A.A. 2015/16 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 PER I CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA I semestre, 12 crediti Teoria: 9 crediti, tenuti da me Esercitazioni: 3 crediti, tenuti dal Dott. Bruno Scardamaglia COMMISSIONE D ESAME Presidente: Prof. Giuseppe MARINO Membri: Dott. Bruno Scardamaglia e Dott.ssa Filomena Cianciaruso MODALITA E DATE DEGLI ESAMI In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Matematica e Informatica, e al Calendario Accademico del Dipartimento di Fisica, gli appelli d esame si svolgeranno nei seguenti periodi: Primo Appello Ordinario di fine semestre RISERVATO SOLO AI MATEMATICI: LUNEDI 25 GENNAIO ORE 9.00 AULA MT1 Primo Appello Ordinario di fine semestre RISERVATO SOLO AI FISICI: LUNEDI 1 FEBBRAIO ORE 9.00 AULA CF3 Secondo appello Ordinario di fine semestre PER TUTTI, MATEMATICI E FISICI: LUNEDI 15 FEBBRAIO ORE 9.00 AULA CF3 CI SARANNO POI TRE APPELLI DI RECUPERO, UNO IN GIUGNO, UNO IN LUGLIO E UNO IN SETTEMBRE, CON DATE DA STABILIRSI IN SEGUITO. Per poter sostenere gli esami e obbligatoria la prenotazione col sistema Uniwex. Gli esami saranno costituiti da una prova scritta seguita da una orale. La prova scritta sarà diversa per ogni studente. E dunque inutile venire a vedere se si riesce a copiare. La prova scritta è superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a 18 trentesimi. PROVA SCRITTA Considero molto importante una giusta autovalutazione. Così, SOLO PER LA PRIMA VOLTA CHE UNO STUDENTE AFFRONTA LA PROVA SCRITTA E LA SUPERA, OTTIENE UN BONUS COSI DIFFERENZIATO:
- se ha ottenuto un voto fra 18 e 21, bonus di 1 punto - se ha ottenuto un voto fra 22 e 26, bonus di 2 punti - se ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 27, bonus di 3 punti, fino a raggiungere il voto massimo di 30. LO STUENTE CHE NON SUPERA LA PROVA SCRITTA LA PRIMA VOLTA CHE SI PRESENTA, PERDE IL BONUS. IL BONUS E UN PREMIO PER CHI SA AUTOVALUTARSI. LA PROVA SCRITTA E DIVERSA PER OGNI STUDENTE. PRESENTARSI PER CERCARE DI COPIARE FA SOLO PERDERE TEMPO A CHI LO FA E A ME (E QUEST ULTIMA COSA E MOLTO FASTIDIOSA!!!) La prova scritta è strutturata nei seguenti 10 esercizi, ognuno dei quali vale 3 punti: Esercizio 1. Una funzione definita a tratti oppure una disequazione (razionale, irrazionale, con valore assoluto, logaritmica, esponenziale o trigonometrica). Esercizio 2. Un procedimento di induzione Esercizio 3. Un limite Esercizio 4. Un calcolo combinatorio Esercizio 5. Una derivata Esercizio 6. Massimi e minimi Esercizio 7. Una serie Esercizio 8. Un integrale d area o di volume Esercizio 9. Una funzione di più variabili (ricerca di max e min o un limite) Esercizio 10. Un equazione differenziale o un Problema di Cauchy del primo ordine (lineare, o a variabili separabili o di Bernoulli)
PROVA ORALE Nella prova orale lo studente sarà invitato ad esporre due teoremi e/o lemmi e/o proposizioni e/o definizioni e/o assiomi trattati nel corso ed estratti a sorte dalla Commissione. A partire da tali risultati faranno seguito le domande della commissione. L esame e strutturato in modo che uno studente che ha seguito il corso e studiato regolarmente cogliendo il significato dei concetti e dei risultati esposti, lo possa superare senza difficoltà. L orale si sosterrà, di norma, il pomeriggio dello stesso giorno in cui in mattinata si è sostenuta la prova scritta o al più il giorno successivo.. ELENCO DEFINITIVO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL ESAME ORALE RIGUARDANTI LA PRIMA PARTE DEL CORSO, (prime 140 pagine del libro di testo + gli argomenti che non sono sul libro di testo ma sono stati esposti a lezione). Teorema 2: Teorema fondamentale sulle relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Teorema 3: Congruenza modulo p sugli interi Teorema 4: N, Z e Q sono numerabili. Teorema 5: Non numerabilità di R: Dimostrazione mediante l argomento diagonale di Cantor. Teorema 6: Lemma della Concordia: Supponiamo di avere g: Y X iniettiva. Allora h: X Y biunivoca. f : X Y iniettiva e Teorema 8: Teorema di Cantor-Bernstein : un insieme non è mai equipotente al suo insieme delle parti. Teorema 10: Disuguaglianza di Bernoulli. Teorema 11: Algoritmo di Erone per il calcolo di x Teorema 12: Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio Teorema 13: Permutazioni semplici, Disposizioni semplici,, Combinazioni semplici, Coefficienti binomiali Teorema 14: Permutazioni con ripetizione, Disposizioni con ripetizione, Combinazioni con ripetizione.
Teorema 15: Formula del binomio di Newton. Dimostrazione combinatoriale Numeri complessi. Forma geometrica. Forma algebrica. Forma trigonometrica. Forma esponenziale. Formula di Eulero Soluzioni di equazioni algebriche nel campo complesso Teorema 16: Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Ogni successione monotona è regolare. Teorema 17: convergenza al numero e delle successioni an 1 a n, 1 a con a n n Convergenza ad exp(x) della successione n x 1. n n 1 n 1, Teorema 18: Teorema della permanenza del segno. Corollario 1. Corollario 2. Teorema 19: Teorema dei Carabinieri. an 1 1 a con n Teorema 20: Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima. Ordini di infinitesimi e infiniti. Infinitesimi e infiniti campione Teorema 21: Principio di sostituzione degli infinitesimi Teorema 22: Principio di sostituzione degli infiniti L algebra degli o(a n ) Teorema 23: Criterio del rapporto: Se a n >0 e lim a n+1 /a n <1, allora lim a n =0. Teorema 24: Il Teorema di Bolzano-Weierstrass: Ogni successione ammette sempre un estratta regolare. Teorema 25: Una successione è di Cauchy sse è convergente. Teorema 26: Caratterizzazione di maxlim e minlim. ELENCO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL ESAME ORALE RIGUARDANTI LA SECONDA PARTE DEL CORSO: Teorema 27: Teorema Ponte Teorema 28: Operazioni con i limiti di funzioni. Teorema 29 della permanenza del segno per funzioni continue.
Teorema 30 di Esistenza degli Zeri. Teorema 31: Applicazione del Teorema di Esistenza degli Zeri all esistenza di punti antipodali con la stessa temperatura. Teorema 32: Primo teorema dell esistenza dei valori intermedi. Teorema 33: Teorema di Weierstrass Teorema 34: Secondo Teorema dell esistenza dei valori intermedi. Teorema 35: Criterio di invertibilità. Teorema 36: Teorema sul limite delle funzioni monotòne. Teorema 37: Criterio di continuità per le funzioni monotòne Teorema 38: Teorema di continuità della funzione inversa di una funzione continua Teorema 39: Operazioni aritmetiche con le derivate. Teorema 40: Teorema di derivazione delle funzioni composte. Teorema 41: Teorema di derivazione delle funzioni inverse Teorema 42: Derivate delle funzioni elementari: potenze ad esponente razionale, logaritmi, esponenziali, potenze ad esponente reale. Teorema 43: Derivate delle funzioni elementari: funzioni sen, cos, tg. Teorema 44: Significato geometrico della derivata come tangente trigonometrica della retta tangente nel punto. Teorema 45: L errore che si commette considerando il valore della retta tangente in un punto invece del valore esatto della funzione è un infinitesimo di ordine superiore all incremento della variabile indipendente. Teorema 46: Derivate delle funzioni trigonomentriche inverse arcsen, arccos, arctg. Le funzioni iperboliche e le loro inverse Teorema 47: Teorema fondamentale della geometria iperbolica: cosh 2 x - senh 2 x = 1 Teorema 48: Grafici delle funzioni iperboiche senh, cosh, tgh. Teorema 49: Le funzioni iperboliche inverse: sett senh, sett cosh, sett tgh e i loro grafici Teorema 50: Primo Teorema di Fermat. Teorema 51: Secondo Teorema di Fermat.
Teorema 52. Teorema di Rolle Teorema 53: Teorema di Lagrange Teorema 54: Criterio di monotonia col segno della derivata prima Teorema 55: Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo e criterio di stretta monotonìa. Teorema 56. Criterio di convessità con la derivata seconda. Teorema 57: Teorema di L Ho pital Teorema 58: Formula di Taylor e di Mac Laurin Polinomio di Taylor di exp(x), log(1 + x), senx, cosx Teorema 59: Formula di Taylor con il resto di Peano: R n è un infinitesimo di ordine superiore ad n per x x o. Teorema 60: Teorema sulle Partizioni: Sia f([a,b]) = [m,m]. Allora, per ogni coppia di partizioni P e Q di [a,b] si ha M(b a) s(f,p) S(f,Q) M(b a) Teorema 61. Teorema di Riemann sulla integrabilità con le partizioni: Una funzione f limitata su [a, b] è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se > 0 una partizione P di [a, b] tale che s(f,p) S(f,P) < ε. Teorema 62.Teorema di Riemann sull integrabilità delle funzioni monotone: Ogni funzione monotona è integrabile su [a, b] Teorema 63. Teorema di Cantor sull uniforme continuità: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua Teorema 64. Teorema di Riemann sull integrabilità delle funzioni continue: Ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è integrabile. Teorema 65. Primo Teorema della media Teorema 66. Secondo Teorema della media (per funzioni continue) Teorema 67. Teorema sulle primitive: Tutte le primitive differiscono per una costante Teorema 68. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Teorema 69.FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Teorema 70. Formula di integrazione per parti Teorema 71. Formula di integrazione per sostituzione Formula dell area sottesa dal grafico di una funzione.
Formula dell area della regione compresa fra il grafico di due funzioni. Teorema 72. Formula del salame (solidi di rotazione attorno all asse delle x) Teorema 73. Formula della carta igienica (solidi di rotazione attorno all asse delle y) Equazioni differenziali lineari del primo ordine Equazioni differenziali a variabili separabili Equazioni differenziali di Bernoulli Funzioni di due variabili NEWS Risultati della prova scritta di oggi, 25 gennaio 2016, riservata ai soli Matematici. L orale è alle ore 16.00 di oggi stesso nella MT1. Hanno superato la prova scritta gli studenti con le seguenti matricole: - 176245-177485 - 176238-176256 - 176919-176236 - 178135-176259 Chi non ha superato la prova scritta può prendere visione del compito oggi E SOLO OGGI alla fine dell esame orale.
Risultati della prova scritta di oggi, Lunedì 1 Febbraio 2016, appello riservato agli studenti di Fisica. L orale è alle ore 16.30 nel mio studio, Cubo 31B terzo piano. Suonare al citofono. Hanno superato la prova scritta gli studenti con le seguenti matricole: - 174107-169551 - 175876-175874 - 179181-169549 - Risultati della prova scritta di oggi, Mercoledì 17 Febbraio 2016, appello per tutti gli studenti, sia di Fisica che di Matematica. Per il Corso di Laurea in Matematica sono ammessi a sostenere la prova orale le seguenti matricole: - 176255-176242 - 176246-176244 - 181272-176261 - 176247-177893 - 176245
NOTA: IL COMPITO DELLA MATRICOLA 176243 NON E STATO CORRETTO PERCHE LO STUDENTE NON HA CONSEGNATO LA TRACCIA. Per il Corso di Laurea in Fisica sono ammessi a sostenere la prova orale le matricole - 175879-178277 - 175868-177651 - 180544-163724 - 169549-169542 - 176521-175878 - 175885-177581 - 178147-174154 - 178586-175870 GLI ESAMI ORALI PER GLI STUDENTI DI MATEMATICA AVRANNO LUOGO DOMANI 18 FEBBRAIO 2016 NEL MIO STUDIO ALLE 8.30.
GLI ESAMI ORALI PER GLI STUDENTI DI FISICA AVRANNO LUOGO DOMANI 18 FEBBRAIO 2016 ALLE 10.30 NELL AULA MT1. GLI STUDENTI NON AMMESSI, SIA DI MATEMATICA CHE DI FISICA, POTRANNO PRENDERE VISIONE DEL PROPRIO COMPITO SCRITTO DOMANI E SOLO DOMANI 18 FEBBRAIO 2016 ALLE 12.30 NELL AULA MT1.