TORINO SETTEMBRE 2010 COMPENDIO DI ESPONENZIALI E LOGARITMI di Bart VEGLIA 1
ESPONENZIALi 1 Equazioni esponenziali Un espressione in cui l incognita compare all esponente di una o più potenze si chiama equazione esponenziale 8 Ecco un esempio di equazione esponenziale 2 3 x = (1) 2 x + 2 L espressione a x = b (2) è una equazione esponenziale elementare Nel campo reale deve essere a > 0 e b > 0 (Infatti nel campo reale non si definiscono le potenze di un numero negativo con esponente reale.inoltre la potenza di un numero positivo è sempre positiva) Se a e b sono due numeri reali positivi la (2) ammette una ed una sola soluzione: positiva se a e b sono entrambi > 1 o < 1; negativa se uno dei due numeri è > 1 e l altro < 1 L equazione a x = 1 ha la sola soluzione x = 0 La equazione esponenziale dell esempio (1) si può risolvere ponendo 2 x = z La (1) diventa così z 3 = 8 / z 4 da cui z 4 = 2 cioè z = 2 ¼ Poiché 2 x = z e z = 2 ¼ è x = ¼, che è la soluzione cercata. 2 Funzione esponenziale Una funzione y = a x, con a > 0 ed a 1, è una funzione esponenziale. Tale funzione è monotòna, cioè ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y. È crescente se a > 1; decrescente se 0 < a < 1. Il suo grafico è sempre positivo. Se a > 1 il grafico è del tipo di fig.1; se 0 < a < 1 il grafico è del tipo di fig.2; se a = 1 il grafico è semplicemente la retta y = 1 (fig. 3). Tutti tre i grafici intersecano l asse y nel punto y = 1 y y y a > 1 0 < a < 1 a = 1 1 1 1 x x x fig. 1 fig. 2 fig. 3 Tra le funzioni esponenziali è particolarmente importante la y = e x numero irrazionale di Nepero 2,718 la cui base è il 2
LOGARITMI 3 Generalità Dati due numeri positivi a e b, con a 1, l equazione a x = b ammette una ed una sola soluzione che si chiama logaritmo di b in base a, e si indica con log a b E cioè quel numero n che, dato per esponente alla base a, rende la potenza a n = b b si chiama argomento del logaritmo 4 Proprietà dei logaritmi 4. 1 Logaritmo di un prodotto Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori log ( m n ) = log m + log n 4. 2 Logaritmo di un quoziente Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e quello del divisore log ( m/n ) = log m - log n 4. 3 Logaritmo di una potenza Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell esponente della potenza per il logaritmo della base log m n = n log m 4. 4 Logaritmo di un radicale Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto del reciproco dell indice della radice per il logaritmo del radicando log n m = (1/n ) log m ( Infatti la n m si può scrivere m 1/n per cui, per il logaritmo, si applica la regola del 4. 3 ) 5 Sistemi di logaritmi L insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto ad una base a, si chiama sistema dei logaritmi a base a. I sistemi di logaritmi di uso più comune sono due: - i logaritmi decimali, o volgari, o di Briggs - i logaritmi naturali, o Neperiani 5. 1 Logaritmi decimali I logaritmi decimali sono quelli a base 10. Si indicano con il simbolo log 10 o più semplicemente con log I logaritmi delle potenze di 10 sono dati da un numero uguale all esponente della potenza suddetta Es. log 1000 = log 10 3 = 3 Il logaritmo di un numero non potenza di 10 è un numero decimale, irrazionale, composto da una parte intera, detta caratteristica, uguale all esponente della potenza di 10 del 3
numero dato, e da una parte decimale, detta mantissa, che si ricava da apposite tavole logaritmiche. Es log 348,53 = log 3,4853 10 2 = 2,54224; 2 è la caratteristica, 54224 è la mantissa In altri termini si può dire che la caratteristica del logaritmo di un numero maggiore di 1 è uguale al numero delle cifre della parte intera, diminuito di 1 Più comunemente, si calcola il logaritmo mediante un calcolatore scientifico. Moltiplicando o dividendo un numero per una potenza di 10, la mantissa del suo logaritmo non cambia Per i numeri minori di 1, la caratteristica è negativa ed è uguale all esponente, negativo, del numero dato, scritto sotto forma di potenza di 10. Es. log 0,00812 = log (8,12 10-3 ) = log 8,12 + log 10-3 = 0,90955-3 che si scrive, convenzionalmente, 3, 90955 che significa che la caratteristica è negativa e la mantissa positiva. Si può quindi affermare che la caratteristica del logaritmo di un numero positivo, minore di 1 è uguale a tante unità negative, quanti sono gli zeri che precedono la prima cifra significativa, incluso lo zero posto prima della virgola. Es. La caratteristica di 0,32 è -1; la caratteristica di 0, 00032 è -4 La mantissa anche per questi numeri si ricava dalle tavole logaritmiche Se il logaritmo di un numero è tutto negativo ( Es. 3,81374 ) lo si può trasformare nella forma descritta in precedenza aumentando di un unità il valore assoluto della parte intera del numero e facendo il complemento a 9 della parte decimale ( a 10 per l ultima cifra ) Il numero dell esempio diventa così 4.18626 5. 2 Logaritmi naturali Sono i logaritmi aventi come base il numero irrazionale, di Nepero 2, 71828i828.. Si indicano con il simbolo ln Per questi logaritmi valgono le seguenti formule ln e f(x) = f(x) ; ln e x = x ; e ln x = x ; ln e ln x = ln x ; ln e = 1 in generale ln e n = n 6 Passaggio da un sistema di logaritmi ad un altro Per trasformare il logaritmo con una certa base in un logaritmo con un altra base si fa uso della formula seguente log b m log a m = ovvero log b m = log a m log b log b a Se è log b x = a è b a = x e quindi b log b x = x 7 Funzione logaritmica L espressione y = log a x, con a > 0 e a 1, si chiama funzione logaritmica Tale funzione è monotòna ( ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y ); crescente per a > 1; decrescente per 0 < a < 1 Qualunque sia la base a dei logaritmi è: log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; log a 0 = - per a > 1 ; log a 0 = + per 0 < a < 1 I numeri negativi non hanno logaritmo 4
Il grafico della curva che rappresenta la funzione log a x, nell ipotesi di a > 1 è del tipo di fig 4 : i numeri > 1 hanno il logaritmo > 0; quelli < 1 hanno il logaritmo < 0. Nell ipotesi di 0 < a < 1 il grafico è del tipo di fig 5: i numeri > 1 hanno il logaritmo < 0; quelli < 1 hanno il logaritmo > 0 y y a > 1 0 < a < 1 1 0 1 a x 0 a 1 x fig 4 fig 5 8 Equazioni logaritmiche Le equazioni logaritmiche sono equazioni in cui compare il logaritmo dell incognita o di una espressione contenente l incognita Per risolvere queste equazioni bisogna trasformarle in una espressione del tipo log F(x) = log G(x) da cui F(x) = G(x) (3) che si risolve come una normale equazione algebrica. Bisogna però verificare che le radici della (3) soddisfino realmente la equazione data 1 esempio E data l equazione logaritmica log x + log (2x 1) log (2x + 5) = log 3 (4) Bisogna innanzitutto stabilire che gli argomenti dei logaritmi siano > 0 ossia x > 0 ; 2x 1 > 0 ; 2x + 5 > 0 da cui x > 0 ; x > ½ ; x > -5/2 Cioè deve essere x > ½ x (2x 1) Applicando le proprietà dei logaritmi la (4) si può scrivere log = log 3 2x 2 x 2x + 5 Passando dai logaritmi ai numeri si ha = 3 2x + 5 Ne nasce una equazione di 2 grado cha come soluz ioni - 3/2 e 5 E accettabile solo la soluzione x = 5 2 esempio E data l equazione 1 1 log x + = 0 (5) 5 log x 1 + log x Deve essere x > 0 ; 5 - log x 0 ; 1 + log x 0 da cui x > 0 ; log x 5 ; log x -1 Cioè deve essere x > 0 e 10 5 e da 10-1 La (5) si può scrivere 1 + log x + (1 log x) (5 log x) = 0 da cui log 2 x 5 log x + 6 = 0 Le soluzioni sono x = 10 2 e 10 3 entrambe accettabili 5
9 Coordinate logaritmiche Oltre alle coordinate cartesiane ed a quelle polari ci sono anche le coordinate logaritmiche. La scala logaritmica si ottiene mettendo su una retta, dopo aver scelto un opportuna unità di misura, i punti da 1 a 10 corrispondenti ai rispettivi logaritmi. Ossia al log 1 corrisponde il punto 0, al log 2 corrisponde il punto 0,30103, al log 3 corrisponde il punto 0, 47712. al log 10 il punto 1 Ecco un esempio di scala logaritmica 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Se su due assi ortogonali, posti su un piano, si riportano, a partire dal loro punto di incontro, due scale logaritmiche, i punti di questo piano sono individuati da coordinate logaritmiche ( k log x ; k log y ) Con questo sistema di coordinate alcune curve, grafici di funzioni, sono rappresentate da rette 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1,5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ad esempio la funzione x y = 6 rappresenta una iperbole equilatera riferita agli asintoti Passando ai logaritmi si ha log x y = log x + log y = log 6 Questa espressione in coordinate logaritmiche è una retta. Per x = 1 è log x = 0 e quindi log y = log 6 cioè y = 6 Per y = 1 è log y = 0 e quindi log x = log 6 cioè x = 6 Congiungendo i due punti trovati si traccia la retta i cui punti hanno tutti come prodotto 6 Analogamente, se si vuole tracciare la funzione p v 1/2 = 3, che è l equazione di una trasformazione adiabatica, in coordinate logaritmiche, si scrive log p + ½ log v = log 3 Per p = 1 è log p = 0 e quindi log v = 2 log 3 cioè v = 9 Per v = 1 è log v = 0 e quindi log p = log 3 cioè p = 3 La retta che congiunge i punti (1 ; 9) con (3 ; 1) è il grafico voluto 6