Anno 4 Superficie e volume dei solidi

Anno 4 Superficie e volume dei solidi

Introduzione In questa lezione parleremo del volume e della superficie dei solidi, imparando a trattare con semplicità il loro calcolo tramite le formule Al termine della lezione sarai in grado di applicare le formule per il calcolo della superficie e del volume di: un prisma retto un parallelepipedo rettangolo una piramide retta un tronco di piramide retta una sfera In questa lezione parleremo del volume e della superficie dei solidi, imparando a trattare con semplicità il loro calcolo tramite le formule Al termine della lezione sarai pertanto in grado di applicare le formule per il calcolo della superficie e del volume di: un prisma retto; un parallelepipedo rettangolo; una piramide retta; un tronco di piramide retta; una sfera

Superficie e volume di un prisma retto Prolema Un prisma retto ha per ase un romo avente le diagonali di lunghezza 6 e Sapendo che l altezza del prisma è uguale al lato del romo di ase, calcola l area della superficie laterale e il volume del solido Esempio di calcolo della superficie e del volume di un prisma retto: 6 Lato di ase e altezza: 0 Perimetro di ase: p 4 0 40 Superficie laterale: S l p h 40 0 400 6 Area di ase: A 96 Volume: V A h 96 0 960 Consideriamo il seguente prolema Un prisma retto ha per ase un romo avente le diagonali di lunghezza 6 e Sapendo che l altezza del prisma è uguale al lato del romo di ase, calcoliamo l area della superficie laterale e il volume del solido Per calcolare il lato del romo (che è uguale all altezza del prisma) si applica il teorema di Pitagora ad uno dei quattro triangoli rettangoli in cui il romo viene diviso dalle diagonali: 6 8 l h 0 Questo coincide con l altezza del prisma e vale 0 Poiché il romo ha 4 lati uguali, il perimetro del romo misura 40 Siamo in grado di trovare la superficie laterale: moltiplicando il perimetro per l altezza aiamo il valore 400 Per calcolare il volume ci serve l area di ase Questa è data dal semiprodotto delle diagonali e vale 96 Possiamo quindi calcolare il volume del prisma moltiplicando l area di ase per l altezza

Superficie e volume di un parallelepipedo rettangolo Prolema Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di ase che misurano a=6 e =8 e la diagonale d che misura 6 Calcolare la superficie totale e il volume Esempio di calcolo della superficie e del volume di un parallelepipedo rettangolo: Formula della diagonale: d a c Formula inversa: c d a Terzo spigolo: c 676 6 64 4 S t a ac Superficie totale: 48 44 9 768 Volume: V ac 5 c Il prossimo prolema riguarda i parallelepipedi rettangoli Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di ase che misurano a=6 e =8 e la diagonale d che misura 6 Calcoliamo la superficie totale e il volume Dalla formula per il calcolo della diagonale ricaviamo la formula inversa che ci permette di determinare la lunghezza del terzo spigolo c: d a c d c c d a c d a Sostituiamo i valori e otteniamo che c vale 4 Siamo in grado, usando le opportune formule, di trovare sia la superficie totale che il volume del solido 4

Superficie e volume di una piramide retta Prolema Una piramide regolare a ase quadrangolare ha il perimetro di ase di 40 e un altezza di 9 Calcolare la superficie totale e il volume Esempio di calcolo della superficie e del volume di una piramide retta: Poiché la ase è quadrangolare e la piramide è regolare, il poligono di ase è un quadrato di lato 0 Area di ase: A 0 0 00 Volume: V A h 00 9 00 Apotema : a 8 5 06 Superficie laterale: S l p a 0 06 Superficie totale: S S A 00 0 06 0 5 t l 06 Risolviamo un nuovo prolema Una piramide regolare ha una ase quadrangolare il cui perimetro misura 40 Calcoliamo la superficie totale e il volume della piramide sapendo che la sua altezza è 9 Andiamo a risolvere il prolema proposto Poiché la ase è quadrangolare e la piramide è regolare, il poligono di ase è un quadrato di lato 0 L area di ase, quindi, misura 00 Da qui si può suito calcolare il volume della piramide: V A h 009 00 Per il calcolo dell apotema possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo i cui cateti sono l altezza e metà del lato di ase e la cui ipotenusa è proprio l apotema: a 8 5 06 Ottenuto l apotema si possono calcolare la superficie laterale e, di seguito, quella totale del solido: S p a 0 06 S l t S l A 0 06 00 5

Superficie e volume di un tronco di piramide retta Prolema Una piramide retta a ase quadrata avente altezza 4 e apotema pari ai / dell altezza viene tagliata con un piano parallelo alla ase e distante da quest ultima Calcolare la superficie totale e il volume del tronco di piramide ottenuto Esempio di calcolo della superficie e del volume di un tronco di piramide retta: Apotema piramide: a p 4 6 Lato di ase maggiore: 6 4 0 Area ase maggiore: A 0 400 Perimetro ase maggiore: p 4 0 80 Apotema tronco di piramide: : 4 a : 6 a Lato di ase minore: : 4 l': 0 l' 0 Area ase minore: A ' 0 00 Perimetro ase minore: p' 4 0 40 Superficie laterale: A l p p' a 40 0 780 Superficie totale: A t 780 80 40 900 Volume: V ha A ' A A ' 400 00 40000 800 Il seguente prolema riguarda invece una piramide retta a ase quadrata avente altezza 4 e apotema pari ai / dell altezza viene tagliata con un piano parallelo alla ase e distante da quest ultima Calcoliamo la superficie totale e il volume del tronco di piramide ottenuto Innanzitutto calcoliamo il valore dell apotema della piramide a P 4 6 Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente come vertici il vertice della piramide, il punto medio di un lato di ase e il centro del quadrato di ase si può trovare la metà del lato di ase; quindi l 6 4 0 È quindi immediato calcolare area e perimetro della ase maggiore Con una semplice proporzione tra le altezze e gli apotemi della piramide e del tronco di piramide si trova il valore dell apotema del tronco, che misura Con una proporzione analoga si individua anche la misura del lato della ase minore Possiamo così determinare perimetro e area anche della ase minore A questo punto possiamo utilizzare la formula per il calcolo della superficie laterale del tronco di piramide che ci permetterà anche di calcolare la superficie totale del solido: Al ( p p' ) a (40 0) 780 At Al A A' 900 Infine, determiniamo il volume del tronco: V ha A' A A' 800 6

Superficie e volume di una sfera Prolema Una sfera è inscritta in un cuo di volume 744 Calcolarne la superficie e il volume Esempio di calcolo della superficie e del volume di una sfera: Lato del cuo: l 744 4 Raggio della sfera: r l 7 Superficie della sfera: A 4r 4 49 96 Volume della sfera: 4 7 V 4 r 4 Consideriamo ora questo prolema sulla sfera Una sfera è inscritta in un cuo di volume 744 Determiniamo la sua superficie e il suo volume Dato il volume del cuo determiniamo il suo lato calcolando la radice cuica del volume: l 744 4 Si comprende che il lato del cuo è doppio rispetto al raggio della sfera che, quindi, risulta avere misura pari a 7 Per calcolare il volume e la superficie sferica asterà applicare le relative formule: 4 7 V r A 4r 96 7

Superficie e volume di un solido composto Prolema Un solido è composto da un prisma retto che ha per ase un triangolo equilatero di lato l=0 e una piramide regolare che ha per ase una delle due asi del prisma Il prisma ha altezza h=8 e la piramide ha altezza h =6 Calcolare volume e superficie totale del solido Esempio di calcolo della superficie e del volume di un solido composto: Area del triangolo equilatero: Volume del prisma: A Volume della piramide: l V 5 Apotema della piramide: 4 pr A h 5 8 00 A h 5 6 pi 50 V l a h' 6 Volume totale: Superficie laterale prisma: A lpr p h 0 8 40 Superficie laterale piramide: A lpi p a 5 5 99 Superficie totale: A A A A 40 5 99 5 t lpr lpi 5 6 V V pr V pi 50 In quest ultimo esempio affrontiamo un prolema in cui il solido è un solido composto Un solido è composto da un prisma retto che ha per ase un triangolo equilatero di lato l=0 e una piramide regolare che ha per ase una delle due asi del prisma Il prisma ha altezza h=8 e la piramide ha altezza h =6 Calcolare volume e superficie totale del solido Per risolvere il prolema andiamo dapprima a calcolare l area di ase ricordando che l altezza di un triangolo equilatero, in funzione del lato, è h t l ; quindi l area del triangolo equilatero è A l 5 Poi, ricordando che il centro della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero ne divide l altezza in due parti una doppia dell altra, possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo che ha per cateti l altezza della piramide e un terzo dell altezza del triangolo equilatero; l ipotenusa corrispondente sarà l apotema della piramide: 5 a h' ht 6 È ora facile calcolare sia il volume del prisma che quello della piramide: Vpr A h 00 Vpi A h' 50 La loro somma restituisce il volume complessivo del solido Analogamente, osservando che il perimetro del triangolo equilatero misura 0, si possono ricavare le superfici laterali dei due solidi in esame La somma delle superfici laterali più una ase del prisma costituiscono la superficie totale del solido 8

Conclusione Prisma retto Parallelepipedo rettangolo Sfera Superfici e Volumi Piramide Tronco di piramide Ricapitoliamo quanto visto in questa lezione su superfici e volumi Aiamo affrontato esempi applicativi riguardanti il calcolo di superficie e volume di un prisma retto, di un parallelepipedo rettangolo, di una piramide, di un tronco di piramide e di una sfera Infine aiamo considerato un solido composto da due solidi semplici e ne aiamo calcolato superficie e volume 9