Esercitazioni di Matematica Generale A.A. 2016/2017 Pietro Pastore Lezione del 25 Gennaio 2017 Studio di Funzione 1. Si consideri la funzione reale di variabile reale così definita f() = 2 + 4. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Deve essere 0, quindi D = R \ {0} = (, 0) (0, + ). Per verificare se f è una funzione pari dobbiamo vedere se f( ) = f(). f( ) = ( )2 + 4 = 2 + 4 f(), quindi la funzione non è pari, ossia il suo grafico non è simmetrico rispetto all asse y. Per verificare se f è una funzione dispari, ossia se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine degli assi, dobbiamo vedere se f( ) = f(). quindi la funzione è dispari. f() = 2 + 4 = f( ), (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Per studiare il segno della funzione andiamo a vedere dove essa risulta positiva e quindi risolviamo la seguente disequazione: 2 + 4 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : 2 + 4 > 0 R; D : > 0 E il grafico del segno risulta 1
0 N D f() + Perciò la funzione risulta positiva in (0, + ) e negativa in (, 0). Per trovare le intersezioni con l asse andiamo a risolvere il sistema y = 0 y = 0 y = 0 y = 2 + 4 2 + 4 = 0 R e quindi la funzione non interseca l asse. La funzione non interseca l asse y visto che 0 non appartiene al dominio D. (c) Calcolare i limiti e il comportamento asintotico della funzione. Vediamo se la funzione ha asintoti orizzontali. ( 2 2 1 + 4 ) + 4 lim 2 (1 ± ± + 4 ) ± 2 = ±, da cui segue che non ci sono asintoti orizzontali. Vediamo se la funzione ha asintoti verticali. 2 + 4 lim = 4 0 0 =, quindi = 0 è asintoto verticale. Più precisamente notiamo dal grafico del segno della funzione che 2 + 4 2 + 4 lim =, lim = +. 0 0 + Dato che non esiste l asintoto orizzontale, andiamo alla ricerca dell asintoto obliquo. Ricordiamo che l equazione di una generica retta è del tipo y = m + q. I due numeri m e q vanno determinati calcolando i seguenti limiti: m = f() lim ±, q [f() m]. ± Il secondo limite va calcolato solo se il primo limite esiste finito ed è diverso da 0. 2
Procediamo con la determinazione di m f() m ± 2 + 4 ± ( 2 2 1 + 4 ) 2 ± 2 (1 + 4 ) ± 2 = 1. Per quanto detto prima possiamo calcolare anche q e quindi [ 2 ] q [f() m] + 4 = ± ± 2 + 4 2 4 ± ± = 0, quindi l asintoto obliquo ha equazione y =. (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione. f () = 2 (2 + 4) 1 2 = 22 2 4 2 = 2 4 2 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. Dobbiamo allora risolvere la seguente disequazione 2 4 2 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : 2 4 > 0 1/2 = ±2 < 2 > 2 D : 2 > 0 D. E il grafico del segno risulta 2 0 2 N D f () + + 3
Perciò la funzione risulta decrescente (derivata prima negativa) in ( 2, 0) (0, 2) e crescente (derivata prima positiva) in (, 2) (2, + ). Per = 2 e = 2 la derivata prima si annulla e quindi essi risultano punti estremali. In particolare, osservando il grafico del segno, per = 2 si ha un massimo relativo e per = 2 si ha un minimo relativo. Dato che f( 2) = 4 e f(2) = 4 il massimo relativo è il punto M( 2, 4) e il minimo relativo m(2, 4). (e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione f () = 2 2 2( 2 4) 4 = 23 2 3 + 8 4 = 8 3 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta concava o convessa. Dobbiamo allora risolvere la seguente disequazione 8 3 > 0. Essendo una disequazione fratta studiamo il segno di numeratore e denominatore e quindi N : 8 > 0 R; D : 3 > 0 > 0. E il grafico del segno risulta 0 N D f () + dunque la funzione è concava (derivata seconda negativa) nell intervallo (, 0) e convessa (derivata seconda positiva) nell intervallo (0, + ). Non esistono punti di flesso visto che la derivata seconda non è mai nulla. 4
(f) Disegnare il grafico di f(). y 4 m 2 2 M 4 2. Si consideri la funzione reale di variabile reale così definita f() = e 2. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Deve essere 0, essendo un denominatore, quindi D = R \ {0} = (, 0) (0, + ). Per verificare se f è una funzione pari dobbiamo vedere se f( ) = f(). f( ) = e 2 = e +2 f(), quindi la funzione non è pari, ossia il suo grafico non è simmetrico rispetto all asse y. Per verificare se f è una funzione dispari, ossia se il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine degli assi, dobbiamo vedere se f( ) = f(). f() = e 2 f( ), 5
quindi la funzione non è nemmeno dispari. Allora il grafico di f non presenta simmetrie. (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Essendo una funzione esponenziale, ricordiamo che essa è sempre positiva nel suo dominio, quindi risulta: f() > 0 D. Da ciò segue anche che la funzione non interseca l asse, essendo sempre positiva. D altro canto la funzione non interseca neanche l asse y essendo = 0 non appartenente al dominio D. (c) Calcolare i limiti e il comportamento asintotico della funzione. Vediamo se la funzione ha asintoti orizzontali. lim e 2 ± ± e (1 2 da cui segue che y = e è asintoto orizzontale. ) ± e1 2 = e, Vediamo se la funzione ha un asintoto verticale per = 0, valore escluso dal dominio. Dato che e che lim e 2 = e 2 0 + = e = 0 0 + lim e 2 = e 2 0 = e + = +, 0 risulta che = 0 è asintoto verticale sinistro. La funzione non ha asintoti obliqui, essendoci l asintoto orizzontale. (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione ( ) f () = e 2 1 ( 2) 1 = e 2 2 ( ) 2 2 6
e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. e 2 ( ) 2 2 > 0. Studiamo il segno dei due fattori essendo un prodotto e quindi E il grafico del segno risulta F 1 : e 2 > 0 D; 2 F 2 : > 0 2 D. 0 F 1 F 2 f () + + Perciò la funzione risulta sempre crescente (derivata prima sempre positiva) in D e da questo segue anche che non ha punti estremali visto che f () non è mai nulla. (e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione ( ) ( ) ( f () = e 2 2 2 2 2 + e 2 2 2 ) 4 = ( ) ( ) = e 2 4 4 e 2 4 4 = e 2 4(1 ) 4 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta concava o convessa. Studiamo il segno di tutti i fattori E il grafico del segno risulta e 2 4(1 ) 4 > 0. F 1 : e 2 > 0 D; N : 1 > 0 < 1; D : 4 > 0 D. 7
0 1 F 1 N D f () + + dunque la funzione è concava (derivata seconda negativa) nell intervallo (1, + ) e convessa (derivata seconda positiva) nell intervallo (, 0) (0, 1). I punti di flesso sono da ricercare tra i valori che annullano la derivata seconda. Se risolviamo l equazione e 2 4(1 ) 4 = 0, l unico fattore che può essere uguale a 0 è 1 e quindi = 1. calcolare l ordinata del punto di flesso calcoliamo f(1) = 1 ( e. punto F 1, 1 ) è di flesso per la funzione. e Per Perciò il 8
(f) Disegnare il grafico di f(). y e 1 e 1 F 3. Si consideri la funzione reale di variabile reale così definita f() = 2 1. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie. Il dominio è costituito dai valori di per i quali il radicando risulta non negativo e quindi 2 1 0 2 1 1 1. 9
Perciò il dominio è l insieme D = (, 1] [1, + ). La funzione è pari perché f( ) = ( ) 2 1 = 2 1 = f(), quindi il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y. (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi. Andiamo a vedere dove la funzione risulta positiva. 2 1 > 0 < 1 > 1, e quindi risulta sempre positiva in D tranne per = ±1 (del resto è una funzione irrazionale con indice di radice pari). La funzione non interseca l asse y perché = 0 è esculso dal dominio. Troviamo le intersezioni con l asse risolvendo il seguente sistema y = 2 1 2 1 = 0 = ±1, y = 0 y = 0 y = 0 allora la funzione ha in comune con l asse i punti di coordinate A( 1, 0) e B(1, 0). (c) Calcolare i limiti e il comportamento asintotico della funzione. La funzione non ha asintoti verticali visto che negli estremi = ±1 del campo d esistenza la funzione risulta continua. orizzontali. lim 2 1 = +, ± da cui segue che non c è asintoto orizzontale. Vediamo se ha asintoti Ricerchiamo l asintoto obliquo. L equazione sarà del tipo y = m + q. 10
Calcoliamo il coefficiente angolare m mediante il seguente limite ) (1 2 12 m = lim + + + 2 1 1 1 2 + 1 1 2 = 1. Allora andiamo a calcolare anche q q = lim ( 2 1 ) + + ( 2 1 ) + + + 2 1 2 2 1 + 1 2 1 + = 0. 1 1 2 2 1 + 2 1 + Perciò l asintoto obliquo, per +, è la retta y =, bisettrice del primo e terzo quadrante. Vediamo cosa succede per. I conti sono analoghi, infatti abbiamo m = lim ( 2 1 1 1 2 ) 1 1 2 = 1. 2 (1 12 ) 1 1 2 11
Allora andiamo a calcolare anche q q = lim ( 2 1 + ) ( 2 1 + ) 2 1 2 2 1 1 2 1 = 0. 2 1 2 1 Perciò l asintoto obliquo, per, è la retta y =, bisettrice del secondo e quarto quadrante. (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali. Andiamo a calcolare la derivata prima della funzione f () = 1 2 2 1 2 = 2 1 e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta crescente o decrescente. 2 1 > 0 Studiamo il segno di numeratore e denominatore N : > 0; D : 2 1 > 0 < 1 > 1. E il grafico del segno risulta 1 0 1 N D f () + Perciò la funzione risulta crescente (derivata prima positiva) per > 1 e decrescente (derivata prima negativa) per < 1. Inoltre f () è nulla per = 0, ma non è un valore incluso nel dominio e quindi la funzione 12
non ha punti estremali. (e) Determinare gli intervalli di convessità di f ed eventuali punti di flesso. Andiamo a calcolare la derivata seconda della funzione 1 2 1 1 f 2 () = 2 1 2 ( 2 1) 2 2 2 1 2 1 = 2 1 2 1 2 2 1 = 2 1 1 = 2 1 1 2 1 1 = ( 2 1) 2 1. e studiamo il segno per capire gli intervalli in cui la funzione risulta concava o convessa. Studiamo il segno di tutti i fattori 1 ( 2 1) 2 1 > 0. N : 1 > 0 R; D 1 : 2 1 > 0 < 1 > 1; D 2 : 2 1 > 0 < 1 > 1. E il grafico del segno risulta 1 1 N D 1 D 2 f () dunque la funzione risulta sempre concava (derivata seconda negativa) nel suo dominio. Non ci sono dunque punti di flesso. 13
(f) Disegnare il grafico di f(). y y 1 1 14