APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA Per Scienze Naturali e Biologiche S.Console - M.Roggero - D.Romagnoli A.A. 2005/2006
Indice Capitolo 1 - Nozioni introduttive e notazioni 6 Gli insiemi................................... 6 Sottoinsiemi................................... 8 Operazioni tra insiemi............................. 9 Corrispondenze e funzioni........................... 11 Composizione di funzioni........................... 14 Esercizi risolti.................................. 15 Altri esercizi.................................. 16 Capitolo 2 - Successioni 18 Generalità sulle successioni.......................... 18 Successioni aritmetiche.......................... 19 Successioni geometriche......................... 20 Applicazioni delle successioni......................... 21 Percentuali................................... 23 Esercizi risolti.................................. 23 Altri esercizi.................................. 25 Capitolo 3 - Calcolo combinatorio 27 Il principio di inclusione-esclusione...................... 27 Il metodo delle scelte.............................. 29 Permutazioni e disposizioni.......................... 30 Combinazioni.................................. 32 Applicazioni alla probabilità.......................... 35 Esercizi risolti.................................. 36 Altri esercizi.................................. 37 Capitolo 4 - Geometria analitica piana 39 Il riferimento cartesiano............................ 39 Punto medio di un segmento......................... 40 Distanza tra due punti............................. 40 2
Indice 3 Asse di un segmento.............................. 41 Circonferenza nel piano............................ 41 Retta nel piano................................. 42 Parallelismo e perpendicolarità di rette nel piano.............. 45 Asse di un segmento.............................. 46 Distanza di un punto da una retta...................... 46 Intersezioni di rette e circonferenze...................... 46 Coniche..................................... 47 Ellisse................................... 48 Iperbole.................................. 49 Parabola.................................. 49 Intersezione di una retta e di una conica................... 50 Esercizi risolti.................................. 51 Altri esercizi.................................. 53 Capitolo 5 - Funzioni 55 Funzioni e grafici................................ 55 Caratteristiche importanti delle funzioni................... 56 Continuità................................. 58 Simmetrie................................. 59 Asintoti.................................. 60 Crescenza e decrescenza......................... 62 Concavità................................. 62 Massimi e minimi............................. 63 Operazioni tra funzioni............................ 64 Operazioni algebriche tra funzioni................... 64 Composizione di funzioni........................ 64 Funzioni inverse.............................. 67 Funzioni definite a tratti......................... 68 Esercizi risolti.................................. 69 Esercizi..................................... 70 Capitolo 6 - Funzioni Elementari 71 Le potenze................................... 71 Richiami sulle potenze.......................... 71 Funzioni potenza y = x b......................... 72 Funzioni esponenziali.............................. 75 Logaritmi.................................... 76 Logaritmi decimali............................ 79 Il numero e di Nepero........................... 80 Le funzioni logaritmiche......................... 81 I logaritmi e la misura delle sensazioni.................. 83 Appunti di Istituzioni di Matematiche (05.09.05)
4 Indice I polinomi.................................... 84 Richiami sui polinomi.......................... 84 Funzioni polinomiali........................... 89 Riferimenti logaritmici e semilogaritmici................... 90 Funzioni trigonometriche e periodiche.................... 92 Richiami di trigonometria........................ 92 Funzioni trigonometriche......................... 94 Funzioni periodiche............................ 96 Funzioni trigonometriche inverse.................... 97 Esercizi risolti.................................. 97 Altri esercizi.................................. 98 Capitolo 7 - Limiti di funzioni 103 Il concetto astratto di limite.......................... 105 Limiti destri e sinistri............................. 109 Limiti e continuità............................... 109 Operazioni algebriche e forme indeterminate................. 111 Forme indeterminate del tipo.................. 112 Forme indeterminate del tipo 0................... 115 Forme indeterminate del tipo 0 0..................... 117 Infinitesimi................................ 119 Forme indeterminate del tipo.................... 120 Gradi di infinito per x +...................... 121 Esercizi risolti.................................. 122 Altri esercizi.................................. 123 Capitolo 8 - Derivate 125 Cos è la derivata?............................... 125 Derivate delle funzioni elementari....................... 127 Regole di derivazione.............................. 130 Derivabilità................................... 134 Continuità e derivabilità............................ 135 Derivate di ordine superiore.......................... 136 Applicazioni delle derivate........................... 136 Crescenza e derivata prima....................... 136 Ricerca dei massimi e minimi relativi ed assoluti........... 137 Concavità e derivata seconda...................... 141 Ricerca dei flessi............................. 141 Regole di de l Hôpital.......................... 142 Cenni sulla formula di Taylor...................... 144 Esercizi risolti.................................. 145 S. Console M. Roggero D. Romagnoli
Indice 5 Altri esercizi.................................. 149 Capitolo 9 - Integrali ed equazioni differenziali 152 Primitive o integrali indefiniti......................... 152 Regole di integrazione.......................... 154 Integrali definiti................................ 156 Teorema fondamentale del calcolo integrale (o di Torricelli - Barrow) 158 Calcolo di aree di regioni finite piane.................. 159 Equazioni differenziali............................. 160 Equazioni differenziali del primo ordine e campi di direzioni..... 161 Equazioni differenziali a variabili separabili.............. 162 Cenni sui modelli matematici per la dinamica di una popolazione.. 163 Esercizi risolti.................................. 164 Altri esercizi.................................. 165 Capitolo 10 - Matrici e vettori 168 Le matrici.................................... 168 Operazioni tra matrici............................. 169 Somma di matrici............................. 169 Prodotto per uno scalare......................... 169 Prodotto righe per colonne....................... 169 Il determinante di una matrice quadrata................... 172 Sviluppo del determinante rispetto a una riga............. 172 Sviluppo del determinante rispetto a una colonna........... 172 Proprietà del determinante....................... 173 Riduzione di una matrice............................ 174 Algoritmo per trasformare una matrice in una a scalini........ 174 Sistemi lineari.................................. 175 Autovalori e autovettori di una matrice quadrata.............. 176 Potenze di una matrice.......................... 176 Applicazioni alla dinamica delle popolazioni................. 177 Esercizi sulle matrici............................. 178 Capitolo 11 - I numeri complessi 180 Definizione di C................................. 180 Il teorema fondamentale dell algebra..................... 182 Esercizi..................................... 182 Appunti di Istituzioni di Matematiche (05.09.05)