LE FREQUENZE CUMULATE Dott.ssa P. Vcard Introducamo questo argomento con l seguente Esempo: consderamo la seguente dstrbuzone d un campone d 70 sttut d credto numero flal present nel terrtoro del comune d Roma. N.ro flal n() f() N() F() 3 6 0.086 6 0.086 3 5 2 0.7 5 0 0.57 0 20 32 0.457 20 50 9 0.29 70 6+2= =8 6+2+= =29 6+2++32= =6 6+2++32+9= =70 0.086+0.7= =0.257 0.086+0.7+0.57= =0.44 0.086+0.7+0.57+0.457= =0.87 0.086+0.7+0.57+0.457+0.29= = Innanz tutto notamo che s tratta d una dstrbuzone d frequenze n cu l carattere (X = numero d flal ) vene rlevato su n=70 sttut d credto. Inoltre l carattere è quanttatvo dscreto e raggruppato n class ate a snstra e chuse a destra (fatta eccezone la prma classe). Nella lezone2 abbamo vsto le frequenze assolute e relatve, ovvero le n e le f dove ndca la generca -esma modaltà (o classe) del carattere. Qund n 2 =2 ndca che 2 sttut d credto hanno 4 o 5 flal (l 3 è escluso!) nel comune d Roma; f 2 =0.7 ndca che, fatto par a l totale, 0.7 sttut d credto hanno 4 o 5 flal a Roma. Nella tabella sopra ò sono present due nuove colonne. La colonna delle N, dette frequenze assolute cumulate. Vedamo che sono 6 gl sttut d credto con al pù 3 flal. Sono 8 gl sttut d credto con al pù 5 flal. Sono 29 gl sttut d credto con al pù 0 flal, ecc.... La colonna delle F, dette frequenze relatve cumulate. Fatto par a l totale, sono: 0.086 gl sttut con al pù 3 flal; 0.257 gl sttut con al pù 5 flal e così va. Notamo che s possono anche calcolare le frequenze centual cumulate. Basta moltplcare le F 00. Rcordatev!!! Prma d nzare a calcolare le frequenze cumulate (assolute, relatve e centual) dovete ordnare n modo crescente le modaltà (o class) del carattere. * * * * * * * Esprmamo quanto vsto sopra n formule. Nel caso d caratter qualtatv ordnat o quanttatv è possble defnre accanto alle frequenze assolute e relatve (e centual), le frequenze cumulate assolute e relatve (e centual). Consderata una dstrbuzone d frequenze, sano x, x 2,, x k le modaltà assunte (ordnate n ordne crescente) da un carattere qualtatvo ordnato o quanttatvo sulle n untà d un collettvo.
X n f N F x n f N = n F = f x 2 n 2 f 2 N 2 = n +n 2 F 2 = f +f 2 x n f N = n +n 2 +...+n F = f +f 2 +...+f x K n K f K N K = n +n 2 +n +...n k = n F K = f +f 2 +f +...f k = Totale N Defnamo:. Le frequenze assolute cumulate (ndcate con N ) come segue: N = n N 2 = n +n 2 = N + n 2 N = n +n 2 +...+n = N - + n N k = n +n 2 +n +...n k = n Coè la frequenza assoluta cumulata N msura quante untà del collettvo osservato possedono o la modaltà x o la modaltà x 2 o la modaltà x. Per = abbamo che N è esattamente uguale alla frequenza assoluta della prma modaltà. Per =K abbamo che N K è uguale a tutta la numerostà del collettvo. 2. Le frequenze relatve cumulate (ndcate con F ) come segue: F = f F 2 = f +f 2 = F + f 2 F = f +f 2 +...+f = = F - + f F k = f +f 2 +f +...f k = Stesse consderazon fatte le frequenze assolute cumulate possono essere fatte le frequenze relatve cumulate. N F = ché n N n + n 2 + L+ n n n 2 n = = + + L+ = f + f2 + L+ f n n n n n S not noltre che 3. S possono noltre defnre anche le frequenze centual cumulate. P = p P 2 = p +p 2 = P + p 2 P = p +p 2 +...+p = = P - + p = F 2
P k = p +p 2 +p +...p k = 00 Notamo che P =F 00 Abbamo vsto come ottenere le N dalle n e le F dalle f (coè come passare dalla dstrbuzone d frequenze alla dstrbuzone d frequenze cumulate). Adesso vedamo che è anche possble fare l vceversa, coè s può rcavare la dstrbuzone d frequenze a partre dalla dstrbuzone d frequenze cumulate. Tornamo al nostro esempo e supponamo che c sano state date solo le frequenze cumulate (sa assolute sa relatve). Voglamo calcolare le frequenze assolute (o relatve). Per es. voglamo sae quant sono gl sttut d credto con 4 o 5 flal a Roma. Come faccamo? Consderamo propro la defnzone d frequenza cumulata. Cosa sappamo?. sappamo che N = 6 sono gl sttut con al pù 3 flal 2. sappamo che N 2 = 8 sono gl sttut con al pù 5 flal Allora n 2 = N 2 N = 8 6= 2 In termn formal notamo che N = n +n 2 +...+n - +n = N - + n qund n = N -N - coè la frequenza assoluta della modaltà s ottene sottraendo alla sua frequenza assoluta cumulata la frequenza assoluta cumulata relatva alla modaltà -. Analogamente le frequenze relatve s ha f = F -F - Anche le frequenze relatve cumulate possono essere rappresentate grafcamente dando luogo alla funzone d rpartzone. Nella presentazone della funzone d rpartzone è necessaro tenere dstnt due cas: ) carattere quanttatvo dscreto con modaltà non raggruppate n class, 2) carattere quanttatvo con modaltà raggruppate n class. 3
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE (caratter quanttatv dscret con modaltà non raggruppate n class) Esempo: n un anals d controllo d qualtà, su 20 campon d stoffa d m 2 numero d dfett. S è ottenuta la seguente dstrbuzone è stato rlevato l N dfett m 2 d stoffa n f N F X = 0 4 0,2 4 0,2 X 2 = 3 0,5 7 0,35 X 3 =2 4 0,2 0,55 X 4 =3 5 0,25 6 0,8 X 5 =4 2 0, 8 0,9 X 6 =5 2 0, 20 TOTALE 20 Introducamo una nuova rappresentazone grafca. In partcolare costruamo la funzone d rpartzone. Essa s costrusce a partre dalle frequenze relatve cumulate. Prma d tutto la defnamo come segue. F ( x ) = 0 0,2 0,35 0,55 0,8 0,9 x < 0 0 x < x < 2 x < 3 x < 4 x < x 5 2 3 4 5 Possamo rappresentare questa funzone su un pano cartesano: sull asse delle ascsse abbamo le modaltà del carattere (ordnate n modo crescente) sull asse delle ordnate abbamo la F(x) coè le frequenze relatve cumulate. La rappresentazone grafca della Funzone d rpartzone è mportante n quanto consente d ndvduare caratterstche mportant della corrspondente dstrbuzone d frequenze (ad es. consente d rspondere alla domanda seguente: la centuale d campon d stoffa che ha un numero d dfett mnore o uguale a tre è meno del 50%?) 4
F(x) 0,5 0,25 0 2 3 4 5 x Pù formalmente, la funzone d rpartzone caratter quanttatv dscret non n class è una funzone a gradn le cu ordnate sono par a valor delle frequenze cumulate. La funzone non è contnua e n partcolare punt d dscontnutà sono propro n corrspondenza delle modaltà del carattere. F 0 x < x... F x x < x... x xk ( x) = + Esempo: s consder la dstrbuzone de 000 student scrtto al prmo anno della Facoltà d Economa d Roma Tre n base al numero d esam sostenut prma dell nzo del III quadrmestre. N Esam n() f() F() 0 75 0.075 0.075 40 0.40 0.25 2 374 0.374 0.589 3 302 0.302 0.89 4 09 0.09.000 000 Il grafco della funzone d rpartzone è l seguente: 5
.200.000 0.800 F(x) 0.600 0.400 0.200 0.000 0 2 3 4 5 n* esam (X) 6
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE (carattere quanttatvo con modaltà raggruppate n class) Esempo: su 20 ndvdu è stata rlevata l età. Abbamo costruto la dstrbuzone seguente n cu sono calcolate sa le frequenze assolute sa le frequenze cumulate. CLASSI DI ETÀ n f N F h 0 30 6 6/20 = 0,30 6 0,30 0,05 30 50 7 7/20 = 0,35 3 0,65 0,075 50 70 4 4/20 = 0,20 7 0,85 0,0 70 90 3 3/20 = 0,5 20 0,0075 TOTALI 20 Sappamo rspondere senza alcun problema alla domanda: Qual è la centuale degl ndvdu al d sotto de 30 ann? È par al 30%. Qual è la centuale degl ndvdu con età compresa tra 30 e 70 ann? È par a 85-30=55% È bastato usare la dstrbuzone delle frequenze relatve cumulate. Come abbamo vsto nell esempo s può faclmente calcolare l valore della funzone d rpartzone F(x) agl estrem d ogn classe. E nfatt s ha: F(0) = 0/20 = 0 F(30) = 6/20 = 0,30 F(50) = (6 + 7)/20 = 3/20 = 0,65 F(70) = (6 + 7 + 4)/20 = 7/20 = 0,85 F(90) = (6 + 7 + 4 + 3)/20 = 20/20 = Per orentars meglo vedamo la seguente tabella generale. X n f F c 0 - c n f F c c 2 n 2 f 2 F 2 c - - c n f F c K- - c K n K f K F K 7
In termn formal, quando s vuole calcolare l valore della F(x) n corrspondenza degl estrem delle class s ha che la F(x) è par a: 0 n c 0, dove c 0 è l'estremo nferore della prma classe; F n c, dove c è l estremo suore della generca classe. Ma se adesso chedo: qual è la centuale degl ndvdu al d sotto de 20 ann? Per rspondere abbamo bsogno dell potes d unforme dstrbuzone all'nterno d ogn classe. Infatt questa tabella non contene alcuna nformazone crca l età de sngol ndvdu all nterno delle sngole class. Allora, come abbamo vsto gà, assumamo che le untà s dstrbuscano unformemente all nterno delle class, ovvero che n ogn ntervallno d ampezza untara della classe cada la stessa frazone d untà. Medante l potes d unforme dstrbuzone delle untà all nterno d ogn classe, s arrva ntutvamente alla seguente espressone: F(X) ( x c ) = F + h () Leggamola. Sappamo che x è un punto che cade nella classe con estremo nferore c - ed estremo suore c. Qund la frequenza cumulata n x (coè la frazone d untà che presenta una valore della modaltà al pù par ad x) sarà data da F(X) = F + la frequenza relatva della sottoclasse (c -, x). Qu ntervene l potes d unforme dstrbuzone. Innanztutto mmagnamo d dvdere la classe (c -, c ) n ntervalln d ampezza untara. Sappamo che la frequenza d ognuno d quest ntervalln è par alla denstà (s veda la lezone2) tanto la frequenza relatva che compete a tutta la classe è (c -c - ) h e la frequenza che compete solo al tratto (c -, x) è data da ( x c ) h F(X) = F + h x c. Da qu derva ( ) Intanto osservamo che l espressone () è un retta; vederlo meglo la possamo scrvere così: F(X) = F h c + h x e qu rconoscamo l espressone generale d una retta che è del tpo y = a + b x dove y = F(x) a = F - -h c - b = h Vedamo, pù formalmente (e meno ntutvamente) cosa abbamo fatto sopra. L'potes d unforme dstrbuzone equvale a nterpolare lnearmente F(x) tra due punt (c - ; F - ) e (c ; F ). In altre parole supponamo che due punt (c - ; F - ) e (c ; F ) sano unt da un segmento. Pertanto possamo usare la formula che consente d defnre una retta quando s hanno due punt y y y 2 y = x x x x 2 dove y = F(x), y = F -, y 2 = F, x = c -, x 2 = c Qund la funzone d rpartzone nella classe (c -, c ) è la seguente: 8
f F (x) (2) ( x c ) = F + c c Basta osservare, nfne, che c f = h e s ha l espressone () c Grafcamente s ha che la funzone d rpartzone è una funzone contnua ed è data da una spezzata. La defnzone d ogn tratto della curva è data dalla formula (2) oppure () vsto che sono del tutto equvalent. E pù comodo usare la () se abbamo gà calcolato la colonna delle denstà altrment convene utlzzare la (2)..2 0.85 0.8 0.65 F(x) 0.6 0.4 0.3 0.2 0 0 0 20 40 60 80 00 Età Tornamo al nostro esempo e vedamo che forma assume la funzone d rpartzone nelle vare class. Rscrvamo la dstrbuzone che è la seguente: CLASSI DI ETÀ n f N F 0-30 6 6/20 = 0,30 6 0,30 30-50 7 7/20 = 0,35 3 0,65 50-70 4 4/20 = 0,20 7 0,85 70-90 3 3/20 = 0,5 20 TOTALI 20 Inzamo dalla prma classe (=), 9
c 0 = 0 e c = 30 F 0 = 0 e F = 0.3 f = F - F 0 = 0.3 Pertanto F(x) nell'ntervallo 0 30 è: F 0,30 30 0 = 0,05x 0,5 ( x) = 0 + ( x 0) = Passamo alla seconda classe (=2), c = 30 e c 2 = 50 F = 0.3 e F 2 = 0.65 f 2 = F 2 - F = 0.65-0.3 = 0.35 Pertanto F(x) nell'ntervallo 30 50 è: 0,35 F x 50 30 = 0,30 + 0,075x 0,525 = ( ) = 0,30 + ( x 30) = 0,075x 0,225 = Passamo alla seconda classe (=3), c 2 = 50 e c 3 = 70 F 2 = 0.65 e F 3 = 0.85 f 3 = F 3 - F 2 = 0.85-0.65 = 0.20 Pertanto F(x) nell'ntervallo 50 70 è: F 0,20 70 50 = 0,65 + 0,0x 0,5 = ( x) = 0,65 + ( x 50) = 0,0x + 0,5 = Passamo nfne alla quarta e ultma classe (=4), c 3 = 70e c 4 = 90 0
F 3 = 0.85 e F 4 = f 4 = F 4 - F 3 = - 0.85 = 0.5 Pertanto F(x) nell'ntervallo 70 90 è: F 0,5 = 90 70 = 0,85 + 0,0075 x 0,525 = ( x) = 0,85 + ( x 70) = 0,0075 x + 0,325 Pertanto sntetcamente possamo scrvere la funzone d rpartzone come segue F (x) 0 0.05x 0.5 0.075x - 0.225 = 0.0x + 0.5 0.0075x + 0.325 x < 0 0 x < 30 30 x < 50 50 x < 70 70 x < 90 x 90 In termn formal, usando la formula (2) la funzone d rpartzone s defnsce come segue: F(x) = F - + c K 0 f c ( x - c ) - K x < c c - 0 x < c x c K (3) La funzone d rpartzone è una funzone non decrescente lneare a tratt (come s è anche potuto vedere dal grafco). Samo, ora, n grado d calcolare l valore della funzone d rpartzone n qualunque x. Infatt basta ndvduare la classe n cu cade l valore x a cu samo nteressat e po s usa esattamente l espressone della retta quella classe. Tornamo al nostro esempo. Samo ora n grado d calcolare F(20). Indvduamo prma d tutto la classe n cu cade l valore x=20 che è 0 30. Qund consderamo l espressone della funzone d rpartzone relatva a questo ntervallo che è la retta F(x) = 0.05x 0.5 Ponamo x = 20 e ottenamo F(20) = 0.05 20 0.5 = 0.5
Possamo rspondere anche a domande pù complesse e coè del tpo: qual è la centuale d untà con età compresa tra 38 e 55 ann? Rsposta: (F(55) F(38))*00 Qund occorre calcolare l valore della funzone d rpartzone sa n 55 sa n 35. Il valore 38 cade nella classe 30-50 dove F(x) = 0.075x 0.225 tanto F(38) = 0.44 Il valore 55 cade nella classe 50-70 dove F(x) = 0.0x + 0.5 tanto F(55) = 0.7 Qund la centuale d untà n età compresa tra 38 e 55 ann è (0.7 0.44)00 = 26% Esempo: dstrbuzone d 90 clent d una banca tempo d attesa prma d essere servt. Mnut d attesa n f F -3 5 0.056 0.056 3-5 23 0.256 0.3 5-0 4 0.456 0.767 0-20 3 0.44 0.9 20-40 8 0.089 90 Inzamo dalla prma classe (=), c 0 = e c = 3 F 0 = 0 e F = 0.056 f = F - F 0 = 0.056 Pertanto F(x) nell'ntervallo 3 è: F(x) 0. 056 = 0 +. 3 ( x ) = 0. 028x 0 028 Passamo alla seconda classe (=2), c = 3 e c 2 = 5 F = 0.056 e F 2 = 0.3 f 2 = F 2 - F = 0.3-0.056 = 0.256 Pertanto F(x) nell'ntervallo 3 5 è: 0. 256 F(x) = 0. 056 + x 3 = 0. 056 + 0. 28x 0. 384 = 0. 28x 0. 5 3 ( ) 328 2
Passamo alla seconda classe (=3), c 2 = 5 e c 3 = 0 F 2 = 0.3 e F 3 = 0.767 f 3 = F 3 - F 2 = 0.767-0.3 = 0.456 Pertanto F(x) nell'ntervallo 5 0 è: 0. 456 F(x) = 0. 3 +. 0 5 ( x 5) = 0. 09x 0 45 Passamo alla quarta classe (=4), c 3 = 0 e c 4 = 20 F 3 = 0.767 e F 4 = 0.9 f 4 = F 4 - F 3 = 0.9-0.767 = 0.44 Pertanto F(x) nell'ntervallo 0 20 è: 0. 44 F (x) = 0. 767 + +. 20 0 ( x 0) = 0. 04x 0 623 Passamo alla qunta classe (=5), c 4 = 20 e c 5 = 40 F 4 = 0.9 e F 5 = f 5 = F 5 - F 4 = - 0.9 = 0.089 Pertanto F(x) nell'ntervallo 20 40 è: 0. 089 F (x) = 0. 9 + +. 40 20 ( x 20) = 0. 004x 0 822 Pertanto sntetcamente possamo scrvere la funzone d rpartzone come segue F (x) 0 0. 028x 0. 028 0.28x 0.328 = 0.09x 0.45 0.04x + 0.623 0.004x + 0.822 x < x < 3 3 x < 5 5 x < 0 0 x < 20 20 x < 40 x 40 Qual è la frazone d clent che aspetta meno d 8 mnut? Coè quanto vale F(8)? Indvduamo prma d tutto la classe n cu cade l vale x=8 che è 5 0. Qund consderamo l espressone della funzone d rpartzone relatva a questo ntervallo che è la retta F(x) = 0.09x 0.45 Ponamo x = 8 e ottenamo 3
F(8) = 0.09 8 0.45 = 0.583 Possamo rspondere anche alla domanda: qual è la centuale d untà che aspetta tra 5 e 30 mnut? Rsposta: (F(30) F(5))*00 Qund occorre calcolare l valore della funzone d rpartzone sa n 5 sa n 30. Il valore 5 cade nella classe 0-20 dove F(x) = 0.04x + 0.623 tanto F(5) = 0.833 Il valore 30 cade nella classe 20-40 dove F(x) = 0.004x + 0.822 tanto F(30) = 0.942 Qund la centuale d untà che aspetta tra 5 e 30 mnut è (0.942 0.833)00 = 0.9% 4