VALORI PERIODICI O RENDITE LE RENDITE SONO VALORI PERIODICI CHE SI RIPETONO AD INTERVALLI REGOLARI DI TEMPO POSSONO ESSERE: ATTIVE: I I PRODOTTI DI DI UNA AZIENDA IL IL CANONE DI DI AFFITTO GLI STIPENDI E I I SALARI INTERESSI SUI TITOLI DI DI CREDITO PASSIVE: SPESE DI DI MANUTENZIONE IL IL CANONE DI DI AFFITTO RATA DI DI UN UN MUTUO 1
PIANO DI AMMORTAMENTO n= 15 q= 1,04 (*qn) / (qn - 1) = 4,00% qn = 1,80094 0,0899411 debito 25.000 1/qn-1= 1,2485275 TABELLA PIANO AMMORTAMENTO Q. amm. a = So*(*qn) / (qn - 1) A NNI QUOTA ANNUA COSTANTE QUOTA INTERESSI QUOTA CAPITALE DEBITO ESTINTO DEBITO RESIDUO 0 1 2.248,53 1.250,00 998,53 998,53 2 2.248,53 1.200,07 1.048,45 2.046,98 3 2.248,53 1.147,65 1.100,88 3.147,86 25.000,00 24.001,47 22.953,02 21.852,14 2
CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE IN RELAZIONE ALL INTERVALLO DI TEMPO CON CUI SI MANIFESTANO FRAZIONARIE: SONO QUELLE CHE SI SI RIPETONO AD AD INTERVALLI REGOLARI DI DI TEMPO NEL NEL CORSO DI DI UN UN ANNO. Es. Es. canoni di di locazione, pagamenti ateali ANNUALITÁ:SI RIPETONO OGNI ANNO E UNA SOLA VOLTA ALL ANNO Es. Es. quota di di eintegazione, quota di di ammotamento, canone di di affitto POLIANNUALI: SI SI RIPETONO AD AD INTERVALLI REGOLARI PER PER PIÚ PIÚ ANNI(2; 3; 3; 5; 5; 10; 10; 20; 20; Es. Es. poduzioni boschive 3
CLASSIFICAZIONE DELLE ANNUALITÁ RISPETTO AL VALORE: COSTANTI VARIABILI RISPETTO ALLA DURATA LIMITATE < 100 ANNI ILLIMITATE > 100 ANNI RISPETTO ALLA SCADENZA POSTICIPATE (alla fine di di ogni anno) ANTICIPATE (all inizio di di ogni anno) 4
PROBLEMI RELATIVI ALLE ANNUALITÁ RICERCA: ACCUMULAZIONE FINALE (simbolo Sn o An) ACCUMULAZIONE INIZIALE (simbolo So O Ao) ACCUMULAZIONE INTERMEDIA (simbolo Sm O Am) ANNUALITÁ(simbolo a) a) QUOTA DI DI REINTEGRAZIONE (simbolo Q/eint) QUOTA DI DI AMMORTAMENTO (simbolo Q/amm) 5
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI ANNUALITÁ COSTANTI POSTICIPATE Valoi positivi (entate) a a a a a a a o 1 2 3 4 5 n-1 n Valoi negativi (uscite) 6
ACCUMULAZIONE FINALE DI ANNUALITÀ COSTANTI LIMITATE POSTICIPATE DATI: a n An= a * q n 1 IL IL VALORE DI DI q n 1 SI SI TROVA SULLE TAVOLE FINANZIARE 7
ACCUMULAZIONE FINALE DI ANNUALITÀ COSTANTI ILLIMITATE POSTICIPATE DATI: a A0 A0OLTRE A RAPPRESENTARE L ACCUMULAZIONE INIZIALE DI DI TUTTE LE LE ANNUALITÀ RAPPRESENTA ANCHE IL IL VALORE DI DI UN UN BENE A0 = a FORMULA FORMULA DI DI CAPITALIZZAZIONE FORMULE INVERSE a = A0 A0 * = a A0 A0 8
COME SI RICAVA LA FORMULA DELL ACCUMULAZIONE FINALE DI ANNUALITÁ C. P. Valoi positivi (entate) a a a a a a a o 1 2 3 4 5 6 7 Valoi negativi (uscite) DATI: a (ANNUALITÁ); n=7; n=7; (SAGGIODI INTERESSE) pe pe calcolae l accumulazione finale al al 7 7 anno è necessaio posticipae tutte le le annualità alla alla fine fine del del settimo anno avemo: A 7 aq 6 aq 5 +aq 4 +aq 3 +aq 2 1 7 = aq 6 + aq 5 +aq 4 +aq 3 +aq 2 +aq 1 + a; a; questo pocedimento è molto lungo è possibile tovae una una fomula molto semplice. Pe Pe tovae la la fomula che che ci ci pemetteà di di icavae facilmente l An l An bisogna opeae come segue 9
COME SI RICAVA LA FORMULA DELL ACCUMULAZIONE FINALE DI ANNUALITÁ C. P. A 7 = aq 6 + aq 5 +aq 4 +aq 3 +aq 2 +aq 1 +a si accoglie a fattoe comune A 7 = a*(q 6 + q 5 +q 4 +q 3 +q 2 +q 1 +1) si invete l odine degli addendi A 7 = a*(1 +q + q 2 +q 3 +q 4 +q 5 +q 6 ) ciò che compae all inteno della paentesi è una pogessione geometica di agione q. La somma dei temini di una pogessione geometica è uguale ad una fazione che ha come numeatoe l ultimo temine (q 6 ) moltiplicato pe la agione q meno 1 e come denominatoe la agione q meno 1 quindi si avà: A7= a x (q 6 x q 1) Essendo: q - 1 al numeatoe q 6 x q = q 7 ; al denominatoe q= 1 + si avà che 1+ 1 diventa. Petanto la fomula geneale finale è An= a x (q n 1) 10
ACCUMULAZIONE INIZIALE DI ANNUALITÀ COSTANTI LIMITATE POSTICIPATE DATI: An n DALLA FORMULA An = a * q n 1 RICORDANO CHE IL IL COEFFICIENTE DI ANTICIPAZIONE È 1/q n SI AVRÀ: Ao = a * q n 1 * 1 q n 11
ANNUALITÀ COSTANTI LIMITATE POSTICIPATE DATI: An n DALLA FORMULA An = a * q n 1 Si icava: a = An * q n 1 DATI: A0 n DALLA FORMULA A0 = a * q n 1 * 1 qn Si icava: a = A0 * * qn q n 1 12
ACCUMULAZIONE INTERMEDIA La La somma di di annualità alla fine di di un un anno intemedio m si si calcola: n --m A0 A0 Am An 0 m n Conoscendo A0 la la si si deve posticipae (t (t =m): Am= A0 x q m; m; Conoscendo An la la si si deve anticipae (t (t = n m): Am = An * 1/q n-m n-m 13
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI ANNUALITÁ COSTANTI ANTICIPATE Valoi positivi (entate) a a a a a a a o 1 2 3 4 5 n-1 n Valoi negativi (uscite) 14
ANNUALITÁ COSTANTI ANTICIPATE a a a a a a a o 1 2 3 4 5 n-1 n SI USANO LE STESSE FORMULE USATE PER RISOLVERE I I PROBLEMI DELLE ANNUALITÁ COSTANTI LIMITATE POSTICIPATE MOLTIPLICANDO L ANNULITÁ a PER q 15
FORMULE DELLE ANNUALITÁ COSTANTI ANTICIPATE Accumulazione finale An= a*q * q n 1 Accumulazione iniziale Ao = a*q * q n 1 * 1 q n Annualità a = An * q q n 1 Annualità a = Ao* * qn q q n 1 16
FORMULE DELLE ANNUALITÁ COSTANTI POSTICIPATE E LIMITATE ACCUMULAZIONE FINALE ACCUMULAZIONE INZIALE ACCUMULAZIONE INTERMEDIA CONOSCENDO Ao ACCUMULAZIONE INTERMEDIA CONOSCENDO An An= a * q n 1 Ao = a * q n 1 * 1 Am= A0 xq m; Am = An * 1/q n-m q n 17
FORMULE DELLE ANNUALITÁ COSTANTI POSTICIPATE E LIMITATE ANNUALITÁ (a) CONOSCENDO An ANNUALITÁ (a) CONOSCENDO Ao a = An *.q n 1 a = A0 * * q n q n 1 18
QUOTA DI REINTEGRAZIONE Pe quota di eintegazione si intende la somma di denao che annualmente si deve accantonae pe innovae o fomae un capitale in un dato peiodo di tempo. Pe Pe tovae la la quota di di eintegazione si si devono conoscee i i seguenti dati: An Anla la somma che che si si deve innovae; n il il tempo; il il saggio di di inteesse Q/eint = An ** q n 1 19
QUOTA DI AMMORTAMENTO La quota di ammotamento e la somma che si deve pagae annualmente o semestalmente pe estinguee un deteminato debito in un ceto numeo di anni. Pe Pe tovae la la quota di di AMMORTAMENTO si si devono conoscee i i seguenti dati: Ao Aola la somma che che si si deve estituie; n il il tempo; il il saggio di di inteesse Q/amm. posticipata annua = A0 * * * * q n q n 1 Q/amm. anticipata annua = A0 * * * * q n q q n 1 20
QUOTA DI AMMORTAMENTO COSTANTE la quota di ammotamento è costituita da una quota capitale e da una quota inteessi col passae del tempo la quota capitale aumenta e la quota inteessi diminuisce PIANO DI DI AMMORTAMENTO VIENE REDATTO PER PER SAPERE ANNO DOPO ANNO QUANTO È STATO GIÁ GIÁPAGATO E QUANTO RESTA DA DA PAGARE 21
PIANO DI AMMORTAMENTO VIENE Es. VIENE Es. Pe Pe REDATTO l acquisto PER di PER di un un SAPERE tattoe èanno stato ANNO stato DOPO contatto DOPO ANNO un ANNO un mutuo QUANTO mutuo di di 40.000 È STATO da da GIÁ estinguee GIÁ PAGATO in in 5 E anni, QUANTO anni, con con ate RESTA ate annuali DA DA PAGARE posticipate, al al saggio saggio del del 5%. 5%. n. ate Q/amm costante Q. capitale Q. inteessi Debito esiduo Debito estinto 0 40.000 1 10018.26 6818,26 3200.00 6818,26 33181,74 2 10018.26 7363,72 2654,54 14181,98 25818,02 3 10018.26 7952,82 2065,44 22134,80 17865,21 4 10018.26 8589,04 1429,22 30723,84 9276,16 5 10018.26 9276.16 742,09 40000 0,00 Tot. 50091,29 40.000 10091,29 22
Calcolo della quota di eintegazione nel caso di capitali da cui è possibile alla fine di un ceto peiodo ecupeane una pate. Come nel caso di un tattoe, di una mietitebbiatice ecc. DATI VALORE INIZIALE (Vi) (Vi) VALORE FINALE o DI DI RECUPERO (Vf) (Vf) TEMPO (n) (n) SAGGIO DI DI INTERESSE () () In In questi casi casi è possibile calcolae la la quota di di eintegazione con con due due metodi: -- FINANZIARIO -- MATEMATICO 23
METODO FINANZIARIO Q/eint = (Vi -- Vf) ** q n 1 Esempio VALORE INIZIALE (Vi)= 50.000 VALORE FINALE o DI DI RECUPERO (Vf) (Vf) = 10.000 TEMPO (n) (n) =10 =10 anni anni SAGGIO DI DI INTERESSE () () =5% =5% Q/eint =(50.000 --10.000 ))* 0,05 = 40.000*0,079505 1,05 10 10 1 =3180,2 quota di eitegazione 24
METODO MATEMATICO FORMULA Q/eint = (Vi -- Vf) ** n Esempio VALORE INIZIALE (Vi)= 50.000 VALORE FINALE o DI DI RECUPERO (Vf) (Vf) = 10.000 TEMPO (n) (n) =10 =10 anni anni Q/eint =(50.000 --10.000 )) = 4000 10 10 quota di eintegazione 25