= = 32

Algabra lieare (Matematica CI) - 9 Algebra delle matrici - Moltiplicazioe Euple, righe e coloe Notazioe I algebra lieare giocao u ruolo importate le coppie, tere,, ple ordiate di umeri reali; cosi come ua coppia ordiata di umeri reali puo essere pesata come u puto del piao, e ua tera ordiata di umeri reali puo essere pesata come u puto dello spazio, ache ua pla ordiata (a, a,, a ) di umeri reali a i R viee pesata come u uica etita, ed idicata co u uico simbolo: Si dice che a, a, soo la prima, secoda, ache, piu brevemete, a (a j ) j,, a (a, a,, a ) () compoete di a Si scrive Di regola, idicheremo le ple ordiate co lettere miuscole e, come fatto sopra, se idicheremo ua pla co ua certa lettera, allora idicheremo le sue compoeti co quella stessa lettera co idici Per ciascu itero positivo, l isieme delle ple ordiate di umeri reali viee idicato co R Ua pla ordiata puo essere idetificata ua matrice riga o co ua matrice coloa Se idicheremo ua pla co ua certa lettera, allora idicheremo la corrispodete matrice coloa co la stessa lettera, e la corrispodete matrice riga co la stessa lettera co u apice Cosi, per la pla () scriveremo a a a, e a [a a a a Prodotto di ua riga per ua coloa Defiiamo il prodotto di ua riga a di umeri reali per ua coloa b di umeri reali, aveti lo stesso umero di compoeti, come il umero reale otteuto moltiplicado ciascua compoete di a per la corrispodete compoete di b, e poi sommado Ad esempio [ 4 5 6 4 + 5 + 6

I geerale, si ha a b [a a a b b b a b + a b + + a b a j b j j La moltiplicazioe di ua riga per ua coloa aveti diversi umeri di compoeti o viee defiita Questa operazioe puo essere utilizzata per rappresetare siteticamete le equazioi lieari Ad esempio, l equazioe puo essere scritta come I geerale, l equazioe lieare x + x + 4x 5 [ 4 x x x 5 a x + a x + + a x b puo essere scritta come [a a a x x x b e rappresetata siteticamete come a x b, dove a e la riga dei coefficieti e x e la coloa delle icogite Matrici Notazioe Ua tabella di umeri reali viee detta matrice; ciascua matrice viee pesata come u uica etita e viee idicata co ua lettere maiuscola; se ua matrice A possiede m righe ed coloe si dice che A ha tipo m ; per idicare che la matrice A ha tipo m si usa scrivere A m

Il umero reale che compare i A ella riga i ma e coloa j ma viee detto elemeto di posto (i, j) di A La geerica matrice A di tipo m viee rappresetata a a a a a a A, a m a m a m oppure, piu brevemete, A [ a ij i,,m, j,, o A [ a ij quado il tipo e chiaro dal cotesto Si oti che i e j o hao alcu particolare sigificato, potrebbero essere sostituiti da altri due simboli, come h e k Per ogi coppia di iteri positivi m,, l isieme delle matrici di umeri reali di tipo m viee idicato co R m Duque, l isieme delle coloe di m umeri reali viee idicato co R m, e l isieme delle righe di umeri reali viee idicato co R Noi useremo spesso ua otazioe u po diversa, suggerita dai liguaggi di alcue applicazioi per il calcolo come Matlab, o Octave Ua volta scelto u simbolo, el ostro caso A, per idicare ua matrice, si usa il simbolo A ij per idicare l elemeto di posto (i, j) i A; si usa il simbolo A i per idicare la riga i ma di A, e si usa il simbolo A j per idicare la coloa j ma di A Ad esempio, per si ha: 4 Prodotto di matrici A 4 5 6 8 9 0 A, A [ 5 6 8, A Se il umero delle coloe di ua matrice A e uguale al umero delle righe di ua matrice B, allora possiamo moltiplicare ciascua riga di A per ciascua coloa di B, ed orgaizzare questi prodotti i ua tabella; otteiamo cosi,

ua matrice detta matrice prodotto (righe per coloe) di A per B, ed idicata co AB Ad esempio, si ha 4 5 6 8 [ 4 5 6 + 4 + 5 + 6 + 4 4 + 4 5 + 4 6 5 + 6 4 5 + 6 5 5 + 6 6 + 8 4 + 8 5 + 8 6 9 5 9 6 9 40 5 9 54 69 I simboli, il prodotto di ua matrice A di tipo m per ua matrice B di tipo p e la matrice AB di tipo m p A B AB m p m p data dalla tabella dei prodotti delle m righe di A per le p coloe di B : l elemeto di posto (i, j) i AB e dato dal prodotto della riga i ma di A per la coloa j ma di B : (AB) ij A i B j, i,, m, j,, p Co riferimeto agli elemeti, si ha (AB) ij A i B j [A i A i A i B j B j B j A i B j + A i B j + + A i B j h A ih B hj La moltiplicazioe di matrici estede la moltiplicazioe dei umeri reali, el seso che le matrici di tipo soo umeri reali, e la moltiplicazioe di matrici di tipo e la moltiplicazioe di umeri reali

5 Rappresetazioe sitetica di sistemi lieari La moltiplicazioe di matrici puo essere utilizzata per rappresetare siteticamete i sistemi lieari Ad esempio, il sistema lieare puo essere riscritto come x + x 8 4x + 5x 9 6x + x 0 x + x 4x + 5x 6x + x e il primo membro puo essere fattorizzato el prodotto della matrice dei coefficieti per la coloa delle icogite: I geerale, il sistema lieare 4 5 6 [ x x 8 9 0 8 9 0,, a x + a x + + a x b a x + a x + + a x b a m x + a m x + + a m x b m puo essere scritto come a a a a a a a m a m a m x x x b b b m e rappresetato siteticamete come Ax b, dove A e la matrice di tipo m dei coefficieti, x e la coloa delle icogite, e b e la coloa degli m termii oti

6 Matrici uita Le matrici quadrate che hao sulla diagoale e 0 altrove svolgoo il ruolo del umero, e per questa ragioe vegoo dette matrici uita Esplicitamete, queste matrici soo I [, I [ 0 0, I 0 0 0 0 0 0, ; la matrice I uita di ordie e la matrice quadrata di ordie data da (I ) ij { se i j 0 se i j i, j,, La proprieta di queste matrici e che I m A A AI, per ogi m, e per ogi matrice A di tipo m Verifichiamo la prima parte di questa proprieta per m e Per ogi matrice [ a b c A d e f di tipo si ha I A [ [ 0 a b c 0 d e f [ a + 0 d b + 0 e c + 0 f 0 a + d 0 b + e 0 c + f [ a b c A d e f I geerale, la proprieta si puo mostrare come segue Da ua parte si ha (I m A) ij (I m ) ih A hj (I m ) ii A ij A ij, h,,m per ogi i e j; duque I m A A La dimostrazioe dall altra parte e aaloga Associativita Date tre matrici A, B, C di tipi rispettivamete m, p, p q, abbiamo due modi di moltiplicarle per otteere ua matrice, che sara di tipo m q : (AB)C, A(BC)

Ad esempio, per A (AB)C A(BC) [ 4, B [ 4 5, e C 5 [ 6 ( [ 4 5 [ 6 ) [ 6 4 5 8 0 5, si ha [ 6 [59 59 8 59 8 Quello che abbiamo visto su questo esempio vale i geerale La moltiplicazioe di matrici possiede la proprieta associativa: comuque siao date tre matrici A, B, C di tipi rispettivamete m, p, p q, si ha (AB)C A(BC) Questa affermazioe si puo dimostrare come segue Da u lato si ha dall altro si ha ((AB)C) ij (A(BC)) ij p h p h h h (AB) ih C hj [ k A ih (BC) hj A ih [ p k A ik B kh C hj B hk C kj p h h k p k A ik B kh C hj ; A ih B hk C kj ; si osservi che scambiado l ordie delle sommatorie e riomiado gli idici di sommatoria u espressioe si trasforma ell altra Potremo cosi scrivere u prodotto di piu matrici seza usare paretesi Gli elemeti (ABC) ij, i,, m; j,, q, della matrice ABC soo dati da (ABC) ij h,, k,,p A ih B hk C kj 8 Nocommutativita

Sappiamo che il prodotto di due umeri reali o cambia ivertedo l ordie dei fattori, cioe la moltiplicazioe di umeri reali possiede la proprieta commutativa Questa proprieta o vale per la moltiplicazioe di matrici, azi i geerale ci si aspetta che AB BA Puo succedere che u prodotto esista e che l altro prodotto o esista: [ 4 5 4 5 8 0 5 e [ 4 5 o esiste U esempio i cui i due prodotti soo defiiti ma diversi: [ [ [ 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 [ [ [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 Poteze Sia A ua matrice quadrata di ordie Per ogi umero aturale p 0,,,, la poteza p ma di A e defiita da A A A (p volte) per p > 0 A p I per p 0 Valgoo le proprieta A p A q A p+q, (A p ) q A pq, per ogi matrice quadrata A La proprieta (AB) p A p B p i geerale o vale La proprieta vale sotto al codizioe che A e B siao permutabili: (AB) p A p B p Ad esempio, si ha (A, B tali che AB BA) (AB) ABAB AABB A B (A, B tali che AB BA)