Asintoti Gli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique. Asintoti verticali Sia 0 punto di accumulazione per dom(f). La retta = 0 è asintoto verticale destro per f se f() = (+ o ) lim + 0 La retta = 0 è asintoto verticale sinistro per f se f() = (+ o ) lim 0 f y 1 y f asintoto Oss.1 Se = 0 è sia asintoto verticale destro che asintoto verticale sinistro, si dice che è asintoto verticale (completo). Oss.2 Gli asintoti verticali vanno cercati agli estremi (finiti) del dominio della funzione, oppure nei punti in cui una funzione definita a tratti cambia definizione. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 1
Asintoti orizzontali e obliqui Sia + punto di accumulazione per dom(f), cioè f sia definita in un intorno di +. La retta y = m +q è un asintoto destro della funzione f se esistono m e q R (ovvero valori reali finiti) tali che lim [f() (m +q)] = 0 Se m = 0 l asintoto è orizzontale, se m 0 l asintoto è obliquo. Per +, la f si comporta come la retta di equazione y = m +q: y y = m +q y = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 2
Asintoti orizzontali e obliqui Sia punto di accumulazione per dom(f), cioè f sia definita in un intorno di. La retta y = m +q è un asintoto sinistro della funzione f se esistono m e q R (ovvero valori reali finiti) tali che lim [f() (m +q)] = 0 Se m = 0 l asintoto è orizzontale, se m 0 l asintoto è obliquo. Se una retta è un asintoto sia destro che sinistro per f, allora si dice che è asintoto completo per f. y y = m +q y = f() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 3
Calcolo di m e q per asintoti orizz. e obl. Consideriamo il caso di ricerca di un asintoto destro e partiamo dalla definizione: lim [f() (m +q)] = 0. Si ha: 0 = lim [f() (m +q)] = lim = lim Quindi f() m lim m = lim lim f(). Dalla definizione di asintoto: lim lim [f() m] = lim q = q f() (m +q) = q = lim f() m. [f() (m +q)] = 0 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 4
Es. f() = 2 +1. f() Cerco asintoto destro: m = lim = lim 2 +1 = 1, q = lim [f() m] = lim 2 +1 = ( 2 +1 )( 2 +1+) 2 +1+ Ho un asintoto obliquo destro y =. lim = lim Cerco asintoto sinistro: f() m = lim = lim 2 +1 q = lim [f() m] = lim 2 +1+ = ( 2 +1+)( 2 +1 ) 2 +1 Ho un asintoto obliquo sinistro y =. lim 2 +1 2 2 +1+ = 0. 1+1/ = lim 2 = lim = 1, 2 +1 2 2 +1 = 0. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 5
OSSERVAZIONE: Se m = e/o q = non si ha asintoto. Es.f() = log(). Qui si può cercare solo asintoto destro perchè domf = (0, + ). log() m = lim = 0 m = 0 q = lim log() = +. Quindi f() = log() non ammette asintoti orizzontali o obliqui. Si ha un asintoto verticale destro: = 0. Destro perchè lim =. 0 +log() c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Asintoti di funzione cap5.pdf 6
Studio di funzione Il nostro obiettivo è rappresentare graficamente una funzione f : domf R R. Con le conoscenze attuali possiamo studiare il dominio ed eventuali simmetrie la classificazione dei punti di discontinuità il comportamento limite agli estremi del dominio (limiti e asintoti) eventuali intersezioni con gli assi cartesiani Cosa manca? Tutta la parte di rappresentazione grafica al finito, ovvero: c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Introduzione allo studio di funzione cap5.pdf 7
Bisogna saper dire per quali valori di domf la funzione è crescente e per quali valori di domf la funzione è decrescente: y=sin() 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 crescente decrescente 2 5 0 5 10 15 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Introduzione allo studio di funzione cap5.pdf 8
Bisogna saper dire per quali valori di domf la funzione è convessa e per quali valori di domf la funzione è concava: 15 10 y=cos()+ 5 0 concava convessa 5 5 0 5 10 15 c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Introduzione allo studio di funzione cap5.pdf 9
Crescenza/decrescenza e convessità/concavità sono informazioni che si estraggono dalle DERIVATE della funzione. Dobbiamo introdurre il concetto di derivata in un punto e di funzione derivata c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Introduzione allo studio di funzione cap5.pdf 10
Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: Cap. 5.1, 5.2, 5.3 Esercizi: Considerare tutte le funzioni proposte nei temi d esame degli anni precedenti e studiarne dominio, continuità, simmetrie, comportamento agli estremi del dominio (limiti agli estremi del dominio). c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 14/15 Introduzione allo studio di funzione cap5.pdf 11