Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - Gennaio 9 Esercizi Ripasso ) Data la funzione F () arctan(t + ) dt + t a) Calcolare il dominio, punti di non derivabilità ed esistenza degli asintoti; b) Calcolare, se esistono, estremi relativi ed assoluti. Tracciare un grafico qualitativo della funzione. Svolgimento. La funzione integranda f(t) t arctan(t + ) + t è continua su tutto R. Quindi il dominio di definizione di F () è R e, per il teorema fondamentale del calcolo integrale F () è derivabile in tutto R. Per quanto riguarda l esistenza degli asintoti si osservi che per t si ha f(t) ( + o()) quindi f non è integrabile in senso improprio a ±. In particolare dallo setudio del segno della funzione integranda si ha lim ± F () +. Per vedere l esistenza degli asintoti obliqui si osservi che a + usando de l Hospintal si ha e F () F () lim lim + F () lim f() / + + + arctan(t + )dt ( ) t dt + arctan(t + ) ( ( t (/ arctan + t t + ( ( + ) t + arctan arctan(t + )dt + t dt ) ) dt ( )) t +. Si osservi che il primo addendo è integrabile a + in quanto per + ( + ) ( + o()) mentre il secondo addendo non è integrabile in quanto per + ( ) + arctan t t + + t + ( + o()) ( + o()) t
Quindi complessivamente la funzione integranda non è integrabile in senso improprio e lim + F () lim + ( + ) lim + t + arctan( + ) ossia la funzione non ha asintoto obliquo a +. In maniera analoga si dimostra che lim F () e che lim F () + /. Per quanto riguarda la monotonia si ha F () f() + arctan( + ) ; F () > > ; F (), Da cui si deduce che è un flesso e che è un minimo relativo (assoluto). Un grafico qualitativo della funzione è il seguente
a) Data la funzione F () e t3 + e t3 dt a) Calcolare il dominio, punti di non derivabilità ed esistenza degli asintoti; b) Calcolare, se esistono, estremi relativi ed assoluti. Tracciare un grafico qualitativo della funzione. Svolgimento. La funzione integranda et3 f(t) + e t3 è continua su tutto R. Quindi il dominio di definizione di F () è R e, per il teorema fondamentale del calcolo integrale F () è derivabile in tutto R. Inoltre F () e t3 dt ut + e t3 e u3 du + e u3 e u3 + e u3 du F (). Ossia F () é una funzione dispari. Ci limiteremo a studiare il comportamento per. Per quanto riguarda l esistenza degli asintoti si osservi che per t si ha t +infty, f(t) e t3 ( + o()), ossia F () è integrabile in senso improprio a +. Quindi F ha un asintoto orizzontale di equazione + y lim F () e t3 >. +infty + e t3 Per quanto riguarda la monotonia si ha F () f() e3 + e 3 > ossia F è strettamente crescent e non ha ne ma ne minimi relativi. Infine per la convessità si ha quindi F () f () ( + e 3 ) (3 e 3 ( + e 3 ) 6 e 33 3 e 3 3 ( e ) ( + e 3 ) F () > > e 3 3 < < Ossia F () è convessa per < e concava per >. Il grafico di F è molto simile a quello dell arcotangente con asitoti orizzontali y e t3 e y + e t3. +e t3 +e t3 3
) Calcolare la somma della serie Svolgimento. Riconduciamo la serie numerica alla serie di potenze A() : osservando che A(/). Si consideri ora la serie di potenze che ha raggio di convergenza. Quindi la serie e le sue derivate convergono uniformemente in ogni intervallo [a, b] (, ) e possiamo derivare passando sotto il segno di sommatoria ottenendo da cui d d A(), <. d d Dato che + + d ( + ) d, <. si ha ( ) / ( /) 4
3) Calcolare la somma della serie 3 Svolgimento. Riconduciamo la serie numerica alla serie di potenze B() : osservando che B(/3). Si consideri ora la serie di potenze 3 che ha raggio di convergenza. Quindi la serie converge uniformemente in ogni intervallo [a, b] (, ) e possiamo integrare passando sotto il segno di sommatoria t Dato che t t t B() t per t < si ha t, <. ln t t quindi B(/3) ln(/3) 3 5