LCUNE TECNCHE di NTEGRZONE D riordre: f( ) d F( ) F ( ) f( ) F ()d F() fi: ()d f()d F() D f()d f() fi: D f()d DF() F() f() f ()d g() d f() d f () f()d g() d d e d e d e log l d ( g ) d g os d ( o g ) d o g se shd h hd sh TELL DEGL NTEGRL MMEDT d l se d os os d se d rse d rg d h h d h sh N..: seguei lvol o soo osideri egrli mmedii, ed i l so e è rihies l soluzioe uilizzdo oorue eihe d l d rse (Vedi Meodo er Sosiuzioe) d l (Vedi Meodo er Sosiuzioe o er Pri) RELZON UTL Relzioe Esemio f() d l f() d l( ) f() N..: l l, oihé R 0 f () 6 f() f ()d - se osd se
NTEGRZONE er PRT Formul Giusifizioe Esemio l d rg d os d e os d d f g f g f g form f g Formul l d l d l form f g formul rgd rgd rg Tle formul deriv dll Deriv di u Prodoo: egrdo f g f g f g i f g f g f g f g f g f g formul Risoluzioe form f g formul os d form f g formul e os d e os d e os d l d rg se d se se d se os rissumedo: e os d e os e se quidi: e osd e os se d l e ( se)d e os d rg l form f g e sed e os formul e os e se e os d e os d e os e se d d d rg d rg rg d rg e sed e os d LCUN MPORTNT ESEMP
Esemio Risoluzioe rse d d d d Formul g f FORM = d d = d d d d = d d = rse d osservdo he rse rse (N..: rse( y) = rsey) e rissumedo: rse d d quidi: rse d quidi: rse d Co: d N 0, d d d d = d d d = d d = Oss.: i riolre er = si h: rg d
() f()d Formul f( ()) ()d NTEGRZONE er SOSTTUZONE Giusifizioe Tle meodo deriv dll regol dell deriv di fuzioe omos: si F() u rimiiv di f() N..: f()d F() () f() F () deriv di Fuzioe Comos F () F( ()) F () () f () () quidi F(()) = F() è u rimiiv di f () (), ioè: F() f( ()) () d F f( ()) Osservzioe: L sosiuzioe = () riodue, l iegrle f () d ll iegrle f ( ()) () d he uò essere iù semlie. () d Osservzioe: Quidi, se G( ) è u rimiiv di f () (), suoedo NVERTLE, e him h() l su ivers, ioè = () = h(), llor u rimiiv di f() è G( ()) = G(h()).!!! Sesso oviee segliere il mimeo di vriile ell form = h() (Vedi esemi) () Osservzioe: f()d f( ()) ()d si osserv he d si uò ierrere,o uso di liguggio(do he ell formul l sriur ()d NON è il rodoo di () o d ): d () d. ri eimee si uò oerre o i differezili, do he se si oer o l sosiuzioe = (), llor differezido è: d () d he se si roede o l sosiuzioe h() = (h ivers di ), si uò eimee oerre o i differezili, oihé: h() = differezido è: h () d d deriv di fuzioe ivers d d d () d () Esemio Risoluzioe Osservzioi l d e e l Modo d e d d rse rsel l(l ) d Modo l e d l d d l l l d l d d form f g Formul l d d rse rsel l d l d l d l l ll l d d d d d d d d l l d () Si iegr er ri (): divisioe di oliomi
d d LCUN MPORTNT ESEMP d se d os d se os d os os d se os os d rse os d os d se os rse = h h h d sh d hd d d h d sh h l d se iveriile os os rse rse (N..: rse( y) = rsey) e e e e sh ; h h sh = R h 0 h h f :R R / y sh è iveriile ed d Premess: (Tri) f :R R / y h NON è iveriile quidi se e osider l resrizioe f : 0; ; / y h he risul iveriile ed f è f è him seshy e si h: f :R R / l y y him sehy e si h: f : ; 0; R / l y y Si oe: = h o 0, e roededo i modo logo ll esemio reedee si h: l( ) DERVTE di FUNZON NTEGRL Teorem dimosrzioe Esemio h() ()d O (h()) h() F () F() h() F () ()d h() F () (h()) h () (h()) h () y Si oe: y = h() ed g(y) ()d F() = (g o h)() = g(h()) O quidi: (Deriv di fuzioe Comos) F () = g (h())h () = g (y)h () m è: (Teorem Fodmele del Clolo egrle) g(y) (y) (h( )) quidi : F() (h()) h() h() Xo h() h() h() È: F () ()d ()d ()d ()d ()d h() h() Xo Xo Xo Quidi: F () d d h() h() ()d ()d Xo Xo d d h() ()d Xo Toerem Preedee (h ()) h () (h()) h () h() d ()d d Xo se F () d 0 F () os se os F () os d F() os os
6 NTEGRLE del TPO d D() () N POLNOMO D() POLNOMO () N N..: si osidero i si ei quli D() h rdii REL DSTNTE, REL MULTPLE, COMPLESSE SEMPLC N..: Si uò suorre, sez erdere i geerlià he si: grdo(n()) grdo(d()) oihé, SE FOSSE grdo(n()) grdo(d()) llor S ESEGUE l DVSONE r N() e D() oeedo (Q(), R() riseivmee Quoziee e Reso dell divisioe): NTEGRL RZONL di SE l d l l d d d d d 6 6 d q so 0 somoe si d ) )( ( d si deermio, / ) (... quidi: l l d d d d so 0 u QUDRTO sego, è, meo del N..: Si osider 0 lrimei l iegrle è del io già ro d d d modo: si deermio, / quidi: l d d d d modo: si f omrire Numerore l deriv del deomiore: l d l ) l( d 0 d d d d d
so 0 SCOMPONE(i R) si NON SE = 0 llor l iegrle è : d q e si riodue l io rgz dz z d rg 0 rg 0 d 0 d 6 6 d 6 d 6 d d 0 si f omrire Numerore l deriv del deomiore oeedo u somm di iegrli io: d f() f() ed d d rg ) l( rg ) l( d ) l( d ) l( d ) l( d ) l( ) l( d d d d d d
8 N.: Per oeere u formul geerle, er d o 0 llor si roede ome egli esemi visi: rg rg d d d d d rg d 0 N..: Se si vuole oeere u formul geerle, er d q o 0 llor si roede ome egli esemi visi: rg q ) l( rg q ) l( q ) l( d q ) l( d q ) l( d q ) l( d q ) l( q ) l( d q d d q d q d q d q rg q ) l( d q 0
NTEGRL io: N( ) D( ) d o D() he h rdii REL DSTNTE ESEMPO d è: + - = ( - )( + ) d d C or si deermio,,c / ( )( ) ESEMPO C ( )( ) ( ) C( ) ( )( ) ( )( ) C C ( )( ) C 0 / quidi: C... / C / 6 d d d 6 d ( ) d d 6 d l l l 6 N( ) NTEGRL io: D( ) d o D() he h rdii REL he MULTPLE d è: 8 - +8 - =...(Ruffii)... = ( - )( - ) d d 8 ( )( ) C or si deermio,,c / ( )( ) ( )( ) ( ) C C C 9 ( ) ( )( ) C( ) ( ) 0 quidi: C... C C d d d d l l ( )( )
NTEGRL io: N( ) D( ) d o D() he h rdii COMPLESSE SEMPLC ESEMPO d è: - + o Rdii Comlesse (Semlii) or si deermio,,c / ( ) C D ( ) C D ( C) ( C D) ( C D) D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d 6 l d 6 ( ) l d 6 ( ) l d 6 ( ) l d 9 ( ) l l d 9 rg( ) d rg( C D d ) C 0 C D 0 /... C D C D D / d 0
NTEGRZONE di LCUNE FUNZON RRZONL TPO: d 0 Meodo: si rsform risoluive) d i u iegrle io d o d,risolviili er Sosiuzioe (o lido diremee le formule Si 0 d d d d d se 0 llor oso: + = d = d ed = d
se 0 llor oso: + = d = d ed ( ) = d Si 0 d d d d d TPO: q d 0 q Meodo: si rsform d i u somm di iegrli del io: f () io d ed f() d ifi: q q d d q d d q q q d d d q d d
TPO Si idihi o: R(,,,...) d d u fuzioe rziole delle quià, d, d,... o: i N - 0, i N - 0, ed d - 0 ( lrimei os e) d ESEMPO d ui: quidi: L egrle R (, d, d,... )d si riodue ll iegrle di u fuzioe rziole o l sosiuzioe: o = m..m. i d d si oe: ( ) d d ( ) d d d d è l iegrle di u fuzioe rziole d
or si deermio,,c / d l rg quidi d / C D =... / C 0 D / d d d l l rg l rg ESEMPO 6 d si oe: 6 6 6 d ui: d = 6 d ed essedo: si h quidi: 6 d 6 6 d d 6 6!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! TPO Si idihi o: R(, ) u fuzioe rziole delle quià, o: L egrle R(, ) d si riodue ll iegrle di u fuzioe rziole o l sosiuzioe: d o = m..m. i