Strumenti per l Analisi Finanziaria Savona, 21 Febbraio 2002 O.Caligaris - P.Oliva
L equazione di Black-Scholes Problema Stima del prezzo f di un opzione di acquisto o di vendita di un bene il cui valore S cresce nel tempo con tasso µ ed è affetto da un fattore casuale gaussiano con media 0 e varianza σ con riferimento ad un tasso di investimento senza rischio r. Il possesso di una opzione di acquisto o di vendita conferisce il diritto di acquistare o vendere una unita del bene S al tempo stabilito T ad un prezzo stabilito K. Il prezzo di una opzione deve essere tale che sia possibile trovare una combinazione di quote del bene e quote di investimento privo di rischio che garantiscano un rendimento pari a quello privo di rischio.
Il valore del bene S cresce seguendo la legge ds = µsdt + σsdw Il valore dell investimento privo di rischio B cresce seguendo la legge db = rbdt Il prezzo dell opzione è funzione del tempo t e del prezzo S del bene sottostante f(t, S(t)) I é un portafoglio composto da beni S, opzioni f ed investimenti B a tasso r privo di rischio I = f + αs + βb
In ipotesi di autofinanziamento ed usando la formula di Itô si ottiene di = ( ( f t + µsf S + 1 ) 2 σ2 S 2 f SS ) + (αµs + βrb) dt+( f S +α)σsdw Per eliminare il rischio si richiede che f S + α = 0 = α = f S Supponendo impossibile l arbitraggio di = ridt = r( f + αs + βb)dt = r( f + f S S + βb)dt
Combinando le due espressioni di di si ottiene l equazione di Black-Scholes f t + rsf S + 1 2 σ2 S 2 f SS = rf t < T alla quale si associa (nel caso di una opzione di vendita, tipo PUT) la condizione f(t, S) = max(k S, 0) che si può usare per determinare f(t, S(t)). Per le opzioni di tipo CALL di acquisto si usa la condzione f(t, S) = max(s K, 0)
Variabili aleatorie e Processi Stocastici Sia (Ω, F, P ) uno spazio di probabilità. Ω, spazio dei campioni; F, σ algebra di sottoinsiemi di Ω ( Famiglia di sottoinsiemi di Ω chiusa rispetto a complementazione, unione ed intersezione numerabili) P misura di probabilità su (Ω, F) ( P : F R, P (A) 0, A F, σ additiva)
ESEMPIO 0.1. Consideriamo gli eventi che si presentano quando si lanciano due dadi: possiamo identificare l esito del lancio con la coppia di numeri (i, j) (punteggio) che si leggono sulla faccia superiore dei dadi. ogni evento è equiprobabile e P(A i,j ) = 1 36
Ω = insieme delle coppie di valori (i, j) con i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 F = famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω ( ) P(A) = 1 36 numero degli elementi dia Chiamiamo Variabile Aleatoria una funzione X : Ω R ESEMPIO 0.2. X(i, j) = i + j
X definisce su R una misura di probabilità ξ mediante la ξ((α, β)) = P (α X β) = = P ({ω Ω : α X(ω) β}) = = P (X 1 ((α, β))) Naturalmente deve risultare che X 1 ((α, β)) F L ultima condizione si esprime dicendo che X : Ω R è misurabile
si può verificare che, sotto ipotesi non restrittive, esiste una funzione ϕ : R R tale che P (α X β) = ξ((α, β)) = ϕ è la densità di probabilità di X β α ϕ(s)ds Ω Abbiamo anche che X(ω)dω αp (X 1 (α, β)) β α sϕ(s)ds = b a sϕ(s)ds
P (α X β) = ξ((α, β)) = β α ϕ(s)ds Ω X(ω)dω αp (X 1 (α, β)) β α sϕ(s)ds = b a sϕ(s)ds
ESEMPIO 0.3. Nel caso del punteggio ottenuto con i dadi la funzione densità ha il grafico in figura.
P (α X β) = ξ((α, β)) = β α ϕ(s)ds
Chiamiamo Processo Stocastico una funzione R t X(t) dove X(t) è una variabile aleatoria su Ω Avremo X = X(t, ω) (t, ω) R Ω R Ω (t, ω) X(t, ω) Per ogni t fissato X(t, ω) ha una densità di probabilità ϕ(t, s) P (α X(t) β) = β α ϕ(t, s)ds E(X(t)) = + sϕ(t, s)ds
Il Processo di Wiener È un processo stocastico W con le seguenti caratteristiche: W (0) = 0 W (t) W (s) ha una densità di probabilità Gaussiana normale di media 0 e varianza (t s), N(0, t s). W ha incrementi indipendenti: cioè W (t 1 ) W (s 1 ) e W (t 2 ) W (s 2 ) sono variabili aleatorie indipendenti. È possibile costruire un processo stocastico con le caratteristiche indicate. Si ha P (α W (t) W (s) β) = 1 β 2π(t s) α e 1 2(t s) τ 2 dτ La funzione t W (t, ω) è continua per quasi ogni ω Ω e non è derivabile con probabilità 1.
Modelli di Crescita Sia x una quantità scalare che cresce nel tempo con tasso costante a Allora x(t + h) x(t) = a h La precedente uguaglianza può essere espressa in diversi modi ẋ(t) = a, dx dt = a dx = adt, t 0 dx = t 0 ads x(t + h) = x(t) + t+h t ads = x(t) + ah
Se x cresce con tasso proporzionale alla sua consistenza Allora x(t) x(s) = µx(t) t s La precedente uguaglianza può essere espressa da ẋ(t) = µx(t), dx dt = µx, dx = µxdt, t 0 dx = t Non si può procedere esplicitamente con l integrazione, 0 µx(s)ds Si può usare la definizione di integrale per ottenere una formula discreta che approssima x (Metodo di Eulero). x(t + h) = x(t) + t+h t x( s)ds = x(t) + x( s)h
Crescita con tasso costante alterata da un fattore di incertezza W. Avremo da cui e x(t) + σw (t) (x(s) + σw (s)) = µ(t s) x(t) x(s) = µ(t s) + σ(w (t) W (s)) dx = µdt + σdw Possiamo integrare numericamente t+h t dx = t+h t µdt + t+h se siamo in grado di dare una definizione di t+h t σdw t σdw
Nel caso in cui σ sia costante possiamo usare l idea di integrale di Riemann: t 0 σdw i=1 ( n 1 n 1 i=1 Osserviamo che ( n 1 ) E σ(w (t i+1 ) W (t i ) = 0 Var i=1 σ(w (t i+1 ) W (t i ) = σ(w (t) W (0)) = σw (t) ) σ(w (t i+1 ) W (t i )) = Ne viene che t 0 n 1 i=1 σ 2 dw σ 2 (t i+1 t i ) = σ 2 (t 0) = σ 2 t è una variabile aleatoria di media 0 e di varianza σ 2 t
Nel caso in cui σ sia funzione della sola t possiamo approssimare t 0 σ(s)dw (s) mediante le somme di Riemann - Stieltjes n 1 i=1 σ(s i )(W (t i+1 ) W (t i )) Paley e Wiener hanno dimostrato che le somme di Riemann, in questo caso, convergono ad un processo stocastico nel caso in cui σ C 1 Non è difficile estendere la definizione a funzioni della sola t meno regolari.
Il caso in cui σ = σ(t, W ) è necessario per poter considerare equazioni del tipo dx = µ(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dW Per questo scopo è necessario definire t 0 σ(s, X(s))dW dove X è un processo stocastico. Calcoliamo ad esempio il più semplice di questi integrali: t 0 W dw
Procedendo come per gli integrali di Riemann-Stieltjes Consideriamo una partizione dell intervallo [0, t] 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n 1 < t n = t ed una scelta di punti s i t i s i t i 1 Le corrispondenti somme di Riemann Stieltjes sono RS n = n 1 i=1 W (s i )(W (t i ) W (t i 1 ))
Si ha W (s i )(W (t i ) W (t i 1 )) = = W (t i 1 )(W (t i ) W (t i 1 ))+(W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 )) = 1 2 W (t i 1)(W (t i ) W (t i 1 )) + 1 2 W (t i 1)(W (t i ) W (t i 1 ))+ + (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 )) = 1 2 (W (t i)+w (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 )) 1 2 (W (t i) W (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 ))+ + (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 ))
Inoltre (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (t i 1 )) = = (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (s i ))+(W (s i ) W (t i 1 ))(W (s i ) W (t i 1 )) per cui W (s i )(W (t i ) W (t i 1 )) = = 1 (W 2( 2 (t i ) W 2 (t i 1 )) (W (t i ) W (t i 1 )) 2) + (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (s i ))+(W (s i ) W (t i 1 ))(W (s i ) W (t i 1 ))
Ne deduciamo che RS n = n W (s i )(W (t i ) W (t i 1 )) = i=1 1 2 ( W 2 (t) W 2 (0) ) 1 n (W (t i ) W (t i 1 )) 2 + 2 i=1 n + (W (s i ) W (t i 1 )) 2 + i=1 + n (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (s i )) i=1
Se s i = (1 θ)t i 1 + θt i si ha E E ( ) 1 n (W (t i ) W (t i 1 )) 2 = 2 i=1 ( n ) (W (s i ) W (t i 1 )) 2 = i=1 i=1 n (t i t i 1 ) = 1 (t 0) 2 i=1 n (s i t i 1 ) = θ(t 0) i=1 ( n ) E (W (s i ) W (t i 1 ))(W (t i ) W (s i )) = 0 Si dimostra che RS n 1 2 ( W 2 (t) W 2 (t 0 ) ) + ( θ 1 ) (t 0) 2 Il limite dipende dalla scelta di punti s i attraverso θ.
Stratonovich propose di scegliere θ = 1 2 : continua a valere la formula di integrazione per parti. Itô propose di scegliere θ = 0: non vale l integrazione per parti ma la variabile aleatoria X(t) = t 0 W dw che si ottiene è non anticipativa. cioè dipende solo dagli avvenimenti passati.
Con metodi simili si prova che n (W (t i ) W (t i 1 )) 2 (t 0) = t i=1 più precisamente n (W (t i ) W (t i 1 )) 2 i=1 tende ad una variabile aleatoria di media t e di varianza 0. Si esprime questo fatto dicendo che t t 0 (dw ) 2 = ed introducendo la regola formale t t 0 dt (dw ) 2 = dt
Analogamente si prova che è ragionevole introdurre anche le seguenti regole formali dtdw = dw dt = 0 Usando le precedenti informazioni possiamo farci un idea su come si deriva la formula di Itô. Si tratta essenzialmente di stabilire una formula di derivazione di funzione composta.
La Formula di Itô Sia X un processo stocastico tale che dx = a(t, X(t))dt + b(t, X(t))dW (t) g : R R R Consideriamo y(t) = g(t, X(t)) e studiamo il problema di derivare la funzione ottenuta
Itô ha dimostrato che ( ) dy(t) = g t (t, X(t)) + a(t, X(t))g x (t, X(t)) + b2 (t, X(t)) g xx (t, X(t)) dt+ 2 + b(t, X(t))g x (t, X(t))dW (t) La formula si dimostra in forma integrale: y(t) y(t 0 ) = g(t, X(t)) g(t 0, X(t 0 )) = t ( ) = g t (t, X(t)) + a(t, X(t))g x (t, X(t)) + b2 (t, X(t)) g xx (t, X(t)) dt+ 2 t 0 + t t 0 b(t, X(t))g x (t, X(t))dW (t) Si può ricavare formalmente usando la Formula di Taylor e le regole formali di moltiplicazione di dt e dw
Equazione di crescita per il prezzo di un bene Il prezzo S(t) di un bene si può descrivere mediante l equazione ds(t) = rs(t)dt + σs(t)dw (t) S(t) = S(t, ω) è un processo stocastico Se consideriamo g(t) = ln(s(t)) usando la formula di Itô si ottiene dg(t) = d ln(s(t)) = ds(t) S(t) 1 2 ( σ 2 S 2 ) (t) dt = rdt σ2 dt+σdw (t) S 2 (t) 2
Si ha g(t) g(0) = ln e di conseguenza ( ) S(t) = rt tσ2 S(0) 2 S(t) = S(0)e rt tσ2 2 +σw (t) + σw (t) Le figure che seguono riportano i grafici di una soluzione, il grafico della soluzione senza rumore e le bande di confidenza corrispondenti a σ, 2σ e 3σ.
Sia L equazione di Black-Scholes f(t, S(t)) il prezzo dell opzione di vendita di un bene S e sia B un investimento privo di rischio con rendimento r; consideriamo un portafoglio I = f + αs + βb La variazione di I può essere calcolata mediante la di = df + αds + βdb
df può essere calcolato mediante la formula di Itô. per cui di = ( f t +µsf S + 1 2 σ2 S 2 f SS )dt+f S σdw +α(µsdt+σsdw )+βrb = ( = ( f t + µsf S + 1 ) 2 σ2 S 2 f SS ) + (αµs + βrb) dt+( f S +α)σsdw
Per eliminare la componente di incertezza occorre imporre che ed in tal caso α = f s di = ( ( f t + µsf S + 1 2 σ2 S 2 f SS )+ + (f S µs + βrb) ) dt + ( f S + f S )σsdw = = ( ( f t + µsf S + 1 2 σ2 S 2 f SS )+ + (f S µs + βrb) ) dt =
In condizioni di non arbitraggio si ha di = ridt per cui di = r( f + αs + βb)dt = r( f + f S S + βb)dt e r( f + αs + βb)dt = r( f + f S S + βb)dt = di = = ri = r(f + αs + βb)dt = r(f f S S βb)dt
Si ottiene infine che f t + rsf s + 1 2 σ2 S 2 f SS = rf t < T con la condizione f(s, T ) = max(k s, 0)
Il seguente è un programma scritto in Matlab che integra l equazione stocastica { dx = λ Xdt + σ (X)dW X(0) = Xzero.
clf randn( state,1) T = 1; N = 2 8 ; Delta = T/N; lambda = 0.05; sigma = 0.8; Xzero = 1; Xem = zeros(1,n+1); Xem(1) = Xzero; for j = 1:N Winc = sqrt(delta)*randn; Xem(j+1) = Xem(j) + Delta*lambda*Xem(j) + sigma*xem(j)*winc; end plot([0:delta:t],xem, r-- )
Questo è il grafico che si ottiene
Riferimenti Bibliografici Kyoung-Sook Moon - Anders Szepessy - Ràul Tempone - Georgios Zouraris Stochastic and partial Differential Equations with Adapted Numerics Download Tomas Bjork Stochastic Calculus Download L. Smith Introduction to Probability and Statistics Download John F. Price Optional Mathematics Is Not Optional Download Per altro materiale Vai a home.zcu.cz/ honik/sde/ Vai a www-personal.umich.edu/ rwallace/econ605.html