1 La riflessione della luce La riflessione della luce La luce che passa attraverso un piccolo foro praticato in uno schermo opaco forma un sottile fascio luminoso detto raggio di luce. Quando un raggio di luce incontra la superficie di un corpo opaco possono aversi due comportamenti: 1. diffusione, per esempio nel caso di un pezzo di legno o di un foglio di carta; 2. riflessione,per esempio nel caso di uno specchio. Nel primo caso il raggio luminoso che incontra la superficie scabra viene riflesso in tutte le direzioni generando raggi di luce non paralleli. È a causa di questo fenomeno che gli angoli di una stanza, oppure le zone in ombra non direttamente illuminate, non si trovano mai nella completa oscurità. Nel secondo caso, detto anche riflessione coerente, il raggio luminoso che incontra una superficie lucida e levigata (raggio incidente) viene riflesso in una unica direzione (raggio riflesso); questa direzione è definita da due leggi: 1. Prima legge della riflessione: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie riflettente tracciata dal punto di incidenza, stanno sullo stesso piano. (Ricordiamo che la normale allo specchio in un suo punto è la semiretta uscente da quel punto e perpendicolare allo specchio). 2. Seconda legge della riflessione: l angolo di incidenza î è uguale all angolo di riflessione rˆ, dove l angolo di incidenza î è l angolo tra il raggio incidente e la normale, quello riflesso rˆ è tra la normale e il raggio riflesso. Reversibilità del cammino ottico Nella figura il raggio luminoso proviene da P, incide in I sulla superficie riflettente e viene riflesso in Q. Se ora facciamo provenire il raggio luminoso da Q verso I, esso viene riflesso in P nel rispetto delle leggi della riflessione. Osserviamo quindi che il percorso del raggio incidente e quello del raggio riflesso possono essere scambiati tra loro. In generale vale il principio di reversibilità del cammino ottico: La luce si propaga lungo lo stesso cammino qualunque sia il verso in cui lo percorre. Riflessione della luce da uno specchio piano Lo specchio piano è una superficie piana riflettente, costituita generalmente da una superficie metallica lucida o da vetro metallizzato. Sia S una sorgente luminosa puntiforme posta davanti a uno specchio piano. Un osservatore vede la luce riflessa provenire da un punto S, simmetrico della sorgente S rispetto allo specchio. La spiegazione di questo fatto sta nell analisi della figura. Tra i raggi luminosi emessi dalla sorgente S e riflessi dallo specchio, quello che uno raggiunge il punto O 1 e quello che raggiunge il punto O 2 si incontrano nel punto S posto dietro lo specchio, dal quale sembra che provenga la luce. La posizione di S si ottiene dall intersezione dei prolungamenti dei raggi riflessi A 1 O 1 e A 2 O 2 e si può dimostrare che è simmetrica di S rispetto allo specchio. Poiché in
2 S non si incontrano realmente i raggi luminosi, ma solo i loro prolungamenti, si dice che S è una immagine virtuale. L immagine di un oggetto esteso, riflessa da uno specchio piano, ha le stesse dimensioni dell oggetto ed è simmetrica rispetto al piano dello specchio. Per questo motivo una parola scritta, nello specchio si vede invertita. Per esempio sul cofano delle ambulanze c è scritto, in modo che sia leggibile nello specchietto retrovisore dell automobile davanti.. Esempio 1 calcolo dell altezza di uno specchio piano necessaria perché una persona si veda interamente Una persona alta 1,80 m osserva la propria immagine stando in piedi davanti a uno specchio piano. Vogliamo determinare la dimensione minima dello specchio verticale in modo che quella persona veda interamente la propria immagine. Vogliamo renderci conto, inoltre, se tale dimensione dello specchio dipende dalla sua distanza dall osservatore. Scriviamo i dati del problema Altezza della persona h o = 1,80 m Incognite Altezza minima dello specchio per vedere interamente la persona. Quesito: la dimensione dello specchio dipende dalla sua distanza dall osservatore? Analisi e soluzione Approssimiamo l analisi del problema ponendo gli occhi alla sommità della persona. Disegniamo la situazione utilizzando uno specchio alto quanto l osservatore. Questi si vedrà riflesso interamente. L immagine si formerà dietro lo specchio a una distanza pari a quella tra lo specchio e l osservatore. Quindi A' H AH, B' K BK. Per vedere interamente l immagine della persona, lo specchio deve rifletterla dalla testa ai piedi. Il raggio luminoso proveniente dai piedi B si riflette in P in modo che gli occhi in A vedano l immagine dei piedi in B. È quindi sufficiente la parte di specchio tra H e P perché la persona AB veda la propria immagine A B. Per determinare la dimensione di HP osserviamo che i due triangoli AHP e AA 'B' sono simili, perché hanno l angolo in  in comune e sono rettangoli rispettivamente in H ˆ e in A ˆ ' ; poiché la distanza AH è la metà di AA ', HP è la metà di A ' B'. Deduciamo quindi che una persona, per poter vedere interamente la propria immagine, deve utilizzare uno specchio alto almeno la metà della propria altezza. Inoltre, poiché la distanza AH dell osservatore dallo specchio è sempre la metà di AA ' (qualunque essa sia), la dimensione dello specchio è indipendente da tale distanza. Campo di visibilità di uno specchio piano L osservatore O della figura può vedere il punto P riflesso dallo specchio se viene raggiunto dal raggio riflesso IR, corrispondente al raggio incidente PI. Il punto O simmetrico di O rispetto al piano dello specchio si trova sul prolungamento della retta PI. Se la retta PO incontra lo specchio, il raggio riflesso arriva in O; se PO non incontra lo specchio, P non può essere visto da O. La parte di spazio che l osservatore può vedere per riflessione da uno specchio piano è delimitata dalle semirette uscenti da O e passanti per i bordi dello specchio; tale zona è detta campo di visibilità dello specchio piano. L angolo cieco dello specchietto retrovisore delle automobili corrisponde alla regione posta fuori del campo di visibilità. Si ovvia a questo inconveniente equipaggiando il veicolo con più specchi retrovisori o con uno specchietto ricurvo.
3 Specchi sferici Uno specchio sferico è formato da una calotta sferica riflettente, cioè una porzione di sfera. Se la superficie riflettente è all interno della calotta lo specchio è concavo, se è all esterno lo specchio è convesso. Analizziamo ora la definizione dei principali termini utilizzati nello studio delle immagini prodotte da uno specchio sferico. 1. Il centro di curvatura C è il centro della superficie sferica riflettente. 2. Il raggio di curvatura r dello specchio è il raggio della sfera. 3. Il vertice V dello specchio è il centro della calotta sferica. 4. L asse ottico principale è la retta che passa per il centro C e il vertice V. 5. La normale in un punto dello specchio è la retta perpendicolare alla superficie in quel punto, quindi coincide con il raggio della superficie sferica condotto per quel punto nel caso dello specchio concavo, con il suo prolungamento per lo specchio convesso. Studiamo ora la costruzione delle immagini prodotte da uno specchio sferico. Applicando le leggi della riflessione si dimostra che i raggi luminosi paralleli all asse ottico principale che incidono su uno specchio concavo vengono riflessi in un unico punto F dello stesso asse ottico, detto fuoco dello specchio. In uno specchio convesso i prolungamenti dei raggi riflessi provenienti da raggi paralleli all asse ottico principale convergono anch essi in un unico punto detto fuoco, posto sull asse ottico e dietro lo specchio. Sia per lo specchio concavo che per quello convesso la distanza f tra il fuoco e il vertice si chiama distanza focale ed è pari alla metà del raggio. Uno specchio concavo riflette i raggi di luce paralleli all asse ottico principale in modo da farli convergere nel proprio fuoco. Per questo motivo viene chiamato specchio convergente. Il fuoco dello specchio concavo è reale, i raggi sono effettivamente riflessi in esso, e possono essere visualizzati per mezzo di uno schermo. Uno specchio convesso riflette i raggi di luce paralleli all asse ottico principale in modo da disperderli. Per questo motivo viene chiamato specchio divergente. Il fuoco dello specchio convesso è virtuale, perché non sono i raggi che convergono in esso, ma i loro prolungamenti, cosicché uno schermo posto nel fuoco non rivelerà alcuna immagine. Per il principio di reversibilità del cammino ottico, se poniamo una sorgente luminosa nel fuoco di uno specchio concavo, i raggi riflessi risulteranno paralleli all asse ottico principale. Costruzione delle immagini di oggetti estesi prodotte dagli specchi sferici Vogliamo ora costruire l immagine di un oggetto esteso, per esempio una candela accesa, prodotta da uno specchio sferico concavo. Poniamo la candela perpendicolarmente all asse ottico principale dello specchio; per disegnare l immagine di un punto A della candela tracciamo due raggi uscenti da A, scelti tra le seguenti possibilità: il raggio luminoso parallelo all asse ottico principale, che viene riflesso nel fuoco dello specchio; il raggio passante per il centro di curvatura dello specchio, che viene riflesso su se stesso, in quanto risulta perpendicolare alla superficie riflettente; perciò l angolo di incidenza e quello di riflessione sono nulli
4 il raggio passante per il fuoco dello specchio, che viene riflesso parallelamente all asse ottico principale. L intersezione dei due raggi riflessi scelti tra i tre forma l immagine A. La tipologia, le dimensioni e la posizione dell immagine di un oggetto esteso, riflessa da uno specchio concavo, dipendono dalla distanza dell oggetto dallo specchio. 1 caso: l oggetto è posto ad una distanza dal vertice maggiore del raggio di curvatura dello specchio. L oggetto AB è formato da infiniti punti luminosi; l immagine di ciascuno di essi si costruisce con il metodo che abbiamo descritto sopra. L unione di tutti i punti immagine forma l immagine A B della sorgente AB. In questo caso l immagine A B è reale, capovolta e rimpicciolita e posta tra il fuoco e il centro dello specchio. 2 caso: l oggetto AB è posto tra il fuoco e il centro dello specchio; otteniamo un immagine A B reale, capovolta e ingrandita.. 3 caso: l oggetto AB è posto tra il fuoco e il vertice dello specchio; l immagine A B risulta virtuale, diritta e ingrandita; per poter osservare l immagine dobbiamo guardare dentro lo specchio, ove si vede l oggetto luminoso diritto e ingrandito. L immagine prodotta da uno specchio sferico convesso è sempre diritta, rimpicciolita e virtuale, per questo motivo per vederla bisogna guardare dentro lo specchio. Formula dei punti coniugati per uno specchio sferico Consideriamo uno specchio sferico, concavo o convesso. Indicata con f la distanza focale dello specchio, con p la distanza della sorgente luminosa dal vertice, con q la distanza dell immagine dal vertice, si può dimostrare che le tre distanze sono legate tra loro dalla seguente relazione, detta 1 1 1 formula dei punti coniugati:. p q f Per lo specchio concavo la distanza focale f è positiva, mentre è negativa per lo specchio convesso. La distanza p della sorgente è sempre positiva, sia per lo specchio concavo che per quello convesso. La distanza q dell immagine dal vertice dello specchio sferico è positiva se l immagine è reale, negativa se l immagine è virtuale, quindi per lo specchio concavo può essere positiva o negativa a seconda dei casi, mentre per lo specchio convesso è sempre negativa. Ingrandimento lineare di uno specchio sferico Definiamo ingrandimento lineare di uno specchio sferico il rapporto G tra l altezza h i hi dell immagine e l altezza h o dell oggetto riflesso: G. ho Consideriamo positive le dimensioni sia dell oggetto che dell immagine se rivolte verso l alto a partire dall asse ottico, negative quelle rivolte verso il basso. Tenendo conto di questa convenzione, q si può dimostrare che tale rapporto vale: G ; esso è un numero puro perché è il rapporto tra p due grandezze omogenee, è positivo per le immagini diritte e negativo per le immagini capovolte.
5 Osserviamo che lo specchio convesso produce sempre immagini virtuali e diritte, mentre le immagini dello specchio concavo possono essere virtuali e diritte o reali e capovolte. Infine, se il valore assoluto di G è minore di 1 l immagine è rimpicciolita, altrimenti è ingrandita. Esempio 2 costruzione dell immagine prodotta da uno specchio concavo Consideriamo una sorgente luminosa a forma di freccia alta 1,0 cm, posta perpendicolarmente all asse ottico principale di uno specchio concavo a 4,0 cm dal vertice dello specchio, il cui raggio di curvatura vale 6,0 cm. Vogliamo determinare la posizione dell immagine della freccia luminosa sia con il metodo grafico che applicando la formula dei punti coniugati. Vogliamo determinare inoltre l ingrandimento lineare e l altezza dell immagine. Scriviamo i dati del problema Altezza della freccia luminosa h o = 1,0 cm Distanza della freccia dal vertice dello specchio p = 4,0 cm Raggio di curvatura dello specchio r = 6,0 cm Incognite Distanza q dell immagine dal vertice dello specchio Ingrandimento lineare G Altezza dell immagine h i Analisi e soluzione La distanza focale f dello specchio concavo è pari alla metà del raggio di curvatura: f = 3,0 cm. Costruiamo dapprima l immagine della freccia riflessa dallo specchio concavo. Dopo aver disegnato l asse ottico, tracciamo con il compasso con apertura di 6,0 cm l arco di cerchio che rappresenta lo specchio. Alla distanza di 3,0 cm dal vertice segniamo il fuoco F. Alla distanza di 4,0 cm dal vertice disegniamo la freccia AB rivolta verso l alto, alta 1,0 cm. Per costruire l immagine A B tracciamo dal punto A un raggio parallelo all asse ottico fino a incidere sullo specchio; il raggio riflesso passerà per il fuoco. Un altro raggio, passante per il centro di curvatura, viene riflesso nella stessa direzione. A, punto di incontro dei raggi riflessi, è l immagine del punto A. Tracciando da A il segmento perpendicolare all asse ottico fino ad incontrarlo nel punto B, si ottiene l immagine A B della freccia luminosa AB. Osserviamo che A B è un immagine reale, ingrandita e capovolta. La misura della distanza del punto B dal vertice V è di 12,0 cm per cui risulta q = 12,0 cm. Ricaviamo ora la distanza q dell immagine dal vertice per mezzo della 1 1 1 legge dei punti coniugati: ; otteniamo: q f p 1 q 1 3,0cm 1 4,0cm 4,0 cm - 3,0 cm 3,0cm 4,0 cm 1,0 cm. 3,0 cm 4,0 cm Dal reciproco della frazione abbiamo: q = 12,0 cm. L ingrandimento lineare G è dato dalla formula: q 12,0cm G 3, il cui valore è negativo perché l immagine è capovolta. Dal valore p 4,0 cm dell ingrandimento calcoliamo la misura dell altezza dell immagine: h G h 3,0 cm. i o
Gli specchi nel quotidiano Gli specchi sono conosciuti sin dall antichità, costituiti da metalli come oro, bronzo o argento ben lucidati. La leggenda racconta che Archimede abbia inventato gli specchi ustori per difendere Siracusa dai Romani che assediavano la città. Egli realizzò giganteschi specchi concavi posizionando in modo adeguato un gran numero di specchi piani (forse gli scudi di bronzo, ben lucidati, dei soldati) facendo così convergere i raggi solari in un unico punto posto sulle navi romane, incendiandole. Tuttora gli specchi concavi sono usati per convergere i raggi solari in un unico punto ove può essere raccolta l energia proveniente dal Sole per riscaldare il vapore in una centrale solare, oppure per fondere un metallo o per riscaldare l acqua per uso domestico. Uno specchio concavo può essere utilizzato per osservare il proprio viso ingrandito: occorre porsi a una distanza dal vertice minore della distanza focale; l immagine vista dentro lo specchio è virtuale, diritta e ingrandita. In un telescopio riflettore un grande specchio concavo riflette i raggi luminosi provenienti dallo spazio nel fuoco dello specchio, ove è posta la telecamera che invia le immagini in un laboratorio scientifico. Uno specchio convesso è utilizzato agli incroci delle strade per poter riflettere zone molto ampie. Si usano gli specchi piani per dare senso di profondità o di ampiezza agli ambienti piccoli, come per esempio gli ascensori. Due specchi piani posti parallelamente uno di fronte all altro, danno luogo a riflessioni multiple producendo un effetto spettacolare. Lo specchio piano è utilizzato in alcuni strumenti ottici come la lavagna luminosa oppure la macchina fotografica reflex. Uno specchio piano è stato posto sulla Luna dagli astronauti americani: esso riflette un raggio laser inviato dalla Terra; gli scienziati, dalla misura del tempo impiegato dal raggio per raggiungere la Luna e ritornare sulla Terra, e conoscendo la velocità della luce, possono calcolare esattamente la distanza Terra-Luna nelle varie posizioni della Luna rispetto alla Terra. 6
7 Verifiche di comprensione 1. Che cosa si intende per raggio di luce? 2. In quali modi la superficie di un corpo opaco può riflettere un raggio di luce? 3. Spiega il fenomeno della diffusione. 4. Quali sono le leggi della riflessione di un raggio luminoso da una superficie lucida e levigata? 5. Che cosa afferma il principio di reversibilità del cammino ottico? 6. Come risulta l immagine S rispetto al punto luminoso S ottenuta per riflessione da uno specchio piano? 7. Che cosa significa immagine virtuale? 8. Da che cosa è delimitata la zona detta campo di visibilità di uno specchio piano? 9. Da che cosa è formato uno specchio sferico? 10. Quando uno specchio sferico è concavo? 11. Quando uno specchio sferico è convesso? 12. Che cos è il centro di curvatura C di uno specchio sferico? 13. Che cos è il vertice V di uno specchio sferico? 14. Che cosa si intende per asse ottico principale di uno specchio sferico? 15. Che cos è la normale in un punto di uno specchio sferico e con quale grandezza caratteristica dello specchio coincide? 16. Come si ottiene il fuoco di uno specchio sferico? 17. Perché il fuoco di uno specchio convesso è virtuale? 18. Che cos è la distanza focale di uno specchio sferico e in che relazione è con il raggio dello specchio? 19. Perché lo specchio concavo è detto anche convergente, mentre quello convesso divergente? 20. Come sono i raggi riflessi da uno specchio concavo provenienti da una sorgente posta nel fuoco dello specchio? 21. Quali raggi luminosi vengono utilizzati per costruire l immagine di un oggetto luminoso? 22. Dove si forma e quali caratteristiche presenta l immagine di un oggetto posto a una distanza dal vertice di uno specchio concavo maggiore del raggio? 23. Dove si forma e quali caratteristiche presenta l immagine di un oggetto posto tra il fuoco e il centro di curvatura di uno specchio concavo? 24. Dove si forma e quali caratteristiche presenta l immagine di un oggetto posto tra il fuoco e il vertice di uno specchio concavo? 25. Quali caratteristiche presenta l immagine prodotta da uno specchio convesso e dove la si può solamente osservare? 26. Scrivi la formula dei punti coniugati per uno specchio sferico. 27. Che cosa si intende per ingrandimento lineare G di uno specchio sferico e come lo si calcola? Verifiche di conoscenza 1. La riflessione di un raggio luminoso è coerente se la superficie riflettente è: a. lucida b. scabra, ma lucida c. irregolare, ma lucida d. levigata e. lucida e levigata 2. La normale a una superficie riflettente: a. può essere all esterno dell angolo tra il raggio incidente e quello riflesso b. può essere più vicina a uno dei due raggi c. è la bisettrice dell angolo formato dai due raggi incidente e riflesso 3. L immagine fornita da uno specchio piano è: a. sempre virtuale b. sempre reale c. reale quando lo specchio viene usato per proiettare la luce, virtuale quando ci si specchia d. reale quando lo specchio ha dimensioni maggiori dell oggetto riflesso, altrimenti virtuale 4. L immagine prodotta da uno specchio piano: a. si trova sulla superficie dello specchio b. è simmetrica dell oggetto rispetto allo specchio c. si trova a una distanza dallo specchio doppia di quella dell oggetto dallo specchio
5. Se si ruota uno specchio piano di un angolo α, l angolo tra il raggio incidente e quello riflesso: a. aumenta di un angolo pari ad α b. aumenta di un angolo pari a 2 α c. aumenta di un angolo pari a 3 α d. non varia 6. Una persona posta a 1,0 m da uno specchio piano si avvicina ad esso di 0,3 m; alla fine dista dalla sua immagine: a. 1,3 m b. 0,7 m c. 1,4 m d. 0,6 m 7. Il fuoco di uno specchio concavo è il punto in cui a. convergono i raggi riflessi dei raggi che passano per il centro dello specchio b. convergono i raggi riflessi dei raggi incidenti paralleli all asse ottico principale c. convergono i raggi riflessi di tutti i raggi incidenti paralleli tra loro d. si formano le immagini riflesse dallo specchio 8. Se un punto luminoso si trova nel fuoco di uno specchio concavo, i raggi riflessi: a. sono paralleli all asse ottico principale per il principio di reversibilità del cammino ottico b. passano per il centro di curvatura dello specchio c. passano ancora per lo stesso fuoco per il principio di reversibilità del cammino ottico 9. Non è possibile porre una sorgente luminosa nel fuoco di uno specchio convesso perché: a. lo specchio convesso in genere si trova agli incroci delle strade, per cui è pericoloso mettersi nel suo fuoco b. il fuoco dello specchio convesso è virtuale c. il fuoco dello specchio convesso si trova a distanza infinita dal vertice 10. Un oggetto esteso è posto a una distanza dal vertice di uno specchio concavo maggiore del raggio di curvatura dello specchio. L immagine che si ottiene è: 11. Un oggetto esteso è posto a una distanza dal vertice di uno specchio concavo uguale al raggio di curvatura dello specchio. L immagine che si ottiene è: 12. Un oggetto esteso è posto tra il fuoco e il centro di uno specchio concavo. L immagine che si ottiene è: 13. Un oggetto esteso è posto tra il fuoco e il vertice di uno specchio concavo. L immagine che si ottiene è: 8
14. Un oggetto esteso è posto a una distanza dal vertice di uno specchio convesso maggiore del raggio di curvatura dello specchio. L immagine che si ottiene è: 15. Nella formula dei punti coniugati per uno specchio sferico a. le grandezze p, q, f sono sempre positive b. le grandezze p, q, f possono essere sia positive che negative c. le grandezze q, f sono positive se si riferiscono a grandezze reali, sono negative se le grandezze sono virtuali Problemi 1. Una persona alta 1,80 m, mentre osserva i propri piedi riflessi da uno specchio piano alto quanto la persona e posto davanti ad essa, vede una mosca sulla specchio. A quale distanza si trova la mosca dalla sommità dello specchio? 2. Qual è la distanza focale di uno specchio concavo con raggio di curvatura di 40,0 cm? 3. Qual è il raggio di curvatura di uno specchio concavo avente distanza focale di 15,0 cm? 4. Un oggetto è posto a 60 cm dal vertice di uno specchio concavo con distanza focale di 20 cm. A che distanza dal vertice si forma l immagine? Quanto vale l ingrandimento? Se l altezza dell oggetto è di 8,0 cm, quanto è alta l immagine? 5. Un oggetto è posto alla distanza di 40,0 cm dal vertice di uno specchio concavo; la sua immagine è reale e si forma a 10,0 cm dal vertice. Calcola il raggio di curvatura dello specchio. 6. Il fuoco di uno specchio concavo è a 25,0 cm dal vertice; un oggetto alto 5,0 cm viene posto a 5,0 cm dallo specchio. Dove si forma l immagine? Quale tipologia la caratterizza? Quanto valgono l ingrandimento G e l altezza dell immagine? 7. Un oggetto è posto a 0,87 m dal vertice di uno specchio concavo di raggio di curvatura pari a 1,0 m. Determina dove si formerà l immagine e di che tipo sarà caratterizzata. 8. Uno specchio concavo di raggio 24,0 cm genera un immagine reale, ingrandita e capovolta di un oggetto posta a 32,0 cm da esso. Determina la distanza focale dello specchio e la posizione dell oggetto. 9. Un oggetto lungo 2,0 cm è posto a 8,0 cm dal vertice di uno specchio concavo di raggio 20,0 cm. Determina le proprietà dell immagine, dove si trova e le sue dimensioni. Calcola inoltre l ingrandimento. 10. La distanza focale di uno specchio concavo vale 16,0 cm e l immagine ottenuta è virtuale, posta a 20,0 cm dallo specchio. Determina la posizione dell oggetto osservato. 11. Uno specchio convesso con distanza focale di 25,0 cm riflette un oggetto alto 3,0 cm posto a 60 cm da esso. Calcola la posizione dell immagine e la sua altezza. 9