Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE
ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli non rettangoli e loro area Indice Risoluzione dei quadrilateri e loro area oordinate cartesiane e polari piane Passaggio da coordinte polari a cartesiane e da cartesiane a polari zimut zimut e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note rea con le coordinate cartesiane (Gauss) Utilizzo delle coordinate cartesiane per la risoluzione dei poligoni
Ŝ Ŝ S Ŝ Ŝ ngoli Si definisce angolo ciascuna delle due porzioni di piano limitate da due semirette (lati) uscenti da uno stesso punto (vertice). Gli angoli in topografia sono orientati in senso orario. L angolo si ottiene facendo ruotare il segmento Ŝ S fino a farlo coincidere con il segmento S
Ŝ Ŝ S Ŝ è un angolo giro Ŝ Ŝ ngoli S Ŝ è un angolo retto Ŝ Ŝ S Ŝ è un angolo piatto
360 0 270 90 1 1 60 60 P 163 27 48 I sistemi di misura angolare sessagesimale e centesimale 180 400 0 300 100 1 1 100 100 P 181 c,6259 200
Per passare dai gradi sessagesimali ai centesimali è necessario decimalizzare i gradi sessagesimali dividendo i primi per 60 e i secondi per 3600 163 + 27' 60 + 48'' 3600 163,4633 I sistemi di misura angolare Passaggi da un sistema ad un altro successivamente dalla proporzione α 180 α 200 si ottiene α 163,4633 200 180 181,6259
Le funzioni trigonometriche associano 0 c 400 c ad ogni angolo un numero puro. Studieremo di seguito le quattro funzioni seno, coseno, tangente e Le funzioni trigonometriche 300 c Y a O α X a 100 c cotangente. Si consideri una circonferenza di centro O e raggio O, riferita ad un sistema di assi cartesiani con origine 200 c nel centro della circonferenza. l variare della posizione del punto varia l ampiezza dell angolo α
0 c 400 c X a 300 c Y a α 100 c O Le funzioni trigonometriche 100 c seno e coseno Si definisce seno dell angolo α (sen α) il rapporto fra l ascissa l del punto, X a, ed il raggio della circonferenza O 200 c Si definisce coseno dell angolo α (cos α) il rapporto fra l ordinata l del punto, Y a, ed il raggio della circonferenza O sen α Xa O cos α Ya O
0 c 400 c X 300 c Y O α Le funzioni trigonometriche tangente e cotangente Si definisce tangente dell angolo α (tan α) il rapporto fra l ascissa l del punto, X a, e la sua ordinata Y a 200 c Si definisce cotangente dell angolo α (cot α) il rapporto fra l ordinata l del punto, Y a, e la sua ascissa X a tan α Xa Ya cot α Ya Xa
gradi seno coseno tangente cotangente 0 c 0 1 0 + Funzioni trigonometriche Quadro generale 100 c 200 c 1 0 0-1 + 0 0 + 300 c -1 0 + 0 400 c 0 1 0 +
ˆ Ĉ Le funzioni trigonometriche sono utilizzate per risolvere i triangoli rettangoli. Nella risoluzione è necessario conoscere almeno due Le funzioni trigonometriche utilizzate per la risoluzione dei triangoli rettangoli sen elementi. La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di 200 c sen Ĉ cos cos Ĉ tan tan Ĉ
Da uno dei qualsiasi rapporti precedentemente visti, che definiscono le funzioni trigonometriche, si ottiene come risultato un numero puro il cui valore numerico e il segno dipendono dall ampiezza dell angolo e dalla funzione che all angolo risulta associata. Per conoscere l angolo, nota la funzione, è necessario utilizzare la funzione inversa. Sulle Le funzioni inverse calcolatrici le funzioni inverse sono indicate con sen - 1, cos - 1, tan -1 sen ˆ Ĉ - 1 sen ( )
cos risulta cui da cos sen risulta cui da sen - 100 Ĉ 100 Ĉ + 100 ˆ ma 200 Ĉ + ˆ + vertice nel l' angolo e l' ipotenusa noti Sono c c c c Triangoli rettangoli Risoluzione
( ) - 100 Ĉ 100 Ĉ + 100 ˆ ma 200 Ĉ + ˆ + sen cui da sen + l' ipotenusa calcolare possibile è Pitagora di T. il con e cateti due i noti Sono ) ( -1 2 2 Triangoli rettangoli Risoluzione
Triangoli rettangoli Risoluzione γ cos b a risulta cui da b a γ cos γ sen c b risulta cui da b c γ sen γ - 90 α 90 γ + α 90 β ma 180 γ + β + α (γ) vertice nel l' angolo e (c) cateto il noti Sono o o o o a b c β α γ
elementi noti incognite risoluzione due cateti ipotenusa due angoli ( 2 + 2 ) sen - 1 (/) 100 - Triangoli rettangoli Quadro generale ipotenusa cateto cateto due angoli ( 2-2 ) cos - 1 (/) 100 - ipotenusa angolo in angolo in due cateti 100 - x sen ( 2-2 ) cateto angolo in angolo in ipotenusa cateto 100 - / cos ( 2-2 )
Risolvere un poligono significa determinare tutti i suoi elementi i a partire da alcuni già noti. Per elementi si intendono in generale e i lati, gli angoli interni e l area. I procedimenti risolutivi più semplici si basano sulla divisione del poligono in triangoli, Risoluzione poligoni di N lati mediante il tracciamento di diagonali. La risoluzione inizia sempre dal triangolo di cui sono noti almeno tre elementi. Per un u poligono di N lati devono essere noti un numero tale di elementi che si ottengono dalla formula N e ( 2 x N 3 ) Tra questi devono essere noti almeno ( N 2 ) lati
La somma degli angoli interni in un poligono di N lati si ottiene dalla formula: Σα 200 c x ( N 2 ) E Somma degli angoli interni in un poligono di N lati D Σα 200 c x ( 5 2 ) 600 c
Per la risoluzione dei triangoli non rettangoli è necessario che siano noti almeno tre elementi, combinazione di lati e angoli. Per la risoluzione possono essere applicati, a seconda dei casi, due teoremi: Triangoli non rettangoli TEOREM DI RNOT TEOREM DEI SENI La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di 200
Noti due lati del triangolo e l angolo tra essi compreso, questo teorema permette il calcolo del terzo lato incognito Triangoli non rettangoli Teorema di arnot 2 2 ( + 2 OS ˆ)
Il rapporto fra i lati e i seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo Triangoli non rettangoli Teorema dei seni sen Ĉ sen sen ˆ 2 r
Il T. dei seni permette di calcolare un lato quando siano noti il i rispettivo angolo opposto ed una coppia di elementi in relazione tra loro. Se sono noti il lato e gli angoli nei vertici e, è possibile calcolare Triangoli non rettangoli Teorema dei seni sen Ĉ sen ˆ da cui sen sen Ĉ ˆ
nche gli angoli possono essere calcolati. Se sono noti, e l angolo in è possibile ottenere l angolo nel vertice Triangoli non rettangoli Teorema dei seni -1 da cui Ĉ sen ( sen Ĉ sen sen )
Noti due lati del triangolo e l angolo tra essi compreso, l area si ottiene dalla formula Triangoli non rettangoli rea S 1 2 sen
h Triangoli non rettangoli rea Se nella formula: b 1 1 S b 2 h Poniamo: b, dal triangolo rettangolo 1 risulta: h sen da cui h si ottiene la formula finale: sen 1 S 2 sen
Se sono noti i tre lati del triangolo l area si ottiene dalla formula di Erone Triangoli non rettangoli rea con la formula di Erone S [ p x ( p ) x ( p ) x ( p ) ] in cui: p ( + + ) / 2 è il semiperimetro
Se è noto un solo lato e tutti e tre gli angoli interni l area si s ottiene dalla formula Triangoli non rettangoli rea S 1 2 2 sen sen ( ) sen ˆ Ĉ
Sono noti, e l'angolo nel vertice Triangoli non rettangoli Risoluzione 2 2 ( + - 2 cos ) Ĉ sen -1 sen ( ) ˆ 200 c - ( + Ĉ) S 1 2 sen
Triangoli non rettangoli Risoluzione Ĉ sen 2 1 S Ĉ) cos - 2 + ( sen ˆ sen Ĉ) + - (ˆ 200 e in angoli gli e lato il noti Sono 2 2 c
Per la risoluzione dei quadrilateri è necessario conoscere almeno cinque elementi (combinazione di lati, angoli, area). I metodi di risoluzione più utilizzati, sono: divisione del quadrilatero con diagonali in due triangoli Risoluzione dei quadrilateri divisione del quadrilatero in figure semplici (triangoli rettangoli e rettangoli) trasformazione del quadrilatero in un triangolo La sommatoria degli angoli interni (nel sistema centesimale) è di d 400
D ELEMENTI NOTI DISTNZE D NGOLI È questo il caso più semplice perchè esistono due possibilità di risoluzione sia con la diagonale che con quella D. Tracciata la diagonale, si risolve come Metodi per la risoluzione dei quadrilateri segue: Triangolo 1 Divisione in triangoli Dˆ D diagonale con arnot angolo in 1 con i seni Triangolo 2 2 Ĉ 2 angolo 2 per differenza 1 lato D con arnot 1 Ĉ 1 angolo in D con i seni angolo in per differenza a 400 c area totale come somma delle aree parziali di due triangoli
D ELEMENTI NOTI DISTNZE D NGOLI L unica diagonale che permette di risolvere il problema è la diagonale D, perchè nel triangolo 1 sono noti 3 Metodi per la risoluzione dei quadrilateri Divisione in triangoli D Dˆ1 Dˆ2 D elementi, mentre nel triangolo 2 gli elementi noti sono insufficienti Triangolo 1 diagonale D con arnot angolo D 1 con i seni Triangolo 2 angolo D 2 con i seni angolo D somma di D 1 + D 2 angolo per differenza a 400 c 1 D 2 angolo 2 per differenza a 200 c lato D con arnot o seni ˆ ˆ2 area totale come somma delle aree parziali di due triangoli
D DISTNZE ELEMENTI NOTI NGOLI D nche se sono noti cinque elementi è necessario, come prima cosa, calcolare per differenza l angolo nel vertice. Si traccia Metodi per la risoluzione dei quadrilateri Divisione in triangoli D successivamente la diagonale 400 c ( + + D) ( 2 + 2 2 x x x cos ) 1 sen -1 ( x sen / ) D 2 1 D 2 Ĉ 2 D ( / sen D) x sen 2 2 200 c (D + 2 ) Ĉ 1 D ( / sen D) x sen 2 2 1 S 1 0.5 x x x sen ˆ S 2 0.5 x D x D x sen D S 1 + S 2 S t
D DISTNZE NGOLI ELEMENTI NOTI In questo caso è necessario dividere il quadrilatero in più triangoli rettangoli, utilizzando nella risoluzione le funzioni trigonometriche D D triangolo 1 Metodi per la risoluzione dei quadrilateri DE F D x sen E triangolo 2 x sen ˆ F D x cos x cos ˆ Divisione in triangoli rettangoli Ĉ 2 Ĉ 1 100 - ˆ H triangolo 3 F - DE D 3 H Ĉ 1 DH 2 ( D 2 sen - 1 - DH ( D H 2 ) ) 1 2 Ĉ Ĉ 1 + Ĉ 2 E F Dˆ 400 - ( + ˆ + Ĉ ) E + EF (DH) + F area come somma di tre triangoli rettangoli e un rettangolo
DISTNZE NGOLI ELEMENTI NOTI D E Ê Per risolvere questo caso è necessario prolungare i due lati D e trasformando il quadrilatero nel triangolo E di cui sono noti il lato e gli angoli in e Dˆ 400 - ( + ˆ + Ĉ ) Metodi per la risoluzione dei quadrilateri Trasformazione in un triangolo D Dˆ Dˆ 1 Ĉ Ĉ 1 E Ĉ 1 si prolungano Ê 200 200 - Ĉ x sen ˆ sen Ê D e in E - ( + ˆ ) Dˆ 1 200 - Dˆ x sen E sen Ê ˆ DE D x sen sen Ê Ĉ 1 E D x sen sen Ê Dˆ 1 D E - DE S S E DE S 1 2 1 2 D x E x E x sen Ê x DE x E x sen Ê S E - E E - S DE
Il calcolo della superficie del quadrilatero può essere ricondotto to al calcolo della superficie di due triangoli D rea dei quadrilateri Divisione in due triangoli 1 S D S 1 + S 2 S 1 0.5 x D x D x sen D 2 S 2 0.5 x x x sen
Se sono noti tre lati adiacenti e gli angoli fra essi compresi è possibile applicare la formula di camminamento D rea dei quadrilateri Formula del camminamento S D D 0.5 x [ x x sen + x D x sen + x D x sen ( + ) ]
Q.4 Y Q.1 T (- ; +) X P P (+ ; +) Y P oordinate cartesiane piane 0 X R (+ ; -) S (- ; -) Q.3 Q.2
N (0 c ) oordinate polari piane asse polare (O) O O O (polo) Si consideri un punto del piano detto polo o origine,, ed una retta comunque orientata passante per tale punto, asse polare. Rispetto a tale sistema di riferimento, si definiscono coordinate polari del punto, la distanza orizzontale O e l zimut o angolo di direzione orizzontale (O)
Y N (0 c ) asse polare X Passaggio da coordinate polari a cartesiane Y (O) O O O (polo) X Il passaggio diretto da polari a cartesiane è possibile solo se: le origini dei due sistemi coincidono il semiasse positivo delle Y coincide con l asse polare
Y X Y (O) O O O (polo) X Passaggio da coordinate polari a cartesiane sen cos (O) (O) Dal triangolo rettangolo O risulta: X O Y O da cui : da cui : X Y O sen (O) O cos (O) l variare dell azimut tra 0 c e 400 c, le coordinate calcolate assumono il segno relativo ai quattro quadranti.
Y N (0 c ) X Passaggio da coordinate cartesiane a polari Y (O) O O O (polo) nche il passaggio da coordinate cartesiane a polari è possibile. Per la distanza basta applicare il T. di Pitagora mentre per l azimut, la funzione inversa della tangente. X O (X 2 + Y 2 ) (O) tan -1 X ( Y )
L inverso della tangente fornisce direttamente il valore dell azimut solo se l angolo calcolato è inferiore a 100 c. Nel II, III e IV quadrante per ottenere il valore dell azimut (O) si opera nella Y seguente maniera ome si ottiene il valore dell azimut (O) nel II quadrante? O (O) X - α Y Nel II quadrante risulta 200 c X (O) tan -1 X ( Y ) - α + 200 c
Y O (O) X ome si ottiene il valore dell azimut (O) nel III quadrante? + α Y X 200 c (O) Nel III quadrante risulta tan - 1 X ( Y ) + α + 200 c
Y 400 c X Y - α ome si ottiene il valore dell azimut (O) nel IV quadrante? (O) O X Nel IV quadrante risulta (O) tan - 1 X ( Y ) - α + 400 c
e sono due punti di coordinate cartesiane note. Si definisce azimut (), l angolo orizzontale destrorso che il segmento orizzontale forma con il sistema di riferimento posto nel vertice Y Y zimut () e distanza tra due punti di coordinate cartesiane note X () Y X Y O X
L azimut () si ottiene nel momento in cui il sistema di riferimento, origine e asse delle Y, invece di trovarsi nel vertice viene posto nell altro estremo. Il suo calcolo è semplice nel caso in cui sia già noto l azimut (). Infatti: () () ± 200 c Y E l zimut ()? () 200 c () ()
Y Y X ( X X ) Y ( Y Y ) X alcolo della distanza orizzontale tra due punti di coordinate cartesiane note Y O La distanza orizzontale rappresenta l ipotenusa del triangolo rettangolo di cui si conoscono i due cateti e X X X Y Y pplicando il T. di Pitagora si ottiene la distanza tra due punti [ ( X X ) 2 + ( Y Y ) 2 ]
Y Y X ( X X ) Y ( Y Y ) () X alcolo dell zimut () tra due punti di coordinate cartesiane note Y O X pplicando l inverso della tangente all interno del triangolo rettangolo si ottiene per l azimut () () tan -1[ (X (Y - X - Y ) ) [
nche in questo caso la formula precedente fornisce direttamente il valore dell azimut () solo se il punto si trova nel primo quadrante rispetto al sistema posto con origine nel vertice. Per gli altri tre quadranti risulta Y Y on nel II quadrante rispetto al sistema posto in alcolo dell zimut () tra due punti di coordinate cartesiane note () X risulta O (Y Y ) - α X 200 c (X X ) [ (X () tan - X ) [ - 1 c - α + (Y - Y ) 200
Y Y () X +α alcolo dell zimut () tra due punti di coordinate cartesiane note O (X X ) (Y Y ) X 200 c on nel III quadrante rispetto al sistema posto in risulta [ (X () tan - X ) [ - 1 c + α + 200 (Y - Y )
Y Y (X X ) -α (Y Y ) () X alcolo dell zimut () tra due punti di coordinate cartesiane note O X 200 c on nel IV quadrante rispetto al sistema posto [ (X () tan in risulta - X ) [ - 1 c - α + (Y - Y ) 400
Se sono note le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono l area si può calcolare applicando la formula di Gauss alcolo dell area di poligoni di cui sono note le coordinate cartesiane dei vertici (formula di Gauss) S 1 2 L area assume un segno diverso (+/-)( ) se il poligono considerato è percorso in senso orario o antiorario [ Y ] ( X -X ) +Y ( X -X ) +Y ( X -X ) D S D 1 2 [ Y ( X -X ) +Y ( X -X ) +Y ( X -X ) +Y ( X -X ) ] D D D
Le coordinate cartesiane possono essere utilizzate per risolvere i poligoni. I lati si ottengono con la distanza tra due punti, gli angoli per differenza di azimut e l area con la formula di Gauss Utilizzo delle cordinate cartesiane per la risoluzione dei poligoni [(X - X ) 2 + (Y Y ) 2 ] ˆ ( ) - ( ) () () Ĉ ( ) - ( ) ( ) - ( )