ESERCIZI DA ESAMI (1996-2003) Stabilità dei pendii Esercizio 1 Si vuole eseguire uno scavo di sbancamento in un deposito di argilla omogenea satura sovrastante uno stato rigido (bedrock). Determinare con il metodo di Taylor la pendenza necessaria per avere coefficiente di sicurezza F = 2 I dati geometrici e geotecnici sono i seguenti: (m) = 6 profondità di scavo 1 (m) = 9 spessore del deposito di argilla γ (kn/m 3 ) = 18 peso di volume dell'argilla c u (kpa) = 40 resistenza al taglio media in termini di tensioni totali F = 2 (m) = 6 1 (m) = 9 γ (kn/m 3 ) = 18 c u (kpa) = 40 c (m) = 12 altezza critica Ns = 5.4 fattore di stabilità n d = 1.5 fattore di profondità dal grafico di Taylor si ricava: β ( ) = 55 Esercizio 2 Deve essere eseguito uno scavo di sbancamento per un'altezza in un'argilla satura O.C., sopra il livello di falda. L'argilla ha peso di volume γ e resistenza al taglio in condizioni non drenate c u. Lo strato di argilla ha spessore 1 ed appoggia sul substrato roccioso. Calcolare il coefficiente di sicurezza per i seguenti casi e schemi: 1. Scavo in parete verticale, metodo di Taylor. 2. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno non fratturato. 3. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture vuote d'acqua. 4. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture piene d'acqua. 5. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, metodo di Taylor. 6. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno non fratturato. 7. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture vuote d'acqua. 8. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture piene d'acqua. = 10 m γ = 20 kn/m 3 γ w = 10 kn/m 3 c u = 60 kpa 1
1 = 20 m 2 = 5m tanβ = 2 caso 1: Scavo in parete verticale, metodo di Taylor. n d = 1 / = 2 β = 90 N s = 3.85 c = N s c u /γ = 11.55 m FS = c / = 1.155 1 cerchio di piede caso 2: caso 3: Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno non fratturato. 1 W = γ 2 /2 = 1000 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 707.11 kn/m lunghezza della superficie di l = /sin(π/4) = 14.14 m 848.53 kn/m T = T(W) = 707.11 kn/m FS = T f /T = 1.200 Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture vuote d'acqua. - 2 2-2 1 W = γ (+ 2 )(- 2 )/2 = 750 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 530.33 kn/m lunghezza della superficie di l = (- 2 )/sin(π/4) = 7.07 m 424.26 kn/m T = T(W) = 530.33 kn/m FS = T f /T = 0.800 caso 4: Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture 2
piene d'acqua. - 2 2-2 1 W = γ (+ 2 )(- 2 )/2 = 750 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 530.33 kn/m spinta dell'acqua nelle fratture: S w = γ w 2 2 /2 = 125 kn/m componente di S w nella direzione del piano di T(S w ) = S w cos(π/4) = 88.39 kn/m lunghezza della superficie di l = (- 2 )/sin(π/4) = 7.07 m 424.26 kn/m T = T(W) + T(S w ) = 618.72 kn/m FS = T f /T = 0.686 caso 5: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, metodo di Taylor. β 1 n d = 1 / = 2 β = 63.43 N s = 5.05 c = N s c u /γ = 15.15 m FS = c / = 1.515 cerchio di piede caso 6: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno non fratturato. /2 /2 β 1 W = γ 2 /4 = 500 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 353.55 kn/m lunghezza della superficie di l = /sin(π/4) = 14.14 m 848.53 kn/m T = T(W) = 353.55 kn/m FS = T f /T = 2.400 caso 7: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di 3
scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture vuote d'acqua. /2 /2-2 β 2 1 W = γ ( 2 /4-2 2 /2) = 250 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 176.78 kn/m lunghezza della superficie di l = (- 2 )/sin(π/4) = 7.07 m 424.26 kn/m T = T(W) = 176.78 kn/m FS = T f /T = 2.400 caso 8: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità 2, fratture piene d'acqua. /2 /2-2 β 2 1 W = γ ( 2 /4-2 2 /2) = 250 kn/m T(W) = W sin(π/4) = 176.78 kn/m spinta dell'acqua nelle fratture: S w = γ w 2 2 /2 = 125 kn/m componente di S w nella direzione del piano di T(S w ) = S w cos(π/4) = 88.39 kn/m lunghezza della superficie di l = (- 2 )/sin(π/4) = 7.07 m 424.26 kn/m T = T(W) + T(S w ) = 265.17 kn/m FS = T f /T = 1.600 Tabella di sintesi caso FS 1 1.155 2 1.200 3 0.800 4 0.686 5 1.515 6 2.400 7 2.400 8 1.600 Esercizio 3 Utilizzando il metodo di Fellenius, determinare per il pendio di terreno omogeneo rappresentato in 4
figura i coefficienti di sicurezza a breve e a lungo termine associati alla linea di scorrimento potenziale indicata. falda pendenza 1.5 : 1 ( m) = 9 5 6 7 c' (kpa) = 20 4 φ' ( ) = 29 3 γ = 18.7 kn/m 3 sopra falda 2 γ sat = 19.3 kn/m 3 sotto falda 1 c u (kpa) = 60 γ w = 9.81 kn/m 3 concio i-esimo hi z w i concio n. h (m) x (m) z w (m) α ( ) 1 0 3.24 0-18 2 3.09 2.82 3.09-7 3 5.31 3.63 3.75 8 4 7.38 3.81 4.38 24 5 8.25 2.79 5.04 38 6 6.03 2.28 3.84 53 7 2.97 1.2 2.97 67 αi xi Verifica a lungo termine (tensioni efficaci) e a breve termine (tensioni totali) h w = h - z w peso del concio i-esimo: W i = [(z wi + z wi+1 )γ + (h wi + h wi+1 )γ sat ] x/2 pressione neutra media alla base del concio i-esimo: u i = γ w (h wi + h wi+1 )/2 lunghezza della base del concio i-esimo: l i = x i /cosα i elem. sommatoria a numeratore (stab.) cond. drenate: ms i /r = c' l i + (W i cosα i - u i l i ) tanφ' elem. sommatoria a numeratore (stab.) cond. non dren.: msu i /r = c u li elemento della sommatoria a denominatore (instab.): mr i /r = W i senα i concio n. h w (m) W (kn/m) u (kpa) l (m) α (rad) ms/r msu/r mr/r 1 0 93.61 0.00 3.41-0.314 117.48 204.40-28.93 2 0 222.80 7.65 2.84-0.122 167.35 170.47-27.15 3 1.56 435.67 22.37 3.67 0.140 267.01 219.94 60.63 4 3 563.89 30.46 4.17 0.419 298.54 250.23 229.36 5 3.21 377.04 26.49 3.54 0.663 183.52 212.43 232.13 6 2.19 193.36 10.74 3.79 0.925 117.72 227.31 154.42 7 0 33.32 0.00 3.07 1.169 68.64 184.27 30.67 Σ = 1220.27 1469.07 651.13 a lungo termine: FS = 1.874 a breve termine: FS = 2.256 Esercizio 4 Uno scavo in un deposito di argilla di grande spessore ha altezza e angolo di pendio β, rispetto l'orizzontale. L'argilla ha peso di volume saturo γ e resistenza al taglio media in condizioni non drenate, c u. Stimare il coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura a breve termine. = 9 m γ = 20.2 kn/m 3 5
β = 70 c u = 55 kpa FS = c / c = N s c u / γ Secondo Taylor, in assenza di un terreno di base compatto,: N s = 5.52 per 0 < β < 53 N s = a + b β per 53 < β < 90 N s = 3.85 per β = 90 da cui: a = 7.9122 b = -0.0451 per β = 70 N s = 4.753 c = 12.94 m FS = 1.44 Esercizio 5 Si è riattivato un movimento franoso di spessore medio h in un pendio illimitato in argilla N.C., con filtrazione parallela al pendio e falda a profondità z w, come schematicamente indicato in figura. 1. Stimare l'angolo di resistenza al taglio residua dell'argilla. 2. Determinare di quanto deve essere abbassato il livello di falda per ottenere un coefficiente di sicurezza FS. 1 β h = 5.4 m z w = 1.20 m γ sat = 20.2 kn/m 3 h z w γ w = 9.81 kn/m 3 β = 13 FS = 1.12 1. γ' = γ sat - γ w = 10.39 kn/m 3 peso totale del concio di larghezza unitaria: W = γ sat 1 h = 109.08 kn/m sottospinta idraulica verticale alla base del concio: U = γ w 1 (h - z w ) = 41.202 kn/m componente di W nella direzione del pendio: T = W senβ = 24.538 kn/m tensione di taglio mobilitata per l'equilibrio: τ = T / (1/cosβ) = 23.909 kpa peso efficace del concio di larghezza unitaria: W' = W - U = 67.878 kn/m componente di W' nella direzione ortogonale al pendio: N' = W' cosβ = 66.138 kn/m tensione efficace normale alla superficie di σ' = N' / (1/cosβ) = 64.443 kpa tensione di taglio limite di rottura: τ f = σ' tanφ' R imponendo τ = τ f si ricava: tanφ' R = τ / σ' = 0.371 da cui: φ 'R = 20.36 2. Dopo l'abbassamento del livello di falda è: FS = τ f / τ = 1.12 τ f = FS τ = 26.78 kpa σ' = τ f / tanφ' R = 72.18 kpa N' = σ' / cosβ = 74.07 kn/m 6
W' = N' / cosβ = 76.02 kn/m U = W - W' = 33.06 kn/m = γ w 1 [h - (z w + z w )] da cui: z w = h - z w - U/γ w = 0.83 m Esercizio 6 Si consideri un terrapieno avente la geometria riportata in Figura e costitutito da terreno coesivo (c u = 20 kn/m 2 ; γ = 19 kn/m 3 ). Nell'ipotesi che il terrapieno poggi su uno strato di terreno più resistente e che la superficie di di rottura sia circolare con le dimensioni riportate in Figura ed assumendo che il peso del terreno W da essa delimitato sia di 346 kn e con un'eccentricità e = 5 m rispetto al centro di rotazione, determinare il fattore di sicurezza contro lo scivolamento. Determinare inoltre come cambierebbe tale fattore di sicurezza,a parità di superficie di rottura considerata: a) qualora la porzione di rilevato trattegggiata in Figura venisse rimossa; b) qualora si sviluppassero delle fessurazioni nella parte alta del rilevato. c u = 20 (kn/m 2 ) γ = 19 (kn/m 3 ) r = 9 (m) (raggio della superficie di rottura) θ = 70 ( ) (angolo che sottende la superficie di rottura) e = 5 (m) a = 3 (m) (distanza tra la base dello scavo e la base del pendio) b = 1.5 (m) (ampiezza di base dello scavo) = 6 (m) (altezza del pendio) W = 346 (kn) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) i = 42.3 ( ) (pendenza) Si effettua una verifica a breve termine.breve termine. Si calcola il momento ribaltante: M rib = W e = 1730 (kn m) Si calcola il momento resistente con riferimento ad una sezione di larghezza unitaria: M res = c u l r = c u r 2 θ = 1979 (kn m) Si calcola il fattore di sicurezza corrispondente: FS = M res /M rib = 1.1 a) Si calcola l'area della porzione di rilevato rimossa: Arim = 4.5 (m 2 ) Si calcola il peso corrispondente, riferito ad una sezione di larghezza unitaria: W rim = 85.5 (kn) e l'eccentricità rispetto al centro O e 1 = 5.7 (m) ed il momento corrispondente: M rim = 487 (kn m) Il fattore di sicurezza risulterà allora: FS 1 = M res /(M rib -M rim ) = 1.6 b) Si calcola la profondità delle fessurazioni hc = 2 c u /γ = 2.1 (m) Si calcola la lunghezza della porzione della superficie di rottura interessata dalle fessurazioni: OD = r cosθ = 3.1 (m) OC = OD + h c = 5.2 (m) α = θ - arccos(oc/r) = 15.2 ( ) 7
l 1 = r α = 2.4 (m) (BB') Si calcola il momento resistente modificato: M res1 = c u (l - l 1 ) r = c u r 2 (θ α) = 1550 (kn m) Il fattore di sicurezza risulterà pari a : FS 2 = M res1 /M rib = 0.9 8