Vettor. Un vettore è ndvduto nello spo o nel pno ssegnndo tre grndee: Lunghe o Modulo o Intenstà: defnt d un numero rele non negtvo Dreone nlnone d un rett rspetto gl ss rtesn Verso Può rppresentto d segment orentt free seene un vettore s un nseme d segment orentt presmente un lsse d equpollen L relone d equpollen fferm he due segment orentt sono equvlent se hnno le tre grndee modulo, dreone e verso ugul. Evdentemente l relone d equpollen è un relone d equvlen ed l vettore è l lsse d equvlen d segment orentt. Convenone Il vettore d modulo 0 é ndto on 0 Defnone Un vettore d modulo é hmto versore
Vettore Somm Regol del Prllelogrmm Propretà dell somm 0 0 Intern Assotv Commuttv Elemento neutro Elemento opposto: dto un vettore l vettore opposto, he ndheremo on, è un vettore vente stess dreone e modulo del vettore m verso opposto. 0 Elemento Smmetro In se lle propretà sopr elente l nseme de vettor del pno o dello spo, rspetto ll operone ndt d somm, osttuse un gruppo elno.
ϑ Modulo del Vettore Somm ϑ os Teorem del oseno o d Crnot π ϑ os ϑ Il modulo del vettore somm d due vettor e dpende dll ngolo he ess formno: è mssmo qundo tle ngolo è ero ed è mnmo qundo tle ngolo è un ngolo ptto 80, π rdnt. ϑ 0 ϑ π ϑ π 3
Moltplone vettore per uno slre Def. Con slre s ntende un numero rele. S v un vettore e uno slre vettore v è osì defnto: Modulo: v v Dreone: Verso: quell d v se >0 quello d v se <0 quello opposto quello d v Propretà del prodotto slre per vettore v v s t v s v t v t u v t u t v s t v st v 4
Moltplone per uno slre Le propretà preedentemente enunte dsendono tutte l propretà geometrhe lgerhe. Ad esempo l ter propretà dsende dl teorem d Tlete: t u v u v u t uu v t v 5
Vettor nel pno: omponent rtesne versore sse versore sse Versor fondmentl ϑ C os ϑ; sen ϑ osϑ senϑ os ϑ sen ϑ Defnmo: os ϑ sen ϑ Component rtesne del vettore sono sottontes versor non e Spesso s srve semplemente: ; 6
Vettor nel pno: omponent rtesne ϑ Modulo: Clolo nlto delle rttersthe del vettore: Dreone: tn ϑ ϑ rtn Verso: dl qudrnte d pprtenen o dl segno delle omponent Versor non 0 ;0 0 0; 7
Vettor nello spo Vettor nello spo ; ; 0 0 8 Versor non 0 0 0 0 0 0 Modulo: Def. Versore d dreone ^
Operone tr vettor e omponent Operone tr vettor e omponent rtesne: somm rtesne: somm Nel Pno: on 9 Nello Spo: on S dmostrno tutte dll form lger he utl versor non e dlle propretà lgerhe delle operon stesse.
Operone tr vettor e omponent rtesne: Prodotto per uno slre Nel Pno: Nello Spo: S dmostrno tutte dll form lger he utl versor non e dlle propretà lgerhe delle operon stesse. 0
Prodotto slre tr vettor Def. Prodotto slre tr due vettor: osϑ Propretà: Commuttvo Dstrutvo 0 Propretà versor non: Nel Pno 0 Nello Spo 0
Prodotto vettorle tr vettor Def. Prodotto vettorle tr due vettor: Modulo: senϑ Dreone: perpendolre l pno formto d e Verso:, e nell ordne formno un tern destrors E defnto d:
Propretà Prodotto vettorle tr vettor Propretà Prodotto vettorle tr vettor Dstrutvo: Antommuttvo: 3 t t 4 0 5 è prllelo se e solo se: 0 3 Per versor: 0
Propretà Prodotto vettorle tr vettor Propretà Prodotto vettorle tr vettor Dl punto d vst dell lger delle mtr fr. rgomento l prodotto vettorle d due vettor può essere vsto ome l determnnte dell seguente mtre qudrt d ordne 3: 4
Propretà Prodotto vettorle tr vettor Propretà Prodotto vettorle tr vettor S utl spesso l notone mtrle per esprmere l prodotto vettorle: det 5 Trplo prodotto msto: det
Vettor n R n Amo vsto he nel pno o nello spo vettor possono essere dentft on oppe o trplette ordnte d numer rel e he su d ess possono essere defnte le due operon d somm d vettor e prodotto per uno slre. Lo spo R n. n Consdermo l nseme d tutte le n-uple ordnte d numer rel: R 4 RR... 43 R Sno, degl element d R n. Srveremo:,,...,,,...,... n n... n n nvolte Defnmo n R n le seguent operon: 6
Somm Operon n R n : somm :... n n Defnone vettore 0: Defnone opposto: 0 0 0 :... 0 :... n Rspetto tle operone R n rsult un gruppo elno. Coè l somm h le seguent propretà: S5 Commuttv S Intern S Assotv S3 Elemento Neutro 0 S4 Elemento smmetro opposto 0 7
Operon n R n : prodotto per uno slre Prodotto vettore per slre: :... n Rspetto tle operone R n present le seguent propretà: P P h h P3 P4 t t Not. S dstnguno nelle preedent propretà le operon nel mpo degl slr d quelle tr vettor o tr vettor e slr. 8
Sp Vettorl Astrtt Def. S de spo vettorle su un mpo R o C d slr un nseme V d element dett vettor per qul sono defnte due operon: un operone d somm tr vettor rspetto u V è un Gruppo Aelno propretà S S5 Un operone d prodotto tr slre e vettore he soddsf lle propretà P..P4. Es. R on le usul operon d somm e prodotto per uno slre osttuse uno spo vettorle nseme de vettor del pno. R 3 on le usul operon d somm e prodotto per uno slre osttuse uno spo vettorle nseme de vettor dello spo. 9