Capitolo 6 DIVIORI DI POTENZA E ACCOPPIATORI DIREZIONALI 6. Divisori di potenza e gli accoppiatori direzionali I divisori di potenza e gli accoppiatori direzionali sono componenti a microonde passivi usati per la divisione di potenza o per l accoppiamento di potenza, come illustrato in fig. 6.. Fig. 6.: chema di un divisorie e di un accoppiatore di potenza. Nel divisore di potenza un segnale in ingresso è diviso dall accoppiatore in due o più segnali di potenza inferiore. L accoppiatore può essere un componente a tre porte, come mostrato in fig. 6., con o senza perdite, o può essere un componente a quattro porte. Le reti a tre porte hanno la forma di giunzioni a T o altri divisori di potenza, mentre le reti a quattro porte hanno la forma di accoppiatori direzionali e ibridi. I divisori di potenza sono spesso a uguale divisione (accoppiatore a 3 db) ma è possibile realizzare divisori con rapporti di potenza diversi. Gli accoppiatori possono essere progettati per realizzare una divisione di potenza arbitraria, mentre le giunzioni ibride usualmente effettuano una uguale divisione di potenza. Gli ibridi producono anche una deviazione di fase di 9 (ibridi in quadratura) o di 8 (T-magico). Negli anni 94 furono inventati e caratterizzati nei laboratori MIT Radiaton Laboratory una grande varietà di accoppiatori in guida a divisori di potenza. Questi includono giunzioni a T, E-plane e H-plane, l accoppiatore di Bethe, gli accoppiatori direzionali multiapertura, l accoppiatore di chwinger, il T magico, e vari tipi di accoppiatori che usano le sonde in coassiale. Dalla metà degli anni cinquanta alla fine degli anni sessanta, molti di questi accoppiatori furono reinventati usando tecnologia a stripline o a microstriscia.
Appunti di microonde L intenso uso delle linee planari ha permesso lo sviluppo di nuovi tipi di accoppiatori e divisori, come il divisore di Wilkinson, l ibrido branch-line e l accoppiatore direzionale a linee accoppiate. Nel seguito discuteremo alcune proprietà generali delle reti a tre o quattro porte e quindi affronteremo l analisi ed il progetto di alcuni tra i più comuni tipi di divisori, accoppiatori e ibridi. 6. Proprietà basilari di divisori ed accoppiatori In questo paragrafo useremo la teoria della matrice di scattering per descrivere alcune proprietà di base delle reti a tre e quattro porte. Definiremo anche i termini isolamento, accoppiamento e direttività che sono utili per la caratterizzazione di accoppiatori e ibridi. 6.. Reti a tre porte (Giunzione a T) Il tipo più semplice di divisore di potenza è la giunzione a T che è una rete a tre porte con due ingressi e un uscita. La matrice di scattering di una rete a tre porte arbitraria ha nove elementi indipendenti: 3 3 3 3 33 (6.) e il componente è passivo e non contiene materiale anisotropo, allora è reciproco e la matrice è simmetrica ij ji. Di solito, per evitare perdite di potenza, si desidererebbe avere una giunzione senza perdite ed adattata a tutte le porte. i può facilmente dimostrare che è impossibile costruire una rete a tre porte priva di perdite, reciproca, e che sia adattata a tutte le porte. e tutte le porte sono adattate ii, e se la rete è reciproca la matrice di scattering si riduce a 3 3 3 3 (6.) Ora se la rete è anche priva di perdite, per la conservazione dell energia (3.53) la matrice di scattering deve essere unitaria e ciò porta alle seguenti condizioni: 3 (6.3a) 6
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali 3 (6.3b) 3 3 3 3 3 3 (6.3c) (6.3d) (6.3e) (6.3f) Le equazioni (6.3d-f) mostrano che almeno due dei tre parametri, 3, 3 devono essere nulli. Ma questa condizione è in contrasto con una delle equazioni (6.3a-c), il che implica che una rete a tre porte non può essere priva di perdite, reciproca e adattata a tutte le porte. e si elimina una delle tre condizioni si possono ottenere dispositivi fisicamente realizzabili. e la rete a tre porte è non reciproca, ij ji, allora possono essere contemporaneamente soddisfatte le condizioni di adattamento a tutte le porte e la conservazione di potenza. Un tale dispositivo è noto come circolatore, e per ottenere un comportamento non reciproco generalmente è realizzato con materiale anisotropo, come la ferrite. I circolatori saranno discussi in dettaglio nel capitolo 9 ma noi possiamo dimostrare che una qualsiasi rete a tre porte adattata e senza perdite deve essere non reciproca e quindi è un circolatore. La matrice di una rete a tre porte adattata ha la seguente forma: 3 3 3 3 (6.4) 3 3 3 3 e la rete è senza perdite [] deve essere unitaria il che implica: (6.5a) (6.5b) (6.5c) 3 (6.5d) 3 (6.5e) 3 3 (6.5f) Queste equazioni possono essere soddisfatte in uno dei seguenti modi (6.6a) 3 3 3 3 6
Appunti di microonde oppure (6.6b) 3 3 3 3 Questo risultato mostra che ij ji, per i j, il che implica che il dispositivo deve esser non reciproco. Le matrici per le due soluzioni (6.6) sono mostrate in fig. 6. insieme con i simboli per i due possibili tipi di circolatori. La sola differenza è nella direzione del flusso di potenza tra le porte. Pertanto la soluzione (6.6a) corrisponde ad un circolatore che consente il flusso di potenza solo dalla porta alla, o dalla porta alla porta 3, oppure dalla porta 3 alla ; mentre la soluzione (6.6b) corrisponde ad un circolatore con flusso di potenza in direzione opposta. Fig. 6.: Circolatori con le rispettive matrici [] per senso di circolazione a) orario e b) antiorario. Alternativamente, una rete a tre porte senza perdite e reciproca può essere fisicamente realizzata solo se due porte sono adattate. e ad esempio sono adattate solo le porte e, la matrice [] può essere scritta come: 3 3 3 3 33 (6.7) Per essere senza perdite, le condizioni di unitarietà devono impongono: (6.8a) 3 3 3 333 3 333 (6.8b) (6.8c) 3 (6.8d) 3 (6.8e) 3 3 33 (6.8f) 6
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali Le equazioni (6.8d-e) mostrano che 3 3, così la (6.8a) porta al risultato. Allora 33. 3 3 La matrice di scattering e il corrispondente grafo di flusso del segnale per questa rete sono mostrati in fig. 6.3 dove si vede che la rete è composta da due elementi separati che sono: La linea a due porte ( e ); una porta totalmente isolata (3). Fig. 6.3: Matrice di scattering con relativo grafo del flusso del segnale per una rete a tre porte, reciproca, con due porte adattate. Infine la rete a tre porte può essere con perdite, reciproca e adattata a tutte le porte: questo è il caso del divisore resistivo che sarà discusso in seguito. Inoltre, si può realizzare una rete a tre porte con perdite per avere isolamento tra le sue porte in uscita (per esempio, ) 3 3 6.. Reti a quattro porte. Accoppiatori direzionali La matrice di una rete a quattro porte, reciproca adattata a tutte le porte ha la seguente forma: 3 4 3 4 3 3 34 4 4 34 (6.9) 63
Appunti di microonde e la rete è senza perdite, dalla condizione di unitarietà si possono derivare dieci equazioni. Considerando il prodotto della riga con la, ed il prodotto della riga 4 con la 3 e si ha: 3 3 44 4 3 43 (6.a) (6.b) Ora moltiplicando la (6.a) per seconda, si ha: 4 3 4 4 e la (6.b) per 3 e, sottraendo la prima dalla (6.) imilmente, il prodotto fra le righe e 3 e fra le righe 4 e dà: 3 434 4 343 (6.a) (6.b) Moltiplicando la (6.a) per e la (6.b) per 34 e, sottraendo la seconda dalla prima risulta: 3 34 (6.3) Affinché la (6.) e la (6.3) risultino soddisfatte, deve essere 4 3 il che dà luogo ad un accoppiatore direzionale. Allora gli autoprodotti delle righe della matrice unitaria danno: 3 (6.4a) 4 (6.4b) 3 34 (6.4c) 4 34 (6.4d) che implicano 3 4 (usando la (6.4a) e la (6.4b)), e 34 (usando la (6.4b) e la (6.4d)). Ulteriori semplificazioni possono essere fatte scegliendo i riferimenti in fase su tre delle quattro porte. 64
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali j Consideriamo 34 3 e j e 4 e, dove e sono reali mentre e sono costanti di fase da determinare (una delle quali può essere scelta liberamente). Il prodotto tra le righe e 3 dà: 3 434 (6.5) che porta ad una relazione tra le rimanenti costanti di fase come del tipo: n (6.6) e ignoriamo i multipli interi di ci sono due particolari scelte che comunemente si presentano in pratica:. L accoppiatore simmetrico:. Le fasi dei termini che hanno ampiezza sono scelte uguali. Allora la matrice di scattering si presenta come: j j j j (6.7). L accoppiatore asimmetrico: =, =π. Le fasi dei termini che hanno ampiezza sono sfasati di 8. Allora la matrice di scattering si presenta come: (6.8) Notiamo che i due accoppiatori differiscono solo nella scelta dei piani di riferimento. Inoltre le ampiezze di e non sono indipendenti poiché la (6.4a) richiede che: (6.9) Pertanto, escludendo i piani di riferimento, un accoppiatore direzionale ideale ha un solo grado di libertà. Altro modo per soddisfare le (6.) e (6.3) è che 3 4 e 34. e scegliamo i piani di riferimento tali che 3 4 e 34 j (che soddisfa la (6.6)), si ottiene l equazione, mentre la (6.a) porta alla condizione 3 4 65
Appunti di microonde. Queste due equazioni ammettono due possibili soluzioni. Innanzitutto: 4 3 4 3, stessa condizione valida per l accoppiatore visto prima. L altra soluzione si ha per, ottenendo 3 4 34 : siamo nel caso di due reti a due porte disaccoppiate (tra le porte e 4, e 3) che non è un caso interessante e perciò non verrà considerato. i può concludere che qualsiasi rete a quattro porte reciproca, priva di perdite e adattata sulle quattro porte è un accoppiatore direzionale. Il principio di funzionamento di un accoppiatore direzionale può essere illustrato con l aiuto della fig. 6.4, che mostra due simboli comunemente usati per un accoppiatore direzionale e le definizioni delle porte. Fig. 6.4: Comuni rappresentazioni usate per l accoppiatore direzionale e relativa convezione del flusso di potenza. La potenza fornita dalla porta è accoppiata alla porta 3 con un fattore di accoppiamento, mentre la rimanente potenza è fornita alla porta con un 3 coefficiente α = -β. In un accoppiatore direzionale ideale, non è fornita alcuna potenza alla porta 4 (porta isolata). Per caratterizzare un accoppiatore direzionale vengono solitamente usate le seguenti quantità: Accoppiamento Direttività Isolamento P (6.a) P C log - log db 3 P (6.b) P 3 D log log db 4 4 P (6.c) I log - log 4 db P4 66
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali Il fattore di accoppiamento indica la frazione della potenza di ingresso che è accoppiata alla porta di uscita. La direttività e l'isolamento esprimono una misura dell abilità dell accoppiatore di isolare le onde dirette e inverse. Queste quantità sono legate dalla relazione: I C D db (6.) L accoppiatore ideale avrà direttività e isolamento infinito 4. Quindi sia che possono essere determinati dal fattore di accoppiamento C. Gli accoppiatori ibridi sono casi speciali di accoppiatori direzionali in cui il fattore di accoppiamento è 3 db, il che implica. Ci sono due tipi di ibridi: l ibrido in quadratura ha una deviazione di fase tra le porte e 3 di 9 quando si alimenta la porta, ed è un esempio di accoppiatore simmetrico. La matrice ha la seguente forma: j j j j (6.) L ibrido T-magico o l'ibrido rat-race ha uno sfasamento di 8 tra le porte e 3 quando si alimenta la porta 4, ed è un esempio di accoppiatore asimmetrico. La sua matrice [] ha la seguente forma: 6.3 I divisori di potenza: giunzione a T (6.3) Il divisore di potenza, realizzato con una giunzione a T, è una semplice rete a tre porte che può essere usata come divisore di potenza o combinatore di potenza e può essere implementato in qualsiasi linea di trasmissione o mezzo. La fig. 6.5 mostra alcune tipiche giunzioni a T realizzate con tecnologia in guida d onda e a microstriscia. Le giunzioni di seguito mostrate si suppongono prive di perdite. Pertanto, come discusso nel paragrafo precedente, tali giunzioni non possono essere simultaneamente adattate a tutte le porte. 67
Appunti di microonde Fig. 6.5: Configurazioni possibili di giunzioni a T. a) T in guida d'onda di tipo E-plane. b) T in guida d'onda di tipo H-plane. c) Giunzione a T a microstriscia. 6.3. Divisore privo di perdite. Le giunzioni a T prive di perdite di fig. 6.5, possono essere modellate come una giunzione a tre linee di trasmissione, così come viene mostrato in fig. 6.6. In generale ci sono campi di sfrangiamento e modi di ordine superiore, associati con la discontinuità in tale giunzione, che danno origine ad un immagazzinamento di energia che può essere portato in conto con una suscettanza concentrata B. Affinché il divisore sia adattato alla linea di ingresso di impedenza caratteristica Z si deve verificare che: Yin j (6.4) Z Z Z e le linee di trasmissione si suppongono prive di perdite (o a basse perdite) allora le impedenze caratteristiche sono reali. Assumendo B=, la (6.4) si riduce a: (6.5) Z Z Z In pratica se B non è trascurabile, si possono aggiungere alcuni elementi di tuning reattivi al divisore per annullare questa suscettanza almeno su uno stretto range di frequenze. Le impedenze delle linee di uscita Z e Z possono essere scelte per fornire diversi rapporti di potenza. Per una linea a 5 in ingresso si può realizzare un divisore di potenza a 3 db usando due linee a 68
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali Fig. 6.6: Giunzioni a T priva di perdite modellata con tre linee di trasmissione e necessario, possono essere usati i trasformatori a 4 per portare le impedenze di linea ai livelli desiderati. e le linee di uscita sono adattate, allora la linea di ingresso sarà adattata, ma non ci sarà isolamento tra le due porte di uscita e ci sarà disadattamento guardando nelle porte di uscita. 6.3. Divisore resistivo e un divisore a tre porte contiene componenti con perdite, esso può essere adattato a tutte le porte, sebbene le due porte di uscita possono non essere isolate. Il circuito equivalente per tale divisore viene illustrato in fig. 6.7 con resistori ad elementi concentrati. In fig. 6.7 è illustrato un divisore a 3 db ma è possibile realizzare divisori con rapporti di divisione di potenza disuguali. Fig. 6.7: Divisore a 3 db. 69
Appunti di microonde Il divisore resistivo di fig. 6.7 può essere facilmente analizzato usando la teoria dei circuiti. Assumendo che tutte le porte siano chiuse sull impedenza caratteristica Z, l impedenza Z vista guardando nel resistore Z 3 seguito dalla linea di uscita è: Z 4 (6.6) 3 3 Z Z Z Allora l impedenza di ingresso del divisore è: Z (6.7) 3 3 Zin Z Z che mostra che l ingresso è adattato alla linea di alimentazione. Poiché la rete è simmetrica da tutte e tre le porte, le porte di uscita risultano anche adattate, allora 33 e la tensione alla porta è V, allora, per la divisione di tensione, la tensione V al centro della giunzione è: Z 3 V V V Z Z 3 3 3 (6.8) e le tensioni di uscita sono ancora per divisione di tensione: Z 3 V V V V V 3 Z 4 Z 3 (6.9) Allora 3 3, che è 6 db sotto il livello di potenza in ingresso. La rete è reciproca, così la matrice di scattering può essere scritta come: (6.3) 7
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali i può verificare che questa non è una matrice unitaria. La potenza fornita all ingresso del divisore è: P in V (6.3) Z mentre le potenze di uscita sono: V V P P3 P (6.3) Z 8 Z 4 in che mostra che metà della potenza fornita viene dissipata nei resistori. 6.4 Divisore di potenza di Wilkinson Il divisore di potenza di Wilkinson è un dispositivo a tre porte che permette sia di dividere la potenza in ingresso alla porta quando si considerano le porte e 3 come porte di uscita, sia di combinare la potenza in ingresso alle porte e 3 quando la porta di uscita è la porta. Di solito, quando si usa come divisore, la potenza in uscita dalle porte e 3 è pari alla metà della potenza in ingresso, sebbene si possa realizzare una divisione di potenza arbitraria. e si realizza una rete priva di perdite con le porte perfettamente adattate, la funzione dell impedenza Z è quella di dissipare la sola potenza riflessa. Fig 6. 8: Divisore di potenza di Wilkonson a microstriscia. In fig. 6.9 è riportato il circuito equivalente del divisore di potenza di Willkinson in cui tutte le impedenze sono state normalizzate all'impedenza caratteristica Z e sono stati 7
Appunti di microonde introdotti i generatori di tensione alle porte di uscita. Inoltre i due resistori in ingresso di valore combinati in parallelo danno un resistore di valore. Le linee /4 hanno impedenza caratteristica normalizzata Z mentre il resistore normalizzato ha valore r. Per una ugual divisione di potenza deve essere Z e r=. Fig. 6.9: Divisore di potenza di Wilkinson in forma normalizzata e simmetrica. Possiamo caratterizzare il divisore con una matrice dei parametri ottenuta dallo studio del dispositivo con la tecnica dei modi pari e dispari. Usando la tecnica dei modi e e pari, si pone Vg Vg 3 nel circuito di fig. 6.9, si ottiene V V 3 e corrente nulla nei resistori r/. Il circuito si riduce a quello mostrato in fig. 6.. Inoltre, guardando dalla porta, si vede un impedenza: e Z Zin (6.33) per la presenza del trasformatore a /4. Quindi, se Z, la porta è adattata per e e l eccitazione di modo pari e V V perché Zin. La resistenza r/ è superflua in questo e caso, dato che c è un circuito aperto alla porta. i calcola, poi, V con le equazioni delle linee di trasmissione. e si pone x= alla porta e x=- /4 alla porta, la tensione alla generica sezione x della linea di trasmissione si può scrivere come: jx jx V( x) V ( e e ) (6.34) e e e quindi le tensioni V e V assumono la seguente forma: 7
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali e V V( /4) jv ( ) V (6.35) e V V() V ( ) jv (6.36) dove è il coefficiente di riflessione visto dalla porta guardando verso il resistore normalizzato: (6.37) e V e jv (6.38) Usando la tecnica dei modi dispari, invece, si impone V g = -V g3 e si ottiene o o V V3 ed una tensione nulla sulla linea di mezzeria del circuito in fig. 6.9. In tal caso possiamo considerare il circuito mostrato in fig. 6. dove guardando dalla porta si vede un impedenza di r/. Per la presenza del trasformatore / 4, il corto circuito alla porta è o o visto come un circuito aperto alla porta. Così V V e V e tutta la potenza passa attraverso la resistenza del circuito. Infine, l impedenza di ingresso alla porta quando le porte e 3 sono chiuse su carichi adattati, è pari a uno, per la presenza dei due trasformatori /4 connessi in parallelo e chiusi su carichi unitari. Fig. 6.: Bisezione del circuito in fig. 6.9 per l eccitazione con modi pari. 73
Appunti di microonde Fig. 6.: Bisezione del circuito in fig. 6.9 per l eccitazione con modi dispari. L impedenza d ingresso risulta: Z in = = (6.39) Riassumendo, i parametri di un divisore di potenza di Wilkinson sono: ( Z alla porta ) 33 e o V V e o V V in (le porte e 3 sono adattate per i modi pari e dispari) j (simmetria dovuta alla reciprocità) 3 3 j (simmetria delle porte e 3) 3 3 (dovuti al circuito aperto o al corto circuito quando si opera la bisezione) Quando il divisore è alimentato alla porta e le uscite sono adattate, nessuna potenza viene dissipata nel resistore. Al contrario, esso è privo di perdite se c è adattamento a tutte le porte, ed il resistore dissipa solo la potenza riflessa alle porte e 3. Così 3 3 e le porte e 3 sono isolate. e si vuole progettare un divisore di potenza di Wilkinson bisogna verificare che siano rispettate le seguenti condizioni: tutte le porte devono essere perfettamente adattate ( ii < 5 db); si deve garantire un buon isolamento tra le porte di uscita ( 3 < db); si deve garantire una divisione per quanto possibile equa della potenza alle porte e 3 ( 3 3 db); i riportano in fig. 6. gli andamenti qualitativi dei parametri ottenuti per un Wilkinson progettato intorno alla frequenza f=7.5 GHz usando un simulatore circuitale. 74
Capitolo 6: Divisori di potenza e accoppiatori direzionali Fig. 6.: Parametri del Wilkinson. La porta è l ingresso; le porte e 3 sono uscite. 75