Metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari algebriche

Captolo 17 Metod teratv per sstem d equazon lnear algebrche 171 Generaltà su metod teratv S fornsce la defnzone d convergnza per vettor e matrc Convergenza d vettor Una successone d vettor d n component {x k }, k = 0, 1,, è convergente ad un vettore x e s scrve se lm x k = x k lm k x(k) = x = 1,, n dove con x (k) s ndca la esma componente del vettore x k Convergenza d matrc Una successone d matrc, m n, {A k }, k = 0, 1,, è convergente ad una matrce A e s scrve se lm A k = A k lm k a(k) j = a j = 1,, m; j = 1,, n dove con a (k) j s ndca l elemento d poszone (, j) della matrce A k La convergenza d vettor e matrc può essere formulata n norma; ovvero una successone d vettor {x k } è convergente ad un vettore x se e solo se per ogn norma d vettor vale lm x k x = 0 k una successone d matrc {A k } è convergente ad una matrce A se e solo se per ogn norma d matrc vale lm A k A = 0 k 247

248CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE Vale l seguente rsultato 1 per la convergenza alla matrce nulla d successon d matrc defnte dalle potenze d matrc, e, A k = A k : lm k Ak = 0 ρ(a) < 1 dove con ρ(a) s ndca l raggo spettrale della matrce A, e, l autovalore d A d modulo massmo S consder l sstema lneare non sngolare d ordne n Ax = b (171) Sa A = M N una decomposzone (splttng) d A tale che la matrce M è non sngolare; l sstema Mz = d è d facle rsoluzone (e M è dagonale, trangolare, ) Il sstema Ax = b s può scrvere Mx = Nx + b, dunque x = M 1 Nx + M 1 b ovvero x = T x + c (172) con T = M 1 N e c = M 1 b La soluzone x che soddsfa l sstema (171) soddsfa anche (172), ovvero è un punto fsso della funzone lneare g(x) = T x + c Assegnato un vettore nzale x 0, s consdera la successone d terat x 1, x 2, defnt da x k+1 = T x k + c (173) La matrce T è detta matrce d terazone Se la successone {x k } è convergente ad un vettore x, passando al lmte d (173) s ha x k+1 = T x k + c k x = T x + c coè x è un punto fsso d T x + c dunque è soluzone del sstema (171) Damo la seguente defnzone d metodo teratvo convergente Un metodo teratvo defnto dalla decomposzone (M, N) è detto convergente se, qualunque sa l terato nzale x 0, la successone {x k } generata da (173) è convergente In pratca l terazone x k+1 generata dal metodo (173) s ottene come soluzone del sstema lneare Mx = Nx k + b Dunque, l metodo teratvo d decomposzone (splttng method) consste nel rsolvere una sequenza d problem dello stesso tpo d quello orgnale (sequenza d sstem d equazon lnear) però pù semplc, coè con la matrce M come matrce de coeffcent e dverso termne noto ad ogn terazone La convergenza de metod teratv d decomposzone è asscurata dal seguente teorema 1 Per le dmostrazon de rsultat n questo captolo s veda eg, Cap 7 n Ortega JM: Numercal Analyss: A Second Course, Academc Press, New York, 1972 (rpubblcato da SIAM, Phladelpha, 1990)

171 GENERALITÀ SUI METODI ITERATIVI 249 Teorema della convergenza de metod teratv Condzone necessara e suffcente affnché un metodo teratvo defnto dalla decomposzone (M, N) sa convegente è che l raggo spettrale della matrce d terazone sa mnore d 1 2 ρ(t ) < 1 S fornsce una condzone suffcente per la convergenza de metod teratv Se esste una norma d matrc per cu T < 1 allora l metodo teratvo è convegente Questa condzone dscende dal rsultato (Teorema d Hrsch) per una matrce A che n una qualsas norma d matrc vale che 3 ρ(a) A Osservazone Se la matrce T è dagonalzzable 4 allora esste una matrce Y le cu colonne sono gl autovettor (lnearmente ndpendent) d T per cu Y T Y 1 = Λ dove Λ è la matrce dagonale cu element dagonal sono gl autovalor λ d T, = 1,, n Dunque T = Y 1 ΛY Posto e k = x k x e w k = Y e k, poché e k+1 = T e k, s ha coè scrtto n component = 1,, n w (k+1) w k+1 = Λw k = λ w (k) = λ k+1 w (0) Il problema e k+1 = T e k è un sstema d equazon alle dfferenze omogeneo; l vettore e = 0 è un punto d equlbro o punto fsso o d stazonaretà La condzone necessara e suffcente affnché l vettore e k, per k che tende ad nfnto, tenda al punto d equlbro 0 è che gl autovalor λ d T debbano essere n modulo mnor d 1, = 1,, n (stabltà asntotca della soluzone e k ) Poché w k = Y e k con Y non sngolare, allora se e k tende a 0, per k che tende ad nfnto, anche w k tende a 0 e vceversa Le condzon che asscurano la convergenza del metodo teratvo (173) sono date sulla matrce d terazone T n partcolare sul suo raggo spettrale Queste condzon n realtà non sono operatve n quanto la matrce d terazone T non s calcola esplctamente (s rsolve, ad ogn terazone, un sstema lneare con matrce de coeffcent M) né s calcola l suo autovalore d modulo massmo S devono fornre condzon suffcent sulla matrce A che asscurno che sa verfcata la condzone necessara e suffcente su T S defnsce una decomposzone regolare M N della matrce A se 2 Dmostrazone Sottraendo (173) da x = T x + c s ha x x k+1 = T (x x k ) Defnto e k = x x k l errore alla k esma terazone s ha e k+1 = T e k = T 2 e k 1 = = T k+1 e 0 Se ρ(t ) < 1 per l rsultato sulla convergenza d successon defnte dalle potenze d matrc s ha lm k T k = 0; da e k = T k e 0, per ogn vettore e 0 e dunque per ogn terato nzale x 0, s ottene lm k e k = 0, coè l metodo converge Vceversa, se l metodo è convergente, la condzone lm k e k = 0 deve valere per ogn vettore x 0 ; n partcolare vale se x 0 è un vettore per cu e 0 è un autovettore d T corrspondente ad un autovalore λ d modulo massmo, e, λ = ρ(t ) In tal caso vale T e 0 = λe 0 e qund da e k = T k e 0 segue lm k [ρ(t )] k = 0 che vale se ρ(t ) < 1 3 S nota che se la matrce A è smmetrca e s scegle 2 allora vale l uguaglanza tra l raggo spettrale d A e la sua norma 2 L uguaglanza vale anche, ad esempo, se A è una matrce dagonale e la norma è la norma 1,2 o 4 Alle stesse conclusone s arrva anche se la matrce è scrvble n forma d Jordan

250CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE N 0; M non sngolare e M 1 0 Valgono seguent rsultat: Teorema della decomposzone regolare Se la matrce A è non sngolare con A 1 0 e A = M N è una decomposzone regolare allora con T = M 1 N ρ(t ) < 1 Teorema d Householder John (1955) Sa la matrce A smmetrca e defnta postva, se la matrce M + M T A è smmetrca e defnta postva allora con T = M 1 N ρ(t ) < 1 172 Metod teratv d base 1721 Metodo d Rchardson Il metodo teratvo pù mmedato è quello n cu M = I ed N = I A S ha l metodo RF x k+1 = (I A)x k + b Essendo T = I A matrce con autovalor 1 λ con λ autovalore d A ( = 1,, n), questo metodo converge se 0 < λ < 2 Il metodo RF è una varante del metodo d Rchardson (1910) defnto da x k+1 = x k + α k (b Ax k ) dove α k sono parametr real S ha allora M = I α k N = I α k A S nota che le matrc M ed N s modfcano ad ogn terazone perché dpendono dal valore α k Inoltre, se la matrce A è smmetrca e defnta postva e provene dalla dscretzzazone del problema d Posson soggetto a condzon al bordo d Drchlet, l metodo d Rchardson, è l metodo esplcto per la rsoluzone d un problema parabolco u t = u con condzon d Drchlet dove s pone α k = t S nota, n questo caso, l analoga tra la convergenza della soluzone del problema ellttco calcolata con l metodo d Rchardson e la stabltà asntotca della soluzone del problema parabolco calcolata con l metodo esplcto 1722 Metodo d Jacob S consder la seguente decomposzone della matrce A: A = D L U dove D è una matrce dagonale avente per element dagonal gl element dagonal d A, L ed U sono matrc strettamente trangolar nferor e superor avent per element (quell della parte strettamente trangolare nferore e superore) gl

172 METODI ITERATIVI DI BASE 251 element della parte strettamente trangolare nferore e superore d A cambat d segno Consderando la decomposzone M N della matrce A dove M = D N = L + U da (173) e con x 0 vettore nzale arbtraro s ottene l metodo d Jacob (1845) x k+1 = D 1 (L + U)x k + D 1 b La matrce d terazone del metodo d Jacob è T J = D 1 (L + U) Il metodo d Jacob allora rchede ad ogn terazone k la rsoluzone del sstema dagonale Dx = (L + U)x k + b Il metodo d Jacob è anche chamato metodo degl spostament smultane n quanto è come se dalla prma equazone del sstema s esplctasse l ncognta x 1, dalla seconda l ncognta x 2 e così va Il sstema Ax = b, scrtto n forma estesa dventa a 11x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 + + a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x 2 + a 23x 3 + + a 2nx n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + + a nn x n = b n = x 1 = (b 1 a 12x 2 a 13x 3 a 1nx n)/a 11 x 2 = (b 2 a 21x 1 a 23x 3 a 2nx n)/a 22 x n = (b n a n1 x 1 a n2 x 2 a nn 1 x n 1 )/a nn Se s consderano termn a destra del segno uguale come not, ovvero s assegna un valore nzale x (0) 1, x(0) 2,, x(0) n alle varabl x 1, x 2,, x n present ne termn a destra del segno uguale, termn a snstra del segno uguale determnano valor x (1) 1, x(1) 2,, x(1) n S sosttuscono, po, quest valor ne termn a destra del segno uguale per determnare valor x (2) 1, x(2) 2,, x(2) n e così va Questo gustfca l nome d metodo degl spostament smultane Per un generco valore k s ha allora 1 = (b 1 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 1n x (k) n )/a 11 2 = (b 2 a 21 x (k) 1 a 23 x (k) 3 a 2n x (k) n )/a 22 n = (b n a n1 x (k) 1 a n2 x (k) 2 a nn 1 x (k) n 1 )/a nn Per component l metodo d Jacob s scrve per k = 0, 1, per = 1,, n = (b 1 j=1 a jx (k) j n j=+1 a jx (k) j )/a

252CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE L algortmo è dunque mplementato come segue: S osserva che: Sano assegnat x, τ, kmax per k = 1,, kmax per = 1,, n s = 0 per j = 1,, 1 s = s + a(, j) x(j) t = 0 per j = + 1,, n t = t + a(, j) x(j) y() = (b() s t)/a(, ) se x y τ y allora y approssmazone della soluzone per = 1,, n x() = y() s sono consderat due array x e y per memorzzare l terato corrente x k e l nuovo terato x k+1 ; se non è soddsfatto l crtero d arresto, allora valor del nuovo terato vengono memorzzat nell array che memorzza l terato corrente per l terazone successva; τ è la tolleranza rchesta nel crtero d arresto Il crtero d arresto consderato è sulla dfferenza relatva n norma (ad esempo norma 2 o norma nfnto) tra due terazon successve x k+1 x k τ x k+1 s è consderato un numero massmo d terazon kmax; se l cclo k vene completato (non è ma soddsfatto l crtero d arresto per le kmax terazon) allora l valore d kmax è troppo pccolo per la tolleranza τ scelta oppure l metodo non converge 1723 Metodo d Gauss Sedel Sa A = D L U la decomposzone della matrce A come per l metodo d Jacob Consderando la decomposzone M N della matrce A dove M = D L N = U da (173) e con x 0 vettore nzale arbtraro s ottene l metodo d Gauss Sedel 5 x k+1 = (D L) 1 Ux k + (D L) 1 b 5 In realtà l metodo d Gauss Sedel non era conoscuto da Gauss né suggerto da Sedel Questo metodo, quando applcato per la rsoluzone d un equazone ellttca alle dervate parzal con l approssmazone alle dfferenze fnte, è noto talvolta come metodo d Lebmann (1918) Nella letteratura russa s trova anche con l nome d metodo d Nekrasov (1884) In un contesto d mnmzzazone d forme quadratche, l metodo d Gauss Sedel è noto come metodo delle drezon cclche

172 METODI ITERATIVI DI BASE 253 La matrce d terazone del metodo d Gauss Sedel è T GS = (D L) 1 U Il metodo d Gauss Sedel rchede ad ogn terazone k la rsoluzone del sstema trangolare nferore (D L)x = Ux k + b Il metodo d Gauss Sedel è anche chamato metodo degl spostament successv e appare un mgloramento del metodo d Jacob degl spostament smultane Infatt, all terazone nzale, per la prma equazone s esplcta x 1 e s calcola l valore x (1) 1 da valor x (0) 2, x(0) 3,,x(0) n : x (1) 1 = (b 1 a 12 x (0) 2 a 13 x (0) 3 a 1n x (0) n )/a 11 Esplctando x 2 nella seconda equazone x 2 = (b 2 a 21 x 1 a 23 x 3 a 2n x n )/a 22 s può calcolare l valore x (1) 2 tenendo conto de valor vecch, e, all terazone zero per x 3,,x n e del valore nuovo x (1) 1 appena calcolato nell equazone precedente Il calcolo d x (1) 2 dventa x (1) 2 = (b 2 a 21 x (1) 1 a 23 x (0) 3 a 2nx (0) n )/a 22 E così s utlzza l valore appena calcolato all terazone uno d x 1 e x 2 per calcolare x (1) 3, e, x (1) 3 = (b 3 a 31 x (1) 1 a 32 x (1) 2 a 34 x (0) 4 a 3nx (0) n )/a 33 Dunque le component della nuova terazone appena calcolate vengono sosttute nelle equazon successve Per un generco valore k s ha allora 1 = (b 1 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 1n x (k) n )/a 11 2 = (b 2 a 21 1 a 23 x (k) 3 a 2n x (k) n )/a 22 n = (b n a n1 1 a n2 2 a nn 1 n )/a nn Per component l metodo d Gauss Sedel s scrve per k = 0, 1, per = 1,, n = (b 1 j=1 a j j n j=+1 a jx (k) j )/a

254CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE L algortmo è dunque mplementato come segue: Sano assegnat x, τ, kmax per k = 1,, kmax per = 1,, n s = 0 per j = 1,, 1 s = s + a(, j) y(j) t = 0 per j = + 1,, n t = t + a(, j) x(j) y() = (b() s t)/a(, ) se x y τ y allora y approssmazone della soluzone per = 1,, n x() = y() 1724 Metodo SOR (Successve Over Relaxaton) Un metodo teratvo lneare convergente (173) ha veloctà d convergenza lneare 6 Posto e k = x k x s ha e k = T e k 1 = T k e 0, ovvero per norme vettoral e matrcal compatbl, s ha e k e 0 T k coè l errore, all terazone k, s rduce n norma, rspetto al valore nzale, d una quanttà maggorata dalla norma della matrce d terazone T elevata alla k La valutazone della veloctà d convergenza d un metodo medante T k rsulta però nadatta n quanto dpende dal numero k d terazon Può accadere che, se T 1 e T 2 sono due matrc d terazone assocate a due metod teratv convergent, esstano due nter (postv) k e j per cu T k 1 < T k 2 e T j 1 > T j 2 per una determnata norma d matrce 7 Per valutare la veloctà d convergenza d un metodo teratvo s ntroduce allora la veloctà asntotca d convergenza così defnta R(T ) = ln(ρ(t )) 6 Per la defnzone d ordne d convergenza d una successone convergente s veda l paragrafo Convergenza lneare e superlneare del metodo delle approssmazon successve del captolo Metod teratv per equazon non lnear 7 Se s consderano le matrc d terazone s ha T 1 = ( 05 0 0 06 T k 1 = ( 05 k 0 0 06 k ) ( 05 025 ; T 2 = 0 05 ) ) ( 05 k k 05 ; T 2 = k+1 0 05 k S può osservare che T k 1 < T k 2 per k 9 e T k 1 > T k 2 per k > 9 ed anche T k 1 2 < T k 2 2 per k 7 e T k 1 2 > T k 2 2 per k > 7 )

172 METODI ITERATIVI DI BASE 255 Allora un metodo teratvo ha maggore veloctà asntotca d convergenza pù l suo raggo spettrale è vcno a zero S nota che affermare che un metodo converge pù rapdamente d un altro, o che la veloctà asntotca d convergenza è superore, non sgnfca che l metodo arrva alla soluzone con un numero d terazon nferore I metod teratv convergent raggungono comunque la soluzone all nfnto Sgnfca, dunque, che l errore s rduce pù rapdamente (sarà nullo solo all nfnto) e poché l metodo s arresta quando è raggunta una buona approssmazone della soluzone, pù pccolo è l numero d terazon necessare al raggungmento d questa approssmazone, pù effcente (veloce) sarà l metodo teratvo Per accelerare la veloctà d convergenza d un metodo teratvo s può far dpendere la matrce d terazone T da un parametro d rlassamento ω, T T (ω), n modo che ρ(t (ω)) sa pù pccolo possble S ntroducono metod d rlassamento tra qual l Metodo SOR, Successve Over Relaxaton (Young, 1954) All terazone k, k = 0, 1, s calcola la componente x con l metodo d Gauss Sedel 1 x = (b j=1 a j j e s ottene la nuova componente x (k) : = (1 ω)x (k) n j=+1 a j x (k) j )/a rlassando x con la veccha componente + ω x I due pass sono ntern al cclo per tutte le component Da un punto d vsta della decomposzone della matrce A, l metodo SOR può essere ottenuto consderando e ponendo A = D L U 1 ω D + 1 ω D M = 1 ω D L ( ) 1 ω N = D + U ω Dunque ad ogn terazone k del metodo SOR, k = 0, 1,, l terazone x k+1 è ottenuta come soluzone del sstema lneare trangolare nferore ( ) [( ) ] 1 1 ω ω D L x = D + U x k + b ω La matrce d terazone ha espressone T SOR = ( 1 ω D L ) 1 [( 1 ω ω ) ] D + U Per ω = 1 l metodo SOR s rduce al metodo d Gauss Sedel 1725 Convergenza de metod teratv d base S fornscono rsultat prncpal d convergenza de metod teratv d Jacob, d Gauss Sedel e SOR, nel caso n cu la matrce de coeffcent A soddsf alcune propretà Vale che

256CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE se la matrce A è una M matrce, allora metod d Jacob e Gauss Sedel convergono 8 se la matrce A è una matrce strettamente dagonale domnante, allora metod d Jacob e Gauss Sedel convergono 9 se la matrce A è smmetrca e defnta postva, allora l metodo d Gauss Sedel converge 10 Per quanto concerne l metodo SOR s ha che se la matrce A è smmetrca e defnta postva, allora l metodo SOR converge per 0 < ω < 2 11 173 Metod teratv moltplcatv S consderano due decomposzon della matrce A: A = M 1 N 1 A = M 2 N 2 I metod d decomposzone moltplcatv (multplcatve splttng methods) sono defnt nel modo seguente: M 1 x k+1/2 = N 1 x k + b (174) M 2 x k+1 = N 2 x k+1/2 + b Le matrc M 1 e M 2 sono non sngolar e permettono una facle rsoluzone del sstema M z = c, = 1, 2 Il metodo, ad ogn terazone k, rsolve n sequenza due sstem lnear semplc con matrc de coeffcent M 1 e M 2 Il metodo (174) s può scrvere nella forma (173) con T = M 1 2 N 2M 1 1 N 1 c = M 1 2 (N 2M 1 1 b + b) Se la matrce A è smmetrca, s può scrvere l metodo SSOR (Symmetrc Successve Over Relaxaton) d Sheldon (1955) dove s pone n (174) M 1 = 1 ( ) 1 ω ω D L N 1 = D + L T ω 8 Per l metodo d Jacob s ha che N = L + U 0 e a > 0 (e, D > 0) poché A è una M matrce; allora M N è una decomposzone regolare Per l metodo d Gauss Sedel s ha che N = U 0 e vale che ρ(d 1 L) = 0 (dunque ρ(d 1 L) < 1); noltre per l Lemma d Neumann (s vedano Complement al captolo n Metod alle dfferenze fnte per equazon parabolche n pù varabl spazal) s ha (D L) 1 = [D(I D 1 L)] 1 = [I + D 1 L + (D 1 L) 2 + + (D 1 L) n ]D 1 0 allora M N è una decomposzone regolare 9 La convergenza de metod d Jacob e Gauss Sedel vale anche se la matrce A è rrducblmente dagonale domnante S prova che la matrce  = D L U è strettamente o rrducblmente dagonale domnante con â > 0 e â j 0 dunque  è una M matrce ed allora le decomposzon d Jacob e d Gauss Sedel sono regolar, dunque metod convergono Inoltre, s prova faclmente che ρ(d 1 (L + U)) ρ( D 1 ( L + U )) ρ((d L) 1 U) ρ(( D L ) 1 U ) Allora metod d Jacob e Gauss Sedel convergono anche per la matrce A 10 Dal Teorema d Householder John per l metodo d Gauss Sedel s ha che M + M T A = D > 0 poché A è smmetrca e defnta postva Per l metodo d Jacob s ha la matrce M + M T A = 2D A che non è, n generale, smmetrca e defnta postva 11 Dal Teorema d Householder John per l metodo SOR s ha che ( ) 2 M + M T A = ω 1 D che è smmetrca e defnta postva se ω (0, 2)

173 METODI ITERATIVI MOLTIPLICATIVI 257 e M 2 = 1 ( ) 1 ω ω D LT N 2 = D + L ω S può provare medante l Teorema d Householder John che se la matrce A è smmetrca e defnta postva, allora l metodo SSOR converge per 0 < ω < 2 Sa Ax = b un sstema lneare e sa A decomposta come A = H + V + Σ Le matrc H, V, Σ possono provenre dalla dscretzzazone medante dfferenze fnte d equazon lnear ellttche del secondo ordne, con o senza l termne della dervata prma e l termne d assorbmento, soggette a condzon al bordo d Drchlet Sa H la matrce che dscretzza l operatore u xx + α(x, y)u x, V la matrce che dscretzza l operatore u yy + β(x, y)u y e Σ la matrce che dscretzza l termne d assorbmento γ(x, y)u (con γ(x, y) 0); la matrce H + V + Σ è una M matrce (per opportun ntervall della dscretzzazone lungo x e y) o una matrce smmetrca e defnta postva (α = β = 0) S defnscono le matrc H 1 e V 1 con A = H 1 + V 1 H 1 = H + 1 2 Σ V 1 = V + 1 2 Σ Il metodo ADI d Peaceman e Rachford (1955) ntrodotto per la rsoluzone d problem parabolc, s ottene ponendo n (174) M 1 = H 1 + ri N 1 = ri V 1 (175) con r parametro non negatvo M 2 = V 1 + ri N 2 = ri H 1 Il metodo ADI dunque, ad ogn terazone, rsolve un sstema con matrce de coeffcent M 1 trdagonale e, successvamente, attraverso un opportuna matrce d permutazone P 12 s rsolve un sstema con matrce de coeffcent P M 2 P T trdagonale La rsoluzone de sstem trdagonal può essere effettuata medante metod d fattorzzazone per matrc trdagonal S nota che l metodo ADI (174) (175) per la rsoluzone d un sstema lneare provenente da dscretzzazone d equazon ellttche ha la stessa forma del metodo ADI presentato nel captolo Metod alle dfferenze fnte per equazon parabolche n pù varabl spazal per la rsoluzone d equazon parabolche n due e tre dmenson È suffcente porre r = 2/ t, H 1 = A 1 e V 1 = A 2 Per l metodo ADI, da teorem della decomposzone regolare e d Householder John s può provare che se la matrce A è una M matrce oppure è smmetrca e defnta postva, allora l metodo ADI converge con r > 0 12 S veda l paragrafo Metodo alle drezon alternate nel captolo Metod alle dfferenze fnte per equazon parabolche n pù varabl spazal

258CAPITOLO 17 METODI ITERATIVI PER SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI ALGEBRICHE 174 Complement al captolo 1741 Metod teratv d base a blocch I metod d Jacob e d Gauss Sedel possono essere anche scrtt per matrc a blocch Sa A matrce n n avente una struttura a blocch del tpo A 11 A 12 A 1r A 21 A 22 A 2r A = (176) A r1 A r2 A rr dove ogn blocco A j,, j = 1,, r ha dmensone s s Se s partzonano vettor x e b come blocch d A, ovvero x 1 b 1 x 2 b 2 x = b = M = x r dove vettor x e b hanno s element cascuno, = 1,, r, allora l sstema lneare Ax = b può essere rsolto con l metodo d Jacob a blocch che pone A 11 0 0 0 A 12 A 1r 0 A 22 0 A 21 0 A 2r 0 0 A rr e s scrve per k = 0, 1, N = b r A r1 A r2 0 per = 1,, r, sa la soluzone del sstema lneare d ordne s: A x = b 1 j=1 A jx (k) j r j=+1 A jx (k) j Il metodo d Gauss Sedel a blocch nvece pone A 11 0 0 A 21 A 22 0 M = e s scrve per k = 0, 1, A r1 A r2 A rr 0 A 12 A 1r 0 0 A 2r N = 0 0 0 per = 1,, r, sa la soluzone del sstema lneare d ordne s: A x = b 1 j=1 A j j r j=+1 A jx (k) j S può dare una defnzone d matrce strettamente o rrducblmente dagonale domnante a blocch Vedamo qu l caso d matrce strettamente dagonale domnante a blocch Defnzone Una matrce A partzonata a blocch come (176), s dce dagonale domnante a blocch se n qualche norma A 1 r j=1 j A j 1

174 COMPLEMENTI AL CAPITOLO 259 Se la dsuguaglanza vale n senso stretto allora la matrce A s dce essere strettamente dagonale domnante a blocch Vale l rsultato (Fengold e Varga, 1962): se A è una matrce strettamente dagonale domnante a blocch allora metod d Jacob a blocch e d Gauss Sedel a blocch convergono