A) Meccanica Un cilindro di altezza h, raggio r e massa m, ruota attorno al proprio asse (disposto verticalmente) con velocita` angolare ω i. l cilindro viene appoggiato delicatamente su un secondo cilindro di altezza H, raggio R e massa M, in modo che gli assi dei due cilindri coincidano. l secondo cilindro e` inizialmente fermo e appoggia su un piano privo di attrito, mentre esiste una forza di attrito sulla superficie di contatto tra i due cilindri, responsabile di un momento di attrito τ. Si suppone che τ sia indipendente dalla velocita` (angolare) relativa dei due cilindri. Trascorso un tempo t dal momento dell appoggio, la velocita` angolare relativa dei due cilindri si annulla. La densita` di massa dei cilindri e` omogenea. Detti e i momenti d inerzia dei cilindri rispetto al proprio asse, determinare: a) La velocita` angolare finale comune dei due cilindri, ω f ; b) l lavoro W fatto dal momento d attrito sul cilindro, in funzione del momento e dell angolo Θ di cui il cilindro e` ruotato nel tempo t; c) La variazione di energia cinetica del cilindro ; d) Supposto incognito il momento τ e noto l angolo Θ, ricavare il valore del momento mediante il teorema dell energia cinetica, in funzione di Θ, dei momenti d inerzia e della velocita` angolare iniziale. Soluzione a) l sistema formato dai due cilindri non subisce forze o momenti esterni non bilanciati. Ne segue che il momento angolare si conserva. nizialmente, prima che i due cilindri siano messi in contatto L ω i, mentre alla fine, quando i due i cilindri ruotano solidalmente, L ( ) ω f +. Per la conservazione, abbiamo f ω ( + ) ω, da cui ω ω i f f i +
b) l lavoro del momento d attrito sul cilindro e` Θ Θ τ θ τ d W. c) La variazione di energia cinetica del cilindro e`: ( ) i f K ω ω +. d) il momento e`: ( ) Θ + Θ Θ i K W ω τ
B) Gravitazione Una stella doppia e` un sistema costituito da due stelle in moto attorno al centro di massa sotto il reciproco influsso gravitazionale. Supponiamo per semplicita` che le orbite siano circolari e che il piano su cui si trovano le stelle contenga anche l osservatore terrestre O, posto a grandissima distanza D. Detti a e a i raggi delle orbite, con tecniche fotografiche l osservatore puo` misurare il rapporto a /a ; puo` inoltre misurare il comune periodo di rivoluzione T delle due stelle. Si determini, in funzione di a /a e di T: a) l rapporto v /v tra le velocita` delle stelle; b) l rapporto m /m tra le masse delle stelle (suggerimento: considerare la posizione del cdm nel sistema del cdm); c) Supposti noti i raggi a e a, trovare infine la massa di entrambe le stelle. Soluzione πa a) la velocita` su di un orbita circolare e` data da v, quindi il rapporto delle T v a velocita` e` uguale al rapporto dei raggi:. v a m a + m a b) La posizione del cdm e` zero in tale sistema, quindi: m + m m a E passando ai moduli: m a m a, ovvero:. m a
c) Uguagliamo la forza centripeta di ciascuna stella alla mutua forza m m m m gravitazionale: G m ω a, G m ω a. Tenendo conto che d d ω π e che d a + a, otteniamo: T m 4 π a ( a a ) T G + m 4 π a ( a a ) T G + raggi a e a possono essere calcolati se e` nota la distanza D e se sono stati misurati gli angoli θ e θ sotto cui l osservatore vede i raggi: a Dθ. k k
) Termodinamica Un sistema e` composto da n moli di gas ideale e compie un ciclo reversibile composto da tre trasformazioni: un isoterma AB, un isobara B e un isocora A. Siano p A, V A, T, le coordinate termodinamiche di A; p B, V B, T, quelle di B e p, V, T, quelle di. p A B a) Trovare la variazione di entropia del sistema per ciascuna delle tre trasformazioni; b) Trovare il rapporto delle temperature T e T in funzione dei volumi V A e V B ; c) Verificare esplicitamente che la variazione di entropia del sistema nel ciclo completo e` nulla; d) Qual e` la variazione di entropia dell ambiente nel ciclo completo? Giustificare la risposta. Soluzione a) la variazione di entropia per la trasformazione reversibile isoterma e`: B VB VB Q dv VB S pdv nr nr AB δ log A T isoterma T VA VA V V A per quella isobara e`: T Q dt T S n n log B δ p p B T isobara TB T T e per quella isocora e`: A TA Q dt T S n n A δ log v v T isocora T T T b) usiamo l equazione di stato nei punti B e e facciamone il rapporto: V
p V nrt B B p V nrt Dall uguaglianza delle pressioni in questi punti, segue: V T V T B B e quindi V T V T A c) sommando i contributi delle trasformazioni: V T T T B S nr log n log + n log n( R + ) log p v p v V T T T A Per la relazione di Mayer la parentesi e` nulla e quindi la variazione di entropia sul ciclo e` nulla, come dev essere per il carattere di funzione di stato di questa grandezza. d) Per ognuna delle tre trasformazioni reversibili del sistema, una ugual quantita` di calore, ma di segno opposto, viene scambiata reversibilmente con l ambiente. Ne segue che la variazione di entropia dell ambiente in ciascuna trasformazione e quindi nell intero ciclo, e` uguale e contraria a quella del sistema. Essendo nulla la variazione di entropia totale del sistema, e` nulla anche quella dell ambiente.
D) Elettricita` Sia dato un condensatore cilindrico di lunghezza molto maggiore del raggio b dell elettrodo esterno. Sia a il raggio dell elettrodo interno. l condensatore e` riempito radialmente di materiale dielettrico di costante ε fino a distanza c dal centro e di materiale dielettrico di costante ε per la parte restante. Detta Q la carica presente sugli elettrodi e λ la carica per unita` di lunghezza, determinare a) l campo elettrico E all interno e all esterno del condensatore; b) ricordandone la definizione: u ε E, la densita` di energia elettrostatica all interno e all esterno del condensatore; c) l energia elettrostatica U immagazzinata in una lunghezza l di condensatore. Soluzione a) n assenza di dielettrico il campo elettrico si puo` calcolare con la legge di Gauss e risulta: λ... a < r < b E( r) πε r.... r < a, r > b
La presenza del dielettrico cambia il valore del campo diminuendolo localmente di un fattore uguale all inverso della costante dielettrica relativa del materiale presente nel punto considerato: λ... a < r < c πε r λ E( r)... c < r < b πε r... r < a, r > b b)la densita` di energia elettrostatica e`, punto per punto, u ε E, quindi: λ... a < r < c 8π ε r λ u( r)... c < r < b 8π ε r... r < a, r > b c)l energia elettrostatica si trova integrando la densita` di energia nel volume considerato: λ λ U u( r) dv dv + dv V V 8π ε r V 8π ε r l volume V e` un anello cilindrico di altezza l e raggi a, c. l volume V e` un anello cilindrico di altezza l e raggi c, b. Ricordando che dv lπrdr ed eseguendo il calcolo, si ottiene: c b λ l λ l U dr + dr πε a r 4πε c r λ l log 4πε c a λ l + log 4πε 4 b c
E) Magnetismo Sono dati due fili indefiniti paralleli, giacenti sul piano xy, distanti d, percorsi da correnti uguali ed opposte. onsideriamo il piano xz, perpendicolare al piano dei fili ed equidistante da essi. Sfruttando le simmetrie del sistema, a) determinare modulo, direzione e verso del campo magnetico generato dai fili in un punto generico di tale piano; b) Disegnare il grafico del modulo del campo magnetico in funzione della coordinata z, trovare per quale valore di z presenta un massimo e calcolare il valore di tale massimo. Soluzione a) e` simmetria di traslazione lungo x, quindi il campo puo` dipendere da z, ma non da x. mmaginiamo dunque di prendere una sezione a xcostante del nostro sistema:
Applichiamo il principio di sovrapposizione, sommando il contributo dei due fili e ricordando che il campo di ciascuno e` del tipo Biot-Savart. Per la simmetria del piano xz rispetto ai fili, i contributi sono tali da annullare la componente perpendicolare al piano stesso. Avremo dunque µ i B tot B + B, B B, B tot B cosθ. π D Quindi il modulo del campo e` B µ i d µ id, mentre la tot π D D π d + z direzione e il verso sono quelle z negative. b) l modulo del campo sul piano xz e` una funzione di Lorentz: l massimo si ha per z e vale ( ) B tot π µ max i d