FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè A, B R. Es6. Funzione costante: f x = k; Es7. Funzione identità: f x = x; Es8. Funzione polinomiale di primo grado: f x = mx + q; Es9. Funzione polinomiale di secondo grado: f x = ax + bx + c; Es10. Funzione polinomiale: f x = a x + a x + + a x + a ; Es11. Funzione razionale: f x =. Ci limiteremo, per ora, ad analizzare solo queste tipologie di funzioni reali. Ma qual è il problema principale da affrontare nello studio di una funzione? È quello di tracciare nel piano cartesiano il grafico relativo alla funzione considerata. DEF.4 Si chiama GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE f: A B il sottoinsieme del piano cartesiano R R formato da quei punti P x, y tali che y = f x con x A, G = x, y R R: x A y = f x Nell Es6. il grafico è una retta parallela all asse x; nell Es7. il grafico è la bisettrice del primo e terzo quadrante; nell Es8. il grafico è una retta; nell Es9. il grafico è una parabola. L obiettivo del nostro lavoro è quello di determinare caso per caso il grafico delle funzioni del tipo descritto negli esempi 10 e 11. Per raggiungere il nostro obiettivo dovremo di volta in volta determinare: 6
1. Il campo di esistenza; 2. Le intersezioni con gli assi; 3. Il segno della funzione; 4. Gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui; 5. I massimi e i minimi; 6. I flessi. 7
IL CAMPO DI ESISTENZA DEF.5 Si chiama CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE il più grande insieme di valori della x per i quali l espressione f x ha senso, ovvero è il più grande dominio che la legge f può avere. Ad esempio le funzioni polinomiali hanno come campo di esistenza tutto l insieme dei numeri reali. Infatti le operazioni coinvolte in una funzione polinomiale sono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a potenza con esponente intero e positivo: tutte operazioni sempre eseguibili nell insieme dei numeri reali. Invece se consideriamo le funzioni razionali fratte (tipo quelle rappresentate nell esempio ES11.) allora il campo di esistenza non coinciderà sempre con l insieme dei numeri reali. Infatti in questi casi la funzione comprende un operazione non sempre eseguibile: la divisione. È noto che non ha senso dividere per zero: la divisione 3:0 è impossibile mentre la divisione 0:0 è indeterminata. Pertanto nel caso delle funzioni razionali fratte per determinare il campo di esistenza basterà togliere, dall insieme di tutti i numeri reali, gli zeri del polinomio che si trova al denominatore della frazione. Praticamente nel caso di funzione razionale fratta, procediamo nel seguente modo: 1. Risolviamo l equazione associata al denominatore; 2. Se l equazione è impossibile allora il campo di esistenza coincide con tutto l insieme dei numeri reali; 3. Se l equazione ammette alcune soluzioni allora il campo di esistenza è l insieme dei numeri reali privato di quegli elementi che sono soluzioni dell equazione. 8
ES12. Determina il campo di esistenza della funzione razionale fratta y = 3x + 2x 5 2x + x 1 Basta risolvere l equazione di secondo grado associata al denominatore, cioè Applicando la nota formula risolutiva 2x + x 1 = 0. in questo caso otteniamo : x, = ± ", x, = 1 ± 1 4 2 1 2 2 da cui segue che gli zeri del denominatore sono: = 1 ± 1 + 8 4 x = = 1 e x = =. = 1 ± 3 4 Dunque in conclusione il campo di esistenza è l insieme dei numeri reali privato dei due numeri appena trovati, in simboli: C. E. = R 1, = x R: x 1 x. 9
STUDIO DI FUNZIONI LE INTERSEZIONI CON GLI ASSI Nella costruzione del grafico di una funzione rivestono particolare interesse i punti in cui tale grafico interseca gli assi cartesiani. L asse delle ascisse (asse x) ha equazione 𝑦 = 0, mentre l asse delle ordinate (asse y) ha equazione 𝑥 = 0. Per determinare gli eventuali punti d intersezione del grafico con gli assi cartesiani è sufficiente risolvere i corrispondenti sistemi di equazione: INTERSEZIONE CON ASSE DELLE x: 𝑦=0 𝑦=0 𝑦=𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = 0 Ne segue che le soluzioni dell equazione 𝑓 𝑥 = 0 forniranno le ascisse degli eventuali punti d intersezione con l asse x. Parliamo di eventuali intersezioni perché non sempre l equazione considerata ammette soluzioni in ℝ. Ad ogni sua soluzione corrisponderà un punto di intersezione con l asse delle ascisse e se l equazione è impossibile allora il grafico della funzione non intersecherà l asse delle ascisse. INTERSEZIONE CON ASSE DELLE y: Il punto di coordinate 0, 𝑓 0 𝑥=0 𝑥=0 𝑦=𝑓 𝑥 𝑦 = 𝑓 0 esiste solo nel caso in cui 0 𝐶. 𝐸. ed in tal caso l intersezione sarà unica. ES13. Consideriamo la funzione 𝑦 =. Essa interseca l asse x nei punti 𝐴 𝑥, 0 e 𝐵 𝑥, 0 dove 𝑥, = ovvero 𝑥 = 2 ± " 2 4 3 5 2 ± 4 + 60 2 ± 8 = = 2 3 6 6 = e 𝑥 = = 1. Quindi il grafico interseca l asse delle ascisse nei punti 𝐴, 0 e 𝐵 1, 0. Rimane da trovare l intersezione con l asse y: STUDIO DI FUNZIONI 10
x = 0 y = f x x = 0 y = f 0 x = 0 y = quindi il punto d intersezione con l asse y è C 0, 5. x = 0 y = x = 0 y = 5 11