Eserczo Il responsable marketng d una catena d negoz vuole analzzare l volume delle vendte mensl d un determnato bene d largo consumo. Una socetà che conduce rcerche d mercato è ncarcata d effettuare un ndagne. Vene estratto un campone d 34 negoz e, dall anals de dat, s ottene per la varable vendte mensl un valore medo par a 3.098,68 ed uno scarto d.56,4. S supponga che la varable vendte mensl relatva al totale de negoz della catena s dstrbusce come una Normale con meda e scostamento quadratco medo ncognt. a Indvduare l ntervallo d confdenza al 90% per la meda d popolazone; La v.a. volume medo mensle s dstrbusce come una t d Student con n- grad d lbertà. L ntervallo dventa Y ± tα, n * s n Poché, n questo caso, rtenamo la numerostà camponara suffcentemente elevata, possamo approssmare la t d Student con la Normale. 3.098,68±,645*(.56,4/5,8 3.098,68±,645*5,5 3.098,68±354,5 [.744, ; 3.453,] b S determn la numerostà camponara necessara per costrure un ntervallo con un lvello d confdenza par a 0,90 e una sem lunghezza (errore d 50. n (z α/ s/e da e z α/ s n (e 354,5 n (,645*(.56,4/50^ (,645*5,3^ 4,34^.708,69 c L mpresa produttrce del bene n questone sostene che l volume medo delle vendte ne negoz della catena dstrbutva sa par a 3.500. Verfcare se l affermazone dell mpresa è plausble con una sgnfcatvtà del 0%. H 0 : μ 3.500 H : μ 3.500 3.098,68 3.500 z 40,3/5,5,87 5,5 Rfuto H 0. d L ndagne svolta ha preso n anals un certo numero d varabl che l responsable marketng è nteressato ad analzzare. In partcolare vuole studare la relazone tra l volume delle vendte e l prezzo applcato. Supponendo l esstenza d una relazone lneare tra le due varabl, stmare parametr della retta d regressone d Y su.
Negozo Vendte (Y Prezzo ( Negozo Vendte (Y Prezzo ( 4.4 59 8.730 79 3.84 59 9.68 79 3 3.056 59 0 4.4 79 4 3.59 59 4.3 79 5 4.6 59 3.746 79 6 4.630 59 3 3.53 79 7 3.507 59 4 3.85 79 8 3.754 59 5.096 99 9 5.000 59 6 76 99 0 5.0 59 7.088 99 4.0 59 8 80 99 5.05 59 9.4 99 3.96 79 30.88 99 4 675 79 3.59 99 5 3.636 79 3.60 99 6 3.4 79 33 3.354 99 7.95 79 34.97 99 ( Y Y ( ( ny Codev Y Y 7.70.685 8.99.097,94 496.4,94 7.70.685 (34 * 3.098,68 * 77,8 ( n 4.647 34 * 77,8 4.647 05.9,06 8.75, 94 b Y 496.4,94 8.75,94 b 7.5,35 0 Yˆ 7.5,35 56,7 56,7 L ntercetta camponara b 0, par a 7.5,35, rappresenta l numero d prodott che c s aspetterebbe d vendere ogn mese se l prezzo fosse par a 0. L nclnazone delle vendte rspetto al prezzo c dce che s dovrebbero vendere 56,7 prodott n meno per ogn centesmo d aumento del prezzo. e Valutare la bontà del modello stmato. Dev ( reg Y 8.53.486,5 R 0,54 Y 5.093.677,44 (bontà d adattamento della retta a punt osservat L ndce d correlazone c fornsce un nformazone smle a quella del coeffcente d regressone, n quanto msura l ntenstà del legame tra le due varabl. Sappamo che r ± b xy b yx Nel nostro caso b yx -56,7 mentre b xy -0,0 n quanto Y Y b yx e b xy Y Per cu r -0,735 (quando due coeffcent sono negatv s mette l segno negatvo. Questo c dce che tra le due varabl c è una buona correlazone (s avvcna a e che la correlazone è nversa, o negatva, (poché r<0.
S valut con un test opportuno l esstenza d un legame lneare tra la spesa santara e l numero d ospedal sceglendo α0,05. La varable camponara coeffcente d regressone s dstrbusce secondo una legge Normale σ y con meda b e varanza ; Nel ns campone abbamo ottenuto un valore d b dverso da zero, c chedamo se anche nella popolazone da cu l campone provene esste una dpendenza lneare fra Y e o se nvece non essta alcuna relazone d questo tpo e b dffersca da zero solo per effetto dell errore d camponamento L potes sarà H 0 : β 0 H : β 0 Standardzzando la varable normale che descrve la dstrbuzone d b nell unverso de campon s ottene: b zc σ ( y La varanza σ y non è nota e non la posso stmare attraverso la varanza d Y nel campone poché questa rsente della relazone lneare tra Y e. La varanza d dspersone ( devanza d dspersone dvsa per suo grad d lbertà è stma corretta d σ y. ˆ ( Y Y s y _ dsp n La statstca test che s ottene s dstrbusce come un t-student con (n- grad d lbertà b tc ( Y Yˆ ( n ( Y dsp 5.093.677,44-8.53.486,5 3.940.9,3 56,7 56,7 56,7 t 56,7 c 6,3 3.940.9,3 3.940.9,3 85,47 9,5 3 * 8.75,94 80.094, t (3;0,05,037 t c > t (n-, α/ Rfuto l potes nulla, percò posso dre che b è sgnfcatvamente dverso da 0 (esste una relazone lneare tra le due varabl. f Successvamente s prende n esame una seconda varable ndpendente: la spesa mensle n attvtà promozonal.
Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( 4.4 59 00 8.730 79 400 3.84 59 00 9.68 79 400 3 3.056 59 00 0 4.4 79 400 4 3.59 59 00 4.3 79 600 5 4.6 59 400 3.746 79 600 6 4.630 59 400 3 3.53 79 600 7 3.507 59 400 4 3.85 79 600 8 3.754 59 400 5.096 99 00 9 5.000 59 600 6 76 99 00 0 5.0 59 600 7.088 99 00 4.0 59 600 8 80 99 00 5.05 59 600 9.4 99 400 3.96 79 00 30.88 99 400 4 675 79 00 3.59 99 400 5 3.636 79 00 3.60 99 400 6 3.4 79 00 33 3.354 99 600 7.95 79 400 34.97 99 600 Supponendo l esstenza d una relazone lneare tra le due varabl, stmare parametr della retta d regressone d Y su e e valutare la bontà del modello stmato. Y Y b [ ] ( 496.4,94(875.94, (3.63.70,59( 8.470,59 53, (8.75,94(875.94, ( 8.470,59 Y Y b [ ] (3.63.70,59(8.75,94 ( 496.4,94( 8.470,59 3,6 (8.75,94(875.94, ( 8.470,59 b 0 5.837,5 Y ˆ 5.837,5 53, + 3, 6 Dev ( reg Y 39.47.730,77 RY. 0,76 Y 5.093.677,44 Il 76% della varabltà delle vendte è spegato dal prezzo e dalla spesa n attvtà promozonal. Valutamo ora l esstenza d una relazone sgnfcatva tra la varable dpendente e le varabl esplcatve. H 0 : β β 0 H : Almeno un β 0 F Y Y dsp reg k ( n k dove k è l numero de coeffcent d regressone e n la numerostà camponara. Dstrbuzone d Fsher F(k; n-k-. Le formule d codevanza e devanza le ho scrtte prma, al punto d
39.47.730,77 F 48,477.60.946,67 (34 Dato che F 0,05 3,3 con e 3 grad d lbertà, s conclude che almeno uno de coeffcent d regressone è dverso da zero, v è qund una relazone lneare tra almeno una varable esplcatva e le vendte. g S vuole, nfne, analzzare l volume delle vendte n due campon d negoz. Il prmo campone, che è quello esamnato fnora ( Y 3.098,68, s.56,4, è costtuto da negoz che hanno attuato, come attvtà promozonale, l esposzone d cartell pubblctar. Il secondo campone è costtuto da 3 negoz che hanno dstrbuto campon gratut del prodotto ( Y.980,68, s.05,3. Tal rsultat consentono d affermare, a un lvello d sgnfcatvtà del 5% che esste una dfferenza nel volume medo mensle delle vendte del prodotto tra negoz che hanno attuato le due dverse tpologe d attvtà promozonal, o la dfferenza rlevata ne due campon è attrbuble al solo errore d camponamento? Ipotzzamo che nelle categore n esame l volume delle vendte s dstrbusce normalmente con scarto quadratco medo σ.60 e σ.0. H 0 : μ μ H : μ μ n34 Y 3.098,68 σ.60 m3 Y.980,43 σ.0 Lo stmatore dfferenza tra mede camponare ( ( Y Y s dstrbusce sotto H 0 come una normale con valore atteso 0 e varanza σ n + σ m Per verfcare l potes sulla dfferenza possamo utlzzar la seguente statstca test ( Y Y ( μ μ Z ~N(0; σ n + σ m 3.098,68.980,43 8,5 Z 60 34 + 0 3 37,06 + 48,70 8,5,77 9,6 z 0,05,645 z>z α rfuto H 0 Il volume delle vendte de negoz che hanno esposto cartellon pubblctar è sgnfcatvamente dverso da quello de negoz n cu sono stat dstrbut campon gratut.
Negozo Vendte (Y Prezzo ( Promozone ( Y * Y ( Y Y * Yˆ * ˆ ( Y Y ( ( Yˆ ( ˆ * * Y Y 4.4 59 00 7.47.88 3.48 40.000 44.39 88.00.800.086.438 4.66.39.673 354 35.433 3.40 03.448 3.84 59 00 4.760.964 3.48 40.000 6.678 768.400.800 55.530 4.66.39.673 354 35.433 3.40 03.448 3 3.056 59 00 9.339.36 3.48 40.000 80.304 6.00.800.8 4.66.39.673 354 35.433 3.40 03.448 4 3.59 59 00.383.36 3.48 40.000 07.6 703.800.800 76.67 4.66.39.673 354 35.433 3.40 03.448 5 4.6 59 400 7.859.076 3.48 60.000 49.334.690.400 3.600.70.858 4.66.39.673 354 38 4.43.090.447 6 4.630 59 400.436.900 3.48 60.000 73.70.85.000 3.600.344.95 4.66.39.673 354 38 4.43.090.447 7 3.507 59 400.99.049 3.48 60.000 06.93.40.800 3.600 66.78 4.66.39.673 354 38 4.43.090.447 8 3.754 59 400 4.09.56 3.48 60.000.486.50.600 3.600 49.449 4.66.39.673 354 38 4.43.090.447 9 5.000 59 600 5.000.000 3.48 360.000 95.000 3.000.000 35.400 3.65.03 4.66.39.673 354 44.844 4.866 3..78 0 5.0 59 600 6.4.400 3.48 360.000 30.080 3.07.000 35.400 4.085.749 4.66.39.673 354 44.844 4.866 3..78 4.0 59 600 6.088. 3.48 360.000 36.649.406.600 35.400 83.334 4.66.39.673 354 44.844 4.866 3..78 5.05 59 600 5.50.5 3.48 360.000 95.885 3.009.000 35.400 3.67.96 4.66.39.673 354 44.844 4.866 3..78 3.96 79 00 3.67.056 6.4 40.000 5.364 383.00 5.800.398.74 3.03 4.45 35.433.356 55.64 4 675 79 00 455.65 6.4 40.000 53.35 35.000 5.800 5.874.08 3.03 4.45 35.433.356 55.64 5 3.636 79 00 3.0.496 6.4 40.000 87.44 77.00 5.800 88.77 3.03 4.45 35.433.356 55.64 6 3.4 79 00 0.394.76 6.4 40.000 54.696 644.800 5.800 5.706 3.03 4.45 35.433.356 55.64 7.95 79 400 5.67.05 6.4 60.000 8.305 98.000 3.600 645.896 3.03 4.45 38 3.079 404 8.730 79 400 7.45.900 6.4 60.000 5.670.09.000 3.600 35.9 3.03 4.45 38 3.079 404 9.68 79 400 6.853.94 6.4 60.000 06.8.047.00 3.600 3.050 3.03 4.45 38 3.079 404 0 4.4 79 400 9.545.4 6.4 60.000 349.59.768.400 3.600.748.540 3.03 4.45 38 3.079 404 4.3 79 600 6.96.769 6.4 360.000 34.97.467.800 47.400.08.85 3.03 4.45 44.844 3.80 493.50 3.746 79 600 4.03.56 6.4 360.000 95.934.47.600 47.400 49.08 3.03 4.45 44.844 3.80 493.50 3 3.53 79 600.475.04 6.4 360.000 79.08.9.00 47.400 87.769 3.03 4.45 44.844 3.80 493.50 4 3.85 79 600 4.630.65 6.4 360.000 30.75.95.000 47.400 57.546 3.03 4.45 44.844 3.80 493.50 5.096 99 00.0.6 9.80 40.000 08.504 9.00 9.800 4.00.73.898.44.399 448 35.433.9 3.65.467 6 76 99 00 579. 9.80 40.000 75.339 5.00 9.800 5.464.73.898.44.399 448 35.433.9 3.65.467 7.088 99 00 4.359.744 9.80 40.000 06.7 47.600 9.800.0.467.898.44.399 448 35.433.9 3.65.467 8 80 99 00 67.400 9.80 40.000 8.80 64.000 9.800 5.9.366.898.44.399 448 35.433.9 3.65.467 9.4 99 400 4.468.996 9.80 60.000 09.86 845.600 39.600 969.588.898.44.399 448 38.04.76.09 30.88 99 400 3.54.94 9.80 60.000 86.38 75.800 39.600.480.30.898.44.399 448 38.04.76.09 3.59 99 400 4.66.8 9.80 60.000 3.74 863.600 39.600 88.99.898.44.399 448 38.04.76.09 3.60 99 400.566.404 9.80 60.000 58.598 640.800 39.600.40.040.898.44.399 448 38.04.76.09 33 3.354 99 600.49.36 9.80 360.000 33.046.0.400 59.400 65.90.898.44.399 448 44.844.737 30.96 34.97 99 600 8.567.39 9.80 360.000 89.773.756.00 59.400 9.473.898.44.399 448 44.844.737 30.96 TOT 05.355.646 3.00 378.554.737 4.674 6.000.000 7.70.685 44.55.800.08.800 5.093.677,44 8.53.486,5 8.75,94 875.94 39.47.730,77 Mede 3.098,68 77,8 388,4 Y regressone semplce regressone multpla * regressone semplce Y 5.093.677,4 48,70 8.75,94 37,06 875.94, 85,76 8,5 Y -496.4,94 9,6,77 Y 3.63.70,59-8.470,59 b -56,7 b -53, b 0 7.5,35 b 3,6 R 0,5404396 b 0 5.837,5 R 0,76