MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 40 000 euro per 18 mesi che produce un interesse pari a 1 400 euro. Si calcoli: il tasso periodale di interesse j = % il tasso periodale di sconto k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare si calcoli innanzitutto il tasso semestrale di interesse: i 2 = % Ipotizzando di reinvestire il montate così prodotto alle stesse condizioni (interessi semplici allo stesso tasso di interesse), si calcoli il tempo necessario per ottenere un montante finale pari a S = 60 000 euro T = anni Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale: i 2 = % T = anni Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x = { 8 000, 8 500} euro, sullo scadenzario t = {0.5, 1} anni esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = % Si consideri una rendita immediata posticipata r con 2 rate semestrali pari a 8 000; sapendo che il suo tasso interno di rendimento è pari a quello di x, se ne calcoli il prezzo P : P = euro Si calcoli poi, al tempo t = 0.75 anni, il valore residuo V (t, x + r) e il montante M(t, x + r), della somma delle due precedenti operazioni finanziarie. V (t, x) = euro M(t, x) = euro
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per un importo S = 120 000, da restituirsi secondo un piano di ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, al tasso annuo i = 4%. Compilare poi il piano di ammortamento sapendo che: le prime due rate sono di preammortamento; le ultime tre quote capitale sono uguali tra loro e ammortizzano metà prestito rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui sono quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti con valore facciale 100 euro, maturity 6 mesi quotato 97; un TCN a termine con valore facciale 100 euro, maturity 1 anno il cui prezzo, pattutito all istante 0 e pagabile al tempo 0.5, è pari a 97.75; un TCF con cedola semestrale, scadenza 18 mesi, valore facciale 120 euro, tasso nominale annuo 5%, quotato 118. si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla con scadenze: s 1 = 1, s 2 = 2, trimestri e valore facciale: C 1 = 1 500, C 2 = 4 500, (gli importi sono espressi in euro) secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.035 anni 1. V (0, P ) = euro D(0, P ) = anni Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa V (0, P 1 ) = euro D(0, P 1 ) = semestri
Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui siano presenti solo due titoli, il primo con rendimento atteso E 1 = 4% e varianza V 1 = 0.04, il secondo con rendimento atteso E 2 = 3.1% e varianza V 2 = 0.02. Vi è totale assenza di correlazione tra i due titoli. Si supponga di investire in un portafoglio fra i due titoli con una percentuale α del proprio capitale investita nel titolo 1 ed una percentuale 1 α nel titolo 2. Si determini, nell ipotesi che siano permesse vendite allo scoperto, la percentuale α tale per cui risulta minima la varianza del portafoglio così costruito e si determini il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si risponda alla stessa domanda nel caso in cui non siano permesse vendite allo scoperto. α = E = % V = Si determinino infine rendimento atteso e varianza del portafoglio composto da una quota α 0 del primo titolo e una quota 1 α 0 del secondo sapendo che il rapporto tra le due quote è pari al rapporto tra le rispettive varianze. α 0 = E = % V =
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 40 000 euro per 18 mesi che produce un interesse pari a 1 600 euro. Si calcoli: il tasso periodale di interesse j = % il tasso periodale di sconto k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare si calcoli innanzitutto il tasso semestrale di interesse: i 2 = % Ipotizzando di reinvestire il montate così prodotto alle stesse condizioni (interessi semplici allo stesso tasso di interesse), si calcoli il tempo necessario per ottenere un montante finale pari a S = 60 000 euro T = anni Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale: i 2 = % T = anni Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x = { 10 000, 10 500} euro, sullo scadenzario t = {0.5, 1} anni esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = % Si consideri una rendita immediata posticipata r con 2 rate semestrali pari a 10 000; sapendo che il suo tasso interno di rendimento è pari a quello di x, se ne calcoli il prezzo P : P = euro Si calcoli poi, al tempo t = 0.75 anni, il valore residuo V (t, x + r) e il montante M(t, x + r), della somma delle due precedenti operazioni finanziarie. V (t, x) = euro M(t, x) = euro
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per un importo S = 120 000, da restituirsi secondo un piano di ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, al tasso annuo i = 4.5%. Compilare poi il piano di ammortamento sapendo che: le prime due rate sono di preammortamento; le ultime tre quote capitale sono uguali tra loro e ammortizzano metà prestito rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui sono quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti con valore facciale 100 euro, maturity 6 mesi quotato 97.5; un TCN a termine con valore facciale 100 euro, maturity 1 anno il cui prezzo, pattutito all istante 0 e pagabile al tempo 0.5, è pari a 97.75; un TCF con cedola semestrale, scadenza 18 mesi, valore facciale 120 euro, tasso nominale annuo 4.5%, quotato 118. si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla con scadenze: s 1 = 1, s 2 = 2, trimestri e valore facciale: C 1 = 2 500, C 2 = 4 500, (gli importi sono espressi in euro) secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.04 anni 1. V (0, P ) = euro D(0, P ) = anni Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa V (0, P 1 ) = euro D(0, P 1 ) = semestri
Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui siano presenti solo due titoli, il primo con rendimento atteso E 1 = 4% e varianza V 1 = 0.04, il secondo con rendimento atteso E 2 = 3.2% e varianza V 2 = 0.02. Vi è totale assenza di correlazione tra i due titoli. Si supponga di investire in un portafoglio fra i due titoli con una percentuale α del proprio capitale investita nel titolo 1 ed una percentuale 1 α nel titolo 2. Si determini, nell ipotesi che siano permesse vendite allo scoperto, la percentuale α tale per cui risulta minima la varianza del portafoglio così costruito e si determini il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si risponda alla stessa domanda nel caso in cui non siano permesse vendite allo scoperto. α = E = % V = Si determinino infine rendimento atteso e varianza del portafoglio composto da una quota α 0 del primo titolo e una quota 1 α 0 del secondo sapendo che il rapporto tra le due quote è pari al rapporto tra le rispettive varianze. α 0 = E = % V =
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 40 000 euro per 18 mesi che produce un interesse pari a 1 800 euro. Si calcoli: il tasso periodale di interesse j = % il tasso periodale di sconto k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare si calcoli innanzitutto il tasso semestrale di interesse: i 2 = % Ipotizzando di reinvestire il montate così prodotto alle stesse condizioni (interessi semplici allo stesso tasso di interesse), si calcoli il tempo necessario per ottenere un montante finale pari a S = 60 000 euro T = anni Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale: i 2 = % T = anni Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x = { 12 000, 12 500} euro, sullo scadenzario t = {0.5, 1} anni esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = % Si consideri una rendita immediata posticipata r con 2 rate semestrali pari a 12 000; sapendo che il suo tasso interno di rendimento è pari a quello di x, se ne calcoli il prezzo P : P = euro Si calcoli poi, al tempo t = 0.75 anni, il valore residuo V (t, x + r) e il montante M(t, x + r), della somma delle due precedenti operazioni finanziarie. V (t, x) = euro M(t, x) = euro
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per un importo S = 120 000, da restituirsi secondo un piano di ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, al tasso annuo i = 5%. Compilare poi il piano di ammortamento sapendo che: le prime due rate sono di preammortamento; le ultime tre quote capitale sono uguali tra loro e ammortizzano metà prestito rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui sono quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti con valore facciale 100 euro, maturity 6 mesi quotato 98; un TCN a termine con valore facciale 100 euro, maturity 1 anno il cui prezzo, pattutito all istante 0 e pagabile al tempo 0.5, è pari a 97.75; un TCF con cedola semestrale, scadenza 18 mesi, valore facciale 120 euro, tasso nominale annuo 4%, quotato 118. si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla con scadenze: s 1 = 1, s 2 = 2, trimestri e valore facciale: C 1 = 3 500, C 2 = 4 500, (gli importi sono espressi in euro) secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.045 anni 1. V (0, P ) = euro D(0, P ) = anni Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa V (0, P 1 ) = euro D(0, P 1 ) = semestri
Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui siano presenti solo due titoli, il primo con rendimento atteso E 1 = 4% e varianza V 1 = 0.04, il secondo con rendimento atteso E 2 = 3.3% e varianza V 2 = 0.02. Vi è totale assenza di correlazione tra i due titoli. Si supponga di investire in un portafoglio fra i due titoli con una percentuale α del proprio capitale investita nel titolo 1 ed una percentuale 1 α nel titolo 2. Si determini, nell ipotesi che siano permesse vendite allo scoperto, la percentuale α tale per cui risulta minima la varianza del portafoglio così costruito e si determini il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si risponda alla stessa domanda nel caso in cui non siano permesse vendite allo scoperto. α = E = % V = Si determinino infine rendimento atteso e varianza del portafoglio composto da una quota α 0 del primo titolo e una quota 1 α 0 del secondo sapendo che il rapporto tra le due quote è pari al rapporto tra le rispettive varianze. α 0 = E = % V =
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................ Firma............................................... Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Si consideri l investimento di una somma S = 40 000 euro per 18 mesi che produce un interesse pari a 2 000 euro. Si calcoli: il tasso periodale di interesse j = % il tasso periodale di sconto k = % l intensità di interesse γ = anni 1 Ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione lineare si calcoli innanzitutto il tasso semestrale di interesse: i 2 = % Ipotizzando di reinvestire il montate così prodotto alle stesse condizioni (interessi semplici allo stesso tasso di interesse), si calcoli il tempo necessario per ottenere un montante finale pari a S = 60 000 euro T = anni Si calcolino le stesse grandezze ipotizzando una sottostante legge di capitalizzazione esponenziale: i 2 = % T = anni Esercizio 2. Si calcoli il tasso interno di rendimento dell operazione finanziaria x = { 14 000, 14 500} euro, sullo scadenzario t = {0.5, 1} anni esprimendolo in forma percentuale e su base annua: i = % Si consideri una rendita immediata posticipata r con 2 rate semestrali pari a 14 000; sapendo che il suo tasso interno di rendimento è pari a quello di x, se ne calcoli il prezzo P : P = euro Si calcoli poi, al tempo t = 0.75 anni, il valore residuo V (t, x + r) e il montante M(t, x + r), della somma delle due precedenti operazioni finanziarie. V (t, x) = euro M(t, x) = euro
Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per un importo S = 120 000, da restituirsi secondo un piano di ammortamento in 6 rate trimestrali posticipate, al tasso annuo i = 5.5%. Compilare poi il piano di ammortamento sapendo che: le prime due rate sono di preammortamento; le ultime tre quote capitale sono uguali tra loro e ammortizzano metà prestito rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui sono quotati i seguenti titoli: un TCN a pronti con valore facciale 100 euro, maturity 6 mesi quotato 98.5; un TCN a termine con valore facciale 100 euro, maturity 1 anno il cui prezzo, pattutito all istante 0 e pagabile al tempo 0.5, è pari a 97.75; un TCF con cedola semestrale, scadenza 18 mesi, valore facciale 120 euro, tasso nominale annuo 3.5%, quotato 118. si calcoli la struttura per scadenza dei tassi a pronti e a termine esprimendo i valori in base annua ed in forma percentuale: i(0, 0.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla con scadenze: s 1 = 1, s 2 = 2, trimestri e valore facciale: C 1 = 4 500, C 2 = 4 500, (gli importi sono espressi in euro) secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.05 anni 1. V (0, P ) = euro D(0, P ) = anni Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa V (0, P 1 ) = euro D(0, P 1 ) = semestri
Esercizio 6. Si consideri un mercato in cui siano presenti solo due titoli, il primo con rendimento atteso E 1 = 4% e varianza V 1 = 0.04, il secondo con rendimento atteso E 2 = 3.4% e varianza V 2 = 0.02. Vi è totale assenza di correlazione tra i due titoli. Si supponga di investire in un portafoglio fra i due titoli con una percentuale α del proprio capitale investita nel titolo 1 ed una percentuale 1 α nel titolo 2. Si determini, nell ipotesi che siano permesse vendite allo scoperto, la percentuale α tale per cui risulta minima la varianza del portafoglio così costruito e si determini il rendimento atteso E e la varianza V di tale portafoglio. α = E = % V = Si risponda alla stessa domanda nel caso in cui non siano permesse vendite allo scoperto. α = E = % V = Si determinino infine rendimento atteso e varianza del portafoglio composto da una quota α 0 del primo titolo e una quota 1 α 0 del secondo sapendo che il rapporto tra le due quote è pari al rapporto tra le rispettive varianze. α 0 = E = % V =