Ottica fisica e Ottica geometrica capitolo 8 8. INTRODUZIONE Come el Capitolo 6, ache i questo Capitolo vegoo descritte alcue applicazioi delle ozioi geerali sui feomei odulatori trattate el Capitolo 5, ma questa volta l applicazioe riguarda la luce, cioè la parte della Fisica che tratta di Ottica. I Medicia e i iologia i feomei lumiosi hao ua varietà di impiego assai più estesa rispetto a quelli acustici e perciò tratteremo prima alcue loro proprietà geerali, argometo di questo Capitolo, metre ei successivi vegoo descritte le pricipali strumetazioi biologiche e mediche basate sui feomei ottici (Capitolo 9) e il fuzioameto dell orgao della visioe ell uomo e egli aimali (Capitolo 0). 8. LE ONDE ELETTROMGNETICHE La luce è u feomeo di atura elettromagetica, si tratta cioè della vibrazioe di u campo elettrico E e di u campo magetico, descritta el 4.3, che si propaga a velocità fiita, seppur molto elevata. La propagazioe odosa della perturbazioe elettromagetica avviee i modo del tutto simile a quella delle ode elastiche, ma, trattadosi di ua vibrazioe elettrica e magetica, aziché di uo spostameto delle particelle di u mezzo materiale, essa o richiede di ecessità la preseza del mezzo materiale e può avveire ache el vuoto. U oda elettromagetica piaa e moocromatica, che si propaga lugo la direzioe dell asse z, è rappresetata dalla vibrazioe cotemporaea dei due vettori (4.5): πz E(,) zt = Eo se t ω λ (,) zt = o se ωt πz λ, (8.) le cui direzioi soo sempre fra loro ortogoali (Figura 8.a). La velocità di propagazioe el vuoto è la stessa per tutte le perturbazioi elettromagetiche, idipedetemete dalla loro frequeza, ed è la massima raggiugibile i atura: essa viee idicata co la lettera c e vale circa 3 0 8 m/s. Questa velocità è legata alla permeabilità magetica del vuoto m o e alla costate dielettrica del vuoto e o dalla relazioe: c = μ ε o o, (8.a) Velocità della luce 409
40 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Figura 8. La radiazioe elettromagetica. (a) Rappresetazioe schematica di u oda elettromagetica che si propaga lugo la direzioe z. Viee mostrata per semplicità u oda elettromagetica polarizzata: i geerale E o appartiee sempre al piao x, z, ma cambia la sua orietazioe itoro all asse z restado a esso ortogoale. Il campo magetico è sempre perpedicolare al campo elettrico. (b) Lo spettro delle ode elettromagetiche, dove viee evideziato l itervallo visibile. Sulle scale orizzotali soo riportate le lughezze d oda. Le rispettive frequeze possoo essere calcolate dalla (8.): = c l. ultravioletto raggi γ raggi X ifrarosso microode ode radio 0 8 6 4 0 4 6 E visibile viola blu giallo rosso 400 500 600 700 lughezza d'oda l (m) 7.5 0 4 4.3 0 4 frequeza (Hz) y x z a) Log l (cm) b) come risulta dalle equazioi delle ode (4.53), ricavate dalle equazioi di Maxwell sull Elettromagetismo (4.). Nella materia la velocità delle ode elettromagetiche è miore di c e dipede, oltre che dal mezzo, ache dalla loro lughezza d oda (dispersioe della luce, 8.4), così come accade per molte proprietà di queste perturbazioi. Se c è la velocità delle ode elettromagetiche, le loro lughezza d oda l e frequeza soo legate dalla ota relazioe: c = l. (8.) Itesità delle ode elettromagetiche L itesità di u oda elettromagetica piaa, cioè l eergia trasportata ell uità di tempo attraverso l uità di superficie, come già affermato ei 4.3 e 5.3, è proporzioale al quadrato della sua ampiezza, i particolare l itesità media è data dalla (4.63): I = c ε E c = E o (essedo o o ). (8.3) Luce Viee chiamata luce quella porzioe dello spettro delle ode elettromagetiche la cui frequeza è compresa fra 4.3 0 4 Hz e 7.5 0 4 Hz: i questo itervallo (Figura 8.b) esse soo visibili all occhio umao co diverse sesazioi di colore, adado dal rosso per le frequeze miori, al violetto per quelle dell estremo maggiore. frequeze acora superiori le ode elettromagetiche o soo visibili all occhio umao. Esse soo chiamate ultraviolette e possoo essere rivelate ricorredo, ad esempio, a particolari pellicole fotografiche. Lo stesso avviee per le radiazioi ifrarosse, di frequeza iferiore a quelle visibili. Nel Capitolo tratteremo di questi e di altri tipi di radiazioi elettromagetiche o visibili, quali le
8. Le ode elettromagetiche 4 ode radio, le microode, i raggi X e la radiazioe gamma (raggi g). Come si può osservare dalla Figura 8.a, le ode elettromagetiche soo trasversali: il campo elettrico e il campo magetico vibrao perpedicolarmete alla direzioe di propagazioe, oltre ad essere sempre fra loro ortogoali. Lo studio dell iterazioe fra le ode elettromagetiche e gli atomi, o molecole, costitueti la materia, ha codotto alla scoperta delle proprietà corpuscolari delle ode elettromagetiche, el seso che, i determiate codizioi, esse si comportao come particelle, o corpuscoli, privi di massa, chiamati fotoi, il cui umero è proporzioale all itesità dell oda, metre l eergia del sigolo fotoe aumeta co la frequeza della perturbazioe elettromagetica. Su questi cocetti avremo occasioe di ritorare el Capitolo, metre ora discuteremo i geerale di feomei macroscopici, per i quali soo pieamete adeguati i cocetti della Meccaica classica e ei quali la radiazioe elettromagetica maifesta solo proprietà odulatorie. Le ode elettromagetiche, e quidi la luce, mostrao tutte le proprietà geerali dei feomei odulatori descritte el Capitolo 5, i particolare quelle cocereti la loro propagazioe ( 5.5 e 5.6), la riflessioe e la rifrazioe ( 5.8), l iterfereza ( 5.9 e 5.0), la polarizzazioe ( 5.) e l effetto Doppler ( 5.). È opportuo osservare che il pricipio di sovrapposizioe per le ode lumiose di diversa lughezza d oda corrispode, ella sesazioe visiva, alla combiazioe di differeti colori. llora, distiguedo i corpi che emettoo radiazioi lumiose (sorgeti) da quelli che l assorboo (assorbitori), l emissioe di luce biaca da parte di ua sorgete sigifica che la radiazioe viee emessa a diverse lughezze d oda (ad esempio el blu, el verde e el rosso), la cui sovrapposizioe corrispode apputo alla luce biaca. Questa può essere assorbita dai corpi, i quali appaioo colorati i quato assorboo tutte le radiazioi a eccezioe di quella (o quelle) corrispodete al colore del corpo, che viee riflessa. Per questo motivo la combiazioe di più colori i emissioe dà luogo a luce biaca, metre la stessa combiazioe i assorbimeto forisce il colore ero (come el caso del miscuglio di verice blu, verde e rossa), che corrispode all assorbimeto di tutti i colori della radiazioe lumiosa icidete. Nel caso delle radiazioi elettromagetiche, la parte di eergia visibile (luce) è chiamata eergia lumiosa e può veire misurata co diverse uità, a secoda che si tratti di eergia emessa ell uità di tempo (poteza) da ua sorgete, oppure di eergia trasmessa o icidete sull uità di superficie e ell uità di tempo. Nel Sistema Iterazioale la cadela (cd) misura l itesità lumiosa di ua sorgete che emette radiazioe moocromatica di frequeza = 540 0 Hz (l = 555 m, cioè luce di colore verde) la cui itesità eergetica i ua data direzioe è di (683 ) W sr (si veda l ppedice ); i pratica corrispode all emissioe da parte di ua sorgete putiforme di 0.084 watt su tutto l agolo solido (4p steradiati). Il lume (lm) misura l eergia lumiosa emessa ell uità di tempo i u determiato agolo solido (lm = cd sr), metre la poteza lumiosa per uità di superficie (trasmessa o icidete) è chiamata illumiameto e la relativa uità el S.I. è il lux (lx) e quidi lux = lume m = cd sr m. Quado è possibile trattare la propagazioe delle ode lumiose i termii di ode piae che si propagao i direzioi a esse perpedicolari (raggi), è possibile sviluppare ua teoria approssimata dei feomei lumiosi (Ottica geometrica), i cui si cosidera la lughezza d oda della luce molto piccola rispetto alle dimesioi lieari degli strumeti usati (diaframmi, leti, specchi, prismi). I questo cotesto vegoo utilizzate le proprietà di riflessioe e rifrazioe, assieme alle re- Fotoi Sorgeti e assorbitori Eergia lumiosa Ottica geometrica
4 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Ottica fisica gole della Geometria euclidea. Quado però tali codizioi o soo soddisfatte è ecessario sviluppare ua trattazioe rigorosa del feomeo odulatorio, come visto el caso dell iterfereza, della polarizzazioe e dell effetto Doppler (Ottica fisica). Nei paragrafi che seguoo vegoo trattati i pricipali feomei dell Ottica fisica, che si aggiugoo ai feomei odulatori già visti el Capitolo 5, metre egli ultimi quattro paragrafi verrao descritte le basi dell Ottica geometrica. Nei Capitoli successivi le ozioi di Ottica fisica e di Ottica geometrica verrao applicate alla strumetazioe biomedica e ai sistemi biologici. ESEMPIO 8. Eergia lumiosa da ua lampadia Stimare l eergia lumiosa che perviee sull occhio di u osservatore distate u metro da ua lampadia ad icadesceza co filameto di tugsteo da 50 watt. Soluzioe Dobbiamo calcolare i primo luogo l eergia lumiosa emessa dalla lampadia: solo ua piccola parte dei 50 W vegoo emessi come radiazioe percepibile dall occhio umao, circa il 4%, per cui solo 50 W 0.04 = W vegoo emessi sotto forma di eergia lumiosa ell ambiete. Questa eergia lumiosa può essere espressa i cadele ricordado che 683 cadele corrispodoo ad watt s e che l eergia lumiosa della lampadia viee emessa sull agolo solido totale (si veda l ppedice ) di 4 =.56 sr e quidi watt corrispodoo a: W (683 cd W sr) (.56 sr) = 08.8 cadele. Questa eergia lumiosa perviee sulla superficie della pupilla umaa, di raggio r =.5 mm, e quidi essa deve essere moltiplicata per l agolo solido (misurato i steradiati, ppedice ) sotto cui la lampadia vede la pupilla: π r Ω = ( ) = ( ) = m π 5. mm 6 0 mm da cui l eergia lumiosa E icidete sull occhio risulta: 5 3 E =. 96 0 sr 08. 8 cd =. 3 0 lume, corrispodeti all illumiameto di: 3 E 3. 0 I = = πr π 5. mm ( ) = 08. 8 lux, (la coicideza col umero di cadele è dovuta alla distaza uitaria tra pupilla e lampadia). 5. sr, 96 0 L itesità lumiosa può essere espressa ache come umero di fotoi che perviee ell uità di tempo sull uità di superficie. Questo umero si può stimare assumedo la luce emessa dalla lampadia di colore giallo, cui corrispode ua lughezza d oda di 600 m pari ad ua frequeza = c/l = = 3 0 8 ms (600 0 9 m) = 5 0 4 Hz, da cui l eergia dei sigoli fotoi risulta essere (.3): E = h = 6.6 0 34 J s 5 0 4 s = 3.3 0 9 J. Il umero di fotoi che pervegoo al secodo sulla pupilla è quidi: N fotoi W π(. 5mm) = = 945. 0 fotoi s 9 6 33. 0 J 4π0 mm e, teedo coto che a causa di riflessioi e assorbimeti iteri, circa il 45% di questi pervegoo sulla retia ( 0.3), icidoo sulla retia: N fotoi = fotoi s 0. 45 9. 45 0 = 4. 5 0 fotoi s. titolo di cofroto l eergia lumiosa rilevabile ormalmete dall occhio umao spazia almeo su 8 ordii di gradezza: 0 lux (cd sr m ) visioe crepuscolare (seza distizioe dei colori) 0 lux sufficiete per leggere 0 3 lux buoa illumiazioe per scrivere 0 5 lux abbagliameto 0 6 lux accecameto I particolari codizioi l estremo iferiore della sesibilità visiva dell occhio umao è di vari ordii di gradezza iferiore al valore sopra riportato: si tratta tuttavia o della visioe di u immagie, ma della percezioe di u sottile fascio di fotoi fatto icidere ella regioe di maggior sesibilità della retia (vedasi il 0.4b).
8.3 La diffrazioe della luce 43 8.3 L DIFFRZIONE DELL LUCE S Come detto sopra, l Ottica geometrica costituisce u approssimazioe dell Ottica i geerale. Il caso più semplice ed evidete di violazioe delle sue leggi si ha quado la luce attraversa u apertura molto piccola: i tal caso la legge della propagazioe rettiliea o è più valida e la luce viee deviata ache oltre la semplice proiezioe della feditura. Ifatti la luce che proviee da ua sorgete lumiosa putiforme e attraversa u foro (Figura 8.), secodo l Ottica geometrica dovrebbe proiettare sullo schermo ua macchia lumiosa a bordi etti. Questo avviee quado lo schermo è prossimo alla feditura, ma se la distaza tra schermo e feditura è molto più grade della dimesioe dell apertura, si può osservare sullo schermo u sistema di frage costituito da aelli cocetrici chiari e scuri, che sfumao gradualmete, come mostrato i Figura 8.3. Questo feomeo, che rietra ell Ottica fisica, prede il ome di diffrazioe e rappreseta u caso particolare del feomeo di iterfereza. Si riesce a spiegare questo feomeo ricorredo al pricipio di Huyges e sviluppado l iterfereza tra la luce irraggiata da puti di uo stesso frote d oda. Cosideriamo il semplice caso, mostrato i Figura 8.4, di u oda piaa icidete su ua feditura rettiliea di larghezza d (come vedremo, l oda piaa si può otteere frappoedo ua lete covergete tra la sorgete lumiosa putiforme e la feditura). Prediamo i esame i puti e, distati fra loro d/. Secodo il pricipio di Huyges, da questi puti si geerao froti d oda emisferici, oppure raggi diretti i tutte le direzioi: cosideriamo quelli che formao u agolo q co la ormale alla feditura. La differeza i cammio ottico tra i due raggi, proveieti da e da, è data da (Figura 8.4): schermo I O x Figura 8. La sorgete S putiforme illumia l apertura. L itesità di luce proiettata su uo schermo possiede i bordi etti. Dx d = se θ (8.4) ffiché si abbia iterfereza distruttiva tra i due raggi, questa differeza di cammio deve essere uguale mezza lughezza d oda: d se d θ = λ, cioè se θ = λ. (8.4a) S L Figura 8.4 La luce, emessa da ua sorgete putiforme e trasformata i u oda piaa da ua lete covergete L, icide su ua feditura rettiliea. I raggi passati per il puto e per il puto, co direzioe q, iterferiscoo fra loro. C q Dx d/ q Figura 8.3 Se il foro di Figura 8. ha u diametro molto piccolo, su uo schermo, che si trovi a grade distaza dal foro, appare u sistema di frage cocetriche, co ua alteraza di chiaro e scuro, chiamato frage di diffrazioe. Il cerchio lumioso cetrale corrispode alla proiezioe di Figura 8..
44 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Figura 8.5 I raggi proveieti da e da vegoo cocetrati el puto P di uo schermo, posto a grade distaza dalla feditura, ove avviee l iterfereza, costruttiva o distruttiva, che origia ua successioe di frage, la cui itesità è mostrata el grafico i fuzioe della posizioe del puto P sullo schermo (ordiata y). ode piae C q P y itesità schermo La codizioe di iterfereza distruttiva (8.5) si applica a tutti i puti adiaceti ad apparteeti al segmeto, ei cofroti dei puti adiaceti a e apparteeti al segmeto C. Possiamo ripetere queste argometazioi suddividedo la fessura i fediture uguali, per cui ella relazioe (8.5) si sostituisce allora al posto di d il valore d/, co itero. La codizioe di iterfereza distruttiva risulta allora: d se θ = λ, cioè d se θ = λ ( =3,,, ). (8.6) Frage di diffrazioe La (8.6) è valida per tutte le fediture di larghezza d/ elle quali è stata idealmete suddivisa la feditura reale C. Su di uo schermo posto a ua certa distaza dietro la feditura (Figura 8.5), a causa dell iterfereza distruttiva, o viee raccolta la luce proveiete dall isieme delle fediture ideali sotto l agolo q che soddisfa la (8.6), la quale è, quidi, più geerale della (8.5), i quato forisce tutti gli agoli q, per i quali si verifica ua iterfereza distruttiva, corrispodeti al valore che assume l itero ( =,, 3,...). I modo simile si dimostra che per λ d se θ = ( + ) (8.7) si ha iterfereza costruttiva. I coclusioe, al variare dell agolo q, sullo schermo dietro la feditura si può osservare ua alteraza di zoe chiare e scure (Figura 8.5), chiamate frage di diffrazioe. La perdita di lumiosità delle frage chiare ai lati di quella cetrale è determiata dalla loro maggiore lotaaza dalla feditura. Si oti ifie che per d ª l la (8.5) o può essere soddisfatta, i quato il massimo cetrale si espade e occupa tutto lo schermo. Come vedremo el prossimo Capitolo, il feomeo della diffrazioe, oltre a dimostrare la atura odulatoria della luce, permette ache di compredere il fuzioameto degli strumeti ottici e i particolare di spiegare i loro limiti ella risoluzioe delle immagii. U caso pratico di diffrazioe della luce è riportato ell Esempio 0..
8.4 Il prisma e la dispersioe della luce 45 8.4 IL PRISM E L DISPERSIONE DELL LUCE I corpi ivestiti da u fascio di luce possoo essere opachi o traspareti: soo opachi quelli che o lasciao passare la luce, traspareti quelli che permettoo tale passaggio. Nel primo caso la luce può essere i parte riflessa e i parte assorbita, ad esempio le superfici metalliche lucide riflettoo oltre il 99% della luce icidete, metre u pezzo di carboe e assorbe oltre il 99%, riflettedoe ua miima quatità. Il vetro è ivece trasparete e pertato u fascio di luce icidete su ua superficie di vetro viee quasi totalmete trasmesso, obbededo alle leggi della rifrazioe, e solo i piccola parte riflesso. Si defiisce prisma u qualsiasi mezzo trasparete limitato da facce piae o parallele (Figura 8.6). Esso viee impiegato dispoedolo i modo che il raggio icidete, che suppoiamo per semplicità moocromatico, cioè avete ua determiata lughezza d oda, peetri da ua faccia, lo attraversi ed emerga dall altra faccia. I piai delle due facce formao u agolo a, chiamato agolo di rifrageza del prisma. Il raggio icidete e quello che, dopo aver subito due rifrazioi i successioe, esce dal prisma, formao tra loro u agolo d, detto agolo di deviazioe, e risulta Prisma δ = β + γ = (ˆ i r ˆ) + (ˆ r i ˆ ) = i ˆ +r ˆ (ˆ r + i ˆ ). (8.8) Cosiderado il triagolo C, si può scrivere: α + ( 90 rˆ) + ( 90 iˆ ) = 80, (8.9) e quidi per cui la (8.8) diveta: α = r ˆ + i ˆ, δ = i ˆ + r ˆ α. (8.0) (8.) Cambiado l agolo d icideza, varia l agolo di deviazioe d e si può dimostrare che esso raggiuge u valore miimo d m a codizioe che siao iˆ ˆ = r e rˆ = iˆ. Di cosegueza, i tali codizioi, dalle (8.0) e (8.) si ha: î rˆ = α/ e iˆ = δ + α/. m m m (8.) 90 b r a d g C r 90 Figura 8.6 U raggio moocromatico icidete subisce ua doppia rifrazioe sulle superfici del prisma, emergedo deviato di u agolo d.
46 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica TELL 8. Idice di rifrazioe assoluto di alcue sostaze per l = 5890 Å. Viee riportata i uità di c la corrispodete velocità della radiazioe el mezzo rifragete SOSTNZ VELOCITÀ (uità c) aria.0009 0.999708 ailia.586 0.63 acqua.33 0.75 bezee.50 0.666 sague.350 0.74 tetraclorometao.599 0.65 cloroformio.446 0.69 gliceria.47 0.679 quarzo.45 0.70 vetro flit silicato.6 0.67 vetro crow silicato.57 0.659 diamate.47 0.44 Idice di rifrazioe La legge di rifrazioe (5.6), applicata alla prima rifrazioe sul prisma, può allora essere scritta: δm + α sei se m = =, serˆ α m se (8.3) e perciò, misurado a e d m, si può determiare l idice di rifrazioe relativo della sostaza di cui è costituito il prisma. I Tabella 8. soo riportati gli idici di rifrazioe assoluti per alcue sostaze. Si ricordi che l idice di rifrazioe assoluto per le radiazioi elettromagetiche viee defiito rispetto al vuoto, il cui idice di rifrazioe è esattamete uo ( 5.8): c c = dove = e =. v v (8.4) L esperieza dimostra che l idice di rifrazioe di u mezzo omogeeo cambia al variare della lughezza d oda della luce, cioè del suo colore, per cui: sorgete rosso c = f ( λ). v (8.5) violetto Figura 8.7 L idice di rifrazioe è ua fuzioe della lughezza d oda della luce icidete. U raggio di luce biaca viee decomposto elle varie compoeti cromatiche i corrispodeza delle due rifrazioi sulle superfici del prisma. Si deduce quidi che la velocità della luce, ei vari mezzi attraversati, è fuzioe della lughezza d oda. Per quasi tutti i corpi traspareti, ella zoa del visibile (compresa tra il rosso e il violetto), l idice di rifrazioe cresce al dimiuire della lughezza d oda, come mostrato i Tabella 8.. Pertato, el caso del prisma, se ivece di utilizzare u raggio moocromatico, il raggio icidete fosse costituito da luce biaca, cioè da ua sovrapposizioe di raggi di diverse lughezze d oda (colori), ciascuo verrebbe rifratto origiado diversi agoli di deviazioe, come mostrato i Figura 8.7. La luce biaca è quidi scomposta dal prisma ei vari colori compoeti e il feomeo è geericamete oto come dispersioe della luce.
8.4 Il prisma e la dispersioe della luce 47 TELL 8. Idice di rifrazioe assoluto del vetro crow per diverse l. Viee riportata i uità di c la corrispodete velocità della radiazioe el mezzo rifragete LUNGHEZZ D OND (Å) VELOCITÀ (uità c) 4047 (violetto).5389 0.6579 4359.5798 0.65446 496.583 0.65667 546.599 0.6580 5893.574 0.6593 6563.5458 0.6605 768 (rosso).560 0.6655 L arcobaleo è u esempio di dispersioe della luce su ua miriade di gocciolie d acqua (Figura 8.8). Lo studio delle compoeti di ua determiata radiazioe lumiosa viee effettuato tramite il prisma co uo strumeto detto spettroscopio; come vedremo, esso forisce utili iformazioi sulla sorgete della radiazioe lumiosa aalizzata. Naturalmete il mezzo rifragete che costituisce il prisma deve essere adatto al tipo di radiazioe da esamiare. Nel caso i cui si operi, ad esempio, co radiazioe ultravioletta, il prisma deve essere di quarzo, perché, cotrariamete al vetro, questa sostaza o assorbe tale radiazioe; el caso della radiazioe ifrarossa per lo stesso motivo il prisma devere essere di salgemma. luce biaca luce biaca luce biaca 40 4 40 4 gocce d'acqua arcobaleo a) b) Figura 8.8 Schema di formazioe dell arcobaleo: i colori uguali i uscita hao tutti la stessa direzioe. ESEMPIO 8. Rifrazioe el vetro Nel vuoto la luce gialla ha ua lughezza d oda di 6000 Å. Se essa icide su ua lastra di vetro di idice di rifrazioe pari a.4, calcolare () la velocità della luce el vetro e () la lughezza d oda el vetro. Soluzioe () Per defiizioe = c/v per cui la velocità della luce i questo vetro è: () La frequeza dell oda lumiosa è determiata dalla sorgete dell oda stessa e o dipede dal mezzo materiale attraversato. Viceversa, poiché l = v = c/, la lughezza d oda dipede dall idice di rifrazioe. Se u fascio di luce passa da u mezzo di idice di rifrazioe a uo co idice di rifra- c v = = 8 30ms 8 = 4. 0 ms. 4.
48 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica ESEMPIO 8. Rifrazioe el vetro - cotiua zioe, essedo l = c/ e l = c/, dividedo membro a membro queste relazioi si ottiee: λ c/ = = λ c/. Nel vuoto v = c e =, per cui abbiamo: 7 60 λ = λ = m = 4. 7 = 4. 86 0 m = 486 Å. Si tratta di lughezza d oda corrispodete alla luce violetta. ESEMPIO 8.3 golo limite Si calcoli il valore dell agolo limite el caso i cui la luce che attraversa u vetro, di idice di rifrazioe.6, icide su ua superficie di separazioe vetro-aria. Soluzioe Poedo =.6 e =, abbiamo dalla (5.7): se ıˆ o = = = 0. 65, cioè ıˆ. o = 38. 7. 6 45 90 45 45 45 90 Quidi se la luce che viaggia el vetro icide su ua superficie di separazioe vetro-aria a u agolo superiore di 38.7, essa viee riflessa totalmete seza alcua perdita di itesità. Per questa ragioe ei biocoli, ei periscopi e i alcue macchie fotografiche, vegoo utilizzati dei prismi a riflessioe totale piuttosto che degli specchi (Figura 8.9). 90 45 45 90 45 Figura 8.9 Prismi a riflessioe totale. 8.5 L POLRIZZZIONE DELL LUCE Polarizzazioe rettiliea La luce, i quato oda elettromagetica, è ua vibrazioe trasversale e pertato può essere polarizzata. Si defiisce piao di polarizzazioe il piao ortogoale alla direzioe del campo elettrico E, cioè il piao che cotiee il campo magetico. Nel seguito, per semplicità, ci riferiremo solo al campo elettrico, sottitededo l esisteza di u campo magetico sempre ad esso perpedicolare. La schematizzazioe di Figura 8.a rappreseta u oda elettromagetica polarizzata rettilieamete i cui la direzioe del campo elettrico coicide co l asse x. Nel caso più geerale di polarizzazioe rettiliea, il campo elettrico avrà ua direzioe obliqua rispetto a tale asse e potrà essere scomposto elle compoeti lugo x e y, come mostrato i Figura 8.0: E E x y z = Eox se t ω π λ z = Eoy se t ω π λ. (8.6)
8.5 La polarizzazioe della luce 49 Le due vibrazioi i x ed i y soo i fase. Viceversa el caso i cui E x ed E y abbiao fase diversa e ampiezza diversa, el piao xy, ortogoale alla direzioe z di propagazioe dell oda, si ha u ampiezza che descrive u ellissi el tempo ma mao che l oda si propaga lugo la coordiata z (Figura 8.). L ellissi viee descritta i seso orario o atiorario a secoda del sego della differeza di fase tra le vibrazioi compoeti. U oda elettromagetica che rispode a queste caratteristiche è detta polarizzata ellitticamete. Quado l ampiezza massima delle compoeti soo uguali (E ox = E oy ), allora si ha la polarizzazioe circolare. Il feomeo della polarizzazioe della luce ha importati applicazioi strumetali i iologia e i Medicia, trattate el Capitolo successivo. Passiamo ora i rassega alcui metodi per otteere ode polarizzate. y Figura 8. O x E Propagazioe di u oda elettromagetica polarizzata ellitticamete. Il vettore E ruota itoro all asse z. Il vettore, o mostrato per semplicità grafica, ruota di coserva mateedosi sempre ortogoale a E. Se le compoeti i x ed i y di E hao uguale ampiezza massima, la polarizzazioe è circolare. z O y E y E x Figura 8.0 Il campo elettrico E, avete direzioe obliqua rispetto all asse x (oppure y), viee scomposto i due vibrazioi E x ed E y. Se queste soo i fase, l oda è polarizzata rettilieamete, altrimeti si ha ua polarizzazioe ellittica o circolare a secoda che le ampiezze delle compoeti siao diverse oppure uguali. Il campo magetico, o mostrato per semplicità grafica, è sempre orietato ortogoalmete a E. E Polarizzazioe ellittica e circolare x 8.5a La polarizzazioe per emissioe e assorbimeto selettivo: il polaroid Il polaroid è ua sostaza sitetizzata el 938 da E.H. Lad, costituita da u foglio di plastica composto da lughe catee parallele di idrocarburi. Il foglio viee prima stirato i modo da allieare le molecole e poi immerso i ua soluzioe coteete iodio: il bago attacca gli idrocarburi e forisce loro degli elettroi di coduzioe che possoo muoversi solo ella direzioe lugo le catee. Quado la luce attraversa ua lastra di polaroid, la compoete del campo elettrico parallela alle catee viee assorbita, poiché solo lugo quella direzioe gli elettroi soggetti al campo elettrico possoo oscillare, assorbedo così l eergia trasportata dall oda ( 4.3). La compoete ormale alle catee, ivece, passa idisturbata. Duque se E è ortogoale alle catee di idrocarburi viee trasmesso, metre el caso sia parallelo viee assorbito, co la cosegueza che luce o polarizzata del tipo di Figura 5.3a, dopo aver attraversato il polaroid risulta essere polarizzata col piao di polarizzazioe parallelo alle catee di idrocarburi (Figura 8.a). Dispoedo di due polaroid uo di frote all altro co le catee ortogoali fra loro, si ottiee il completo assorbimeto della luce o polarizzata che li attraversa: ifatti metre il primo polaroid la polarizza lugo ua direzioe, la disposi-
40 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica E y y x zioe del secodo assorbe tutta la luce così polarizzata (Figura 8.b). Se l agolo Q fra le catee del primo polaroid (polarizzatore) e quelle del secodo (aalizzatore) è diverso da 90, l itesità lumiosa oltre l aalizzatore è diversa da zero e risulta data dalla legge di Malus: x a) I uscita = I igresso cos Q. (8.7) Questa legge permette di effettuare misure precise dello stato di polarizzazioe della luce sfruttado apputo le proprietà dei polaroid o di lamie di composti orgaici similari. 8.5b La polarizzazioe per riflessioe b) Figura 8. (a) U raggio di luce o polarizzata, col vettore campo elettrico diretto casualmete i tutte le direzioi, icide sulla lamia di polaroid da cui emerge luce polarizzata rettilieamete, co E diretto ortogoalmete alla direzioe delle catee orgaiche della lamia. (b) Due polaroid co le catee orgaiche parallele lasciao passare luce polarizzata, metre due polaroid, co le catee disposte a 90 ua rispetto all altra, assorboo completamete la luce che li attraversa. Quado u fascio lumioso icide su di ua lastra di vetro, viee i parte riflesso e i parte rifratto, secodo le ote leggi dell Ottica geometrica. Se scompoiamo il campo elettrico dell oda icidete, o polarizzata, elle due compoeti, ua E // parallela al piao di icideza e l altra E perpedicolare a esso come mostrato i Figura 8.3a, dove il piao di icideza è il piao della figura, le due compoeti vegoo riflesse i modo diverso a secoda dell agolo di icideza. L oda riflessa risulta essere parzialmete polarizzata; essa è totalmete polarizzata solo quado l agolo fra il raggio riflesso e quello rifratto è di 90. I questa codizioe si ha 90 rˆ + 90 iˆ = 90, cioè iˆ + rˆ = 90, per cui la legge di rifrazioe diveta: seiˆ seiˆ seiˆ = = serˆ se 90 iˆ cos i ˆ (8.8) da cui ( ) = i ˆ = artg i ˆ. (8.9) Questo agolo di icideza, che dà luogo a u raggio riflesso totalmete polarizzato, co E ortogoale al piao di icideza, prede il ome di agolo di rewster (Figura 8.3b). î Figura 8.3 (a) U raggio di luce o polarizzata icide su ua superficie di vetro co u agolo di icideza pari all agolo di rewster î (i questo caso l agolo tra il raggio riflesso e quello rifratto è di 90 ). La luce riflessa risulta polarizzata co E diretto parallelamete alla superficie, cioè ortogoale al piao della figura (cerchi rossi). che il raggio rifratto è polarizzato, co E diretto parallelamete al piao della figura (frecce). (b) Rappresetazioe i tre dimesioi della polarizzazioe per rifles- E E 90 E luce aturale icidete a) b) E luce trasmessa, vettore E parallelo al piao di icideza luce riflessa, vettore E perpedicolare al piao di icideza
8.5 La polarizzazioe della luce 4 ESEMPIO 8.4 Polarizzazioe per riflessioe La luce solare riflessa da u lago completamete calmo è completamete polarizzata. Co che agolo la luce icide sul lago? Soluzioe Poiché l idice di rifrazioe dell aria è praticamete = e quello dell acqua è =.33, il raggio riflesso è polarizzato quado (8.9): iˆ iˆ = = artg = artg = artg.33 = 53.0. Per questo agolo d icideza la luce sarà completamete polarizzata orizzotalmete, cioè perpedicolarmete al piao d icideza (Figura 8.). 8.5c La polarizzazioe per doppia rifrazioe: il prisma di Nicol Quado u raggio di luce si propaga all itero di u materiale, o sempre le caratteristiche del mezzo soo idetiche i tutte le direzioi, cioè il mezzo o sempre è isotropo. Il quarzo e è u esempio: i esso u raggio di luce si propaga co velocità diverse a secoda se il campo elettrico è parallelo all asse ottico oppure a esso ortogoale (Figura 8.4). Poiché si hao due differeti velocità di propagazioe, vi soo ache due diversi idici di rifrazioe: si ha così il feomeo della birifrageza. Il raggio icidete viee cioè diviso i due: u raggio ordiario e uo straordiario, etrambi polarizzati rettilieamete. secoda del materiale birifragete, uo dei due raggi, quello più veloce, viee rifratto meo dell altro. Mediate il prisma di Nicol, illustrato i Figura 8.5, il raggio ordiario viee elimiato per riflessioe totale, otteedo u sigolo raggio polarizzato (il raggio straordiario). Questo dispositivo è composto da due prismi brifrageti (calcite, quarzo) icollati i geere co balsamo del Caadà, che possiede u idice di rifrazioe itermedio fra quelli corrispodeti al raggio ordiario e al raggio straordiario ella calcite. La superficie di separazioe tra i due prismi ha ua agolazioe tale da elimiare completamete il raggio ordiario per riflessioe totale. Il prisma di Nicol forisce così u fascio polarizzato, fugedo da polarizzatore (prisma polarizzatore). Se ora lugo il fascio si iterpoe u secodo Nicol, esso viee attraversato dallo stesso fascio polarizzato se i due Nicol soo disposti co le sezioi pricipali parallele; se esse soo ivece icrociate, il raggio che ha attraversato il primo Nicol viee estito dal secodo. Quest ultimo viee chiamato aalizzatore, poiché cosete di idividuare il piao di polarizzazioe del fascio polarizzato che lo iveste. Chiamato Q l agolo fra le sezioi pricipali dei due Nicol, si applica ache a essi la legge di Malus (8.7). Prisma di Nicol S O asse ottico Figura 8.4 I u cristallo di calcite la luce o polarizzata subisce ua doppia rifrazioe i cui si produce u raggio ordiario O, polarizzato co E ormale al piao della figura, ed u raggio straordiario S, polarizzato co E parallelo al piao della figura. Tale piao, idividuato dalla direzioe di icideza e dall asse ottico, è chiamato sezioe pricipale.
4 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Figura 8.5 Il prisma di Nicol cosete di elimiare il raggio ordiario mediate riflessioe totale sul collate (balsamo del Caadà) che uisce i due prismi di calcite. Si ottiee quidi u raggio straordiario polarizzato. La sezioe pricipale coicide co il piao della figura. direzioe dell'asse ottico balsamo del Caadà calcite raggio straordiario polarizzato raggio ordiario totalmete riflesso e polarizzato 8.6 L LUCE COERENTE bbiamo visto el 5.9 che la coereza è u requisito ecessario affiché possa verificarsi il feomeo dell iterfereza. Vogliamo qui chiarire i che modo è possibile otteere la coereza di raggi lumiosi. La luce proveiete dalle ormali sorgeti lumiose, ad esempio il filameto di ua lampadia, viee emessa i seguito alle trasizioi tra i livelli eergetici degli atomi costitueti la sorgete. Come vedremo el Capitolo, l emissioe avviee per trei d oda, cioè pezzi di ode elettromagetiche, la cui fase reciproca cambia i cotiuazioe i modo del tutto casuale: la luce è pertato icoerete e o può dar luogo a frage d iterfereza. Per otteere raggi coereti, la cui differeza di fase resti cioè costate el tempo, si può far iterferire u raggio co se stesso, creadoe ua copia mediate riflessioe: i questo modo i trei d oda iterferiscoo co se stessi e la coereza è assicurata. Come abbiamo visto, ua codizioe simile si preseta ella diffrazioe. U modo semplice per otteere la luce coerete è sfruttare l emissioe stimolata di radiazioe lumiosa da parte di u dispositivo laser (.6): ifatti u importate proprietà della radiazioe emessa da u laser cosiste apputo ella sua coereza, determiata dalla otevole lughezza dei trei d oda, tale da cosetire facilmete l iterfereza co se stessa o co altri raggi laser. 8.7 IL DIOTTRO Ottica geometrica I questo e ei paragrafi che seguoo vegoo descritte le basi dell Ottica geometrica, i cui si utilizzao le proprietà di riflessioe e di rifrazioe dei feomei lumiosi, cosiderado la lughezza d oda della luce molto piccola rispetto alle dimesioi dei sistemi ottici utilizzati. Nell Ottica geometrica soo allora valide le segueti leggi e pricipi: a) i u mezzo omogeeo la luce si propaga i liea retta; b) il percorso o l itesità di più raggi lumiosi o variao, ache se i raggi si icrociao; c) la traiettoria seguita dai raggi lumiosi è idipedete dal verso di propagazioe;
8.7 Il diottro 43 d) u raggio lumioso per adare da u puto a u altro segue sempre il percorso che richiede il mior tempo (pricipio di Fermat). Poiché i sistemi ottici i Medicia ed i iologia cosistoo prevaletemete di elemeti co diverso idice di rifrazioe e attraversati dalla luce, ci occuperemo el seguito della rifrazioe su superfici di separazioe tra mezzi diversi, teedo presete tuttavia che u impostazioe del tutto aaloga può essere sviluppata ache per le superfici rifletteti (specchi, 8.0). Due mezzi otticamete distiti, aveti cioè idici di rifrazioe diversi, separati da ua superficie, costituiscoo u diottro. Se la superficie di separazioe è ua calotta sferica, il sistema prede il ome di diottro sferico. Esso costituisce uo dei più semplici sistemi ottici. Quado u sistema ottico forisce di u puto lumioso P u immagie putiforme P, cioè quado tutti i raggi usceti da P si icotrao i P, dopo aver subito rifrazioi o riflessioi imposte dal sistema ottico (Figura 8.6), esso è detto stigmatico. Il diottro sferico è u sistema ottico stigmatico solo sotto certe approssimazioi. Nella Figura 8.7 è mostrato lo schema di u diottro, dove V è il vertice del diottro, l asse p-q è chiamato asse ottico, C è il cetro ed R il raggio di curvatura della calotta sferica, metre è l idice di rifrazioe assoluto dello spazio oggetto e quello dello spazio immagie. Per covezioe si usa l asse p (coordiata dello spazio oggetto) orietato verso siistra per misurare le distaze tra V e gli oggetti e l asse q (coordiata dello spazio immagie) orietato i seso opposto per misurare le distaze tra V e le immagii. Ioltre si coviee di assumere il raggio R positivo quado la calotta rivolge la propria covessità allo spazio oggetto (come i Figura 8.7) e egativo el caso opposto. Suppoiamo ora di cosiderare u diottro che soddisfi le segueti codizioi, ote come approssimazioi di Gauss: P Figura 8.6 Sistema ottico stigmatico: da u oggetto putiforme P si ottiee u immagie putiforme P. pprossimazioi di Gauss P' a) l ampiezza della calotta sferica su cui icidoo i raggi proveieti dall oggetto sia piccola rispetto al raggio di curvatura; b) tutti i raggi proveieti dall oggetto formio agoli piccoli co l asse ottico (raggi parassiali). Nei limiti di queste approssimazioi il sistema è stigmatico e si può stabilire ua relazioe tra la distaza p di u puto oggetto P posto sull asse ottico e la distaza q del puto immagie P, relazioe che o dipede dall agolo d icideza î del raggio uscete da P. pplicado le leggi della rifrazioe alla Figura 8.7 si ottiee: se iˆ = se rˆ. (8.0) p oggetto r h R a b P V T asse ottico aria vetro C g P' q immagie Figura 8.7 U raggio proveiete dal puto P posto sull asse ottico (coordiata p) si rifrage sul diottro sferico e iterseca l asse el puto P di coordiata q ello spazio immagie.
44 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica D altra parte, essedo i ˆ = α + β, abbiamo: se î = se( α + β) = se α cos β + se β cos α se r ˆ = se( β γ) = se β cos γ se γ cos β. (8.) (8.) Per raggi parassiali gli agoli a, b e g si possoo cosiderare piccoli per cui: cos α cos β cos γ (8.3) e, per la prima approssimazioe di Gauss, possiamo porre VT 0, per cui risulta: h h seα se β se γ p, h R, q. (8.4) Sostituedo le (8.) e (8.) ella (8.0), semplificate come idicato dalle (8.3) e (8.4), si ottiee la relazioe cercata: p + =, q R (8.5) Formula dei puti coiugati che prede il ome di formula dei puti coiugati. Sempre ei limiti delle approssimazioi di Gauss, si potrebbe dimostrare che i puti immagie dei puti che appartegoo a u oggetto posto i u piao perpedicolare all asse ottico, giaccioo i u piao immagie perpedicolare all asse ottico. I pratica, dato u sistema ottico (il diottro i questo caso), la coosceza di pochi puti, chiamati puti pricipali, permette di costruire l immagie di u qualsiasi oggetto. Per il diottro i puti pricipali soo il cetro C della curvatura e i fuochi del diottro. Il cetro di curvatura C (Figura 8.7) ha la proprietà che qualsiasi raggio di luce proveiete dallo spazio oggetto e passate per C o subisce deviazioi ell attraversare la calotta sferica. Il secodo fuoco F del diottro è ivece il puto i cui covergoo tutti i raggi lumiosi proveieti dallo spazio oggetto parallelamete all asse ottico. Il secodo fuoco è quidi l immagie di u puto posto all ifiito, come mostrato i Figura 8.8, dove viee mostrata la costruzioe dell immagie di u oggetto. Figura 8.8 Le posizioi del primo fuoco F e del secodo fuoco F soo otteute co raggi lumiosi proveieti rispettivamete dall ifiito dello spazio immagie e dall ifiito dello spazio oggetto. Viee mostrata la costruzioe di u immagie (ua freccia rossa): i raggi paralleli all asse ottico passao per il fuoco F, metre o soo deviati i raggi passati per il cetro C del diottro sferico (ortogoali al diottro). asse ottico spazio oggetto f f F V F C spazio immagie
8.7 Il diottro 45 Viceversa il primo fuoco F è il puto sull asse ottico ello spazio oggetto, la cui immagie è il puto posto all ifiito. Le distaze focali f e f di u diottro dipedoo duque dalle sue caratteristiche. Impoedo ella (8.5) che l oggetto si trovi all ifiito, cioè per p q, la distaza q a cui si forma l immagie è la distaza focale del secodo fuoco: Distaze focali q = -, R (8.6) da cui per defiizioe: f R = lim q =. p (8.7) alogamete si può defiire la distaza focale del primo fuoco impoedo ella (8.5) che l immagie si formi all ifiito, cioè poedo q q : R f = lim p =. q (8.8) Dividedo membro a membro le (8.7) e (8.8) si ottiee la relazioe: f f = (8.9) che lega le distaze focali di u diottro agli idici di rifrazioe costitueti il diottro stesso. che la formula dei puti coiugati assume ua forma particolarmete sigificativa utilizzado le (8.7) e (8.8). Ifatti dividedo la (8.4) per ( )/R, risulta: p R + q R =, (8.30) da cui segue f f + =. p q (8.3) Nel caso di u diottro piao (R q), l espressioe (8.5) diveta: p + =0, q (8.3) per cui se esamiiamo, attraverso ua superficie piaa, da u mezzo più rifragete, u oggetto posto i u mezzo meo rifragete ( > ), l immagie dell oggetto risulta essere situata el puto di coordiata: q = p, (8.33) cioè si trova dalla stessa parte dell oggetto, ma allotaata del rapporto fra gli idici di rifrazioe. Per questa ragioe i pesci osservao i pescatori sulla riva a ua
46 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica distaza.33 volte maggiore rispetto alla distaza effettiva (essedo apputo.33 il rapporto tra gli idici di rifrazioe dell acqua e dell aria). l cotrario, se osservata da u mezzo meo rifragete, l immagie dell oggetto, che si trova i u mezzo più rifragete ( < ), risulterà avviciata dello stesso rapporto. Così, per chi osserva da sopra l acqua, il fodo di ua piscia appare avviciato di u fattore 0.75 rispetto alla distaza reale (essedo 0.75 = /.33). Poiché ella realtà le approssimazioi di Gauss soo soddisfatte solo i parte, l immagie di u puto lumioso o risulta putiforme, ma, come vedremo el 8.9, preseta diversi difetti, chiamati aberrazioi. 8.8 LE LENTI SOTTILI a) b) c) d) e) f) Figura 8.9 Vari tipi di leti: (a) bicovessa, (b) piao-covessa, (c) covesso-cava (più spessa al cetro), (d) bicocava, (e) piao-cocava, (f) cocava covessa (più spessa all estremità). Dalle cosiderazioi svolte per i diottri discede, come caso particolare, lo studio delle leti sottili. Ua lete sferica ifatti può essere cosiderata u sistema ottico cetrato (co i cetri sull asse ottico) costituito da ua successioe di due diottri. Si defiisce lete sottile ua lete avete spessore trascurabile rispetto ai raggi di curvatura e rispetto al diametro delle calotte sferiche che la delimitao. Ogi lete sottile possiede u puto, chiamato cetro ottico, che gode della proprietà per la quale tutti i raggi passati per esso o mutao direzioe ell attraversare la lete. Se la lete sottile è immersa i aria, essa è assimilabile a due diottri: u primo diottro aria-vetro ed u secodo vetro-aria. I Figura 8.9 soo mostrate le diverse categorie di leti sottili. che per ua lete, come per il diottro, iteressa cooscere la formula dei puti coiugati. Essa si ottiee semplicemete applicado due volte la formula dei puti coiugati del diottro, badado a scrivere correttamete i segi secodo la covezioe stabilita el paragrafo precedete. Facciamo il caso, a questo proposito, di ua lete sottile bicovessa co idice di rifrazioe, immersa i u mezzo omogeeo avete idice di rifrazioe (Figura 8.0). Siao R e R i raggi di curvatura delle calotte sferiche delimitati la lete, positivi quado la calotta ha cocavità verso destra, egativi i caso cotrario. Per il primo diottro si può scrivere: Figura 8.0 Costruzioe dell'immagie del puto P i seguito alla doppia rifrazioe sul diottro aria-vetro (puto Q ) e sul diottro vetro-aria (puto Q). Il raggio parte da P, arriva i, viee rifratto i Q sul diottro aria-vetro. Il puto Q (immagie el vetro) diveta Q (oggetto el vetro) e il raggio Q viee rifratto sul diottro vetro-aria el raggio Q. p P C C q' p R R q Q' Q q
8.8 Le leti sottili 47 p + = q R. (8.34) L immagie a distaza q dal vertice, formata dal primo diottro, diveta a sua volta oggetto per il secodo diottro, e si trova ello spazio immagie di quest ultimo. Si ha quidi: + =, q q R (8.35) co R egativo, secodo la covezioe stabilita sopra. Sommado membro a membro la (8.34) e la (8.35) si ottiee: p + q = R ( ) R, (8.36) che, poedo = /, diveta la formula dei puti coiugati per le leti sottili: + = ( ) p q R R. (8.37) Formula dei puti coiugati che per le leti sottili, come per i diottri, la coosceza del cetro ottico e dei fuochi caratterizza completamete la lete. Per ua lete sottile il cetro ottico coicide co il cetro della lete e le distaze focali risultao uguali i valore assoluto. Ifatti dalla (8.37). Calcolado i valori limiti di q per p q e di p per q q, si ottiee u idetica espressioe: = lim = lim = f p q q p ( ) R R. (8.38) Itroducedo la (8.37) ella (8.36), la formula dei puti coiugati per le leti sottili può essere riscritta el modo seguete: + =. p q f (8.39) Si deve teer presete che per le leti sottili valgoo le stesse approssimazioi di Gauss applicate el caso del diottro, e quidi le stesse cosiderazioi circa le aberrazioi. Dalle (8.38) e (8.39), si ota che l azioe di ua lete dipede o solo dalla sua forma, ma ache dal rapporto tra gli idici di rifrazioe della lete e del mezzo. d esempio, ua lete bicovessa, che è covergete, se posta i aria (cioè possiede ua distaza focale positiva), diveta divergete ell acqua (cioè la sua distaza focale è egativa), essedo >. secoda che la distaza focale f sia positiva o egativa, si distiguoo ifatti leti covergeti o divergeti rispettivamete. Le leti covergeti (f > 0) fao covergere u fascio di raggi paralleli all asse ottico i u puto F reale (Figura 8.), metre le leti divergeti fao divergere il fascio i modo che i prolugameti dei raggi emergeti covergao i u puto F virtuale (Figura 8.). I Tabella 8.3 soo riportate le caratteristiche geerali per diversi tipi di leti sottili. Figura 8. La posizioe del fuoco di ua lete covergete si ottiee co raggi lumiosi proveieti dall'ifiito dello spazio oggetto e paralleli all'asse ottico: esso risulta essere reale (il puto F si trova ello spazio immagie) e positivo. F Figura 8. La posizioe del fuoco di ua lete divergete si ottiee co raggi proveieti dall'ifiito dello spazio oggetto e paralleli all'asse ottico: esso risulta essere virtuale (il puto F si trova ello spazio oggetto) e egativo. F
48 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Si defiisce potere diottrico y di ua lete l iverso della sua distaza focale espressa i metri: Potere diottrico y = f. (8.40) Il potere diottrico si misura i diottrie: ad esempio ua lete di +5 diottrie è covergete co f = /5 m = 0 cm, metre ua lete di.5 diottrie è divergete co f = /.5 m = 40 cm. ESEMPIO 8.5 Lete sottile i aria e i acqua Ua lete di vetro co =.5 è costituita da due superfici covesse. Se i rispettivi raggi di curvatura soo 0 cm e 0 cm, calcolare () la sua lughezza focale el caso la lete sia posta i aria e () el caso essa si immersa i acqua. Soluzioe () Secodo le covezioi sui segi, R è positivo ed R è egativo e dalla relazioe (8.38) abbiamo: 5 f = R ( ) R = (. ) ( 0. m 0. m ) = =0.5(0+ 5)m = 7.5m, si ha R = 0. m e R = 0. m e si ottiee lo stesso risultato: le proprietà della lete o cambiao. () Dato che l idice di rifrazioe dell acqua è.33, abbiamo che = / =.5 per cui, ripetedo il calcolo eseguito sopra si ottiee: ( ) = 5 f = R ( ) R = (. ) 0. m 0. m = 0.5 (0 + 5) m =.875 m, e quidi f = 0.533 m = 53.3 cm, cioè circa 4 volte la lughezza focale della lete i aria. cioè f = 0.33 m = 3.3 cm. Si osservi che, se si rovescia la lete, ESEMPIO 8.6 Potere diottrico della corea Calcolare il potere diottrico della corea (R = 8 mm e =.33) e del cristallio (R = 0 mm e R = 6 mm co =.44) ell occhio umao (vedasi Figure 0. e 0.). Si assuma uguale a uo l idice di rifrazioe dell aria. Soluzioe Per raggi proveieti dall estero dell occhio, applicado la (8.7), si ottiee il potere diottrico della corea per covergeza di: y = = = f R 033. = 3 = + 3 diottrie. 33. 80 m Metre per raggi proveieti dall itero dell occhio la corea preseta u potere diottrico (dalla 8.8) di: y = = f R =0.33 80 Per il cristallio, applicado la (8.38) si ottiee: ( ) y = = R R = ( ( ) = 3 f.44 =.33 ) 0 0 = + diottrie. = 4 diottrie. m + m 60 3 3 m
8.8 Le leti sottili 49 TELL 8.3 Proprietà di diversi tipi di leti sottili co > LENTE RGGI FUOCO TIPO DI LENTE bicovessa R > 0 R < 0 f > 0 covergete bicocava R < 0 R > 0 f < 0 divergete piao* covessa R = 0 R < 0 f > 0 covergete R > 0 R = 0 f > 0 covergete piao* cocava R = 0 R > 0 f < 0 divergete R < 0 R = 0 f < 0 divergete cocavo-covessa R > R f > 0 covergete R < R f < 0 divergete * Il piao è ua superficie sferica di raggio ifiito, il cui iverso è zero 8.8a Costruzioe dell immagie da ua lete sottile Fiora abbiamo cosiderato sorgeti putiformi (oggetti) posti sull asse ottico. Se la sorgete putiforme è posta fuori dall asse ottico, ma i puti abbastaza prossimi a esso, e se il fascio icidete è di piccola apertura, i raggi rifratti covergoo acora i u puto situato fuori dall asse, formado u immagie S di S, come mostrato i Figura 8.3. Per determiare graficamete il puto immagie, basta costruire due soli raggi rifratti, ad esempio quello parallelo all asse, che si rifrage passado per il fuoco, e il raggio passate per il cetro ottico, che prosegue seza cambiare direzioe. Ua sorgete estesa può pertato essere costituita da u isieme di sorgeti putiformi a ciascua delle quali si possoo applicare le cosiderazioi precedeti. secoda della sua posizioe rispetto alla lete si ottegoo immagii differeti, come mostrato el caso di ua lete bicovessa i Figura 8.4 e bicocava i Figura 8.5. S F Figura 8.3 C F Costruzioe dell'immagie S di u puto oggetto S posto fuori dall'asse ottico. Il puto C è il cetro della lete. Costruzioe di immagii S' a) F ' ' F ' Figura 8.4 Costruzioe grafica dell'immagie, relativa all'oggetto, forita da ua lete sottile divergete. Se l'oggetto si trova a ua distaza: (a) maggiore della distaza focale della lete (p > f ) oppure (b) miore ( f < p < 0), l'immagie è sempre virtuale (co f < q < 0), diritta e rimpicciolita (G <, si veda la (8.4)). F ' F b)
430 CPITOLO 8 Ottica fisica e Ottica geometrica Figura 8.5 Costruzioe grafica dell'immagie, relativa all'oggetto, forita da ua lete sottile covergete. (a) Se l'oggetto si trova ad ua distaza maggiore del doppio della distaza focale della lete (p > f ), l'immagie è reale (co f < q < f ), capovolta e rimpicciolita (G < ). (b) Se l'oggetto si trova ad ua distaza pari al doppio della distaza focale della lete (p = f ), l'immagie è reale (co q = f ), capovolta e di uguale dimesioe (G = ). (c) Se l'oggetto si trova tra il fuoco ed il doppio della distaza focale (f < p < f ), l'immagie è reale (co q > f ), capovolta e igradita (G > ). (d) Se l'oggetto si trova i corrispodeza del fuoco (cioè p = f ), i raggi emergoo dalla lete paralleli (q = q ). (e) Se l'oggetto si trova ad ua distaza miore della distaza focale (p < f ), l'immagie è virtuale (q < 0), diritta e igradita co G >. a) b) c) F F F C C C F F F ' ' ' ' ' ' d) = F C F immagie all ifiito ' ' F C F e) Si defiisce igradimeto lieare G di ua lete sottile il rapporto tra le dimesioi dell immagie ( ) e quelle dell oggetto ( ). Co semplici cosiderazioi geometriche, dalle Figura 8.4 e 8.5, e utilizzado la formula dei puti coiugati, si ottiee: