Istituzioni di Matematiche prima parte

Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2010/2011 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 45

index Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 2 Prime proprietà delle funzioni 3 Il concetto di limite Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 2 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Generalità sugli insiemi Le nozioni di insieme e di elemento di un insieme sono da considerarsi intuitive. Abitualmente gli insiemi vengono denotati con lettere maiuscole e gli elementi con lettere minuscole. Se x è un elemento di un insieme A si scrive x A (oppure A x) e si dice che x appartiene ad A. Tra gli insiemi consideriamo l insieme vuoto, cioè privo di elementi. Un insieme Y si dice sottoinsieme di un insieme X, e si scrive Y X (oppure X Y), se ogni elemento di Y è anche elemento di X. In simboli Y X y Y si ha y X. Se Y è un sottoinsieme di X si dice anche che Y è contenuto in X ovvero che X contiene Y. Supporremo sempre di lavorare con insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme fissato U, che chiamiamo insieme universo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 3 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Esempi: U = R, insieme dei numeri reali, N, insieme dei numeri naturali, Z, insieme dei interi relativi, Q, insieme dei numeri razionali. Si ha N Z Q ( U). Per ogni insieme A si ha A e A A. Un insieme può essere definito per elencazione, ad esempio X = {1, 2, 3, 4, 5}, oppure assegnandone una condizione definitoria (ovvero proprietà caratteristica). Ad esempio l insieme X di sopra è anche oppure anche X = {a Z 1 a 5} X = {a N 1 a < 6}. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 4 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R ESERCIZIO - Descrivere per elencazione i seguenti insiemi W = {x Z 4 x < 10}, V = {a W 2a W}, T = {b b = 2a, a V}. ESERCIZIO - Trovare una proprietà definitoria per ciascuno dei seguenti insiemi L = {4, 9, 16}, M = {2/7, 3/7, 4/7}, N = { 2, 2, 3, 3}. Due insiemi A e B sono uguali (A = B) se ogni elemento di A è anche un elemento di B e viceversa, cioè A = B A B e B A. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 5 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Dati due insiemi A, B U si definisce intersezione A B di A e B l insieme degli elementi comuni ad A e B. Si ha cioè A B = {x U x A e x B}. Si definisce invece unione A B di A e B l insieme degli elementi che appartengono ad A o a B (o, ovviamente, anche ad entrambe) Si ha cioè A B = {x U x A oppure x B}. ESEMPIO A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3}, C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, D = {1, 3, 5} A B = {2}, A C = A, A D =, A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}, A C = C, A D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. OSSERVAZIONE - Dati comunque due insiemi A e B, l intersezione A B è un sottoinsieme di A e di B inoltre A e B sono sottoinsiemi dell unione A B. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 6 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Dato un insieme A U si definisce complementare A c di A in U l insieme degli elementi di U che non appartengono ad A. Si ha cioè A c = {x U x / A}. ESEMPIO - U = Z, A = {x Z x 50}, A c = {x Z x 51} OSSERVAZIONE - Dati A, B U, si ha (A B) c = A c B c. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 7 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Ordinamento dei numeri reali Due numeri reali a, b R possono sempre essere confrontati per stabilire se sono uguali o, in caso contrario, quale è il maggiore tra i due. Per confrontare due numeri reali si possono usare le seguenti proprietà: a, b, c R, se a < b, allora anche a + c < b + c; a, b, c R, se c > 0, e a < b, allora anche ac < bc; a, b, c R, se c < 0 e a < b allora ac > bc. ESERCIZIO Usare le proprietà sopra elencate per confrontare tra loro x = 3 12 17 con y = 2 19, a = 13 29 con b = 0, 42, m = 1 17 con n = 5 17+4 5 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 8 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R OSSERVAZIONE - L insieme dei numeri reali R è denso, cioè dati due qualsiasi numeri reali a, b R, esiste un numero reale c compreso tra i due (in realtà ne esistono infiniti). Ad esempio si può prendere c = a+b 2. Dato un numero reale a, si chiama modulo o valore assoluto di a il numero reale non negativo a = a, se a 0; a = a, se a < 0. Ad esempio 3 = 3, e 5 = 5. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 9 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sistemi di riferimento sulla retta e sul piano L insieme dei numeri reali può essere visualizzato come insieme dei punti di una retta: per farlo occorre introdurre un sistema di riferimento sulla retta. Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una terna R = {O, verso, U}, ove O r è un punto detto origine del riferimento), il verso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (che viene utilizzato come unità di misura): O X U r R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l insieme R dei numeri reali: : r R X x, ove x è la misura di OX rispetto a U, o il suo opposto, a seconda che X sia nella semiretta positiva, o negativa. Il numero reale x viene detto coordinata o ascissa di X. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 10 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale su un piano π è dato da una coppia di rette (del piano) ortogonali orientate (come in figura), dette assi, che si intersecano in un punto, detto origine, ed un segmento da considerarsi come unità di misura. asse y Y P O X asse x U Per P: retta parallela all asse x che taglia l asse y in Y e retta parallela all asse y che taglia l asse x in X. È possibile instaurare una corrispondenza biunivoca: π R 2 = R R P (x, y), ove x è la coordinata di X sull asse x (e viene detto ascissa di P), ove y è la coordinata di Y sull asse y (e viene detto ordinata di P). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 11 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sup, Inf, Max, Min Un sottoinsieme A di R viene detto superiormente limitato se c R tale che x A si abbia x c. Un tale c viene detto maggiorante per A. Si noti che tale c non è unico: ogni numero c è pure un maggiorante. In modo analogo si definisce inferiormente limitato un sottoinsieme B di R che ammetta (almeno) un minorante, ovvero un d R tale che y B si abbia y d. Un insieme che sia tanto superiormente quanto inferiormente limitato viene detto limitato. ESEMPIO - L insieme Z non è né superiormente, né inferiormente limitato, l insieme N, non è superiormente limitato, ma è inferiormente limitato, l insieme Y = { n n N} è superiormente limitato, ma non inferiormente limitato, l insieme W = {1, 2, 3} è limitato. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 12 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Se A R è un insieme superiormente limitato, tra i maggioranti ce ne è uno che è minore di tutti gli altri e che viene detto estremo superiore di A, ovvero esiste un c tale che c è un maggiorante per A se b < c, allora b non è un maggiorante per A. Si scrive c = Sup(A). Analogamente se B R è un insieme inferiormente limitato, tra i minoranti ce ne è uno che è maggiore di tutti gli altri e che viene detto estremo inferiore di B, ovvero esiste un d tale che d è un minorante per B se f > d, allora f non è un minorante per B. Si scrive d = Inf (B). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 13 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Se un insieme H R non è superiormente limitato, si scrive Sup(H) = +, se un insieme K R non è inferiormente limitato, si scrive Inf (K) =. ESEMPI 1 L insieme X = { n n+1 n N} = { 1 2, 2 3, 3 4,... } è limitato; si ha Inf (X) = 1 2, Sup(X) = 1. 2 L insieme Z non è limitato né superiormente, né inferiormente; si ha Inf (Z) = e Sup(Z) = +. 3 L insieme N è inferiormente limitato, non superiormente limitato; si ha Inf (N) = 1, Sup(N) = +. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 14 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Sia A R, se A è superiormente limitato e Sup(A) A, si dice che A ammette massimo e si scrive Sup(A) = Max(A). Analogamente se A è inferiormente limitato e Inf (A) A, si dice che A ammette minimo e si scrive Inf (A) = Min(A). ESEMPI - L insieme dei numeri naturali N è inferiormente limitato ed ammette minimo: Min(N) = 1. L insieme A = {1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... } è inferiormente limitato, ma Inf (A) = 0 / A, per cui A non ammette minimo. ESERCIZIO - Trovare Sup, Inf, ed eventuali Max e Min, per ciascuno dei seguenti insiemi 1 A = {x R 1 < x < 2} {3} 2 B = {x R x 2} {3} 3 C = {1, 2, 3} {x R x 4} 4 D = {x R x 2 < 1} Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 15 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Intervalli sulla retta Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R : i1 (a, b) = {x R a < x < b} i2 [a, b] = {x R a x b} i3 [a, b) = {x R a x < b} i4 (a, b] = {x R a < x b} j1 (, b] = {x R x b} j2 (, b) = {x R x < b} j3 [a, + ) = {x R a x} j4 (a, + = {x R a > x} Gli intervalli i1,..., i4 si dicono limitati, gli intervalli j1,..., j4 si dicono illimitati. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 16 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Intorni di numeri reali; intorni di + e di Dati due numeri reali a, b R si dice distanza tra a e b il valore assoluto della loro differenza, cioè il numero reale (non negativo) a b. ESEMPIO - La distanza tra 2 e 5 vale 7, poichè 2 5 = 7 = 7. La distanza tra 24 e 15 vale 9, poichè 24 ( 15) = 9 = 9. L insieme dei numeri reali la cui distanza dal numero 2 è minore di 5 è {x R 5 < x 2 < 5} ovvero l intervallo (2 5, 2 + 5) = ( 3, 7). Si dice intorno di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U(a, r) = {x R a x < r} = {x R r < a x < r} = (a r, a + r). Si dice intorno destro di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri maggiori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U + (a, r) = {x R x a, a x < r} = [a, a + r). Si dice intorno sinistro di raggio r del numero reale a l insieme di tutti e soli i numeri minori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovvero l intervallo U (a, r) = {x R x a, a x < r} = (a r, a]. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 17 / 45

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R Si dice intorno di + di estremo sinistro h l intervallo U(+, h) = {x R x > h} = (h, + ). Si dice intorno di di estremo destro k l intervallo U(, k) = {x R x < k} = (, k). Dato un sottoinsieme A R si dice che un punto a A è interno se esiste un intorno di a interamente contenuto in A. ESEMPIO - In A = (1, 3], 3/2 e 2 sono punti interni, mentre 3 non lo è. In Z nessun punto è interno. ESERCIZIO - Stabilire in quali dei seguenti insiemi a = 2 è punto interno: A = [2, + ), B = (, 0) (1, 5), C = (0, 2) (2, 3), D = {1, 2, 3}. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 18 / 45

index Prime proprietà delle funzioni 1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 2 Prime proprietà delle funzioni 3 Il concetto di limite Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 19 / 45

Prime proprietà delle funzioni Il concetto di funzione Siamo A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) da A a B è una legge che ad ogni elemento dell insieme A associa uno ed un solo elemento dell insieme B. ESEMPIO - Indicato con R l insieme delle regioni italiane e con C l insieme dei comuni italiani, la legge che associa a ciascuna regione il suo capoluogo è una funzione da R a C, così come la legge che associa ad ogni comune la sua regione è una funzione da C ad R, mentre la legge che associa ad ogni regione i suoi comuni, non lo è. Perché? ESEMPIO - Indicato con K l insieme degli esseri umani viventi o vissuti, la legge che associa a ciascun individuo la propria madre (naturale) è una funzione da K a K, mentre la legge che associa ad ogni individuo i suoi figli, non lo è, e non lo è nemmeno quella che associa ad ogni individuo il proprio consorte. Perché? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 20 / 45

Prime proprietà delle funzioni Se f è una funzione da A a B si scrive f : A B. L insieme A viene detto dominio di f, B codominio. Dato un x A, l elemento y B che si associa ad x viene detto immagine di x e si scrive y = f (x). Il sottoinsieme di B costituito dalle immagini degli elementi di A viene detto immagine di A e denotato con f (A) (o con Im(f )). Siamo interessati al caso in cui sia A R e B = R (funzioni reali di variabili reali). In questo caso spesso le funzioni sono assegnate in forma analitica. ESEMPI 1 f (x) = x 3 ; 2 f (x) = 3 x 2 ; 3 f (x) = x 2 + 3x; 4 f (x) = 5 3 x Nei casi scritti sopra si è specificata solo la legge che permette di determinare l immagine di un x. Non si è specificato il dominio A. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 21 / 45

Prime proprietà delle funzioni La funzione dell esempio 1 è definita per qualsiasi valore della variabile x, ovvero può avere come insieme di definizione A = R, mentre le altre hanno significato solo per alcuni valori della variabile x. La funzione dell esempio 4 non è definita, ad esempio, per x = 5. In generale, quando non specificato, si assume che l insieme di definizione sia il più grande sottoinsieme di D di R tale che x D esista un y = f (x) R. Questo sottoinsieme D viene detto insieme di definizione o campo di esistenza di f. L insieme Γ f = {(x, y) R 2 y = f (x)} si dice grafico di f. Quello in figura non è il grafico di una funzione. Perché? Nella pagina seguente sono rappresentati i grafici delle funzioni degli esempi 1, 2, 3 e 4, citati prima. Si utilizzino i grafici per dedurre dominio e immagine di ciascuna delle suddette funzioni. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 22 / 45

Prime proprietà delle funzioni Figure: esempio 1 Figure: esempio 2 Figure: esempio 3 Figure: esempio 4 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 23 / 45

Prime proprietà delle funzioni Funzioni iniettive Una funzione f : A B si dice iniettiva se a elementi distinti tra loro di A associa elementi distinti tra loro di B. In altri termini, f è iniettiva se, s, t A, si ha o, equivalentemente, s t f (s) f (t) f (s) = f (t) s = t. Ad esempio la funzione che associa ad un individuo la propria madre non è iniettiva, dal momento che individui diversi possono avere la stessa madre. Nel caso di funzioni reali di variabile reale, l iniettività può essere "letta" dal grafico: f è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico Γ f di f in al più un punto. Stabilire quali tra le funzioni degli esempi 1, 2, 3 e 4 siano iniettive. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 24 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO - Data la funzione definita da f (x) = 3 x2 x 2 +1 determinare l insieme di definizione di f stabilire se 0, 2, 1 sono valori assunti da f e, in caso affermativo, quante volte stabilire se f è iniettiva ESERCIZIO - Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive (dopo averne determinato l insieme di definizione) f (x) = 5 3x f (x) = 5 3x f (x) = 2 x 3 f (x) = x 2 4 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 25 / 45

Prime proprietà delle funzioni Composizione di funzioni In alcuni casi due funzioni si possono applicare una dopo l altra per ottenere una nuova funzione. Ad esempio se dapprima si applica la funzione che ad un individuo associa la propria madre e dopo la funzione che ad un individuo associa il proprio padre, si ottiene la funzione che a ciascun individuo associa il proprio nonno materno (il padre della madre). Potremmo dire che la funzione "nonno materno" è ottenuta componendo la funzione "madre" con la funzione "padre". Invece componendo prima la funzione "padre" e dopo la funzione "madre" si ottiene la funzione "nonna paterna". Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale, f : A R R e g : B R R. Se f (A) B, preso x A, si può considerare f (x) f (A) B ed applicare a questo la funzione g ottenendo g(f (x)). Si definisce funzione composta g f : A R la funzione che ad ogni x A associa y = g(f (x)). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 26 / 45

Prime proprietà delle funzioni Come si è già visto nel caso delle funzioni "madre" e "padre" nella composizione di funzioni è importante l ordine in cui si considerano le due funzioni. Ad esempio, componendo la funzione f (x) = x 2 + 1, con la funzione g(x) = 3x, si ottiene la funzione h(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 1) = 3(x 2 + 1) = 3x 2 + 3. Invece componendo prima g e poi f si ottiene k(x) = f (g(x)) = f (3x) = (3x) 2 + 1 = 9x 2 + 1. ESERCIZIO - Date f (x) = x, g(x) = x 3 determinare gli insiemi di definizione di f e di g si possono costruire le funzioni f g, g f, f f e g g? In caso affermativo scriverne la rispettiva espressione analitica. ESERCIZIO - Date f (x) = x + 3, g(x) = 1 (g è la funzione costante di valore 1.) determinare dominio ed immagine di f e di g determinare f g, g f. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 27 / 45

Prime proprietà delle funzioni Funzione inversa Quando una funzione f : A R è iniettiva, ogni y f (A) proviene da un solo x A, ovvero y f (A), uno ed un solo x A tale che f (x) = y. Si può allora costruire una funzione : f (A) R (che viene detta inversa di f e denotata con f 1 ) nel seguente modo: f 1 (y) = x f (x) = y. Ad esempio, se f : R R è la funzione definita da f (x) = x 3, allora f è iniettiva e si può definire la funzione inversa f 1 (y) = 3 y : la funzione "radice cubica" è l inversa della funzione "cubo." Potremmo altrettanto dire che la funzione "radice quadrata" è l inversa della funzione "quadrato"? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 28 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO - Determinare, se esiste, la funzione inversa di ciascuna delle seguenti funzioni f (x) = 5x 4 f (x) = x 3 3 f (x) = 4 3 2 x f (x) = (x 2) 2. Si noti che il grafico di f 1 si può ottenere dal grafico di f per riflessione (simmetria) rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 29 / 45

Prime proprietà delle funzioni Funzioni monotone Una funzione f : A R R si dice monotona crescente (rispett. monotona strettamente crescente) se a, b A con a < b si ha f (a) f (b) (rispett. f (a) < f (b)) monotona decrescente (rispett. monotona strettamente decrescente) se a, b A con a < b si ha f (a) f (b) (rispett. f (a) > f (b)) Una funzione si dice monotona (rispett. strettamente monotona) se è monotona crescente oppure decrescente (rispett. strettamente monotona crescente oppure decrescente). Una funzione strettamente monotona è iniettiva (e quindi ammette inversa). ESERCIZIO - Mostrare un esempio di funzioni monotona non iniettiva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 30 / 45

Concavità Prime proprietà delle funzioni Una funzione f : A R R si dice concava verso l alto (rispett. concava verso il basso) nell intervallo (a, b) A se s, t con a < s < t < b il segmento che unisce i punti (s, f (s)) e (t, f (t)) sta tutto sopra (rispett. sotto) il grafico di f. Una funzione concava verso l alto viene anche detta convessa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 31 / 45

Prime proprietà delle funzioni Funzioni limitate, massimo e minimo assoluto Una funzione f : A R R si dice superiormente limitata se la sua immagine f (A) è un insieme superiormente limitato, ovvero se H R tali che x A sia f (x) H. Si scrive anche Sup(f ) = Sup(f (A)). Si dice che f ha massimo assoluto M se M è il massimo di f (A). Un punto x 0 tale che f (x 0 ) = M viene detto punto di massimo(assoluto) per f. Una funzione f : A R R si dice inferiormente limitata se la sua immagine f (A) è un insieme inferiormente limitato, ovvero se h R tali che x A sia f (x) h. Si scrive anche Inf (f ) = Inf (f (A)). Si dice che f ha minimo assoluto m se m è il minimo di f (A). Un punto x 0 tale che f (x 0 ) = m viene detto punto di minimo (assoluto) per f. Funzione limitata, con massimo, senza minimo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 32 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO - Stabilire se g, h e k siano iniettive. Stabilire se g, h e k siano monotone (crescenti o decrescenti). Stabilire se g, h e k siano strettamente monotone (crescenti o decrescenti). Stabilire se g, h e k siano concave verso l alto o verso il basso. Determinare h(g(2)) Determinare k 1 (3) Disegnare il grafico di k 1. Figure: g Figure: h Figure: k Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 33 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO 1 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo assoluto e nessun punto di minimo assoluto. 2 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto. 3 Disegnare il grafico di una funzione che abbia infiniti punti di massimo assoluto e nessun punto di minimo assoluto. 4 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l alto e con un punto di minimo assoluto. 5 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l alto e priva di punti di minimo assoluto. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 34 / 45

Prime proprietà delle funzioni Zeri e segno di una funzione Sia f : A R R. Un punto a A si dice zero di f se f (a) = 0. Si dice che f è positiva in B A se x B si ha f (x) > 0. Si dice che f è negativa in B A se x B si ha f (x) < 0. ESERCIZIO Data la funzione f (x) = x 2 x+3, trovare gli zeri di f, il più grande sottoinsieme di A in cui f è positiva, il più grande sottoinsieme di A in cui f è negativa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 35 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO - In figura è il grafico della funzione f (x) = x2 +1 x. 1. Per quali valori di h l equazione x2 +1 x = h non ha soluzioni? 2. Per quali valori di h l equazione x2 +1 x = h ha una sola soluzione? 3. Per quali valori di h il numero 1 è soluzione dell equazione x2 +1 x = h? 4. Quante soluzioni ha l equazione x2 +1 x = 3? 5. Quante soluzioni ha la disequazione x2 +1 x < 1? 6. Quante soluzioni ha la disequazione x2 +1 x < 1? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 36 / 45

Prime proprietà delle funzioni ESERCIZIO - Disegnare il grafico della funzione definita (a pezzi) da: f (x) = (x + 4) 2, per 5 x 0 f (x) = x 2, per 2 x < 4 f (x) = x, per x 4. 1. determinare l insieme di definizione di f, 2. determinare gli intervalli in cui è crescente o decrescente, 3. stabilire se f è o meno limitata e determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo assoluti, 4. determinare gli zeri di f, 5. determinare gli intervalli in cui f è positiva e quelli in cui f è negativa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 36 / 45

index Il concetto di limite 1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R 2 Prime proprietà delle funzioni 3 Il concetto di limite Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 37 / 45

Il concetto di limite Punti di accumulazione Sia A R. Un punto b si dice di accumulazione per A se ogni intorno di b contiene elementi di A diversi da b. Un punto b si dice di accumulazione destro (rispett. sinistro) per A se ogni intorno destro (rispett. destro) di b contiene elementi di A diversi da b. La definizione di punto di accumulazione si applica anche al caso di + e di. OSSERVAZIONE - Se b è un punto interno ad A allora b è di accumulazione per A. ESEMPIO - Sia A = ( 1, 1) {2, 3}. Il punto 1 è di accumulazione per A, poiché ogni intorno di 1 è della forma (1 h, 1 + h) e interseca A in punti 1. Il punto 2 invece non è di accumulazione per A, poiché ad esempio l intorno (2 1/2, 2 + 1/2) non interseca A. ESERCIZIO - Determinare tutti i punti di accumulazione per l insieme A dell esempio di sopra. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 38 / 45

Il concetto di limite Definizione di limite Sia f : A R R e sia c R {+, } un punto di accumulazione per A, si dice che f ammette limite per x che tende a c e che tale limite è L R {+, }, se per ogni intorno I(L) di L esiste un intorno I(c) di c tale che x I(c) A, x c, si abbia f (x) I(L). In tal caso si scrive lim x c f (x) = L. In simboli lim x c f (x) = L se e solo se I(L), I(c) tale che x A (I(c) \ {c}) si abbia f (x) I(L). La definizione data sopra si applica tanto nel caso in cui c e L siano numeri reali, quanto nel caso in cui siano ±. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 39 / 45

Il concetto di limite Nel caso c, L R (si veda l esempio 1), si ha lim x c f (x) = L se, fissato I(L) = (L ɛ, L + ɛ), si trova un I(c) = (c δ, c + δ) tale che f ((I(c) \ {c}) A) I(L). In altri termini, fissato arbitrariamente un ɛ > 0, si deve trovare un δ > 0 tale che x A, con x c e x c < δ, si abbia f (x) L < ɛ. Invece nel caso L R e c = + (si veda l esempio 2), lim x c f (x) = L vuol dire che fissato I(L) = (L ɛ, L + ɛ), si trova un I(c) = (h, + ) tale che f ((I(c) A) I(L). In altri termini, fissato arbitrariamente un ɛ > 0, si deve trovare un h > 0 tale che x A, con x > h si abbia f (x) L < ɛ. Figure: esempio 1 Figure: esempio 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 40 / 45

Il concetto di limite Figure: esempio 3 Figure: esempio 4 L esempio 3 illustra il caso c R e L = +, mentre l esempio 4 illustra il caso c = + e L = +. ESERCIZIO - Rappresentare graficamente i casi in cui c o L siano. ESERCIZIO - Scrivere la definizione di limite nel caso c =, L R e nel caso c = +, L =. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 41 / 45

Il concetto di limite Negli esempi in figura sono rappresentati grafici di funzioni che non ammettono limite per x c. Un esempio di funzione che non ammette limite per x è la funzione y = sin(x). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 42 / 45

Il concetto di limite Limite destro e limite sinistro Quando c R è un punto di accumulazione destro (rispett. sinistro) per A, considerando intorni destri (rispett. sinistri) di c al posto di intorni completi, si ottiene la definizione di limite destro (rispett. sinistro). Ad esempio, si dice che f ammette limite destro per x che tende a c e che tale limite destro è L R {+, }, se per ogni intorno I(L) di L esiste un intorno destro I + (c) di c tale che x I + (c) A, x c, si abbia f (x) I(L). In tal caso si scrive lim x c +f (x) = L. In modo analogo si ottiene la definizione di lim x c f (x). OSSERVAZIONE - Se c è un punto di accumulazione sia destro che sinistro, il limite per x c esiste se e solo se esistono il limite per x c + e per x c e tali limiti sono uguali. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 43 / 45

Il concetto di limite Negli esempi in figura sono rappresentati grafici di funzioni che ammettono limite destro e limite sinistro diversi tra loro per x c. Nel caso della funzione a sinistra il limite sinistro è, mentre il limite destro è +. Nel caso della funzione a destra il limite sinistro è L 1, mentre il limite destro è +. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 44 / 45

Il concetto di limite Funzioni convergenti e funzioni divergenti. Asintoti orizzontali e asintoti verticali Se il limite di f per x c è finito, si dice che f è convergente per x c. Se il limite di f per x c è ±, si dice che f è divergente per x c. Se f converge al numero reale L per x + (oppure per x ), si dice che la retta y = L è un asintoto orizzontale per f. Se f diverge per x c (oppure per x c +, o x c ), si dice che la retta x = c è un asintoto verticale per f. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 45 / 45