto di otaioni non è commutativo: R R? R R, mente vale la popietà associativa: A (A V (A A V Tutte le taslaioni, otaioni e vaiaioni di scala, possono essee appesentata in un unica matice 6/66
Tasfomaioni invese Denotiamo le invese come le matici affini: T -, S -, R - La taslaione invesa si ottiene negando i coefficienti di taslaione La scala invesa si ottiene pendendo il ecipoco dei coefficienti La otaione invesa si ottiene negando l angolo di otaione Matice tasposta Si può veificae invetendo il segno e l odine delle otaioni: R R ω R φ R κ R T R -κ R -φ R -ω 63/66 La tasfomaione invesa in foma maticiale R + T > A R T R +R T - R T T > A - X Y Z 3 X' Y' Z' 3 3 3 3 33 oieione di T sugli assi di aivo: i T 3 T T T 3 + + + 3 T T T 3 3 33 T X T Y T Z + + + 3 3 33 T X' T Y' T Z' Matice di otaione (invesa Vettoe di taslaione (inveso 64/66
echè R T T? Solo così applicando tasfomata dietta ed invesa ipotano un sistema di ifeimento nella posiione iniiale -T(-T, R - R T R θ T(T, R T T è la poieione del vettoe taslaione sul sistema di ifeimento uotato 65/66 Sommaio Richiami di algeba delle matici Spai vettoiali Geometia analitica del punto, della etta e del piano Geometia del movimento Le otaioni 66/66