Eserctazoe 4 del corso d Statstca (parte ) Dott.ssa Paola Costat Febbrao 0 Eserczo Data la dstrbuzoe del carattere Reddto d cu all eserczo precedete se e msur l grado d cocetrazoe. La cocetrazoe d u carattere quattatvo è possble solo se l carattere è trasferble, coè quado l carattere può passare da u utà all altra del collettvo. Il carattere Reddto è u carattere trasferble e s parte dalla successoe de valor ordat seso o decrescete. Reddto 500 500 3 800 4 3000 5 3000 6 3000 7 3000 8 300 9 3500 3500 4000 4000 La cocetrazoe d u carattere s msura rspetto ad ua codzoe detta d equdstrbuzoe. S ha cocetrazoe ulla quado l ammotare totale del carattere è rpartto part ugual tra le utà. S ha cocetrazoe massma quado tutto l carattere è posseduto da ua sola utà, metre (-) utà o possedoo ulla. p q la frazoe cumulata de prm reddter,,,3,... p reddter,,,3,... la frazoe cumulata del reddto posseduto da prm p
q Reddto Reddto Cumulato p q p q 500 500 0,083 0,066 0,07 500 5000 0,67 0,3 0,035 3 800 7800 0,5 0,06 0,044 4 3000 0800 0,33 0,85 0,045 5 3000 3800 0,4 0,364 0,056 6 3000 6800 0,5 0,443 0,057 7 3000 9800 0,58 0,5 0,058 8 300 900 0,67 0,604 0,066 9 3500 6400 0,75 0,696 0,054 0 3500 9900 0,83 0,789 0,04 4000 33900 0,9 0,89 0,03 4000 37900 0,497 Possamo dre che c è equdstrbuzoe quado q p per og,,3,... U dce che msura la cocetrazoe è l Rapporto d cocetrazoe (R) d G. S tratta d u dce relatvo che vara tra 0 e. 0 R R ( p q ) p R 0,497 5,5 0,09 R0 s ha cocetrazoe mma. R s ha cocetrazoe massma. Ua rappresetazoe grafca della cocetrazoe può essere fatta attraverso la curva d Lorez (curva d cocetrazoe), ovvero la spezzata che s ottee uedo put d coordate (p, q) rappresetat sul pao cartesao.
La bsettrce rappresetata sul grafco rappreseta la stuazoe d equdstrbuzoe. L area compresa tra la curva d cocetrazoe e la retta d equdstrbuzoe vee detta area d cocetrazoe, I alcue crcostaze s poe u maggor teresse sullo studo della varabltà tra le sgole utà statstche, puttosto che lo studo della varabltà rspetto ad u cetro. Lo studo della mutua varabltà è possble attraverso l calcolo dell dce Delta ( ) che rappreseta la meda delle dffereze, valore assoluto, d tutte le possbl coppe seza rpetzo. Eserczo Data la dstrbuzoe del carattere Reddto de sol masch, espresso mglaa d euro, se e msur l grado d cocetrazoe. Sesso Reddto M,5 M,8 3 M 3,0 4 M 3,0 5 M 3, 6 M 3,5 7 M 4,0 ( ) S dspogoo valor ordat ua tabella doppa sa rga che coloa:
,5,8 3 3 3, 3,5 4,5,8 3 3 3, 3,5 4 I modo da calcolare faclmete le dffereze d tutte le possbl coppe,5,8 3 3 3, 3,5 4,5 0 0,3 0,5 0,5 0,6,5,8 0,3 0 0, 0, 0,3 0,7, 3 0,5 0, 0 0 0, 0,5 3 0,5 0, 0 0 0, 0,5 3, 0,6 0,3 0, 0, 0 0,4 0,9 3,5 0,7 0,5 0,5 0,4 0 0,5 4,5, 0,9 0,5 0 Effettuado la somma degl elemet d og coloa (margale d coloa) s ha: 4,4,9,3,3,4 3,6 6, Effettuado la somma de margal d coloa s ottee l valore 4 che corrspode al umeratore dell dce Delta. Adesso dspoamo d tutt dat per poter calcolare l dce. ( ) 4 4 0,57 Quado tutte le modaltà cocdoo, l dce Delta assume valore zero ( 0).I preseza d caratter trasferbl è possble calcolare la varabltà massma e qud l valore massmo d Delta. L dce Delta assume l valore massmo quado tutte le modaltà trae ua soo ulle ( µ). Il Rapporto d Cocetrazoe (R) d G s ottee dvdedo Delta per l suo valore massmo. R µ
S tratta d u dce relatvo che vara tra 0 ed. 0 R R0 s ha cocetrazoe mma. R s ha cocetrazoe massma. Nel ostro eserczo la meda del reddto de masch è par a N µ N 4 7 3,4 Qud l massmo valore che può assumere Delta sarà: µ 3,4 6,86 Per cu l rapporto Cocetrazoe d G (R) sarà par a Eserczo 3 R µ 0,57 6,86 0,083 A partre dalla dstrbuzoe della varable Età, costrure l boplot ETA' f N F 9, 0,05 0,05 9, 0,05 0, 0, 0,05 3 0,5 0,3 0,05 4 0, 0,5 0,05 5 0,5 0,6 0, 7 0,35 0,8 0, 9 0,45 0,9 0,05 0 0,5 0, 0,6,4 0,05 3 0,65,8 0,05 4 0,7, 0,05 5 0,75,7 0,05 6 0,8 3,3 0,05 7 0,85 3,9 0,05 8 0,9 5 0,05 9 0,95 7, 0,05 0 totale 0 Q 0,5 Me 0,9 Q3, a Q,5 (Q3 Q) 0,5 -,5 (,-0,5) 8 b Q3 +,5 (Q3 Q), +,5 (,-0,5) 4,5 α m 9,
β ma 7, 8,00 9 6,00 4,00,00 0,00 8,00 ETA' Eserczo 4 Calcolare gl dc d forma per l carattere Età suddvso 3 class equfrequet. a) L dce d Fsher, è u dce d forma basato su momet terz stadardzzat: Partedo dalla dstrbuzoe class del carattere Età, C f N F ĉ C [9,; 0,6] 7 0,35 7 0,35 9,85 C ] 0,6;,8] 7 0,35 4 0,70, C3 ],8; 7, ] 6 0,30 0 4,45 Total 0,00 Calcolamo dapprma la meda artmetca e la medaa Meda µ X k ˆ k (9,85 7 +, 7 + 4,45 6) 0,7
Medaa Me + ( ) Me Me Me 0,5 F F F Me Me Me 0,5 0,35 Me 0,6 + (,8 0,6), 0,70 0,35 0,5 0 Q 9, + (0,6 9,) 0, 7 0,35 0 0,75 0,70 Q3,8 + (7,,8), 68 0,70 Po la varaza ( 9,85,7 ) 7 + (,,7 ) 7 + ( 4,45,7 ) 6 σ ( ˆ c ) * 3,5 0 σ σ,9 A questo puto abbamo tutt gl elemet utl per calcolare l dce d asmmetra d Fsher. ĉ ˆ ( c ) Z ˆ ( cˆ ) 3 Z c Z σ σ ( ) C [9,;0,6] 7 9,85 -,85-0,97-0,9-6,37 C ] 0,6;,8] 7, -0,5-0,6-0,075-0,5 C3 ],8; 7, ] 6 4,45,75,45 3,05 8,3 Total 0,8 cˆ γ σ 3,8 0,59 0 Possamo cocludere che la dstrbuzoe è caratterzzata da u asmmetra postva (dce maggore d zero). Tale rsultato è cofermato dal cofroto tra la medaa e la meda artmetca.,7 > Me,
b) Hotellg-Solomo Hotellg-Solomo,7,0,3,9 Asmmetra postva Eserczo 4 Cosderado ua dstrbuzoe d frequeza relatva alla dstrbuzoe della varable QUADRATURA ABITAZIONE 5 class come d seguto rportata calcolare la dffereza meda semplce. Quadratura abtazoe Frequeze assolute [85, 95[ 4 [95, 05[ 6 [05, 5[ 3 [5, 5[ 4 [5, 35[ 3 40 Per ua dstrbuzoe d frequeza la dffereza meda semplce o dce d mutua varabltà s calcola come segue: ( ) S chama dffereza meda assoluta la meda artmetca de valor assolut delle dffereze. Tale dffereza s dce co rpetzoe se s cosderao tutte le dffereze (coè comprese le ulle); seza rpetzoe se s cosderao solo le ( ) dffereze otteute escludedo term ull della dagoale prcpale. 4 6 3 4 3 90 00 0 0 30 90 0 640 040 480 480 00 640 0 080 80 440 0 040 080 0 50 780 0 480 80 50 0 0 30 480 440 780 0 0 ( ) 770 40(40 ),3