Scomposizione in fattori

Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA 1 Introduzione Scomposizione in fattori La scomposizione in fattori dei polinomi assume un importanza speciale quando si deve risolvere un equazione o una disequazione. Le equazioni di primo e secondo grado sono di trattazione relativamente facile, in quanto è sufficiente limitarsi all applicazione delle formule risolutive per ottenere le soluzioni. Ma per equazioni come x 3 6x 2 + 11x 6 = 0 bisogna servirsi di formule complicate per la risoluzione, che solitamente non vengono insegnate. Tuttavia, sapendo che il polinomio al primo membro si può riscrivere come (x 1)(x 2 5x + 6), il problema si semplifica notevolmente: per trovare le soluzioni dell equazione, dunque, basta (come sempre) trovare i valori di x che annullano l espressione. Per la regola dell annullamento, si tratta di trovare i valori di x che annullano il primo fattore x 1, più quelli che annullano il secondo fattore x 2 5x + 6. Si tratta dunque di trovare le soluzioni dei singoli fattori, i quali sono di primo e secondo grado e pertanto si possono risolvere con i metodi visti in precedenza. Nell esempio, si trovano facilmente le soluzioni x 1 = 1, x 2 = 2 e x 3 = 3. Dunque, la scomposizione in fattori ci consente di ridurre il problema in più problemi ma di più semplice risoluzione. Nella trattazione che segue si darà per scontata una certa pratica col calcolo letterale, e nella seconda parte anche la capacità di apprendere velocemente tramite esempi. 2 Prodotti notevoli Ci sono alcuni casi in cui delle espressioni polinomiali sono di immediata scomposizione, in quanto di forma particolarmente nota. Si tratta dei prodotti notevoli. Di seguito ne verranno elencati di diversi. Siano dunque a e b due espressioni qualsiasi (monomiali o anche polinomiali). Si hanno le seguenti scomposizioni immediate. Differenza di quadrati: a 2 b 2 = (a + b)(a b). Ad esempio, possiamo scomporre l espressione x 2 9 come (x + 3)(x 3). Si badi che anche il binomio x 2 2 si può vedere come differenza di quadrati: basta che si veda 2 come il quadrato di... 2! Dunque si può scrivere x 2 2 = (x + 2)(x 2). Anche un espressione come (x + 7) 2 9 si può immaginare come differenza di quadrati, e scomporre come (x + 7 + 3)(x + 7 3) = (x + 10)(x + 4). 1

Allo stesso modo, anche una differenza di quarte potenze, o di seste, o in generale di potenze pari si può considerare come differenza di quadrati: x 8 y 6 = (x 4 + y 3 )(x 4 y 3 ). Quadrato di un binomio: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2. Per riconoscere che un trinomio in realtà è il quadrato di un binomio occorre una certa pratica. Ad esempio, potrebbe non saltare subito all occhio che x 2 + 10x + 25 è il quadrato di x + 5, mentre è ancora più difficile vedere che x 2 3x + 9 ( 4 = x 2) 3 2. Differenza di cubi: a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). Come esempio, si consideri o anche 8p 3 q 3 = (2p q)(4p 2 + 2pq + q 2 ), 125x 3 27y 6 = (5x 3y 2 )(25x 2 + 15xy 2 + 9y 4 ). Somma di cubi: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ). Come esempio, si consideri o anche 8p 3 + q 3 = (2p + q)(4p 2 2pq + q 2 ), 125x 3 + 27y 6 = (5x + 3y 2 )(25x 2 15xy 2 + 9y 4 ). Sia la somma che la differenza di cubi si possono generalizzare alla somma ed alla differenza di potenze dispari: per ora basti sapere che la somma e la differenza di potenze dispari sono divisibili rispettivamente per a + b e a b (vedere in seguito la parte relativa alla divisione polinomiale). Cubo di un binomio: a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3. Similmente al quadrato di un binomio, anche in questo caso occorre una certa pratica per riconoscere l espressione. La cosa è ancora più difficile dato che di cubi di trinomi se ne incontrano relativamente pochi. Trinomio con somma e prodotto: x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b). Anche in questo caso è necessario avere una certa pratica per riconoscere questo tipo di prodotti notevoli. Ad esempio: x 2 + 20x + 36 = (x + 2)(x + 18). Ancora più sottile è il caso in cui a è positivo e b è negativo (o viceversa). Ad esempio: x 2 x 20 = (x 5)(x + 4). Polinomio di secondo grado: ax 2 + bx + x = a(x x 1 )(x x 2 ). Il metodo precedente si applica solo nel caso in cui il coefficiente di x 2 è 1: nel caso generale è possibile procedere individuando le radici x 1 e x 2 del polinomio di secondo grado, e scomporlo come a(x x 1 )(x x 2 ). Ad esempio, il polinomio 8x 2 + 2x 3 ha come radici 3/4 e 1/2, e pertanto si può scrivere ( 8x 2 + 2x 3 = 8 x + 3 4 )( x 1 2 ). 2

3 Raccoglimento a fattor comune Uno dei metodi più semplici per la scomposizione di polinomi, ma che richiede una certa pratica, consiste nel raccoglimento parziale a fattor comune. Si tratta di un metodo utile nel caso di un numero pari di termini del polinomio, o nel caso di un trinomio, ma con una variante. Si prenda ad esempio il polinomio x 3 3x 2 + 2x 6, con quattro termini. Si considerino a gruppi i primi due termini e gli ultimi due: x 3 3x } {{ } 2 +2x } {{ 6 } Ora si considerino i fattori comuni dei due gruppi, e li si raccolga: x 2 (x 3) + 2(x 3). A questo punto si può notare che il fattore x 3 è in comune, e pertanto può essere raccolto a sua volta, completando la scomposizione: x 2 (x 3) + 2(x 3) = (x 3)(x 2 + 2). Uno dei problemi che si possono incontrare con questo tipo di scomposizione è quando non è chiaro se, al primo passaggio, conviene raccogliere il fattore comune con il segno positivo o negativo. Ad esempio, nel polinomio 6x 3 4x 2 9x + 6, si raccoglie 2x 2 nel primo gruppo di due termini, ma poi non conviene raccogliere 3 al secondo gruppo: 6x 3 4x 2 9x + 6 = 2x 2 (3x 2) + 3( 3x + 2), quanto invece è conveniente raccogliere 3, ottenendo la scomposizione 6x 3 4x 2 9x + 6 = 2x 2 (3x 2) 3(3x 2) = (3x 2)(2x 2 3). Il trucco, in questo caso, consiste (oltre alla prova empirica) nell osservare che il coefficiente del primo termine (6) è di segno opposto al coefficiente del terzo termine ( 9), e quindi al secondo gruppo conviene cambiare di segno. Come già accennato, questo procedimento si può generalizzare al caso di polinomi con un numero pari di termini: 4x 5 6x } {{ } 4 2x3 + 3x } {{ } 2 +6x } {{ 9 } = =3x 4 (2x 3) x 2 (2x 3) + 3(2x 3) = =(2x 3)(3x 4 x 2 + 3). Il raccoglimento a fattor comune si può applicare anche in generale, quando il numero di fattori è dispari, previa qualche operazione preliminare. Tuttavia, la cosa è abbastanza semplice giusto quando si ha a che fare con un trinomio. Si consideri ad esempio 4x 2 + 11x + 7. Si può notare come il coefficiente di x, 11, è pari alla somma di 4 e 7, e dunque possiamo scrivere 4x 2 + 11x + 7 = 4x 2 + 4x + 7x + 7. 3

Ora è facile raccogliere a fattor comune ed arrivare alla scomposizione (4x+7)(x+1). Tuttavia, la cosa in generale è più difficile. Si consideri la seguente scomposizione: x 2 + 5x + 6 = x 2 + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2), o ancora di più la seguente: x 2 x 12 = x 2 4x + 3x 12 = x(x 4) + 3(x 4) = (x 4)(x + 3). Si può notare che non è semplice accorgersi che può convenire scrivere 5x come 3x+2x, o x come 4x + 3x. Come sempre, bisogna fare pratica per assimilare al meglio queste tecniche. 4 Regola di Ruffini La scomposizione tramite la regola di Ruffini è un metodo per la scomposizione di quei polinomi particolari che non rientrano nelle categorie precedenti. Si tratta di un metodo che non sempre va a buon fine e che procede per tentativi, ma è uno dei metodi più semplici per la scomposizione di polinomi. Si consideri ad esempio il polinomio x 3 + 5x 2 + 2x 8. Ora si riportano i coefficienti del polinomio su una griglia di questo tipo, avendo cura di isolare il termine noto: A questo punto si sceglie un valore adeguato da scrivere nella griglia sulla sinistra, e si trascrive in basso il primo coefficiente. 3 1 Ora si moltiplica il valore sulla sinistra per l ultimo valore riportato in basso (che nel nostro caso è 1), e si scrive il risultato nella seconda colonna, sommando poi i due numeri in basso: 3 3 1 2 Si ripete ora il procedimento, moltiplicando 3 per l ultimo numero scritto in basso, cioè 2, si riporta nella terza colonna e poi si somma. Infine si fa lo stesso sino all ultima colonna isolata a destra, ottenendo lo schema finale 3 3 6 12 1 2 4 4 4

I valori 1, 2 e 4 diventano rispettivamente i coefficienti di x 2, di x ed il termine noto, ottenendo x 2 + 2x 4: tale polinomio sarà il fattore che moltiplicherà x + 3, cioè x meno il valore scelto 3. Invece 4 è il resto della scomposizione. In definitiva, x 3 + 5x 2 + 2x 8 = (x + 3)(x 2 + 2x 4) + 4. Non si tratta di una buona trasformazione, perché il resto +4 è d intralcio. L ideale sarebbe di trovare 0 come resto, nel qual caso avremmo solo il prodotto di due polinomio. Ad esempio, provando il valore 2 si ottiene lo schema 2 2 6 8 1 3 4 0 Dunque x 3 +5x 2 +2x 8 = (x+2)(x 2 +3x 4). Ora il problema sta nell individuare un valore adeguato per operare la scomposizione con la regola di Ruffini. Scegliere a caso è un assurdità, ma è possibile restringere l insieme di scelta ai soli divisori del termine noto. Nell esempio il termine noto era 8, ed i divisori sono 1, 2, 4, 8 ed i corrispettivi negativi 1, 2, 4 e 8. Questo è un metodo valido ma sotto particolari condizioni: la prima è che il coefficiente del termine di grado più elevato (detto termine di testa) sia 1; l altra è che tutti i coefficienti siano interi. Era dunque evidente che il valore 3 non sarebbe andato bene. Ci sono dei casi in cui al polinomio può mancare uno dei termini, nel qual caso è opportuno riempire la relativa colonna nella griglia con uno 0. Si consideri ad esempio il polinomio x 3 + x 2 2: 1 1 0 2 1 1 2 2 1 2 2 0 x 3 + x 2 2 = (x 1)(x 2 + 2x + 2). Nel caso in cui il coefficiente del termine di testa sia diverso da 1 la faccenda si complica, in quanto i divisori del termine noto potrebbero non andare bene. In questo caso si deve provare con dei valori frazionari, il cui numeratore va scelto ancora tra i divisori del termine noto, ed il denominatore tra i divisori del coefficiente del termine di testa. Ad esempio, il polinomio 2x 3 + x 2 + x + 6 può essere scomposto usando il valore 3/2: 2 1 1 6 3 2 3 3 6 2 2 4 0 ( 2x 3 + x 2 + x + 6 = x + 3 ) (2x 2 2x + 4). 2 Risulta evidente però che il procedimento si allunga. Se qualcuno dei coefficienti dell equazione è frazionario, è bene portare tutto sotto una stessa frazione ed isolare il denominatore, prima di procedere alla scomposizione: x 3 1 4 x2 1 4 x + 3 8 = 8x3 2x 2 2x + 3 8 = 1 8 (8x3 2x 2 2x + 3). A questo punto si può procedere alla scomposizione di 8x 3 2x 2 2x + 3 tramite il procedimento già visto: 5

8 2 2 3 3 4 6 6 3 8 8 4 0 x 3 1 4 x2 1 4 x + 3 8 = 1 8 ( x + 3 ) (8x 2 8x + 4). 4 5 Divisione polinomiale Oltre a potersi sommare, sottrarre e moltiplicare, i polinomi si possono anche dividere tra loro, tramite un procedimento che per certi versi non è diverso da quello della divisione tra due numeri insegnato alle scuole elementari. Supponiamo dunque di voler dividere il polinomio 2x 4 5x 3 2x 2 + x + 3 per x 3. Scriviamo dunque i due polinomi in una griglia di questo tipo: 2x 4 5x 3 2x 2 x +3 x 3 Ora si considerano i termini di testa del polinomio dividendo e del polinomio divisore, cioè nel nostro caso rispettivamente 2x 4 e x, e si divide l uno per l altro ottenendo 2x 3 : tale valore si scrive come quoziente parziale sotto il divisore: 2x 3 A questo punto si moltiplica 2x 3 cambiando di segno: per il divisore e lo si scrive sotto il dividendo, 2x 4 +6x 3 2x 3 Si esegue la somma a parte e si riporta sotto il risultato, e poi si abbassa il termine successivo del dividendo, cioè 3x 2 (ma si possono abbassare anche più termini, anche tutti, come viene meglio): 2x 4 +6x 3 2x 3 = x 3 2x 2 A questo punto si ripete il procedimento con il resto parziale ottenuto: si divide il termine di testa x 3 per x, e si scrive il risultato nel quoziente parziale, dopodiché lo si moltiplica per il divisore x 3 e lo si scrive sotto il resto parziale dopo aver cambiato di segno: 2x 4 +6x 3 2x 3 + x 2 = x 3 2x 2 x 3 4x 2 Si continua il procedimento fino a che anche il termine noto è stato abbassato: 6

2x 4 +6x 3 2x 3 + x 2 + x + 4 = x 3 2x 2 x 3 3x 2 = x 2 +x x 2 +3x = 4x +3 4x +12 = 15 Dunque si ha il quoziente 2x 3 + x 2 + x + 4 ed il resto 15, e si può quindi scrivere 2x 4 5x 3 2x 2 + x + 3 = (x 3)(2x 3 + x 2 + x + 4) + 15. Come nel caso della scomposizione tramite la regola di Ruffini, anche in questo caso è opportuno riempire i buchi dei termini nei polinomi con degli zeri: x 5 +0 +3x 3 x 2 +0 3 x 2 + 3 x 5 +0 3x 3 x 3 +...... 7