Aunti di FSCA TECNCA Caitolo 8 - ntroduzione all acustica Nozioni reliminari di acustica... ntroduzione al suono... Velocità (di roagazione) del suono... 3 Esemio numerico... 4 Proagazione nei liquidi e nei solidi (cenni)... 4 Frequenza del suono... 6 Camo dell udibile... 7 equazione delle onde... 7 e onde iane... medenza acustica (secifica e caratteristica)... Esemio numerico... 3 ntensità acustica e densità di energia acustica... 3 e onde sferiche... 5 a descrizione del suono... 8 ntroduzione... 8 livelli sonori... 9 Sovraosizione di iù suoni... Esemio numerico... 3 Cenni sullo settro sonoro... 4 Bande di frequenza... 6 Scale di esatura: scala A... 9 Esemio numerico... 3 a sorgente sonora... 3 ntroduzione... 3 a misura della otenza acustica... 3 Misura del livello di otenza in camo riverberante... 35 a direttività... 37 ndice di direttività... 38 Esemio numerico... 4 a voce... 4
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Nozioni reliminari di acustica NTRODUZONE A SUONO acustica è la scienza del suono, inteso sia come fenomeno fisico (che, rodotto da vibrazioni meccaniche, si roaga er onde in un mezzo elastico) sia come sensazione sicologica che queste onde roducono sull uomo. l suono è una erturbazione (rodotta da una sorgente sonora) che, roagandosi in un mezzo elastico, rovoca una variazione di ressione ed uno sostamento di articelle, tale da oter essere rilevata da una ersona o da uno strumento acustico. Da questa semlice definizione scaturisce che il fenomeno acustico, dal unto di vista tecnico, revede la resenza contemoranea della sorgente sonora, del mezzo di trasmissione e del ricevitore. l fenomeno ondulatorio, connesso con il suono, fa sì che le varie articelle del mezzo in cui esso si trasmette vibrino, roagando così la erturbazione alle articelle vicine. Mentre questa erturbazione, che trasorta sia l informazione sia l energia, si roaga a distanza, le singole articelle, anche nel caso di fluidi (cioè gas e liquidi), rimangono semre in rossimità della loro osizione originale. Si hanno cioè delle vibrazioni locali (comressione e rarefazione) di articelle: nel caso di gas o liquidi, che non ossono trasmettere sforzi di taglio, tali vibrazioni sono semre arallele alla direzione dell onda che si roaga, er cui si arla di onde longitudinali; al contrario, nel caso dei solidi, che ossono trasmettere sforzi di taglio, ci sono anche vibrazioni erendicolari alla direzione dell onda, cui corrisondono erciò delle onde trasversali. e caratteristiche di sostamento delle articelle intorno alle osizioni di equilibrio diendono dalle caratteristiche della sorgente che ha rodotto la erturbazione. Nella figura seguente è indicato uno schema semlificato della roagazione di onde sonore longitudinali:
ntroduzione all ACUSTCA Noi ci occueremo essenzialmente della roagazione del suono nei gas e, in articolare, nell aria, er cui limiteremo la nostra analisi alle onde longitudinali. VEOCTÀ (D PROPAGAZONE) DE SUONO e onde sonore si roagano con velocità caratteristica del mezzo di trasmissione: mentre la frequenza delle vibrazioni locali diende dalla sorgente, la velocità di roagazione diende esclusivamente dal mezzo di trasmissione. Nel caso dei gas erfetti (quale uò essere considerata anche l aria nelle condizioni standard di temeratura, 5 C, e ressione, atm), la velocità di roagazione del suono, che indicheremo con c, uò essere esressa mediante la seguente relazione: c k ρ m s dove k c c (il cosiddetto indice della adiabatica) è il raorto tra il calore secifico a ressione P V costante ed il calore secifico a volume costante, [ ] Pa è la ressione del gas e [ ] ρ kg/ m 3 la massa er unità di volume (densità nel Sistema nternazionale e eso secifico nel Sistema Tecnico) del gas stesso. N.B. Come avremo modo di dire anche in seguito, il fatto di considerare trasformazioni adiabatiche (cioè senza scambi di calore) deriva dal fatto che la velocità di roagazione del suono nel mezzo è talmente elevata, risetto alla velocità con cui avvengono i rocessi di scambio termico, da oter ritenere tali rocessi nulli. E ossibile anche fare qualche assaggio in iù sull esressione della velocità del suono: avendo a che fare con un gas erfetto, ossiamo utilizzare l equazione di stato dei gas ideali: V M nr T M R T m V m 3 è il volume del gas considerato, n [ ] quantità di gas, T [ K ] la temeratura assoluta (cioè misurata in K), R 834 [ ] costante universale dei gas, M [ Kg ] la massa, M m [ kg/ kmol ] la massa molare. dove, con riferimento al gas considerato, [ ] kmol la J/ kmol K la Tenendo conto che la massa er unità di volume è ρ M / V (densità nel Sistema nternazionale o eso secifico nel Sistema Tecnico), ossiamo usare l equazione di stato er scrivere che M V M m ρ V R T V T M R m Sostituendo questa esressione in quella della velocità di roagazione del suono, otteniamo evidentemente che c kt R M m 3 m s
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 n base a quest altra relazione (nota come legge di alace), ossiamo dire che la velocità di roagazione del suono è indiendente dalla ressione del gas, mentre è direttamente roorzionale alla radice quadrata della temeratura assoluta. M m 9 kg / kmol, Nel caso articolare dell aria, saendo che k.4 e che la massa molare è [ ] quella relazione orta a c. 4 T [ m / s ]. Se, infine, ci riferiamo alla temeratura esressa in C, che indichiamo con ϑ, ossiamo usare, con buona arossimazione, la relazione c 33. +. 6ϑ Questa relazione mostra, in ratica, che la velocità del suono aumenta di.6 metri/sec er ogni aumento di C della temeratura. a seguente tabella mostra, in base a quest ultima relazione, come varia la velocità del suono nell aria al variare della temeratura: Temeratura ( C) Velocità del suono (m/s) - 35 33 337 343 3 349 4 355 Esemio numerico Calcoliamo la velocità del suono, in aria, alla temeratura di C. Saiamo che l aria è un mezzo elastico che, in condizioni standard di temeratura e di ressione, assume comortamento da gas erfetto: ciò comorta che la formula er il calcolo della velocità del suono nell aria sia c krt, dove k è l indice dell adiabatica, che vale.4 er l aria, dove R è la costante del gas considerato, che er l aria vale 87 J, e dove T è la temeratura esressa in gradi Kelvin. Nel KgK nostro caso, abbiamo dunque che T93K, er cui le velocità del suono nell aria a questa temeratura è c. 4 87 93 343( m / s) 4
ntroduzione all ACUSTCA Proagazione nei liquidi e nei solidi (cenni) Se, adesso, consideriamo un liquido anziché un gas erfetto, si trova che la velocità di roagazione del suono uò essere calcolata mediante la seguente equazione: c Kρ m s dove K [ Pa - ] è il coiciente di comrimibilità del liquido in condizioni adiabatiche e [ ] ρ kg / m 3 la massa er unità di volume. n base a quella relazione, la velocità con cui il suono si roaga in un liquido cresce al diminuire della densità. a seguente tabella indica i valori della velocità del suono, semre in funzione della temeratura, nell acqua distillata: Temeratura ( C) Velocità del suono (m/s) 47 449 484 3 5 Confrontando questi valori con quelli nell aria, si osserva che, a arità di temeratura, il suono si roaga molto iù velocemente nell acqua distillata che non nell aria. nfine, consideriamo la roagazione del suono nei solidi. ntanto, abbiamo detto che, nei solidi, ossiamo avere sia onde longitudinali, er le quali lo sostamento delle articelle avviene nella stessa direzione di roagazione dell onda, sia onde trasversali, er le quali lo sostamento avviene invece nella direzione ortogonale a quella di roagazione. Cominciamo allora dalle onde longitudinali, er le quali la velocità del suono, che indichiamo con c l (la l sta rorio er longitudinali), è diversa a seconda della forma: er un solido a forma di barra, si ha che c er un solido a forma di iastra indefinita, si ha invece che c l E ρ m s l E ρ( ν ) m s dove E [Pa] è il modulo di Young, ν è il coiciente di Poisson e ρ la densità del materiale di cui il solido è costituito. Per quanto riguarda, infine, le onde trasversali nei solidi, la loro velocità è stimabile mediante la seguente relazione: E m c t ρ( + ν) s Nella maggior arte dei casi, la velocità del suono nei solidi è sueriore a quella nell aria, come indicato nella tabella seguente (riferita alle sole onde longitudinali): 5
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Materiale Densità (kg/m 3 ) Velocità del suono (m/s) Acciaio 78 5 Alluminio 7 58 Gomma 5 35 3 egno (conifere) 4 7 33 Piombo 3 6 Rame 89 45 Stagno 78 49 Vetro 3 5 4 5 Zinco 7 375 FREQUENZA DE SUONO Nel fenomeno sonoro, oltre alla velocità di roagazione (che misura la raidità con cui il segnale si sosta da un unto all altro del mezzo di trasmissione) occorre considerare altre rorietà caratteristiche delle onde, come la frequenza, il eriodo e la lunghezza d onda. a frequenza, legata alla raidità con cui le articelle oscillano in ogni singolo unto, è il numero di oscillazioni nell unità di temo: si misura in cicli er secondo, ossia in Hertz [Hz]. Nel caso di individui adulti normal-udenti, il camo di frequenza erceibile si estende arossimativamente tra Hz e 6Hz. a figura seguente mostra le bande di frequenze di alcuni suoni e rumori: inverso della frequenza rende il nome di eriodo (misurata in secondi): si tratta del temo necessario affinché le articelle comiano una oscillazione comleta. nfine, rende il nome di lunghezza d onda (indicata con λ e misurata in m) la distanza ercorsa dall onda durante una oscillazione comleta (o anche il cammino ercorso dall onda mentre, localmente, avviene una oscillazione comleta). e tre rorietà aena citate sono legate dalle seguenti relazioni: c λ f ct 6
ntroduzione all ACUSTCA Camo dell udibile Considerando la roagazione del suono nell aria in condizioni normali, è imortante definire il cosiddetto camo dell udibile, ossia il camo di lunghezze d onda (o, ciò che è lo stesso, di frequenze) che l orecchio umano uò erceire: si trova che la lunghezza d onda varia all incirca tra λ7m (corrisondente alla frequenza minima di Hz) e λmm (corrisondente alla frequenza massima di 6kHz), con conseguenze molto imortanti ogniqualvolta risulta comarabile con le dimensioni degli ambienti edificati o degli oggetti resenti. Facciamo anche osservare che rorio il camo di frequenze udibili dall uomo consente di dare un definizione recisa di erturbazione acustica: una erturbazione ondulatoria è di tio acustico quando è in grado di sensibilizzare l orecchio umano, il che significa che la frequenza della erturbazione deve essere comresa nell intervallo Hz, 6Hz. [ ] EQUAZONE DEE ONDE Abbiamo detto che, durante la roagazione del fenomeno acustico in un gas, le articelle del mezzo vibrano intorno alla loro osizione di equilibrio. Tali vibrazioni non avvengono in tutti i unti con la stessa fase (tanto che, in alcuni unti, le articelle vibrano in oosizione di fase), con la conseguenza che in alcune zone le articelle tenderanno ad addensarsi e in altre a rarefarsi. Nel mezzo di roagazione si avranno dunque variazioni di densità e di ressione, entrambe funzioni del temo e dello sazio. Possiamo allora scrivere la ressione P nell aria nella forma P( x, y, z, t) + ( x, y, z, t) dove è il valore della ressione nelle condizioni iniziali indisturbate, mentre (x,y,z,t) raresenta la cosiddetta ressione sonora, ossia la variazione di ressione dovuta aunto al fenomeno acustico. n generale, risulta << ed è erciò ossibile trascurare i termini di ordine sueriore al rimo, così come si fa anche er la densità e er la velocità. N.B. e variazioni della ressione ambiente dovuta alla resenza di un suono sono generalmente talmente iccole che nemmeno i barometri iù sofisticati sono in grado di misurarle. E imortante osservare che le variazioni della ressione sonora (vale a dire della differenza tra la ressione istantanea e quella atmosferica) rodotte nel gas dall onda sonora, avvengono in generale così raidamente da non ermettere scambi di calore tra volumi adiacenti. Ecco erché, dal unto di vista termodinamico, le trasformazioni subite dal gas er etto del fenomeno sonoro si ossono considerare adiabatiche. Vogliamo allora andare a ricavare l equazione delle onde, la cui integrazione ermette di determinare il camo acustico in ogni regione dello sazio. Tale equazione uò essere ricavata alicando, al generico volumetto di controllo, la legge di Newton, l equazione di stato dei gas erfetti e la legge di conservazione della massa. Faremo inoltre riferimento, er semlicità, al caso monodimensionale, cioè al caso in cui le grandezze fisiche coinvolte (tiicamente ressione e velocità), risultano funzione, oltre che del temo, solo di una coordinata saziale e non di tutte e tre (caso tri-dimensionale). 7
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Consideriamo dunque un volumetto di gas all interno di un mezzo elastico (non otrebbe essere altrimenti er avere la roagazione), isotroo, omogeneo, non viscoso, soggetto a un onda acustica che si roaga lungo l asse x, racchiuso in un contenitore cubico, dalle areti flessibili senza eso, avente come normali gli assi cartesiani: z y + x dx dz dy dx x l rimo obbiettivo è ottenere l equazione del moto. Usando uno sviluo in serie di Taylor (arrestato al secondo termine), ossiamo scrivere che la risultante delle forze di ressioni agenti sul volumetto è F x x y z x x y z x V F + V x (il segno - è giustificato dal fatto che un gradiente di ressione ositivo roduce una risultante diretta verso le x decrescenti). Alicando adesso la legge di Newton F M dv, l equazione di rima diventa dt M V dv dt x Ricordando inoltre che ρm/v, si ottiene la cosiddetta equazione del moto: ρ dv dt x Passiamo adesso all equazione dei gas. n rimo luogo, teniamo conto del fatto che è adiabatica la trasformazione che avviene nel mezzo gassoso a causa del roagarsi delle onde sonore: considerando il gas come un gas erfetto, l equazione dell adiabatica è PV k cos t, dove V è il volume istantaneo (misurato in m 3 ) occuato dalla massa contenuta nel volume V e dove l indice k della trasformazione vale notoriamente.4 er gas come aria, idrogeno, ossigeno, azoto e quanti altri hanno molecole biatomiche. Differenziando l equazione PV k k k cos t, si ottiene kpv dv + V dp, da cui si ricava anche che dp P k dv V 8
ntroduzione all ACUSTCA D altra arte, così come abbiamo fatto er la ressione, ossiamo orre V V + τ, dove τ è la variazione del volume dovuta al fenomeno acustico, mentre V è il valore del volume nelle condizioni iniziali indisturbate. Dato che << e τ<<v, l equazione aena ricavata uò essere allora riscritta nella forma τ k V Derivando questa relazione risetto al temo, si ottiene adesso l equazione dei gas: k t V τ t Dobbiamo adesso giungere alla formulazione dell equazione della conservazione della massa. Per rima cosa, dobbiamo considerare che la massa del gas nel volume di controllo rimane costante anche se le areti di questo si deformano (legge di conservazione della massa): sulla base di questa considerazione, ossiamo affermare che le variazioni di volume dienderanno solo dalla differenza degli sostamenti delle articelle in corrisondenza delle facce ooste del volumetto di controllo. Suoniamo allora che, in un certo intervallo di temo, le articelle sulla faccia a sinistra del volumetto di controllo abbiano subito uno sostamento ξ X ; nello stesso intervallo di temo, le ξ X articelle sulla faccia a destra si saranno allora sostate della quantità ξ X + x. Possiamo allora x calcolare la variazione di volume τ nel modo seguente: ξ τ ξ X + x X ξ X ξ X x ξ X y z x y z x x V Derivando risetto al temo e indicando con v la velocità istantanea delle articelle, otteniamo l equazione della conservazione della massa: τ ξ ξ ξ t t x V t x V x t V V v x X X X τ t V v x A questo unto, dobbiamo combinare le tre equazioni ottenute er giungere all equazione delle onde. Prendendo l esressione di τ/ t dall equazione di conservazione della massa e sostituendo nell equazione dei gas, otteniamo k τ k t V t V V v k v k x x t v x Derivando ambo i membri di questa equazione risetto al temo, otteniamo t k t v x 9
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Dobbiamo ora trovare una comoda esressione er il termine v. Considerando allora t x dv l equazione del moto ρ, ossiamo differenziarla risetto ad x, in modo da ottenere dt x ρ v ρ x x t t v x Da qui otteniamo che t v x ρ x e quindi, sostituendo nell equazione di rima, otteniamo t k ρ x Ricordando che, nei gas, la velocità del suono ha esressione c quest ultima equazione nella forma x c t k ρ, ossiamo riscrivere e questa è l equazione delle onde er suoni che si roagano in un gas ideale omogeneo nel caso unidimensionale. Rietendo un ragionamento analogo nello sazio tridimensionale, si ottiene l equazione x + + y z c t Se, infine, sostituiamo alla ressione la velocità v, si ottiene una relazione formalmente identica: v x v v + + y z c v t Queste due ultime equazioni esrimono dunque l equazione delle onde in coordinate cartesiane e sono fondamentali er lo studio della roagazione delle onde iane. Nel caso in cui si voglia considerare la roagazione nello sazio libero di onde sferiche emesse da sorgenti sonore omnidirezionali (sferiche), è iù utile esrimere l equazione delle onde in coordinate sferiche: fissando l origine del riferimento nel centro di roagazione, l equazione da considerare diventa r + r r c t
ntroduzione all ACUSTCA E ONDE PANE Consideriamo una sorgente acustica costituita da un iano che, immerso in un mezzo elastico, oscilla in direzione ortogonale a se stesso; in questo caso, si roducono delle onde acustiche iane, ossia onde aventi le seguenti caratteristiche: il termine iane deriva dal fatto che il suono si roaga, nel mezzo di trasmissione, in modo tale che il luogo dei unti raggiunti in un certo istante dalla erturbazione sonora (fronte d onda) sia un iano; le grandezze acustiche diendono dal temo e da un unica coordinata saziale, che coincide con la direzione di roagazione dell onda, normale al fronte d onda. a figura seguente mostra uno schema di roagazione dei suoni er onde iane: Quelli raresentati in figura sono i fronti d onda, ossia dei iani ortogonali alla direzione di roagazione (indicata dalla freccia). Facendo riferimento alla sola coordinata x, l equazione delle onde da considerare è quella trovata nel aragrafo recedente: x c t Si dimostra che la soluzione generale di questa equazione differenziale è del tio (x, t) F(ct x) + G(ct + x) n questa esressione, F(ct-x) e G(ct+x) sono funzioni arbitrarie dotate di derivata seconda, mentre c è la velocità del suono nel mezzo considerato: la funzione F(ct-x) raresenta un onda diretta di ressione, in quanto essa si roaga nel verso ositivo delle x con velocità c; in modo analogo, la funzione G(ct+x) raresenta un onda inversa di ressione, in quanto si roaga nel verso negativo delle x con velocità c.
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Per esemio, una soluzione di questo tio si uò avere eslicitando F e G come funzioni esonenziali di un argomento immaginario: se suoniamo che ci sia solo l onda diretta, uò cioè risultare jk( ct x ) j( ωt kx ) (x, t) e e dove abbiamo indicato con ωπf (rad/s) la ulsazione, con kω/c (rad/m) il numero d onda e con il valore icace della ressione, definito dalla relazione T T ( t ) dt l trattino orizzontale sora la indica che ( x, t) è una quantità comlessa, dotata erciò di un modulo e di una fase; considerando, invece, che ogni quantità fisica osservabile è semre reale, ossiamo alicare il teorema di Eulero er ottenere che j( ωt kx) { } { } ( ω ) j( ωt kx) { } ( x, t ) Re ( x, t ) Re e Re e cos t kx a quantità (reale) (x,t) raresenta una vibrazione armonica, nello sazio e nel temo, di amiezza. Questa soluzione è articolarmente imortante in quanto, sulla base del noto teorema di Fourier (alicabile sotto certe condizioni che risultano semre verificate nei casi di interesse fisico), una funzione eriodica è esrimibile come sommatoria di infiniti termini armonici. medenza acustica (secifica e caratteristica) a notazione esonenziale comlessa resenta essenzialmente due vantaggi risetto a quella trigonometrica reale: in rimo luogo, c è il vantaggio che una derivazione (o una integrazione) risetto al temo corrisonde semlicemente alla moltilicazione (o divisione) er jω; in secondo luogo, tale notazione rende iù semlice l introduzione della cosiddetta imedenza acustica, che andiamo a descrivere. dv Rirendiamo l equazione del moto ρ : in base a questa equazione, è ossibile ottenere la dt x velocità v(x,t) er semlice integrazione, nel temo, della quantità : si cioè che x ρ dv dv dt x ρ dt v(x, t) dt... x ρ x (x, t) ρ c Facendo allora il raorto tra la ressione sonora e la velocità delle articelle, otteniamo ( x, t) c v( x, t) ρ Si ottiene dunque un valore reale e questa è una ulteriore imortante caratteristica delle onde iane: la ressione sonora e la velocità sono in fase e (x,t) è roorzionale a v(x,t) secondo il coiciente ρ c.
ntroduzione all ACUSTCA Per onde sonore generiche, non necessariamente iane, il raorto tra il valore della ressione sonora in un generico unto ed il valore della velocità di sostamento delle articelle nello stesso unto rende il nome di imedenza acustica secifica: essa si indica con Z S e si misura Pa s m. evidentemente in [ ] Per le onde iane, abbiamo aena visto che si tratta di una quantità reale (e rende il nome di imedenza acustica caratteristica, indicata con Z C ), mentre, in generale, tale raorto è un numero comlesso, in conseguenza del fatto che ressione e velocità non sono in fase tra loro. Nel caso di onda iana che si roaga liberamente nell aria, alla temeratura di 5 C ed alla ressione atmosferica di 5 Pa, l imedenza acustica caratteristica assume il valore [ Pa s m ] Z C 47 Esemio numerico Calcoliamo l imedenza caratteristica dell aria alla temeratura di C ed alla ressione di atmosfera. Considerando l aria come un gas erfetto, la sua imedenza caratteristica (cioè il raorto tra la variazione di ressione e la variazione di velocità dovute alla erturbazione sonora) è data dalla formula Z C c v ρ : si tratta di una quantità reale in quanto si considera un onda iana. Dobbiamo dunque calcolare la densità dell aria e la velocità del suono nell aria stessa: la formula er il calcolo della velocità del suono nell aria sia c krt, dove k è l indice dell adiabatica, che vale.4 er l aria, dove R è la costante del gas considerato, che er l aria vale 87 J, e dove T è la temeratura esressa in KgK gradi Kelvin: (nel nostro caso è T C93K): sostituendo i valori numerici, si trova c 343( m / s) er quanto riguarda, invece, la densità, ci basta usare la legge dei gas erfetti: m P ρ V RT ( atm) J 87 93( K) KgK 5 ( Pa) J 87 93( K) KgK Kg. 3 m Kg Facendo i conti, risulta Z C ρ c m 43 sec. ntensità acustica e densità di energia acustica Vogliamo adesso determinare l energia sonora che fluisce, nel temo infinitesimo dt, attraverso la generica suerficie, di area da, immersa nel fluido in cui si roaga l onda sonora. A tale scoo, basta considerare che il fenomeno di roagazione del suono si verifica in quanto il fluido esercita sulla suerficie da una forza FdA. Se, nell intervallo di temo dt, il fluido di sosta della quantità dξ in direzione erendicolare alla suerficie da, esso avrà comiuto un lavoro (forza 3
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 er sostamento) ari a dl Fdξ dadξ (misurato in J), mentre invece il lavoro sarà nullo se lo sostamento avviene in direzione tangente alla suerficie da. Allora, se indichiamo con θ l angolo comreso tra lo sostamento dξ e la normale alla suerficie da, il lavoro dl sarà dato, in generale, da dl da dξ cosθ θ da dξ Si definisce, allora intensità acustica istantanea, valutata nella direzione formante un angolo θ con la direzione di roagazione dell onda sonora, la quantità θ dl t d ξ ( ) cosθ v cosθ dadt dt misurata in /m. n base a questa esressione, l intensità acustica istantanea, nella direzione individuata dall angolo θ, è ari al rodotto della ressione sonora er la comonente vcosθ della velocità delle articelle nella direzione normale alla suerficie. Nota θ (t), ossiamo calcolarci l intensità acustica media, detta brevemente intensità acustica, semre nella direzione individuata da θ: basta fare aunto una media nel eriodo, ossia θ T T t dt θ ( ) misurata anche questa in /m. Adoerando esressioni comlesse, si trova che tale intensità acustica è, in generale, valutabile mediante la relazione * { } Re v θ cosθ jkx dove v v e e inoltre * jkx è il comlesso coniugato di e : Se, ad esemio, alichiamo questa definizione al caso di un onda sonora iana, otteniamo quanto segue: θ cosθ ρ c dove è il valore icace della ressione sonora nel unto in cui si vuol determinare l intensità acustica istantanea, mentre ρ c è l imedenza acustica caratteristica. 4
ntroduzione all ACUSTCA Da quella esressione si osserva chiaramente che l intensità acustica assume valore minimo () quando θ9, ossia quando lo sostamento del fluido avviene nella direzione tangenziale alla suerficie considerata, mentre assume valore massimo θ,max quando lo ρc sostamento avviene in direzione erendicolare alla suddetta suerficie (cioè quando θ ). nfine, definiamo densità di energia acustica (simbolo: D) l energia sonora contenuta nell unità di volume all intorno del unto considerato; si dimostra che essa è ari al raorto tra l intensità acustica misurata nella direzione di roagazione dell onda (cioè er θ ) e la velocità del suono nell aria: si ha dunque che D θ,max c ρ c e questa quantità si misura evidentemente in /m 3. E ONDE SFERCHE a rinciale caratteristica di una sorgente sonora sferica è quella che tutti i unti della sua suerficie vibrano uniformemente in fase sostandosi radialmente risetto alla osizione di equilibrio er etto di contrazioni ed esansioni. e onde generate da una simile sorgente, dette aunto onde sferiche, si roagano allora con le stesse modalità in tutte le direzioni, mantenendo semre la simmetrica sferica, er cui il fronte d onda sarà costituito da suerfici sferiche concentriche: E conveniente, in questo caso, ragionare in coordinate sferiche anziché in coordinate cartesiane, er cui l equazione delle onde da considerare è quella nella forma r + r r c t Una soluzione di questa equazione è data dalla seguente equazione: jkr j t Ae ( r, t) e ω + r Be r jkr 5
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 dove A r e B r sono i valori icaci della ressione sonora, risettivamente dell onda e di quella inversa. Se non ci sono ostacoli alla roagazione, il fenomeno uò essere descritto er mezzo della sola onda diretta, er cui l equazione dell onda sferica che si roaga liberamente nello sazio è ( r, t) jkr jωt Nota la ressione, è facile calcolarsi anche la velocità delle articelle: l equazione del moto, esressa in coordinate sferiche, è uguale a quella in coordinate cartesiane salvo a scambiare la dv coordinata x con la coordinata r, ossia è ρ : in base a questa equazione, otteniamo (er dt r integrazione) che Ae r A v r t r c e jωt (, ) + jkr e ρ e jkr Facendo inoltre il raorto tra la ressione e la velocità, otteniamo l imedenza acustica secifica di un onda sonora sferica: Z S ( r, t) v( r, t) jkr Ae jωt e r A r c e jωt + ρ jkr e jkr ρ c + jkr Questa relazione è imortante er il motivo seguente: ricordando che kπ/λ, ossiamo riscrivere l imedenza acustica secifica nella forma c Z ρ S λ + jπr Allora, er distanze r dall origine sufficientemente grandi da risultare πr/λ>>, il termine λ/jπr è sicuramente trascurabile risetto ad, er cui risulta Z S ρ c j r >> π ρ λ + jπr λ c Ricordando che ρ c è l imedenza acustica di un onda iana, deduciamo dunque che, er distanze dall origine grandi risetto alla lunghezza d onda λ l onda sferica, che si roaga liberamente nello sazio, si comorta come un onda iana. 6
ntroduzione all ACUSTCA Possiamo inoltre calcolare l intensità acustica dell onda sferica diretta nella direzione formante un * Re v cosθ trovata nel aragrafo angolo θ con la direzione radiale: alicando la definizione θ { } recedente, abbiamo che θ Re Ae r jkr e jωt A e rρ c jωt + jkr e jkr cosθ Se suoniamo ancora una volta che risulti kr>>, il termine tra arentesi diventa trascurabile e si ottiene A θ cosθ r ρ c Ricordando oi che A r è il valore icace della ressione sonora nel unto considerato a distanza r dal centro della sorgente sferica, quella diventa θ ρ c cosθ ossia la stessa esressione, a meno del termine, trovata er le onde iane. Ciò significa che valgono le stesse considerazioni delle onde iane a roosito sia della densità di energia acustica sia dei valori minimo e massimo dell intensità acustica: l intensità assume valore massimo θ,max quando viene misurata nella direzione di roagazione ρ c dell onda sonora (cioè quando θ ). Se ora consideriamo una sorgente omnidirezionale e trascuriamo la dissiazione di energia dovuta all assorbimento dell aria, la otenza acustica totale (simbolo: ) emessa dalla sorgente è ari, in base al rinciio di conservazione dell energia, alla otenza che incide sul generico fronte d onda di raggio r: allora, tenendo conto che sul fronte d onda si mantengono uniformi tutte le grandezze acustiche, ossiamo scrivere che 4 π r Concludiamo questo argomento osservando che, nella realtà, le onde iane e le onde sferiche non sono gli unici tii di onde acustiche esistenti. Tuttavia, le onde iane assumono una imortanza articolare in quanto, a grande distanza dalla sorgente, tutti i tii di onde si comortano arossimativamente come onde iane. Al contrario, quando è necessario esaminare che cosa accade in rossimità della sorgente sonora, non è ossibile fare arossimazioni, er cui la natura delle onde va ricavata necessariamente risolvendo con recisione l equazione delle onde recedentemente introdotta. 7
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 a descrizione del suono NTRODUZONE Abbiamo visto che le onde sonore sono descrivibili sia in termini di ressione sia in termini di velocità: tuttavia, abbiamo anche osservato che queste due grandezze fisiche non sono indiendenti tra loro, ma sono legate dal concetto di imedenza acustica, er cui diventa indifferente adoerare l una o l altra grandezza. Nella ratica, le onde sonore vengono normalmente descritte in termini di ressione sonora, o meglio di amiezza della variazione di ressione rodotta dall onda: se indichiamo con il valore della ressione in condizioni di equilibrio stabile (er esemio il valore della ressione atmosferica, ritenuto uniforme nello sazio e nel temo) e con P(x,y,z,t) la ressione totale all istante t e nel unto (x,y,z), essa sarà P( x, y, z, t) + ( x, y, z, t) dove (x,y,z,t) raresenta la variazione di ressione rodotta aunto dall onda. Noi siamo interessati, ai fini della descrizione del suono, rorio a tale variazione. Nel caso di suoni che si roagano nell aria, le variazioni di ressione rodotte dalle onde sonore sono generalmente comrese µpa, 4 Pa e si tratta erciò di variazioni molto iccole risetto alla [ ] nell intervallo ( ) ( ) ressione atmosferica, il cui valore al livello del mare, trascurando gli etti delle condizioni 5 metereologiche, è, 3 ( Pa). l valore minimo di µpa è un valore medio statistico ritenuto aunto come il minimo erceibile dall ascoltatore medio; il valore di 4 Pa, invece, corrisonde ressoché a quello che si erceisce er un colo di arma da fuoco, a distanza ravvicinata. E bene inoltre ricordare che già una variazione di ressione dell ordine di Pa rovoca una sensazione di fastidio nella ercezione del suono, er cui rientra già nel camo dei cosiddetti rumori, di cui si arlerà in seguito. a ressione (o la velocità) è una rima imortante grandezza er la caratterizzazione di un onda sonora; l altra grandezza è invece la già citata intensità acustica: dal unto di vista energetico, i suoni sono caratterizzati dall intensità acustica (simbolo: ). Per caire bene di che si tratta, facciamo riferimento alla figura seguente: otenza intensità d/da suerficie sferica 8
ntroduzione all ACUSTCA Consideriamo dunque la suerficie infinitesima (di area da) orientata normalmente risetto alla direzione di roagazione dell onda; suoniamo che tale suerficie intercetti la orzione d di otenza ( energia nell unità di temo) emessa dalla sorgente: in tal modo, l intensità acustica è definibile mediante la relazione d da n tal modo, l intensità acustica viene dunque a raresentare l energia che fluisce attraverso l unità di suerficie nell unità di temo (si tratta cioè di una otenza er unità di suerficie). Nel caso dei suoni che vengono normalmente erceiti dall osservatore umano, l intensità acustica [ ] assume valore comresi nell intervallo 8 ( m ) ( m ) /, /. Nel caso articolare di onde iane o di onde sferiche (a distanza dalla sorgente grande risetto alla lunghezza d onda), abbiamo già visto in recedenza come calcolare l intensità acustica in funzione del valore icace della ressione acustica: onde iane onde sferiche cos θ ρ c Re * ρ + c jkr cos θ VE SONOR Abbiamo visto, nel aragrafo recedente, che i valori della ressione sonora e dell intensità acustica variano su range iuttosto ami: in articolare, abbiamo visto che la ressione sonora (cioè la variazione di ressione risetto al valore atmosferico) µpa, 4 Pa, mentre l intensità acustica assume valori comresi varia nell intervallo [ ( ) ( )] nell intervallo 8 ( m ) ( m ) [ ] /, /. E quindi conveniente esrimere queste grandezze in scala logaritmica. Per fare questo, si introducono i cosiddetti livelli di grandezze acustiche, come aunto il livello di ressione sonora ed il livello di intensità acustica. Cominciamo dal livello di intensità acustica. Sia il valore numerico dell intensità acustica (cioè il valore misurato in /m ) che vogliamo esrimere in scala logaritmica. a rima cosa da fare è fissare un valore di riferimento RF, in quanto a noi interessa esrimere non in modo assoluto, ma in raorto rorio a RF : convenzionalmente, il valore di riferimento er l intensità acustica è m RF 9
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Dato allora il raorto / RF, il livello di intensità (acustica) è definito semlicemente con il logaritmo in base di / RF, moltilicato oi er : log RF l motivo er cui confrontiamo con RF è ora evidente: l argomento di un logaritmo deve essere necessariamente adimensionale. unità di misura del livello di una grandezza qualsiasi (risetto ad un refissato riferimento) è ovviamente il decibel (simbolo: db), er cui si misura in db. Saiamo che l intensità acustica, come la ressione sonora e la otenza acustica, varia entro limiti ben definiti, il che significa che anche il livello di intensità acustica varia entro un reciso intervallo: il valore minimo di tale intervallo è la cosiddetta soglia dell udito, ari a db e cioè corrisondente a RF - (/m ): si tratta di un valore teorico che in etti ha oco significato fisico, nel senso che la soglia dell udito è in realtà leggermente iù alta e sembra anche che vada alzandosi col assare del temo; il valore massimo, invece, è la cosiddetta soglia del dolore, ari a db e cioè corrisondente a - (/m ). Essendo il logaritmo una funzione invertibile, se conosciamo (er esemio erché lo abbiamo misurato) il livello di intensità acustica, ossiamo facilmente ricavare l intensità acustica esressa in unità naturali: RF n modo del tutto analogo, è ossibile definire il livello di otenza di una sorgente sonora: se è la otenza emessa dalla sorgente, il livello di otenza sarà log dove il valore di riferimento er la otenza acustica è ( ) RF. Naturalmente, vale anche in questo caso la relazione inversa che consente di ricavare a artire da : RF E ossibile definire anche un livello di ressione sonora misurato in decibel: basta tener conto del fatto che la otenza o l intensità acustica sono roorzionali al quadrato della ressione in valore icace. n tal modo, il livello di ressione sonora è definito come P RF log log, RF, RF
ntroduzione all ACUSTCA dove il valore di riferimento er la ressione acustica icace è ( Pa) la relazione inversa è, 5 e dove RF P, RF E imortante osservare che i valori di riferimento er l intensità acustica, er la otenza acustica e er la ressione sonora icace sono stati scelti in modo tale che i relativi livelli risultassero tra loro correlati in maniera oortuna. Vediamo allora che tio di legame esiste tra questi livelli. Partiamo dal livello di intensità acustica log secondo la relazione, ossiamo scrivere che c ρ RF : tenendo conto che è roorzionale a, RF, RF log log log log + log ρ c ρ c ρ c RF, RF P + log P log ρ c rif rif ρ c rif, RF rif, RF, RF rif c Ponendo K ρ rif, RF e C log K, ossiamo dunque concludere che + C P Questo è dunque il legame tra il livello di intensità acustica ed il livello di ressione sonora. E oortuna fare qualche osservazione circa la costante C. n articolare, va osservato che tale costante diende strettamente dalle condizioni ambientali in quanto è legata al valore di ρ c. Allora, nel grafico seguente è riortato il valore assoluto di C in funzione della temeratura dell aria (misurata in K) e della ressione atmosferica (misurata in Pa):
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 E facile accorgersi che l unico caso in cui risulta P è quello in cui C, che corrisonde a ρ c rif, ossia a, RF ρ, RF s c 4 m rif n condizioni normali (cioè alla ressione di, 3 5 ( Pa ) ed alla temeratura di C) risulta s ρ c 49 e quindi in tali condizioni si uò ritenere, con buona m arossimazione, che, numericamente, il livello di intensità acustica e quello di ressione sonora risultano uguali. Sovraosizione di iù suoni Per concludere, nel caso in cui due o iù suoni (dei quali si conoscano i risettivi livelli i ) si sovraongono, er calcolare il livello totale T non bisogna sommare i singoli livelli, ma il livello della somma delle risettive intensità acustiche, in quanto sono le grandezze energetiche quelle che si sommano: l intensità acustica totale è TOT i i Dividendo ambo i membri er rif e facendo successivamente il logaritmo in base, si ottiene log log TOT rif Portando adesso il logaritmo dentro la sommatoria (che è un oeratore lineare) e moltilicando ambo i membri er, si ottiene rorio il livello totale di intensità: i, tot log log i rif Facciamo un esemio semlice: suoniamo di avere due soli suoni cui corrisondono i livelli di intensità 7dB e 7dB; er calcolare il livello di intensità totale, dobbiamo alicare la formula aena enunciata, er cui abbiamo che, tot i 7 7 7 log log + log( + ) log i, 7 log + log 7( db) + 3( db) 73( db) l risultato ottenuto è molto significativo: esso indica infatti che, avendo due suoni di uguale livello di intensità, il livello di intensità totale sarà i i rif i i
ntroduzione all ACUSTCA incrementato di 3dB. Chiaramente, se fossero 3 i suoni di livello, si avrebbe un livello totale 7 log log + log 3 7( db) + 6( db) 76( db), tot i,, 3 cioè un incremento di 6(dB) risetto ad. i Una semlice ma comoda alicazione di questo risultato uò essere la seguente: suoniamo di avere una sorgente sonora che emette una otenza acustica di.. Suoniamo anche che, in un certo istante, la sorgente venga ortata ad emettere una otenza acustica di.. Ci interessa calcolare la variazione del livello di otenza emessa dalla sorgente. Per risondere a questa domanda, otremmo anche rocedere er via analitica, calcolando i livelli iniziale e finale di otenza e facendo la differenza. Tuttavia, ossiamo anche risarmiarci tali calcoli: si osserva infatti che. è il doio di., il che significa che il livello di otenza finale sarà aumentato di 3dB risetto al livello di otenza finale. Esemio numerico Consideriamo una sorgente sonora che irradia di otenza acustica e suoniamo che tale otenza sonora si roaghi sotto forma di onde sferiche. Consideriamo inoltre un unto a distanza r m dalla sorgente: suonendo che le condizioni di temeratura e ressione siano quelle standard ( C e atm), vogliamo calcolare, in tale unto, l intensità sonora in direzione radiale, il livello di intensità, la densità di energia, la ressione icace e la velocità icace. Possiamo subito ricordarci che, er le onde sferiche, l intensità acustica, a distanza r dalla sorgente, è data da (r) 4πr (ricordiamo che la direzione radiale è caratterizzata da θ). Avendo detto che la sorgente irradia una otenza acustica di, quella formula ci dice che 4π () 7.9 4 m ( m) e da qui ricaviamo immediatamente che il livello di intensità è log log 4 7.9 m m RF 89 db 3
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 Raortando inoltre alla velocità di roagazione del suono nel mezzo considerato, otteniamo la densità di energia: 4 7.9 4 J D 7.9 3 c krt.4 87 93 m dove abbiamo considerato che la velocità di roagazione del suono diende dalla temeratura e dalla costante k del mezzo stesso e dove abbiamo reso R 87( J / kgk). Semre artendo da ossiamo anche calcolare la ressione icace nel unto considerato: infatti, ci basta ricordare che, a sufficiente distanza dalla sorgente, le onde sferiche si comortano come onde iane, er cui risulta cos θ; nel nostro caso, stiamo considerando la direzione radiale θ, er ρ c cui abbiamo che ρ c a velocità di roagazione del suono è stata rima calcolata (risulta ari a krt 343 m / s ), er cui resta da calcolare la densità nelle assegnate condizioni di ressione e temeratura: assumendo er il mezzo considerato un comortamento da gas erfetto, abbiamo che ρ RT 5.3 (Pa) J 87 93 kgk ( K) kg. 3 m da cui si ottiene che ρ c ρ c D.57(Pa). nfine, er calcolare la velocità icace, ci basta ricordare che essa è legata alla ressione icace dal concetto di imedenza acustica. n articolare, assumendo er le onde considerate il comortamento da onde iane, saiamo che ressione e velocità sono in fase ed il loro raorto è dato dall imedenza caratteristica ρ c, er cui abbiamo che ρ c v v ρ c.44 3 m s CENN SUO SPETTRO SONORO Data una sorgente sonora reale, anche se essa vibra con oscillazione sinusoidale di ben definita frequenza, difficilmente roduce un suono uro: il iù delle volte, il suono rilevato in un unto uò essere considerato come comosto da un insieme di suoni uri, ciascuno ad una diversa frequenza, variabile discretamente o con continuità. Dobbiamo allora distinguere due casi, a seconda che il suono rilevato sia di tio eriodico oure aeriodico. Per l analisi di un suono eriodico, ossiamo alicare il noto teorema di Fourier (che risulta semre alicabile nei casi di interesse fisico): in base a questo teorema, un segnale xx(t), eriodico di eriodo T e frequenza f/t, è semre sviluabile come somma di infiniti termini armonicamente correlati, ciascuno dei quali è caratterizzato da una frequenza multila della frequenza f (detta frequenza fondamentale). n formule, risulta cioè che 4
ntroduzione all ACUSTCA x( t) + n x e j π fnt n dove i coicienti dello sviluo sono x n T/ jπf t T T/ x( t) e n dt n base a questo teorema, dunque, un suono eriodico uò semre essere scomosto in un insieme di suoni uri di diversa frequenza (le cosiddette armoniche). Allora, la raresentazione del livello di ressione di ogni armonica del suono (eriodico) considerato rende il nome di settro sonoro del suono stesso. Se abbiamo a che fare con un suono uro, la situazione è quella schematizzata nella figura seguente: Un suono uro (detto anche tono uro) è un segnale sinusoidale caratterizzato da una ben recisa frequenza: di conseguenza, il suo settro sonoro è costituito semlicemente da una sola linea in corrisondenza di tale frequenza. Se, invece, il suono eriodico non è uro, ma è comlesso, allora la situazione è quella della figura seguente: 5
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 n questo caso, abbiamo la sovraosizione di iù suoni uri, ciascuno a diversa frequenza, er cui lo settro sonoro è formato da iù linee in corrisondenza delle frequenze multile che comongono il suono originario (nella figura sono er semlicità). altra ossibilità è che il suono considerato sia aeriodico e di durata limitata, come nella figura seguente: n questo caso, esso uò essere scomosto in una somma di infiniti termini armonici, tali erò che la differenza di frequenza di due termini successivi non sia discreta, ma infinitesima. Questo fa si che l insieme delle frequenze dei termini comonenti vada a costituire una distribuzione non iù discreta, ma continua, ossia uno settro continuo come quello indicato in figura nel secondo diagramma. n questo caso, la grandezza fisica cui si è interessati è raresentata attraverso la cosiddetta funzione di densità settrale: integrando tale funzione risetto alla frequenza, si ottiene il valore della grandezza nell intervallo di frequenza considerato. E imortante sottolineare che, date le rorietà dell integrazione, questa oerazione va alicata solo a funzioni che raresentano grandezze ettivamente sommabili: questo si verifica quando la funzione di densità settrale raresenta la grandezza esressa in termini energetici, er cui il discorso vale er l intensità acustica, er la otenza e er il quadrato del valore icace della ressione. Bande di frequenza l rocedimento aena descritto er l analisi di un fenomeno sonoro uò essere semlificato attraverso l introduzione delle cosiddette bande di frequenza. Si considera l intero settro di frequenze udibili e lo si divide in intervalli di frequenza, detti aunto bande di frequenza, continui e abbastanza iccoli er non erdere di dettaglio; usando un semlice diagramma cartesiano, in corrisondenza della frequenza centrale di ogni intervallo si riorta il valore del livello di ressione sonora, come indicato nella figura seguente: Ricordiamo un risultato fondamentale dell analisi di Fourier: un segnale (e quindi anche un suono) di durata infinita ha uno settro limitato e, viceversa, un segnale con uno settro esteso su tutte le frequenze è un segnale di durata finita. 6
ntroduzione all ACUSTCA ivello di otenza (db) 9 8 7 6 5 4 3 3,5 63 5 5 5 k k 4k 8k 6k Frequenza (Hz) Per evidenziare l andamento dello settro, i unti così ottenuti vengono uniti tra loro (come nella figura recedente) anche se i valori letti sui segmenti che uniscono i unti non forniscono alcuna informazione. a scelta dell amiezza delle bande di frequenza viene solitamente fatta secondo due criteri: o amiezza costante oure amiezza roorzionale alla frequenza inferiore della banda. Quest ultimo caso è quello iù frequente: la caratteristica è che le amiezze di banda e le frequenze inferiori e sueriori della bande sono in rogressione geometrica. n articolare, la cosiddetta frequenza centrale (o anche frequenza di centro banda) della generica banda [ f, f ] è legata alle due frequenze estreme della banda stessa attraverso la media geometrica: si ha cioè che f f f C n acustica, le bande di frequenza hanno semre la ragione della rogressione geometrica ari ad una otenza di : ciò significa che la frequenza finale f e quella iniziale f della banda sono legate da una relazione del tio f f n A seconda del valore di n, avremo bande iù o meno larghe: quando n, si ottengono le cosiddette bande di ottava, er le quali risulta quanto segue: f f f f C f f C l fatto di unire i vari unti costituisce una semlice interolazione grafica di scarso significato fisico. 7
Aunti di Fisica Tecnica - Caitolo 8 l altra ossibilità è n / 3, nel qual caso si ottengono le cosiddette bande in terzi di ottava, ovviamente iù strette delle recedenti: f 3 f f f C 6 f 6 f C l camo udibile uò essere suddiviso indifferentemente in base di ottava o di terzi di ottava contigue ed esistono delle recise convenzioni internazionali in roosito. a figura seguente mostra, sulla base delle suddette convenzioni, una arte della suddivisione dello settro di frequenze udibili: Osservando l amiezza delle varie bande, si osserva che essa aumenta al crescere della frequenza iniziale. ultima banda, non riortata in tabella, ha una frequenza centrale di 6 khz (corrisondente 6kHz al limite del camo dell udibile), er cui inizia alla frequenza f 34Hz. E abbastanza intuitivo revedere che uno settro in bande di terzi di ottava fornisca iù informazioni risetto ad uno settro di bande di ottava: ad esemio, caita sesso che uno stesso suono, esaminato in bande di terzi di ottava, metta in evidenza la resenza di massimi o minimi relativi del livello sonoro che invece in bande di ottava non risultano visibili, con conseguente maggiore recisione. noltre, noto lo settro in bande di terzi di ottava, è semre ossibile ricavare quello in bande di ottava: infatti, data la generica banda di ottava, er ottenere il corrisondente valore della grandezza considerata basta sommare i valori corrisondenti alle tre sottobande in cui essa è stata divisa. Si tratta di un concetto del tutto generale, nel senso che, conoscendo i valori del livello sonoro nelle singole sottobande in cui la banda rinciale viene suddivisa, è semre ossibile calcolare il livello nella banda rinciale. Consideriamo ad esemio la ressione sonora: ricordando che i valori icaci al 8
ntroduzione all ACUSTCA quadrato sono roorzionali all intensità acustica, se N sono le sottobande in cui è stata divisa la banda rinciale, il quadrato del valore icace della banda rinciale risulterà + + 3 +... + N dove,,.., N sono i valori icaci nelle sottobande. Se ci si riferisce ai livelli di ressione sonora anziché direttamente alla ressione sonora stessa, il discorso è analogo: il livello di ressione sonora nella banda rinciale sarà P + + +... N log log + + + log... RF log + +... + P P PN RF RF RF N RF Relazioni analoghe valgono ovviamente er i livelli di intensità acustica e di otenza: log log + + +... RF N log log + + +... RF N Scale di esatura: scala A Mediante le ultime tre relazioni, è ossibile sia ottenere lo settro sonoro in bande di ottava artendo dallo settro in bande di terzi di ottava sia ottenere il livello globale di ressione o intensità acustica o otenza dell intero suono conoscendo lo settro sonoro o in bande di ottava o in bande di terzi di ottava. C è erò da osservare una cosa a questo roosito: molto sesso, secialmente nella valutazione dei rumori, i livelli determinati nelle singole sottobande non vengono subito sommati, ma vengono reventivamente corretti mediante coicienti scelti oortunamente. n questo modo, si ottiene un valore del livello globale esato secondo la scala di esatura definita dai valori di correzione utilizzati. a scala di esatura maggiormente imiegata è la cosiddetta scala A, la quale tiene conto della diversa sensibilità dell orecchio umano alle varie frequenze: infatti, si verifica che l udito dell uomo non resenta una sensibilità costante er tutte le frequenze, ma, al contrario, resenta la massima sensibilità in corrisondenza della frequenza di khz e oi la sensibilità decresce andando verso i due estremi. a scala A tiene conto rorio di questo; la seguente tabella indica i fattori correttivi revisti da questa scala er le varie bande di frequenza (sia in bande di ottava sia in bande di terzi di ottava): 9