Sistema arciere-arco Consideriamo un ragazzo su uno sateboard mentre cade. Oltre alla forza peso che gestisce il moto verso il basso durante la caduta, nella direzione orizzontale al terreno avremo che mentre il ragazzo cade spinge in avanti lo sateboard e quest ultimo per la terza legge di Newton reagisce con una spinta uguale ed opposta sul ragazzo. N F tavola ragazzo => La forza risultante sul piano orizzontale del sistema ragazzo-sateboard è quindi nulla.. Ma allora come si spiega il moto? L ragazzo L tavola F ragazzo tavola Sia il ragazzo che lo sateboard acquistano energia cinetica che però non può essere spiegato con una variazione di energia potenziale gravitazionale. Per comprendere questo tipo di moto bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: La QUANTITÀ DI MOTO p
Quantità di moto(1) Nuova grandezza : la quantità di moto p Ø La quantità di moto di un corpo di massa m è un vettore pari al prodotto della vettore velocità moltiplicato per la massa del corpo stesso p = m v Ø La quantità di moto ha stessa direzione e verso del vettore velocità Ø Questa grandezza racchiude in sé sia le proprietà di moto del corpo che di resistenza alla modifica di tale moto. Ø La quantità di moto ha un significato più generale della massa o della velocità prese singolarmente, e distingue tra corpi di masse diverse che si muovono con stessa velocità. Ø Le dimensioni della quantità di moto sono [M][L][T] -1 e l unità di misura è g m/s Ø La quantità di moto di un corpo spesso è chiamata momento del corpo Ø Se il corpo si muove in una direzione qualsiasi dello spazio, p si può descrivere mediante le sue tre componenti lungo x,y e z: p = p x î + p y ĵ + p z ˆ dove: p x = mv x # " p y = mv y # $ # p z = mv z
Quantità di moto(2) La quantità di moto permette di definire la seconda legge di Newton in una forma generalizzata. La forma che abbiamo visto : F = m a vale infatti solo nel caso in cui m rimanga costante. Riformulando questa legge mediante la quantità di moto, si includono anche i casi un cui m varia. Legge di Newton generalizzata: La variazione della quantità di moto di un corpo nell unità di tempo (cioè la derivata temporale della quantità di moto) è proporzionale alla risultante delle forze che agisce sul corpo ed ha la stessa direzione F = d p Forma generalizzata della 2 legge di Newton La quantità di moto di una particella varia se su di essa è applicata una forza risultante non nulla Se la risultante delle forze agenti su corpo è nulla la quantità di moto del corpo rimane costante: Se: F d p p = costante
Naturalmente se m è costante le due formule coincidono: F = d p Quantità di moto(3) = d ( m v) = dm v + m d v = m d v = m a 0 Ma come si applica il concetto di quantità di moto ad un sistema costituito da due o più particelle? Vediamo di descrivere i sistemi di particelle in termini di forze applicate
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne F ji P i F = ij F ji P j F ij Ø Consideriamo un sistema di n punti materiali, interagenti tra loro e con il resto dell universo. Ø In generale sul punto j agiranno forze esercitate dagli altri n-1 punti materiali I dette forze interne F e le forze esercitate da agenti esterni al sistema, dette forze E esterne F. Ø La forza agente sul singolo punto j e data dalla risultante di tutte le forze agenti: Ø Per le forze interne vale il principio di azione e reazione: per ogni forza interna F esiste un altra forza interna F tale che F ij =- F ji. ij F j = I F + n nj ji F E
Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne = F + nj Ø Consideriamo la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema: R Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi: F j = Fj = Fnj + j j n Risultante delle forze agenti sul j-simo puntodel sistema n Si ha che: La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle sole forze esterne R = R E Somma di tutte le forze INTERNE agenti sul j-simo punto del sistema F E F E Somma di tutte le forze ESTERNE agenti sul j-simo punto del sistema = R I + R Somma di tutte le forze INTERNE agenti sul sistema E Somma di tutte le forze INTERNE agenti sul sistema I R = F = nj Fnj j n jn dove: R E = Un sistema per il quale la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla si dice ISOLATO => R E Sistema isolato Un sistema che non scambia massa con l esterno si dice CHIUSO j F E
Quantità di moto di un sistema isolato Se consideriamo un sistema isolato (R E =0), costituito da due o più particelle la quantità di moto totale P di tale sistema, dato dalla somma delle quantità di moto delle particelle che lo compongono ( P = pi ), si conserva i Per semplicità consideriamo un sistema costituito da due particelle di massa m 1 ed m 2 che interagiscono tra di loro. L interazione tra le due palline per il terzo principio della dinamica avviene mediante una coppia di forze F e F 12 21 tali che: F 12 = F 21 F 21 + F 12 Per il secondo principio della dinamica questa relazione si può riscrivere: d v m a1 1 + m a2 2 m 1 1 + m d v 2 2 Se la massa delle due particelle rimane costante nel tempo si può trasformare la somma di derivate in una derivata della somma: d( m v1 d( m v1 1 + m v2 1 ) 2 ) + d m ( v 2 2 ) Ma: d( m v1 1 + m v2 2 ) = la quantità di moto totale del = d ( p 1 + p 2 ) = d P sistema isolato P Si trova quindi che: d P in un sistema isolato la variazione P = costante della quantità di moto totale del sistema è nulla e P rimane costante
Esempio dell arciere Un arciere di massa m A = 60g è fermo su un blocco di ghiaccio ( assenza di attrito) e tira una freccia di massa m F.50 g orizzontalmente a 50m/s. L arciere comincerà a muoversi immediatamente dopo il lancio? Se sì, con quale velocità? Questo esercizio può essere svolto solo utilizzando la conservazione della quantità di moto del sistema ARCIERE-FRECCIA Il sistema in realtà non è isolato in quanto sia sulla freccia che sull arciere agisce la forza gravitazionale e la normale. Queste forze però sono perpendicolari al moto del sistema. Non esistono quindi forze esterne che agiscono lungo l asse orizzontale e possiamo considerare il sistema isolato lungo tale direzione. La quantità di moto totale del sistema lungo la direzione orizzontale si deve conservare: m A v Ax + m F v Fx = m A v Ai + m F v Fi = m A v Af + m F v Ff = costante Poiché prima del lancio la quantità di moto del sistema era nulla anche dopo il lancio essa dovrà risultare nulla, quindi poiché la freccia si muove anche l arciere si dovrà muovere in modo da compensare con la sua quantità di moto la quantità di moto della freccia: m A v Ai + m F v Fi m A v Af + m F v Ff v Af = m F m A v Ff = 0.42m s
Impulso e quantità di moto Abbiamo visto che la quantità di moto di una particella varia se su di essa agisce F tot = F una forza risultante non nulla: Ftot = d p Riscriviamo questa relazione esplicitando dp e quindi integriamo per ottenere la variazione della quantità di moto nell intervallo di tempo Δt=t f -t i : d p = F tot Integrando entrambi i membri f i d p = p f p i = Δ p Questo integrale della forza rispetto al tempo è definito IMPULSO DELLA FORZA I = t f F tot = Δ p = t f t i F tot I t i L impulso è un vettore che ha stessa direzione della variazione della quantità di moto e le dimensioni della quantità di moto Quando la forza applicata è costante (nel tempo) l impulso è dato semplicemente dal prodotto della forza per l intervallo di tempo in cui essa è applicata Se F tot =costante I = F tot Δt = Δ p
Sistema di corpi NON isolato - IMPULSO Nel caso di un sistema di particelle sul quale agisce una forza risultante esterna non nulla e di conseguenza si produce una variazione della quantità di moto totale del sistema, si ha: dove I = t f t i R = Δ P R = F est L impulso passato ad un sistema è pari alla variazione della quantità di moto totale del sistema nell intervallo di tempo Δt Quindi, quando viene dato ad un sistema un impulso, significa che una certa quantità di moto viene fornita al sistema dall esterno. R NB: per come è definito l impulso, graficamente esso è uguale all area sottesa alla curva R in funzione di t, nell intervallo di tempo compreso tra t i e t f. I = t f R R(t) Introducendo il concetto media temporale della forza risultante media 1 risultante R = Δ R media t si può esprimere il teorema dell impulso tramite la relazione equivalente: t i I = ΔP = R Δt t i R = F media Nel caso particolare che la forza risultante sia costante nel tempo l impulso può essere riscritto nella forma: I = ΔP = RΔt se R = costante
Forze impulsive ed urti Approssimazione dell Impulso: Ø In molte situazioni si può assumere che una delle forze agenti su una particella agisca per un breve intervallo di tempo, ma che in tale intervallo sia molto più intensa delle altre. Ø In questa approssimazione si può trascurare il contributo all impulso da parte delle altre forze agenti e la variazione di quantità di moto della particella sarà determinata dall impulso della sola forza dominante. Ø Negli urti tra particelle si assume che la mutua interazione tra le particelle nell urto sia molto più intensa di tutte le forze esterne. Ø L urto può essere dovuto ad un contatto fisico tra due corpi (valido solo a livello macroscopico) o ad un interazione molto intensa che non prevede il contatto fisico ( urto a livello microscopico) Ø Quando due particelle di massa m 1 ed m 2 si urtano e consideriamo queste due particelle come un sistema isolato, la loro quantità di moto totale si conserva infatti se Δ p 1 e Δ p 2 sono le variazioni dell impulso delle due particelle durante l urto: Δ p f 1 = F 21 Δ p f 2 = F 12 dove F 12 = F21 Δp 1 = Δp2 i i Δp + Δp 0 p1f p 1i + p 2f p 2i 1 2 = P i P = f = cost % % + p i 2i $ #" % % p1 f p f $#" p1 = + 2 % % P P i f
Urti Abbiamo appena visto che negli urti si conserva la quantità di moto del sistema, in generale però NON si conserva l energia cinetica. Proprio in funzione del comportamento dell energia cinetica gli urti vengono differenziati in tre categorie: Ø Urti elastici nei quali si conserva anche l energia cinetica del sistema ΔT=0 Ø Urti anelastici nei quali NON si conserva l energia cinetica del sistema ΔT 0 Ø Urti perfettamente anelastici nei quali NON si conserva l energia cinetica del sistema (ΔT 0) ed i corpi dopo l urto risultano uniti l uno all altro e si comportano come un singolo corpo di massa m 1 +m 2 Mentre la quantità di moto si conserva in tutti i tipi di urti, l energia cinetica si conserva solo negli urti elastici