Cognom Nom: Numro i Matriola: Spazio risrvato alla orrzion 1 2 3 6 Total /25 /27 /28 /20 /100 1. a) Si finisa formalmnt il ontto i orin topologio i un grafo irzionato alilio. In assnza i qusta finizion i punti sussivi ll srizio non saranno valutati. ) Srivr lo psuooi ll algoritmo h ato un grafo irzionato ailio rstituis l orinamnto topologio l grafo. L algoritmo v avr tmpo O(n+m). Il voto ipnra` a quanto ttagliato sara` lo psuo oi. Pag. 1
) Si spighi om moifiar l algoritmo al punto ) in moo h prna in input un aritrario grafo irzionato rstituisa l orinamnto topologio l grafo, s il grafo ` ailio, rstituisa un ilo l grafo in aso ontrario. Pag. 2
) Si analizzi la omplssita` ll algoritmo i ui al punto ) nl aso pssimo. Si imostri io` h ` O(n+m). Analizzar il tmpo i suzion i un algoritmo signifia fornir una stima asintotia quanto miglior ` possiil l suo tmpo i suzion giustifiano in moo hiaro la risposta. Pag. 3
2. a) Si mostri l suzion ll algoritmo i Prim sul sgunt grafo. Si assuma h l algoritmo slga om rai il noo a. Oorr mostrar pr ogni passo il ontnuto lla oa a priorita` l alro ottnuto fino a qul passo. Disgnar alla fin l alro gnrato. 5 a 1 3 1 4 3 4 4 2 6 8 6 1 2 f Pag. 4
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) Si spighi in h osa onsist un istanza (input) l prolma ll Intrval Shuling in osa onsist una soluzion (output) l prolma. S alla risposta a qusto punto si vinra` h lo stunt non sa in osa onsist il prolma ll Intrval Shuling, i punti sussivi l qusito non saranno valutati. ) Si fornisa un ontrosmpio ostituito a un istanza i almno 5 attivita` h imostri h la stratgia Fwst Conflits non smpr fornis la soluzion ottima al prolma ll Intrval Shuling. Si spighi pr qual motivo l istanza a voi proposta rapprsnta un ontrosmpio al fatto h Fwst Conflits proua una soluzion ottima al prolma. Pag. 6
) Si sriva lo psuooi ll algoritmo gry pr il prolma ll Intrval Shuling spigano il signifiato i tutti i paramtri variaili h ompaiono nllo psuooi. Si analizzi il tmpo i suzion ll algoritmo nl aso pssimo. Analizzar il tmpo i suzion i un algoritmo signifia fornir una stima asintotia quanto miglior ` possiil l suo tmpo i suzion giustifiano in moo hiaro la risposta. Pag. 7
3. a) Si fornisa la formula utilizzata all algoritmo i programmazion inamia pr i ammini minimi. A tal sopo, oorr fornir: i. una finizion formal i OPT(i,v) ii. formula i riorrnza pr alolar OPT(i,v) iii. una spigazion hiara i om la sutta formula i riorrnza ` ottnuta S non sara` fornita la finizion i ui al punto i, gli altri punti non saranno valutati. Pag. 8
) Fornir lo psuooi ll algoritmo i Bllman-For. Pag. 9
) Supponiamo i volr onosr la lunghzza l prorso minimo al noo x al noo fissato om stinazion t. Qual valor tra qulli omputati all algoritmo ovrmmo ottnr? Spigar pr qual motivo il valor a voi iniato ` la lunghzza l prorso minimo tra x t (si faia riorso a un risultato imostrato a lzion). Pag. 10
4. a) Si onsiri la sgunt rt i flusso la funzion i flusso i ui valori sono iniati a sinistra ll apaita` gli arhi. Si isgni la rt rsiua risptto alla funzion flusso iniata si ia s qusta funzion ha valor massimo. Nl aso in ui la funzion non aia valor massimo, si fornisa la funzion flusso on valor massimo il taglio i apaita` minima. A tal fin si sguano una o piu` itrazioni ll'algoritmo i For-Fulkrson a partir alla funzion i flusso ata. Pr ogni itrazion ll'algoritmo, oorr isgnar la rt rsiua all inizio i qull itrazion iniar il ammino aumntant a voi slto mostrar il valor assoiato a ogni aro l grafo al trmin i qulla itrazion N.B.: l rispost h non sono ottnut a partir alla funzion i flusso ata non saranno valutat. 4/9 4/4 2/5 2/ 2 3/5 2/2 4/11 s t 1/1 1/3 0/3 0/3 Pr vostra omoita`, i sguito sono riportat ivrs opi lla rt i flusso, suivis a oppi. A partir alla funzion i flusso ata, usat l immagin i sinistra i iasuna oppia pr isgnar la rt rsiua l immagin i stra pr riportar i valori lla funzion flusso assgnati a iasun aro. Ovviamnt potr ssr nssario aggiungr /o anllar (on una x) gli arhi nll immagini i sinistra. Il numro i oppi non ` iniativo l numro i itrazioni ffttuat all algoritmo i For-Fulkrson. Prot all alto vrso il asso utilizzano solo l oppi i grafi h vi srvono pr illustrar l intra suzion ll algoritmo. N.B.: S non saranno rispttat qust iniazioni pr lo svolgimnto ll srizio, l srizio non sara` valutato. Pag. 11
Pag. 12 s t s t s t s t s t s t
) Si finisa il ontto i rt rsiua ammino aumntant. ) Sia G una rt i flusso siano (A, B) un taglio s-t i G f una funzion i flusso pr G. Si imostri h s v(f) = ap(a, B) allora f ` un massimo flusso (A, B) ` un minimo taglio. Pag. 13