Zer e rdc d equzo o ler e sstem d equzo o ler
Equzo o ler: geerltà Prolem: rcvre le rdc o zer d u uzoe evetulmete o lere e/o trscedete coè trovre quel o que vlor tle che: Se l soluzoe o è esprmle orm chus l prolem può essere rsolto umercmete Molteplctà d u rdce: è rdce semplce se, multpl d molteplctà ν se: ν,, K, ν
Eq. o ler: seprzoe delle rdc Idvduzoe d u tervllo I[,] detto tervllo d seprzoe coteete u sol rdce, metod d uslo: studo sommro del grco decomposzoe dell uzoe g h e rcerc de put d tersezoe gh tulzoe dell uzoe psso dell tulzoe Teorem: se C [,] e < llor esste lmeo u vlore tle che 3
Seprzoe delle rdc: esemp Esempo 3..: Esempo 3..: l++sqrt+- t*[-cos]- Eserczo: uso d MtL, grco dell esempo 3.. 4
5 Eq. o ler: metodo delle sezo I I I [ ] [ ],, I + < > [ ], I + > < [ ], 3 I +
6 Eq. o ler: metodo delle sezo Metodo tertvo pplcle se C [,], < e se I[,] esste u uco vlore tle che Algortmo N K, + < < se ], [ ], [ se ], [ ], [ Se llor ltrmet: Cos ccde se esstoo ltr zer [,]? Cos ccde se o è cotu?
Metodo delle sezo: esempo Esempo 3.4.: l++sqrt+- Itervllo d seprzoe I[-/,] d Esempo 3.. 3 4 5 6 7 8 9 -.5 -.375 -.35 -.85 -.6565 -.734375 -.69533 -.74844 -.7578 F.35936 -.95488 -.756553 -.936.8 -.54435.44 -.6 -.35.3336.46664.4664.964.4786.339.83.58.74 + /.468 +.44 +.35 + 4 / / 4.468 +.35.68 K K K K 3 8 7
Metodo delle sezo: MtL ucto [zero,ter]sezoe,,,toll,m [, +*.5, ]; evl; ter ; I - *.5; whle I > toll & ter < m- ter ter + ; sg*sg < 3 ; +3-*.5; evl; I 3-*.5; else sg*sg3 < ; +3-*.5; evl; I 3-*.5; else d; d; I ; ed ed zero ; retur 8
Metodo delle sezo: MtL >> ormt short e >> 'log++sqrt+-'; >> [cs,nter]sezoe,-/,,e-,9;.e+ -.5e- 3.594e-.334e-.e+ -3.75e- -.955e-.467e-......... 9.e+ -.75e- -3.53e-4.74e-4 >> cs, Nter cs -.75e- Nter 9 9
Metod tertv: geerltà U metodo tertvo orsce u successoe d pprossmzo { } tle che: lm I geerle: G,,, N + K co G uzoe d terzoe Errore d trocmeto: Orde p e ttore C d covergez: Ecez computzole: E e p / r lm e e + p C
Metodo delle sezo: covergez I I Errore l psso : - - e I I + Errore l psso +: - + e + I + I Ad og psso l mssmo dell errore s dmezz, l metodo è covergete.
Metodo delle sezo: covergez Errore l psso : e e / L L qule orsce u stm pror dell errore commesso dopo pss, e dll qule: e lm lm Il metodo delle sezo orsce u successoe d pprossmzo covergete o mooto.
Metodo delle sezo: orde - + - Per grde: e qud: e + e Il metodo h orde d covergez, d og psso l errore s dmezz. 3
Metodo delle sezo: crtero d rresto Qudo rrestre l procedur tertv? Ad esempo qudo l tervllo d seprzoe è more d u sst tollerz ε: D cu: + log ε ε log ε log log log + log ε log ε Dove è l umero mmo d terzo ecessre per otteere u soluzoe co u errore ssoluto more d u cert tollerz sst ε. 4
Metodo delle sezo: esempo Esempo 3.4.: l++sqrt+- Itervllo d seprzoe I[-/,], qute terzo soo ecessre per vere u errore more d 3? log log ε 8.966 Dopo 9 terzo l errore stmto è: e.5 4 9.766 9 9 -.7578.74-4 Eserczo cosglto [GL]. 5
Argomet opzol Metodo delle sezo: terpretzoe geometrc Metodo dell ls poszoe: terpretzoe geometrc; covergez e ttore d covergez 6
Metod tertv d u puto Prolem: rdce d u equzoe o-lere: è l puto uto dell trsormzoe : Scelt, ed u vlore zle, l successoe: + costtusce l metodo del puto uto metodo tertvo d u puto stzoro. 7
Metodo del puto uto + 8
Metodo del puto uto: esemp cos {.739853356K} cos 3.543358684.857553584639.654897949778.74437354956-3.75 -.36 -.399-8.636-3 3.54K.857K.654K K K K K.739843997749.664-4 9
Metodo del puto uto: esemp e e 3 4 5..783.554 3.843 6 I -.783.436 3.843 I NN
Metodo del puto uto: esemp + {, }, + + + 3 / 4 + 3 4.....44 -.44 -. I.8478 -.7654. I 3.966 -.. I 4.994 -.948. I
Metodo del puto uto: covergez c.. Teorem: se l successoe -, co dto è covergete t, e se è cotu t, llor t è puto uto dell trsormzoe. t lm lm lm t Not: s trtt d u codzoe ecessr.
Metodo del puto uto: covergez c.s. Teorem del puto uto: s dervle I[,] e s : : Ι Ι, tle che co I coè s u cotrzoe, llor: c esste u uco puto uto, coè I tle che d ed oltre l successoe + è covergete per quluque scelt d I, coè I s h: lm Not: L covergez del metodo del puto uto dpede dll scelt d e d. 3
4 Teorem del puto uto: dmostrzoe I I, ], [ : Dll: Se vle u uguglz, llor o è puto uto d. Altrmet: > < F F F Poché F C[,], llor esste uo zero d F: F e qud u puto uto per l.
5 Teorem del puto uto: dmostrzoe Per l uctà del puto uto, potzzmo per ssurdo che e essto due dstt e : ' ' ζ ζ < Avedo tto uso del teorem del vlor medo: ' ζ Dll potes, tle che co I: ' ζ < < Il che è ssurdo.
6 Teorem del puto uto: dmostrzoe Per l scelt d s h: < < Coè I ed è u pprossmzoe mglore d per, oltre: L Ed essedo,, s h: lm lm Qud l successoe coverge quluque s Ι.
Metodo del puto uto: orde d covergez Teorem: s C p I co I toro d u puto uto d, co covergete, e s : p, K, p llor l orde d covergez del metodo è dto d p. Not: L orde d covergez del metodo del puto uto dpede dll scelt d. 7
8 Orde d covergez: dmostrzoe + Svluppdo sere d Tlor ttoro :! /! / '!!!! p t p t p p p p + + + 44 4 3 44 4 K Dove t è compreso tr t e, e tede per. Qud:! lm! + + p t p t p p p p
9 Metodo del puto uto: pprossmzo Dll relzoe: Impegdo l teorem del vlor medo: [ ] [ ],, ' t t S ottee che: ' t
Metodo del puto uto: pprossmzo Dll relzoe: ' t t,, S h che: se ' < < > App. per detto App. per eccesso se ' < Approssmzo lterte 3
Metodo del puto uto: esempo Esempo 3.5.: dt l uzoe l + Se e rcv l rdce mggore medte l metodo del puto uto. 3
Metodo del puto uto: esempo g l + g h h l + >> lspce,4,; >> glog+; >> h.^; >> plot,g,,h; 5 4 3 h g Itervllo d seprzoe I [, e] e 3
Metodo del puto uto: esempo l + l + Nell tervllo d seprzoe I[,e], s h l>, e pertto come uzoe d terzoe s può cosderre: l + Nell tervllo d seprzoe è crescete, qud: e 3 < < e Qud : Ι Ι coè è verct l potes del teorem del puto uto. 33
Metodo del puto uto: esempo Per l dervt prm s h: l + ' / l + l + Nell tervllo d seprzoe è postv e decrescete: < ' ' < [, e] Ache l potes del teorem del puto uto è verct, qud s h covergez per quluque scelt d. 34
Metodo del puto uto: esempo l + l + + e / 3.68676776.5753353.56666958.564469.5644659-4.3364-8.648-3.7568-3.65-8 3.337-5 35
Metodo del puto uto: esempo Eserczo [GL].3: dt l equzoe: e seprre le rdc ed pprossmrle medte opportue uzo d terzoe metodo del puto uto. 36
Metodo del puto uto: esempo e g g e h 6 5 g h h 4 3 >> lspce-,,; >> gep-; >> h*-.^; >> plot,g,,h; - - - 37
Metodo del puto uto: esempo >> ormt short e; >> tolle-;m; >> ph -log+*log- ; >> [zero,ter]putoutoph,-3,toll,m;.e+ -3.859e+.858e-8 >> [zero,ter]putoutoph,-4,toll,m; >> ph -ep-//sqrt ; >> [zero,ter]putoutoph,.,toll,m; >> ph3 +ep-//sqrt ; >> [zero,ter]putoutoph3,.5,toll,m; 38
Metodo del puto uto: esempo e 3 [-4,-3] [,.5] 3 [,.5] -4. -3...5-3.93-3.4657359.9893.334359-3.8765893-3.6865.3897.36977-3.8644-3.78335.479438.35776-3.8589994-3.857376.495634.35859-3.8587949-3.8587946.495653 ----------- 39
Metodo del puto uto: esempo - -4 3-6 -8 - - -4-6 -8 4 6 8 4 6 8 Iterzoe 4
Metod tertv: crtero d rresto Prolem: qudo rrestre u procedur tertv? Errore more d u vlore pressto vlutzoe dell errore? Numero d terzo ugule d u vlore mssmo ssto stm dell errore commesso? Dto u metodo tertvo d u psso stzoro, s dmostr che se l dervt prm dell uzoe d terzoe modulo è more d uo ell tervllo d seprzoe, llor l derez tr due soluzoe successve orsce u mggorzoe dell errore commesso rspetto ll soluzoe estt!!!!. ε Crtero d rresto co ε vlore ssto 4
4 Metod tertv: crtero d rresto Se l metodo verc le potes d covergez, s h: + + + + t Sosttuedo: Stm dell errore Stm pror dell errore
Metod tertv: Newto-Rphso Dto l prolem, s cosder l metodo tertvo d u puto, stzoro: T + T dove ' co CI, I[,] tervllo d seprzoe, ed oltre I, llor se è u rdce d llor è che puto uto d. dto zle +, K, N ' Algortmo 43
Metodo d Newto-Rphso r Rett psste per,, e tgete ll : r : + ' Itersezoe sse : + ' 44
Metodo d Newto-Rphso: covergez Teorem: s C [,], <, [,] e s estremo d Fourer d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { T } è mooto e covergete c Ioltre se C 3 [,], llor l covergez è lmeo qudrtc. Per l puto c s h: T T T '' ' ' [ ' ] '' [ ' ] '' [ ' ] 45
Metodo d Newto-Rphso: covergez Teorem: s I[,], u tervllo d seprzoe d u rdce d e s C [,], per [,], llor esste u toro J d, co J I, tle che se J, l successoe { T } è covergete, e se C 3 [,] llor l covergez è lmeo qudrtc. Ecez computzole: E Esercz cosglt [GL].6 46
Metodo d Newto-Rphso: eserczo Esempo 3.6.: l + Se e rcv l rdce mggore medte l metodo d Newto-Rphso; s corot l rsultto otteuto co quello otteuto ell eserczo 3.5. soluzoe medte l metodo del puto uto. Trcc delle soluzoe:. Idvdure l tervllo d seprzoe. Vercre che so soddstte le potes del teorem d covergez [G] 3.6. 3. Idvdure l estremo d Fourer 47
Metodo d Newto-Rphso: esempo Teorem 3.6.: s C [,], <, [,] e s estremo d Fourer d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { T } è mooto e covergete c Ioltre se C 3 [,], llor l covergez è lmeo qudrtc. l + It. d seprzoe: I [, e] Le potes per l covergez soo soddstte: C [, e] e < < e e > qud e è estremo d Fourer 48
Metodo d Newto-Rphso: esempo l + Puto uto: l + e Metodo del Puto Uto Metodo delle Tget.7358 -.354 -.853656 8.479 -.5966547.5696 -.594968 7.6938-3.579585 5.75-3.564896.86-3 4.565786.535-3.564463.667-7 5.564735.58-4.56446 9.77-5.564463 7.653-8 --------- ---------.56446 9.5479-5 --------- --------- 49
Metodo d Newto-Rphso: esempo Puto Uto Newto-Rphso -5 - -5 5 5 Iterzoe 5
Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: e It. d seprzoe: I [ 4, 3], I [,.5], I3 [,.5] Le potes per l covergez soo soddstte: C I e 4 e 4, l 4.38 I, I I, 3 5
Metodo d Newto-Rphso: esempo e It. d seprzoe: I [ 4, 3], I [,.5], I3 [,.5] e 4 Estrem d Fourer d vercre come eserczo: I I I 3 [ 4, 3] [,.5] [,.5] F F F 4.5 5
Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: e 3 4 5. 8 [-4,-3] [,.5] [,.5] -4. -3...5-3.8679838-5.96539.33333333.37545945-3.855753-5.43.4757.358879-3.858795-4.468878.49584.3585-3.8587949-4.49348.495657.35859 -------..495653 ------- -------. ------- ------- ------- -3.8587949 ------- ------- 53
Metodo d Newto-Rphso: esempo Eserczo [GL].3: rsolto co l metodo del p.u. 3 [-4,-3] [,.5] 3 [,.5] -4. -3...5-3.93-3.4657359.9893.334359-3.8765893-3.6865.3897.36977-3.8644-3.78335.479438.35776-3.8589994-3.857376.495634.35859-3.8587949-3.8587946.495653 ----------- 54
Metodo d Newto-Rphso: esempo 4 ΠΥ ΠΥ 3 ΠΥ ΝΡ ΝΡ ΝΡ ΝΡ -4-8 - -6 4 6 8 4 6 8 Iterzo Esercz cosglt [GL].5,.6 55
Metodo d Newto-Rphso: rdc multple Se lo zero dell uzoe h molteplctà multpl mggore d uo l metodo delle tget h covergez lere, modc: ψ ν νt + ν ' Se l molteplctà o è ot, dett F/ : * F F' ' ' '' Etrme metod ho covergez qudrtc. Ecez? Eserczo cosglto [GL]. 56
Metod tertv: sect co estremo sso Algortmo dto zle c + S, K, N c Teorem: s C [,], <, [,], c estremo d Fourer d [,] e l ltro estremo d [,], llor: esste u uco,, tle che l successoe { S } è mooto e covergete c l covergez è lere. 57
Metod tertv: sect co estremo vrle Algortmo dt zl +, K, N S dmostr che: se C I, dove I è u toro smmetrco d cu, llor esste u seme A I cu l metodo coverge co covergez superlere p+ 5/. Coroto tr le eceze de tre metod: Newto-Rphso: Ε Sect estrem ss: Ε Sect estrem vrl: Ε.6 Eserczo cosglto [GL].3 58
59 Sstem d equzo o ler Sstem d due equzo o lere:,, g Lerzzzoe: + + + +,,,,,,,, g g g g
6 Sstem d equzo o ler L soluzoe del sstem lerzzto: + +,,,,,, g g g Forsce u soluzoe pprossmt del prolem d prtez: + + det / det / g g g g J J g g J
Equzo o ler: esercz d esme Eserczo [GL] 7.: dt l equzoe: α 4 3 α > seprre grcmete le soluzo postve, ed dvdure per qul vlor d α l equzoe mmette u rdce >; posto α trodurre u opportu uzoe d terzoe: [,.5] dtt d pprossmre l rdce >; 3 se l comportmeto dell crtterzzre l successoe delle pprossmzo orde d covergez, mooto, ecc. 6
Equzo o ler: esercz d esme Eserczo [GL] 7.36: cosdert l equzoe: 3 + α cos dvdure per qul vlor d α rele tle equzoe o mmette rdc postve; per α/3 seprre l rdce postv; 3 dvdure u uzoe d terzoe dtt geerre u procedmeto tertvo covergete, speccdo motv dell covergez ed l coecete d cotrzoe. Le rsposte vo motvte. 6