La composizione di isometrie Quello che è più interessante in una trasformazione geometrica è studiare quali effetti ha sulle figure e soprattutto valutare quali proprietà delle figure di partenza si conservano nelle figure trasformate. Le proprietà invarianti, che si conservano nella figura trasformata, forniscono un sistema di classificazione per le trasformazioni geometriche. Le isometrie o congruenze sono trasformazioni, riconducibili a movimenti rigidi, nel piano che conservano le distanze fra i punti, trasformando una figura in una congruente. La figura trasformata è spostata senza essere deformata e conserva tutte le proprietà geometriche dell originale. Le proprietà geometriche delle figure sono, quindi, invarianti di una trasformazione isometrica. Appartengono alle isometrie: traslazioni rotazioni simmetrie centrali simmetrie assiali E possibile, inoltre, considerare la composizione di trasformazioni geometriche. Una composizione di trasformazioni geometriche è l applicazione in successione di più trasformazioni a una stessa figura. Applicare più trasformazioni di uno stesso tipo corrisponde in alcuni casi a un altra trasformazione o dello stesso tipo o diversa. Composizione di trasformazioni geometriche Due traslazioni Due rotazioni Due simmetrie centrali Due simmetrie assiali con assi paralleli Due simmetrie assiali con assi perpendicolari Trasformazione corrispondente Traslazione che si ottiene applicando a una figura la somma dei vettori delle due traslazioni. Rotazione che ha lo stesso centro di rotazione e come angolo uguale alla somma dei due angoli di rotazione. Traslazione che ha come vettore un vettore doppio a quello che si ottiene congiungendo i due centri di simmetria. Traslazione il cui vettore è un vettore con modulo doppio rispetto alla distanza tra le due assi. Rotazione di un angolo piatto e con centro di rotazione nell intersezione degli assi ovvero una simmetria centrale.
Composizione di traslazioni La traslazione è una trasformazione geometrica isometrica in cui ciascun punto della figura è spostato sul piano sempre lungo la stessa direzione, nello stesso verso e per una stessa distanza. Per indicare direzione, verso e distanza si usa un vettore ( v ). La composizione di due traslazioni è una traslazione che si ottiene applicando a una figura la somma dei vettori delle due traslazioni. vediamo come si opera con un esempio. Il lavoro può essere eseguito anche su carta. Sia dato il triangolo di vertici A(3; 6), B(2; 4) e C(4; 3). Si deve traslare il triangolo ABC secondo i vettori v (2;1) e u(2; 1). traslazione (in GeoGebra: Traslazione). Si esegue una prima traslazione usando il vettore v. Si applica alla trasformata ottenuta una seconda traslazione usando il vettore u. La composizione delle due traslazioni, secondo i vettori v (2;1) e u(2; 1), corrisponde a una traslazioni pari alla somma dei due vettori. Si trova la somma di due vettori utilizzando la regola del parallelogramma. Si fa scorrere uno dei due vettori in modo che i punti di applicazione coincidano. Il vettore spostato si dice equipollente al precedente. Si tracciano le parallele ai due vettori a partire dai loro punti estremi in modo da ottenere un parallelogramma. La diagonale del parallelogramma è il vettore somma o risultante. v + u = w Applicando questo vettore al triangolo si ottiene lo stesso spostamento applicando uno dopo l altro i due vettori. La somma dei due vettori è commutativa, quindi indipendente da quale vettori si applichi per primo.
Composizione di rotazioni La rotazione è una trasformazione geometrica isometrica individuata da un punto, da un angolo di ampiezza data e da un verso che può essere orario o antiorario. La composizione di due rotazioni è una rotazione che ha lo stesso centro di rotazione e come angolo uguale alla somma dei due angoli di rotazione. vediamo come si opera con un esempio. Sia dato il parallelogramma di vertici A(2; 6), B(1; 4), C(2; 4) e D(3; 6). Il centro di rotazione è O(3; 2). Si deve ruotare, utilizzando come centro di rotazione il punto O, il parallelogramma di un angolo di 45 in senso orario e la figura ottenuta di un ulteriore di 45 in senso orario. rotazione (in GeoGebra: Rotazione). Il lavoro può essere eseguito anche su carta. Si applica una prima rotazione usando il centro, l angolo e il verso indicati. Si applica, quindi, alla trasformata ottenuta una seconda rotazione usando lo stesso centro e l angolo e il verso indicati. La composizione delle due rotazioni secondo i due angoli α = 45 e β = 45 corrisponde alla somma degli angoli. Il centro di rotazione resta lo stesso. 45 + 45 = 90 Applicando una rotazione, con angolo pari alla somma α + β, al parallelogramma si ottiene lo stesso spostamento ottenuto applicando una dopo l altra le due rotazioni. La somma delle due rotazioni è commutativa, quindi indipendente da quale angolo si applichi per primo.
Composizione di simmetrie centrali Una simmetria centrale è una trasformazione geometrica ottenuta dalla rotazione riferita a un centro di rotazione e applicando un angolo piatto. Poiché una simmetria centrale è una particolare rotazione, si può dimostrare che anche la simmetria centrale è un isometria. La composizione di due simmetrie centrali corrisponde a una traslazione che ha come vettore un vettore doppio a quello che si ottiene congiungendo i due centri di simmetria. vediamo come si opera con un esempio. Il lavoro può essere eseguito anche su carta. Sia dato il triangolo di vertici A(3; 6), B(2; 4) e C(4; 3). I due centri di rotazione sono O(5; 5) e O (7; 3). simmetria centrale (in GeoGebra: Simmetria centrale). Si applica una prima simmetria centrale usando il centro indicato. Si applica, quindi, alla trasformata ottenuta una seconda simmetria centrale usando il secondo centro indicato. Si può osservare che la composizione di due simmetrie centrali corrisponde a una traslazione che ha come vettore un vettore con modulo doppio a quello che si ottiene congiungendo i due centri di simmetria. Componendo due simmetrie centrali non si ottiene quindi una nuova simmetria centrale ma una traslazione.
Composizione di simmetrie assiali La simmetria assiale si ottiene con un ribaltamento di 180 rispetto a una retta. Questa retta, detta asse di simmetria, è equidistante alla figura iniziale e a quella trasformata. Due figure con simmetria assiale sono ribaltate una rispetto all altra. La figura iniziale e quella trasformata sono congruenti ma per sovrapporle è necessario ribaltare una di esse sull altra. La simmetria assiale è un movimento rigido inverso e le due figure si dicono inversamente congruenti. Composizione di due simmetrie assiali con i due assi paralleli. La composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli è una traslazione il cui vettore è un vettore con modulo doppio rispetto alla distanza tra i de assi. vediamo come si opera con un esempio.sia dato il triangolo di vertici A(1; 6), B(0; 5) e C(1; 3). I due assi sono tra loro paralleli ( r s ). Si devono applicare le due simmetrie assiali prima di asse r e poi di asse s sulla prima figura trasformata ottenuta. simmetria assiale (in GeoGebra: Simmetria assiale). Si applica una prima simmetria assiale usando l asse r indicato. Si applica, quindi, alla trasformata ottenuta una seconda simmetria assiale usando il secondo asse indicato (s). Lo stesso risultato si poteva ottenere applicando un vettore che abbia una lunghezza doppia della distanza che vi è tra gli assi. Il vettore risultante ha, infatti, modulo doppio della distanza degli assi.
Composizione di due simmetrie assiali con i due assi perpendicolari. La composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una rotazione di un angolo piatto e con centro di rotazione nell intersezione degli assi. La composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari corrisponde, quindi, a una simmetria centrale. vediamo come si opera con un esempio. Sia dato il triangolo di vertici A(2; 6), B(1; 5) e C(2; 4). I due assi sono tra loro perpendicolari ( r s ). Si devono applicare le due simmetrie assiali prima di asse r e poi di asse s sulla prima figura trasformata ottenuta. simmetria assiale (in GeoGebra: Simmetria assiale). Si applica una prima simmetria assiale usando l asse r indicato. Si applica, quindi, alla trasformata ottenuta una seconda simmetria assiale usando il secondo asse indicato (s). Lo stesso risultato si poteva ottenere applicando una simmetria centrale con centro nell intersezione degli assi.
Mettiti alla prova 1 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(2; 5), B(1; 3) e C(3; 1). Crea un vettore( ) u = (2;3) e un vettore( ) v = (4;0). Applica al poligono una traslazione di vettore u ( ) e al trasformato A B C ottenuto una traslazione di vettore v ( ). Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C e il vettore somma u + v ottenuto con la reagola del parallelogramma. Verifica che il vettore somma è pari alla composizione delle due traslazioni. [A (8; 8); ] 2 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(-5; 2), B(-5; -1) e C(0; -1). Crea un vettore ( ) u = (3;3) e un vettore ( ) v = (4;1). Applica al poligono una traslazione di vettore u ( ) e al trasformato A B C ottenuto una traslazione di vettore v ( ). Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C e il vettore somma u + v ottenuto con la reagola del parallelogramma. Verifica che il vettore somma è pari alla composizione delle due traslazioni. [A (2; 6); ] 3 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(3; 5), B(1; 3) e C(3; 1). Individua il centro di rotazione O(5; 5). Applica al poligono una rotazione ( ) di centro O, di 90 e di verso orario e al trasformato A B C ottenuto una rotazione ( ) sempre di centro O, di 180 e di verso orario. Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C. Verifica che una rotazione di centro O e con angolo pari alla somma dei due angoli dati è pari alla composizione delle due rotazioni. [A (5; 3); ] 4 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(-4; 3), B(-6; 0) e C(-3; -1). Individua due centri di rotazione O(-1; 3) e O (1; 1). Applica al poligono una simmetria centrale ( ) di centro O, di 180 e di verso orario e al trasformato A B C ottenuto una simmetria centrale ( ) di centro O, di 90 e di verso orario. Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C. Verifica che la composizione delle due simmetrie centrali corrisponde a una traslazione. [A (3; 0); ] 5 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(-3; 4), B(-6; 5) e C(-2; 1). Individua una retta parallela all asse delle ordinate e passante per il punto P(4; 0). Applica al poligono una simmetria assiale ( ), usando come asse di simmetria l asse delle ordinate. Applica al trasformato A B C una simmetria assiale ( ), usando come asse di simmetria alla retta individuata dal punto P. Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C. Verifica che la composizione delle due simmetrie assiali corrisponde a una traslazione. [A (5; 4); ] 6 Disegna in un piano cartesiano il triangolo ( ) di vertici A(-5; -1), B(-5; -4) e C(-2; -4). Applica al poligono una simmetria assiale ( ), usando come asse di simmetria l asse delle ordinate. Applica al trasformato A B C una simmetria assiale ( ), usando come asse di simmetria l asse delle ascisse. Indica le coordinate dei punti corrispondenti nella figura trasformata A B C. Verifica che la composizione delle due simmetrie assiali corrisponde a una simmetria centrale o a una rotazione di 180 intorno al punto d intersezione degli assi. [A (5; 1); ]