Parte 5 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 5, 1 Analisi Armonica Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Analisi armonica di segnali Parte 5, 2 Segnali periodici: serie di Fourier Una funzione si dice periodica di periodo se soddisfa la relazione: Esempio: intero pulsazione della funzione Periodica di periodo 2
Analisi armonica di segnali Parte 5, 3 Segnali periodici: serie di Fourier Risultato fondamentale: Una qualunque funzione periodica periodo può essere rappresentata mediante la serie di Fourier di Forma trigonometrica
Definizioni: Parte 5, 4 armoniche componente continua 1 a armonica (fondamentale): k a armonica: peso del modulo della k a armonica sfasamento della k a armonica
Parte 5, 5 Definizioni: Esistono segnali il cui sviluppo in serie e composto da un numero finito di termini, ovvero per i quali il peso dei coefficienti al di fuori di un certo intervallo hanno un peso trascurabile rispetto agli altri: Si definisce banda del segnale l intervallo di pulsazioni compreso tra la minima e la massima pulsazione significativa segnali a banda limitata se e finito; segnali a banda illimitata altrimenti Sviluppare un segnale in serie di Fourier equivale a fare una analisi armonica, cioè rappresentare il segnale nel dominio delle frequenze
Segnali non periodici: trasformata di Fourier Parte 5, 6 Data una funzione (a valori reali o complessi) si definisce trasformata di Fourier la funzione complessa di variabile reale definita come Trasformata inversa ( reale ):
Parte 5, 7 la relazione tra e risulta biunivoca e quindi le due rappresentazioni hanno lo stesso contenuto informativo La funzione viene detta anche spettro di e detto spettro di ampiezza e detto spettro di fase La relazione mette in evidenza come il segnale sia scomponibile in una infinità non numerabile di componenti sinusoidali dette armoniche La trasformata di Fourier rappresenta una estensione ai segnali non periodici del risultato ottenuto per segnali periodici con lo sviluppo in serie di Fourier
Esempi di spettri Parte 5, 8 La presenza di armoniche a frequenze elevate è legata alla derivata del segnale temporale: a segnali più bruschi corrispondono spettri che si estendono a frequenze più elevate Segnale temporale Spettro serie di Fourier ( )
Segnale temporale smussato Spettri serie di Fourier ( ) Parte 5, 9
Analisi armonica di sistemi dinamici Parte 5, 10 Dall analisi in frequenza di segnali temporali Dalla sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari Dall unione di questi due risultati acquista quindi significato studiare la risposta di sistemi dinamici a fronte di ingressi sinusoidali
Studieremo quindi il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, cercando di capire come il sistema risponde a regime a sollecitazioni a determinate frequenze. Questo studio porterà a definire la funzione di risposta armonica del sistema. Parte 5, 11 Ipotesi: sistema asintoticamente stabile (tutti i poli di a parte reale <0)? Risposta a regime? Sviluppando in fratti semplici: Contributo poli di Contributo ingresso
Sviluppando Parte 5, 12 Dalle formule di Eulero si ottiene ovvero, riscrivendo, Modulo: Argomento:
Quindi, anti-trasformando: Parte 5, 13 (vedere parte 3) Termine transitorio Termine di regime Ogni sistema dinamico lineare tempo invariante asintoticamente stabile sollecitato da un ingresso sinusoidale risponde a regime con una uscita sinusoidale alla stessa frequenza della forzante e con una ampiezza e una fase che dipendono dalla frequenza (oltre che dalla ampiezza e fase della forzante).
Funzione di risposta armonica Dalle considerazioni precedenti sembra naturale definire, come funzione compatta che cattura il comportamento in frequenza di un sistema dinamico, la seguente funzione di risposta armonica Parte 5, 14 dai passaggi precedenti Funzione complessa di variabile reale il cui modulo rappresenta il fattore di amplificazione/attenuazione a regime dell ampiezza di ingressi sinusoidali alla frequenza e l argomento lo sfasamento tra ingresso e uscita NB: non dipende da e
Teorema del regime permanente Parte 5, 15 Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente i poli a parte reali negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta sinusoidale avente la stessa frequenza dell eccitazione. La funzione di risposta armonica e legata alla funzione di trasferimento dalla relazione.
Parte 5, 16 Osservazione importante: il legame tra funzione di trasferimento e funzione di risposta armonica assume un grande significato pensando che quest ultima si presta ad una identificazione sperimentale (analisi delle risposte a fronte di ingressi sinusoidali) lineare stazionario asint. stabile?? * * Valore del modulo e argomento di alla frequenza
Parte 5, 17 Modellistica fisica Sperimentazione Funzione di trasferimento Funzione di risposta armonica?? Vedremo, studiando i metodi grafici per la rappresentazione della funzione di risposta armonica, che sarà possibile mettere in diretta relazione l andamento (sperimentale) della funzione di risposta armonica con la posizione di poli/zeri della funzione di trasferimento
Sistemi semplicemente stabili o instabili Parte 5, 18 Modi naturali (non smorzati) del sistema Modi forzanti Per sistemi semplicemente stabili o instabili la funzione di risposta armonica contiene informazioni relative alla parte della risposta associata all ingresso Significato fisico molto meno interessante
Parte 5, 19 Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica Tre possibili rappresentazioni Funzione complessa di variabile reale logaritmico Diagramma di Nyquist Diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) Diagramma di Nichols
Diagrammi di Bode Parte 5, 20 Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo) Funzione di risposta armonica associata 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati
Parte 5, 21 Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo e possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi complessi e interi si ha che
Parte 5, 22 fattori elementari fattori elementari
Fattori elementari Parte 5, 23 Ampiezza Fase guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicemente cambiando segno (ribaltamento attorno all asse delle ascisse) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
Parte 5, 24 Ampiezza espressa in decibel: Ampiezza (db) Diagramma logaritmico Fase (gradi) Frequenze (rad/sec) Diagramma semi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rappresentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi)
Guadagno statico Ampiezza Fase Parte 5, 25 se se se se se
Zero (polo) nell origine Parte 5, 26 Ampiezza Fase pendenza
Parte 5, 27 Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse pendenza
Zero (polo) reale Ampiezza Fase Parte 5, 28 se se NB: andamento indipendente dal segno di pendenza (valore assoluto dello zero)
..fase: caso se Parte 5, 29 se Tangente al punto di flesso Semiretta a Punto di flesso diagr. approx diagr. reale
..fase: caso Parte 5, 30 se se NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all asse Punto di flesso diagr. approx diagr. reale
Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Parte 5, 31
Zeri (poli) c.c. Parte 5, 32 Ampiezza se se Pendenza Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di )
ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Parte 5, 33 Il valore del minimo è alla frequenza e vale Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal segno di
Fase: caso se Parte 5, 34 se Tangente al punto di flesso Diagramma approssimato
Fase: caso se Parte 5, 35 se
Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all asse delle ascisse Parte 5, 36 Il valore del massimo è alla frequenza e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente
Parte 5, 37 Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l asse delle frequenze per il diagramma delle fasi
Il valore di picco frequenza PICCO DI RISONANZA alla viene detto Parte 5, 38 Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
Parte 5, 39 Il valore di minimo frequenza alla viene detto PICCO DI ATTENUAZIONE Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
Tabella riassuntiva Parte 5, 40
.Tabella riassuntiva Parte 5, 41
.Tabella riassuntiva Parte 5, 42
Ritardo temporale Modulo Argomento Parte 5, 43
Ritardo temporale: approssimante di Pade Parte 5, 44 Approssimazione di un ritardo temporale (la cui funzione di trasferimento e una funzione trascendente) mediante funzione razionale fratta. Ordine approssimante (sviluppo in serie di Maclaurin) Risposta al gradino dell approssimante ( )
Approssimante di Pade : interpretazione poli/zeri Parte 5, 45 Mappa poli/zeri (grado relativo nullo, valori di e identici a coppie, con zeri a fase non minima)
Approssimante di Pade : interpretazione frequenziale Parte 5, 46 L effetto degli zeri a fase non minima risonanti con i poli è quello di annullare (in maniera esatta) l effetto di attenuazione del modulo introdotto dai poli e di contribuire a dare sfasamento negativo.
..Approssimante di Pade : interpretazione frequenziale Parte 5, 47 Sommando, il diagramma complessivo risulta: Ricordando l andamento dei diagrammi di Bode del ritardo esatto, si ha che l approssimazione risulta precisa solo in un certo intervallo frequenziale che dipende dall entità del ritardo e dall ordine dell approssimante. Regola empirica: max freq. in cui l approx è buona ritardo Ordine approx
Esempio: Altoparlante magnetico Parte 5, 48 N Funzione di trasferimento del sistema (dall ingresso, all uscita ): S N Induttanza bobina Resistenza bobina Costante di forza bobina Massa del cono Costante elastica sospensione Coefficiente attrito cono nell aria Costante velocità cono/ potenza acustica Mappa poli/zeri: Zero nell origine Poli meccanici Polo elettrico
Parte 5, 49 La presenza dello zero nell origine mette in luce che le componenti continue non vengono trasferite (senso fisico) Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico)
Il sistema esaminato risulta essere un passa banda, ovvero solo le armoniche comprese in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in ampiezza (a meno di una costante) e con sfasamenti trascurabili Curva normalizzata Parte 5, 50 Banda passante: intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode delle ampiezze è compreso tra (in generale compreso in una fascia ampia centrata sul valore massimo) Classificazione sistemi banda passante
Parte 5, 51 Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante Passa Basso Passa Alto Banda passante Banda passante
Parte 5, 52 Passa Banda Elimina Banda Banda passante Banda passante
Alcuni casi significativi: Sistemi del primo ordine: Parte 5, 53 Si può facilmente verificare che la pulsazione in cui il diagramma vero interseca la striscia corrisponde con la pulsazione di rottura Sistemi del secondo ordine reali: La banda del sistema dipende dalle costanti di tempo congiuntamente. Nel caso di separazione delle scale dei tempi e lecito attendersi che la banda coincida con l inverso della costante di tempo più lenta (polo dominate)
. sistemi del secondo ordine reali Parte 5, 54 Dalla definizione di banda: Avendo definito Caso polo dominante: Caso poli coincidenti Ci aspettiamo che:
. sistemi del secondo ordine reali Parte 5, 55 La banda passante risulta essere una funzione quasi lineare di (con costante di proporzionalità che dipende dalla posizione reciproca delle due costanti di tempo) Doppia scala dei tempi (dinamica dominante ) Dinamiche equivalenti ( )
Sistemi del secondo ordine c.c.: Parte 5, 56 Il concetto di banda, così come definito, si applica solo per sufficientemente elevati zoom
. sistemi del secondo ordine c.c. Parte 5, 57 Calcoli analoghi a quelli fatti per il doppio polo reale portano a definire la banda come: dove La banda, per i valori di per cui e definita, risulta essere proporzionale al valore di con costante di proporzionalità che dipende praticamente linearmente da
Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari Parte 5, 58 Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l uscita a regime di un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica, forzato da un ingresso con spettro frequenziale, è un segnale temporale il cui spettro : ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte frequenze non presenti nello spettro di ingresso); ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso modulato dall andamento della funzione di risposta armonica ( ). regime spettro serie di Fourier spettro serie di Fourier
Parte 5, 59
Parte 5, 60 Interpretazione nel dominio della frequenza della proprietà bloccante degli zeri: regime spettro serie di Fourier ingresso spettro serie di Fourier uscita Effetto di una coppia di zeri sull asse immaginario
Caso zero nell origine Parte 5, 61 regime spettro serie di Fourier ingresso spettro serie di Fourier uscita
In realtà è facile rendersi conto che la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del segnale di ingresso modulato dalla funzione di risposta armonica non vale solo per il segnale a regime ma bensì per l andamento completo. Parte 5, 62 Dominio Temporale Laplace Frequenze Spettro di
Parte 5, 63
Parte 5, 64
Parte 5, 65
Parte 5, 66 Con riferimento all esempio visto in precedenza riguardo la proprietà bloccante degli zeri: spettro serie di Fourier ingresso trasformata di Fourier uscita N.B.: l uscita è solo asintoticamente nulla (proprietà bloccante degli zeri). L andamento del transitorio è governato dalle componenti spettrali della funzione di risposta armonica del sistema.
Parte 5, 67 Relazione tra larghezza banda e risposta al gradino (tempo di assestamento) Sistemi del primo/secondo ordine reali: Dall analisi della risposta al gradino sappiamo che sistemi del primo ordine sistemi del secondo ordine Dall analisi in frequenza, e in particolare dall analisi della banda passante di un sistema del primo/secondo ordine, sappiamo che la banda passante e uguale (proporzionale) a ( ). Quindi: Per un sistema del primo/secondo ordine, il tempo di assestamento e inversamente proporzionale alla banda passante del sistema.
Determinazione sperimentale funzione di risposta armonica Sistemi del secondo ordine c.c.: Parte 5, 68 Dall analisi della risposta al gradino sappiamo che Dall analisi in frequenza, e in particolare dall analisi della banda passante di un sistema del secondo ordine c.c., sappiamo che la banda passante, per quei valori di per cui e definita ( ), e proporzionale a. Quindi: Per un sistema del secondo ordine c.c con, il tempo di assestamento e inversamente proporzionale alla banda passante del sistema.