Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO AMERICHE CORSO DI ORDINAMENTO Indirizzo: SCIENTIFICO Tea di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problei e quesiti del questionario. PROBLEMA Nel piano cartesiano O è data la circonferenza C con centro O e raggio r. a) Si tracci una corda CD perpendicolare al diaetro AB con A(-,) e B(,). Si trovino le coordinate dei punti C ed D di C in odo che l area del triangolo ACD sia assia. b) Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ascissa c) Si calcoli con l aiuto di una calcolatrice, l apiezza, in gradi e prii sessagesiali, dell angolo PO ˆ Q, con P(,) e Q (, ) d) Si calcoli il volue del solido ottenuto dalla rotazione del settore circolare attorno all asse. PROBLEMA. Si trovi l espressione generale di un polinoio P() di grado tale che P(-) P() e ( ) P per ogni.. Sia P ( ) ( ). In un sistea di riferiento cartesiano O si rappresenti l andaento di P ( ), deterinandone in particolare i valori assii e inii e flessi.. Si deterini l area della regione piana finita R copresa tra il grafico di P ( ) e l asse. Si inscriva in R un rettangolo, con uno dei lati sull asse. Coe va scelto tale rettangolo affinchè esso abbia area assia? Coe va scelto tale rettangolo affinchè, ruotandolo di un ezzo giro attorno all asse, si ottenga un cilindro di volue assio? QUESTIONARIO ) Si diostri che l equazione: ha una sola radice copresa fra e. ) Si deterini il periodo della funzione cos( 7) ) Si scrivano le equazioni di aleno due funzioni razionali fratte che hanno un asintoto obliquo. ) Si trovi il valore del paraetro k in odo che la curva d quazione k abbia nel punto d ascissa la tangente orizzontale
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - ) Si dia una definizione di poliedro regolare. Si diostri che i poliedri regolari sono, a eno di siilitudini, solo e si dica quali sono. 6) Quanti sono i nueri di quattro cifre (distinte tra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre pari, diverse da zero? 7) Si calcoli: cos li 8) Si risolva in R la seguente equazione: e e Durata assia della prova: 6 ore. È consentito l uso della calcolatrice non prograabile. Non è consentito lasciare l Istituto pria che siano trascorse ore dalla dettatura del tea.
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - PROBLEMA Nel piano cartesiano O è data la circonferenza C con centro O e raggio r. Punto a Si tracci una corda CD perpendicolare al diaetro AB con A(-,) e B(,). Si trovino le coordinate dei punti C ed D di C in odo che l area del triangolo ACD sia assia. L equazione della circonferenza C è. Per trovare il triangolo ACD di area assia, innanzitutto facciao la seguente considerazione. Il triangolo ACD è isoscele su base CD per sietria ed inoltre ha il vertice sull asse negativo delle ascisse. Il triangolo di area assia dovrà avere la base CD nel prio e quarto quadrante in quanto se la base fosse nel secondo e terzo quadrante il triangolo non avrebbe area assia in quanto esisterebbe il triangolo rettangolo isoscele di base il diaetro ed altezza pari al raggio con area aggiore di quella del triangolo ACD. Quindi i punti C ed D si troveranno rispettivaente nel prio e quarto quadrante ed avranno coordinate C(, ), D(, ) problea: con < <. La figura seguente ostra la geoetria del Il triangolo ACD per sietria è isoscele su base CD allora S( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) portato sotto radice in quanto < ed altezza ( ). L area è in cui il fattore ( ) è stato <. La assiizzazione di S( ) ( ) ( ) alla assiizzazione di g( ) S ( ) ( ) ( ) equivale la cui derivata pria è ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) per cui g '( ) ( ) ( 6 ) g' > < <
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - > < < e g '( ) ( ) ( 6 ) ; da queste considerazioni deduciao che la funzione area è strettaente crescente in, e strettaente decrescente in,, quindi l area assia si ha per e vale 7 S cui corrispondono C,, N,. In questo caso notiao che CD DA AC, cioè il triangolo di area assia è un triangolo equilatero. Punto b Si scrivano le equazioni delle tangenti a C nei suoi punti di ascissa I punti di intersezione tra la circonferenza di equazione e la retta si ricavano dal sistea da cui 8 Q R (, ) (, ) Nel prio e secondo quadrante, cioè nel seipiano >, la seicirconferenza è in fora esplicita. rappresentata dalla curva, entre nel terzo e quarto, cioè nel seipiano < la seicirconferenza è in fora esplicita rappresentata dalla curva le cui derivate sono ' per > e Calcoliao le tangenti:. La tangente in (, ) ' per <. Q ha equazione ( ) con da cui t Q ; ;. La tangente in (, ) R ha equazione ( ) con da cui t R ; ; Analogaente si può procedere nella aniera classica in cui si ette a sistea l equazione della circonferenza e la generica retta tangente e poi si ipone che il delta dell equazione risultante sia nullo. Per la tangente in (, ) Q si ha:
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - ( ) ( ) ( ) ( ) Iponendo Δ si ha ( ) ( )( ) ( ) da cui ; t Q. Per la tangente in ( ), R si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) Iponendo Δ si ha ( ) ( )( ) ( ) da cui ; t R. Di seguito la circonferenza con le tangenti suddette. Punto c Si calcoli con l aiuto di una calcolatrice, l apiezza, in gradi e prii sessagesiali, dell angolo OQ P ˆ, con P(,) e ( ), Q Consideriao la figura seguente:
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - P Q O B L angolo PO ˆ Q è pari a POQ ˆ POB ˆ QOB ˆ π QOˆ B. Ora Q Q OB ˆ arcsin arcsin OQ per cui ˆ ˆ ˆ π P OQ POB QOB arcsin Punto d Si calcoli il volue del solido ottenuto dalla rotazione del settore circolare attorno all asse. Il volue richiesto lo si calcola per differenza tra il volue del solido generato dalla rotazione del quarto di circonferenza PO B cui va sottratto il volue del solido generato dalla rotazione del settore circolare QO B. Il volue del solido generato dalla rotazione del quarto di circonferenza POB è V π ( ) d π ( ) d π 8π ; il volue del solido generato dalla rotazione del settore circolare QO B è a sua volta la soa di due volui, quello generato dalla ' rotazione della retta OQ di equazione in [,] e quello generato dalla rotazione dell arco di circonferenza di equazione in [,], quindi V ( QOB) π d π ( ) d π d π ( ) π π 8 67 π π π 67 V V V QOB 8. Il volue richiesto è allora ( ) π π π d 6
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - PROBLEMA Punto Si trovi l espressione generale di un polinoio P() di grado tale che P(-) P() e ( ) P per ogni. Un generico polinoio di quarto grado è P ( ) a b c d e. Iponendo 6a 8b c d e P ( ) P( ) si ricavano le due condizioni seguenti. Soando le 6a 8b c d e due equazioni si ricava e 6a c entre sottraendole si ricava d b, per cui il polinoio diventa P ( ) a b c b ( 6a c) a( 6) b( ) c( ) )( ) b( ) c( ) ( ) [ a( ) b c] ( )( a b a c) Affinché il polinoio sia sepre positivo, il fattore ( a b a c) ( ) e cioè deve aversi a b. c 8 Un polinoio con le caratteristiche richieste è allora P ( ) ( ) Punto P Sia ( ) ( ) deve essere anch esso pari a. In un sistea di riferiento cartesiano O si rappresenti l andaento di P ( ), deterinandone in particolare i valori assii e inii e flessi. Doinio: R Intersezione asse ascisse: P ( ) ( ) ± Intersezione asse ordinate 6; Eventuali sietrie: la funzione è pari n quanto P( ) P( ) Positività: P ( ) ( ) > R /{ ± } Coportaento agli estrei del doinio: li ( ) ± Asintoti: non vi è nessun tipo di asintoto, nè verticale in quanto il doinio è R, nè orizzontale in quanto li ( ) ± ( ) e nè obliquo in quanto li ± ± 7
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - Crescenza e decrescenza: la derivata pria è '( ) ( ) P per cui P '( ) ( ) > < < > e P '( ) ( ) < < < < quindi la funzione è strettaente crescente in (,) (, ) (, ) (,). e strettaente decrescente in Concavità e convessità: la derivata seconda è ''( ) ( ) P che si annulla in ± che rappresentano le ascisse di due flessi a tangente obliqua. Inoltre P ''( ) >, P'' ( ) >, P' '( ) 6 < per cui in conclusione (,), (,) sono due inii relativi ed assoluti, (,6) è un assio relativo e sono due flessi a tangente obliqua. Di seguito il grafico. 6,, 6, Punto c Si deterini l area della regione piana finita R copresa tra il grafico di P ( ) e l asse L area richiesta è pari a S ( ) d ( ) d in quanto l integrando è pari. Risolvendo l integrale si ha: ( ) d ( 8 6) S 8 d 6 6 Punto d Si inscriva in R un rettangolo, con uno dei lati sull asse. Coe va scelto tale rettangolo affinchè esso abbia area assia? Coe va scelto tale rettangolo affinchè, ruotandolo di un ezzo giro attorno all asse, si ottenga un cilindro di volue assio? 8
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - Consideriao la figura seguente. I vertici A,B,C e D hanno rispettivaente le seguenti coordinate: A (, ( ) ), B, ( ) ( ), C(,), D(,). Vista la sietria del problea consideriao > per cui i liiti geoetrici iposti dal problea sono < <. La base del rettangolo ABCD è AB entre l altezza è AD ( ). L area del rettangolo è allora ( ) ( ) S con < <. La assiizzazione la effettuiao ediante derivazione. La derivata pria è '( ) ( ) 8 ( ) ( )( ) S per cui S '( ) ( )( ) > < < entre S '( ) ( )( ) < < < per cui la funzione area è strettaente crescente in, e strettaente decrescente in,. Inoltre la derivata seconda è S'' ( ) [ ( ) ( ) ] ( 8) per cui 8 [ ( 8) ] < S '' per cui l area assia la si ha per e vale S a S. Il cilindro dovuto alla rotazione del rettangolo di ezzo giro intorno all asse delle ha altezza pari ad AD ( ) V e raggio di base OD, per cui il volue è ( ) OD AD π ( ) π con < <. La assiizzazione la effettuiao ediante [ ] π ( )( 6 8) derivazione. La derivata pria è V '( ) ( ) ( ) [ ] π per cui
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - ( ) [ ( )( 6 8) ] V ' π > < < entre ( ) [ ( )( 6 8) ] < < < V ' π per cui la funzione volue è strettaente crescente in, e strettaente decrescente in,. Inoltre dallo studio della derivata 8 V π deduciao V '' < π per cui il volue seconda ''( ) ( 8 6) assio lo si ha per QUESTIONARIO Quesito Si diostri che l equazione: ha una sola radice copresa fra e. La funzione ( ) 6 e vale V a V π. 7 f è un polinoio di grado dispari, che ha quindi aleno una soluzione reale. Si può osservare anche che è una funzione continua e derivabile per ogni reale. Dunque possiao diostrare facilente, attraverso lo studio del segno della derivata pria f ' ( ) 8, che essa è strettaente crescente, e dunque iniettiva, per cui l equazione data ha un unica soluzione reale. Si osserva poi che ( ) <, f ( ) > degli zeri la funzione presenta un unico zero in (, ). Quesito Si deterini il periodo della funzione cos( 7) Una funzione è periodica di periodo T se f ( ) f ( kt ) ricordando che il coseno è periodico di π cioè π 7 hπ 7 7kT. Per h k si ricava T. 7 f per cui per il teorea con k Z. Nel caso in esae,, deve aversi cos ( 7) cos( 7 h ) cos( 7 7kT ) π e Quesito Si scrivano le equazioni di aleno due funzioni razionali fratte che hanno un asintoto obliquo. Le funzioni razionali fratte sono del tipo sufficiente affinchè una curva P( ) dove ( ) Q( ) Q( ) P, sono due polinoi. Condizione P( ) abbia un asintoto obliquo è che il grado di ( ) Q( ) P sia pari al
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - grado di Q ( ) più uno; quindi due funzioni razionali fratte che hanno un asintoto obliquo sono e ( ) f li ± per. L asintoto obliquo ha equazione q con, q li ± [ f ( ) ] è. Quesito. Per la funzione l asintoto obliquo è entre Si trovi il valore del paraetro k in odo che la curva d quazione k abbia nel punto d ascissa la tangente orizzontale. Una curva ha una tangente orizzontale o in presenza di estreo relativo o di flesso a tangente orizzontale. La derivata pria della faiglia di cubiche è ' k entre la derivata seconda è ' ' 6k. La curva presenta un estreo relativo in se '() k k e () 6k k '' e queste due condizioni sono copatibili tra loro. La curva, invece, presenta un flesso a tangente orizzontale in se '() k k e () 6k k '' : poiché queste due condizioni sono in contraddizione tra di loro, si evince che la curva di equazione k presenterà una tangente orizzontale in presenza di un estreo relativo. Quindi per, che è di inio relativo per la curva stessa. k la cubica presenta una tangente orizzontale in Quesito Si dia una definizione di poliedro regolare. Si diostri che i poliedri regolari sono, a eno di siilitudini, solo e si dica quali sono. Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi sono congruenti. Pertanto gli angoli delle facce di ogni suo angoloide devono essere angoli di poligoni regolari e devono essere aleno tre. Inoltre, per un noto teorea di geoetria solida, in ogni angoloide la soa degli angoli delle facce è inore strettaente di 6. Se le facce del poliedro sono triangoli equilateri, l angolo di ogni faccia è di 6, quindi si possono avere angoloidi di tre facce (si ottiene il tetraedo), di quattro facce (si ottiene l ottaedro), di cinque facce (si ottiene l icosaedro) a non di più, perché la loro soa sarebbe aggiore o uguale a 6 e ciò è ipossibile per il suddetto teorea. Se le facce del poliedro regolare sono quadrati, l angolo di ogni
Sessione ordinaria all estero (AMERICHE) 8 - faccia è di, quindi si può avere solo l angoloide di tre facce (si ottiene il cubo). Se le facce del poliedro regolare sono pentagoni regolari, l angolo di ogni faccia è di 8, quindi si può avere l angoloide di tre facce (si ottiene il dodecaedro) a non di più. Se le facce del poligono regolare sono esagoni regolari, l angolo di ogni faccia è di quindi non si possono avere poliedri relativi perché la soa degli angoli di tre facce è 6 il che è ipossibile. Analogaente non è possibile costruire poliedri regolari aventi per facce poligoni regolari con più di sei lati. Quesito 6 Quanti sono i nueri di quattro cifre (distinte tra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre pari, diverse da zero? Per calcolare quanti nueri di cifre distinte è possibile scrivere utilizzando le sole cifre pari {,,6,8} bisogna applicare la legge delle disposizioni seplici di n eleenti distinti di classe k con k n : D n, k Quesito 7 Si calcoli: n!. Nel caso in esae si ha ( n k)!!! D,!.!! cos li ( ) Moltiplicando nueratore e denoinatore per ( cos) si ha: cos li li ( cos)( cos) sin sin li li li ( cos) ( cos) ( cos) sin in cui si è sfruttato il liite notevole li. Applicando il teorea di de l Hospital si giunge al edesio risultato: Quesito 8 Si risolva in R la seguente equazione: Ponendo cos sin li li e e t e l equazione diventa t ( t )( t ) sin li t t. L equazione e t non ha soluzioni in R entre e. Quindi l unica soluzione di e e è..