PRETEST STUDENTI PER 2014

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1 INSIEMI NUMERICI E ALGEBRA

INSIEME N E l insieme dei numeri naturali (N*: insieme dei numeri naturali escluso lo 0). È INFINITO Ogni numero naturale ha un successivo Ogni numero naturale, eccetto lo 0, ha un precedente 0 è l elemento minimo dell insieme N L insieme N non ha un massimo

INSIEME Z E l insieme dei numeri interi relativi È INFINITO Ogni numero ha un precedente e un successivo Non ha né un elemento massimo né un minimo NUMERI INTERI RELATIVI: numeri naturali preceduti dal segno + (positivi) o (negativi) NUMERI CONCORDI: numeri con lo stesso segno NUMERI DISCORDI: numeri con segni diversi VALORE ASSOLUTO: numero relativo privato del suo segno ( a ) - se a è positivo, allora a =a - se a è negativo, allora a =-a NUMERI OPPOSTI: numeri con stesso valore assoluto e segni diversi Ordinamento: - tra due numeri discordi, il negativo è minore del positivo; - lo 0 è maggiore di qualsiasi negativo e minore di qualsiasi positivo - tra due numeri positivi è minore quello che ha minor valore assoluto - tra due numeri negativo è minore quello che ha maggior valore assoluto

INSIEME Q E l insieme dei numeri razionali È INFINITO Ogni numero ha un precedente e un successivo Non ha né un elemento massimo né un minimo E DENSO (tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali) Può essere rappresentato su una retta orientata, ovvero su una retta sulla quale si siano fissati un origine, un unità di misura e un verso Si dicono numeri RECIPROCI due numeri razionali il cui prodotto sia 1. FRAZIONI -PROPRIA:il numeratore è minore del denominatore; -IMPROPRIA: il numeratore è maggiore del denominatore; -APPARENTE: il numeratore è multiplo del denominatore; -EQUIVALENTI: rappresentano lo stesso quoto

INSIEME R E l insieme dei numeri reali (razionali + irrazionali) È INFINITO Ogni numero ha un precedente e un successivo Non ha né un elemento massimo né un minimo NUMERI IRRAZIONALI: numeri che non possono essere espressi da frazioni (es. 2, 3, ) Ad ogni numero reale si può associare un punto di una retta orientata e viceversa: esiste una CORRISPONDENZA BIUNIVOCA.

NOTAZIONE SCIENTIFICA Rappresentazione di un numero sotto forma di prodotto tra un numero decimale la cui cifra intera è compresa tra 1 e 9, e una potenza di 10. Es. 6500000 = 6.5 x 106 6500000 0.0000084 = 8.4 x 10--6 0.0000084 ORDINE DI GRANDEZZA Potenza di 10 che meno differisce da un determinato numero. Es. 1200 = 1.2 x 10 3 1.2<5 10 3 ordine di grandezza 6500 = 6.5 x 10 3 6.5>5 10 4 ordine di grandezza

operazione termini risultato proprietà addizione: a+b sottrazione: a-b con a>b a e b addendi a minuendo b sottraendo somma differenz a -Commutativa: a+b=b+a -Associativa: (a+b)+c=a+(b+c) -Elemento neutro a+0=0+a=a -Invariantiva: a-b=(a+c)-(b+c) a-b=(a-c)+(b-c) moltiplicazione: a b a e b fattori prodotto -Commutativa -Associativa -Distributiva: a (b+c)=a b+a c -Elemento neutro a 1=1 a=a -Elemento nullo a 0=0 a=0 -Legge di annullamento del prodotto: se a b=0 allora a e/o b= 0 divisione esatta: a:b con b 0 a multiplo di b b divisore di a a dividendo b divisore quoto -Invariantiva -Distributiva

PROPORZIONI Uguaglianza di due rapporti della forma a:b=c:d con b 0 e d 0 Una proporzione è detta CONTINUA se i medi sono tra loro uguali PROPRIETA : - fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi - del permutare: se si scambiano tra loro i termini medi o i termini estremi, si ottiene una nuova proporzione - dell invertire: se si scambia ogni antecedente con il rispettivo conseguente, si ottiene una nuova proporzione - del comporre: la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto) - del scomporre: la differrenza tra i primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza degli altri due termini sta al terzo (o al quarto)

PERCENTUALI x è il p% di A -> x:a=p:100 -> x=a p 100 x è il p di A -> x:a=p:1000 -> x=a p 1000 Es. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? 1 : 500 = X : 100 (parte / totale) X 500 = 1 100 X = 100/500 = 0,2%

ELEVAMENTO A POTENZA a n = a a a (n fattori uguali ad a) POTENZA: a n BASE DELLA POTENZA: a ESPONENTE DELLA POTENZA: n a 1 =a a 0 =1 per a 0 0 0 non ha significato PROPRIETA DELLE POTENZE a m a n =a m+n a m b m =(a b) m a m :a n =a m-n con a 0, m>n a m :b m =(a :b) m con b 0 (a m ) n = a mn

FRAZIONI CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO: si invertono numeratore e denominatore. Es. 2 2 2 3 = 3 2 FRAZIONI CON ESPONENTE RAZIONALE (costituito da frazione): si trasforma la potenza in radice, avente come indice il denominatore per l esponente e come radicando la base della potenza elevata al numeratore dell esponente. Es. 2 3 2 2 = 2 3

RADICALI La radice n-esima o radicale n-esimo (con n 0 ) di un numero reale a, scritto n come a, è un numero reale b tale che b n =a. Può essere anche espresso come a 1 n. Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste nel campo dei numeri reali. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari: - se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero. -se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi. Se radicali con indice pari hanno il radicando minore di 0, questi rappresentano numeri immaginari. La somma dell insieme R dei numeri reali e l insieme I dei numeri immaginari costituisce l insieme C dei numeri complessi.

PROPRIETA DEI RADICALI: n m a m n = a n ( a) m n = a m a m n = a m n = n n a m 1 a m a ± b = a + a 2 b 2 ± a a 2 b 2 CASI PARTICOLARI: La radice n-esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad n, è uguale a 0; nel caso in cui però n sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.

LOGARITMI il logaritmo di un numero in una data base è l esponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero stesso: cioè se x=b y, allora y=log b x Per essere definito, la base a deve essere un numero positivo reale diverso da 1, e x deve essere reale e positivo; queste ipotesi sono necessarie per fare in modo che il logaritmo esista e sia unico Le basi solitamente più utilizzate sono: - base 10 (logaritmi decimali): si indicano con Log - base e (logaritmi naturali): si indicano con ln. e è detto numero di Nepero, è reale ed è una costante pari a circa 2,71

PROPRIETA DEI LOGARITMI: log a a=1 log a 1=0 a loga x = log a a x = x log a x y = log a x + log a y log a x y = log a x log a y log a x k = k log a x k log a x = 1 k log a x log a 1 x = log a x log b x = log k x log k b

- Se la base del logaritmo è maggiore di 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi ottengo valori del logaritmo sempre più grandi. Questo perchè, ragionando secondo la definizione, è esattamente così che si comporta la potenza con base un numero maggiore di 1. Ad esempio, leggiamo da sinistra a destra il grafico che segue, dove vengono mostrati i valori del logaritmo in base 3 (ordinate y) al variare dell'argomento (ascisse x, positive!).

- Se invece la base del logaritmo è compresa tra 0 ed 1, allora prendendo valori dell'argomento sempre più grandi otteniamo valori del logaritmo sempre più piccoli. Ciò è dovuto al fatto che la potenza in base un numero compreso tra 0 ed 1 fornisce valori sempre più piccoli prendendo esponenti via via più grandi. Nella figura vediamo ad esempio il comportamento del log 1/2 x, dove le ordinate y sono i valori del logaritmo e le ascisse x sono i valori dell'argomento.

POLINOMI Si definisce polinomio la somma algebrica di monomi, detti termini del polinomio. Ogni polinomio può essere ridotto a FORMA NORMALE riducendo i termini simili. Il termine del polinomio diverso da 0 è detto TERMINE NOTO (ha grado 0). GRADO DI UN POLINOMIO (non nullo): il massimo dei gradi dei termini che lo compongono POLINOMIO OMOGENEO: polinomio avente tutti i termini dello stesso grado POLINOMIO ORDINATO: se i suoi termini sono ordinati secondo le potenze decrescenti di una lettera POLINOMIO COMPLETO rispetto a una lettera: se i suoi termini contengono tutte le potenze di tale lettera, da quella di grado massimo al termine noto

PRODOTTI NOTEVOLI Quadrato di un binomio: il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto dei due monomi, più il quadrato del secondo binomio. (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 Quadrato di un polinomio: il quadrato di un polinomio di un numero qualunque di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascun termine per ognuno di quelli che lo seguono. Es. (A+B+C) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza: è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio. (A+B) (A-B)= A 2 -B 2

Cubo di un binomio: è un quadrinomio i cui termini sono - il cubo del primo monomio - il triplo del prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo; - il triplo del prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo; - il cubo del secondo monomio. È cioè un quadrinomio omogeneo di terzo grado rispetto ad A e B, ordinato secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B. (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3

POTENZA N-ESIMA DI UN POLINOMIO (A+B) n Lo sviluppo di (A+B) n contiene n+1 termini: il primo è A n, e l ultimo è B n Lo sviluppo di è un polinomio omogeneo di grado n, completo sia rispetto ad A che a B, ordinato secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B Considerando sviluppi dello stesso binomio aventi come esponente valori sempre crescenti di n, osserveremo che ogni sviluppo ha un termine in più del precedente I coefficienti dei termini estremi sono uguali, come anche i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi. Per facilitare lo sviluppo di tale potenza, è conveniente costruire il Triangolo di Tartaglia, seguendo delle leggi: -In ogni riga il primo e l ultimo numero sono uguali ad 1 -In ogni riga, a partire dalla terza, qualsiasi altro numero si ottiene sommando i due sovrastanti della riga precedente, indicati dalle frecce...

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI I polinomi scomponibili in fattori ciascuno dei quali di grado inferiore al dato polinomio sono detti RIDUCIBILI. Esistono differenti metodi per effettuare la scomposizione di un polinomio: RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTORE COMUNE: si applica quando tutti i termini del polinomio hanno in comune un fattore: AB+AC+AD=A(B+C+D) RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTORE COMUNE: si applica quando alcuni termini del polinomio hanno in comune un fattore, ed è essenziale che dopo il raccoglimento parziale a gruppi sia possibile eseguire un raccoglimento totale; solo in questo caso riusciremo a scoporre il polinomio in fattori: ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y) TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN BINOMIO POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO SCOMPOSIZIONE DELLA DIFFERENZA DI DUE QUADRATI QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO SCOMPOSIZIONE DELLA SOMMA E DIFFERENZA TRA CUBI: -la somma di due cubi è scomponibile nella somma delle basi moltiplicata per il falso quadrato in cui il prodotto è preceduto dal segno - : A 3 +B 3 =(A+B) (A 2 -AB+B 2 ) -la differenza di due cubi è scomponibile nella differenza delle basi moltiplicata per il falso quadrato in cui il prodotto è preceduto dal segno + : A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 )

SCOMPOSIZIONE DELTRINOMIO NOTEVOLE: si chiama trinomio notevole un polinomio della forma x 2 +(A+B)x+AB dove A e B sono numeri. - è di secondo grado rispetto ad una lettera (x) - ha il coefficiente di x 2 =1 (primo coefficiente) - ha il coefficiente di x uguale alla somma dei due numeri A e B (secondo coefficiente) - ha il termine noto (terzo coefficiente) uguale al prodotto dei due numeri A e B. Un trinomio notevole può essere scomposto in fattori, ottenendo x 2 +(A+B)x+AB =(x+a)(x+b) SCOMPOSIZIONE CON LA REGOLA DI RUFFINI

EQUAZIONI ALGEBRICHE Uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per particolari valori (SOLUZIONI) attribuiti alle variabili (incognite) che in esse compaiono. Risolvere un equazione significa individuarne le soluzioni. Il grado del polinomio ottenuto dopo aver svolto le dovute operazioni si dice GRADO DELL EQUAZIONE. Studieremo equazioni di primo e secondo grado: ax=b ax 2 +bx+c=0 Nb. si può sempre trasportare un termine da una parte all altra del segno di uguaglianza, purché lo si cambi di segno.

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Determinata ax=b _ x=b/a _ a,b 0 Indeterminata a=0, b=0 _ x=0/0 Impossibile a=0, b 0 _ x=b/0

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Pura ax 2 +c=0 se a, c sono concordi non esiste soluzione! se a, c sono discordi x=± (c/a) Spuria ax 2 +bx=0 x(ax+b) x=0 x=--b/a Completa ax 2 +bx+c=0 =b 2 --4ac <0 _ l equazione non ammette soluzioni =0 _ x=--b/2 >0 _ esistono due soluzione x 1,2 =(--b± )/2a

DISEQUAZIONI Disuguaglianza soddisfatta solo per valori opportuni dell incognita che in essa figura. Risolverla significa trovare INTERVALLI di valori e non singoli valori. DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO: ax > b con a>0 sempre! x > b/a ax<b con a>0 x < b/a Es. Quanti sono i numeri naturali diversi da 0 che soddisfano la condizione il loro triplo diminuito della loro metà è un numero naturale minore di 2? 3x -- (1/2)x < 2 x<4/5 nessun numero naturale è minore di 4/5

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c = 0 SI RISOLVE L EQUAZIONE!! 1) se >0 esistono due soluzioni distinte (x1,x2). si possono avere due casi: a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) x<x1 e x>x2 a discorde con il verso (+,<) ( -, > ) x1<x<x2 2) se <0, non esiste soluzione a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) x a discorde con il verso (+,<) ( -, > ) x 3) se =0, esiste un unica soluzione dell equazione a concorde con il verso (+,>) ( -, < ) x x1 ; se x a discorde con il verso (+,<) ( -, > )

CENNI DI CALCOLO COMBINATORIO Disposizioni semplici: di n oggetti distinti tra loro, di classe k, con k<n, sono tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare prendendo k oggetti fra gli n dati, con la condizione che ciascun gruppo differisca da un altro o per l ordine o per un oggetto. D n,k = n (n-1) (n-2)...(n-k+1) Es. quante disposizioni di 5 lettere si possono formare con 21 lettere? D 21,5 = 21 20 19 18 17 = 2441880

Disposizioni con ripetizioni: come le disposizioni semplici, con la condizione per che ciascun gruppo differisca da un altro anche per il numero di volte in cui un oggetto viene ripetuto. D* n,k = n k Es. lanciando due dadi in quanti modi diversi possono presentarsi le due facce? n = facce del dado = 6 k = numero dei dadi = 2 D* 6,2 = 6 2 = 36

Permutazioni semplici: di n oggetti distinti di classe k, con k=n, tutti i possibili raggruppamenti (anagrammi) che si possono formare in cui ogni gruppo differisce dall altro solamente per l ordine. P n = n! Es. determinare il numero degli anagrammi della parola fine f_i_n_e n = 4 P 4 = 4! = 4 3 2 1 = 24

Permutazioni con ripetizioni: come le permutazioni semplici in cui per alcuni oggetti risultano uguali tra loro. P n s,t,.. = n!/(s! t!) Es. determinare il numero degli anagrammi della parola mancanza m_a_n_c_a_n_z_a n = 8 s=3 t=2 P 8 3,2 = 8!/(3! 2!) = 3360

Combinazioni semplici: di n oggetti distinti di classe k, con k n, tutti i possibili raggruppamenti in cui ogni gruppo differisce da un altro per almeno un oggetto. (non vale l ordine!) C n,k = D n,k / k! Es. quanti terni puoi fare con 90 numeri? D 90,3 = 90 89 88 = 704880 3! = 3 2 1 = 6 C 90,3 = D 90,3 /3! = 704880 /6 = 117480