Laboratorio di Elettrotecnica

1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni

2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO SPAZIO,..) DELLE GRANDEZZE SCELTE PER RAPPRESENTARE IL FENOMENO POSSIBILI PIU RAPPRESENTAZIONI DI UN SEGNALE ESEMPIO: RAPPRESENTAZIONI DI UN SEGNALE SINUSOIDALE 1.8.6.4.2. -.2 -.4 -.6 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 E SINUSOIDALE, HA FREQUENZA f, FASE NULLA ED AMPIEZZA A s(t) = A sin(2πf t)

3 UNA SPECIFICA RAPPRESENTAZIONE SEGNALI SCELTA PER: evidenziarne aspetti rilevanti; darne rappresentazione parsimoniosa (con pochi parametri) Sistemi lineari => rappresentazione additiva s(t) = i a i b i (t) DUE ASPETTI RILEVANTI: 1. SCELTA dei segnali di base b i (t) 2. INDIVIDUAZIONE dei relativi coefficienti a i

4 ASPETTO 1 ASPETTO 1: SCELTA dei segnali di base b i (t) NOTE STORICHE ISACCO NEWTON (Principia, 1687) Espansione di un raggio luminoso che attraversa un prisma. La luce bianca è somma di raggi a tutte le lunghezze d onda. DANIEL BERNOULLI (1738) Soluzione dell equazione delle onde per corde vibranti u(x,t ) = sin(kx)(aκ cos(κct ) + Bκsin(κct )) k =1 LEONARDO EULERO (1755) Calcolo integrale dei coefficienti A k e B k JOSEPH FOURIER (1822) Estensione dei risultati dell equazione delle onde ad una funzione arbitraria u(x) anche contenente discontinuità WILLIAM THOMSON (1866) Applicazione analisi armonica alla predizione delle maree

5 ASPETTO 1 ESPERIMENTI DI FOURIER SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE FUNZIONE PERIODICA IN Θ Andamento della temperatura sempre più dolce fino alla continua T 1.8 tempo.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Θ MOTIVAZIONE FISICA CONSEGUENZA MATEMATICA Qualunque funzione, ANCHE NON ANALITICA, è scomponibile nella somma di infinite funzioni analitiche COEFFICIENTI: Eulero - Lagrange

6 ASPETTO 1 AUTOFUNZIONI DI SISTEMI LTI

7 ASPETTO 1 ASPETTO 1: SCELTA dei segnali di base b i (t) Scelta basata su SEGNALI CARATTERISTICI RISPOSTA SISTEMI LTI IL SISTEMA E LINEARE E PERMANENTE E DESCRIVIBILE MEDIANTE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI LA RISPOSTA LIBERA : COMBINAZIONE LINEARE DI ESPONENZIALI COMPLESSI (radici semplici eq. caratt.) DEL TIPO C(s) = Ae -st = Ae -(α+jβ)t α,β R Esponenziali complessi Legati alla natura LP dei sistemi >>>

8 ASPETTO 1 Osserviamo inoltre che: Qualunque risposta ad Exp Complesso E ANCORA Exp Complesso 1,5 1,,5 Caratteristica dei SOLI Exp Complessi, -1 5 1 15 2 25 t t Ae st Sistema Lineare H1(s) Sistema Lineare H2(s) Sistema Lineare H(s), -1 5 1 15 2 25 t Funzioni con queste caratteristiche sono dette AUTOFUNZIONI del sistema 2, 1,5 1,,5 ( Ae st ) H ESPONENZIALI COMPLESSI AUTOFUNZIONI DEI SISTEMI LTI Due modi per verificare analiticamente questa caratteristica: METODO 1: dalla convoluzione con h(t) di sistemi LTI METODO 2: direttamente dalle proprietà di linearità e permanenza >>>

9 ASPETTO 1 SFRUTTANDO LE RELAZIONI DI EULERO C jβt e + e 2 jβt αt αt ( α, β ) = Ae = Ae cos( βt) GRAFICAMENTE => 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 OSSERVAZIONE Per α= e ϕ non nullo => sinusoide -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 C ( α, β ) ( βt+ ϕ ) j( βt+ ϕ ) e + e 2 j αt = Ae = Acos t + α = α= ( β ϕ) Sinusoidi combinazione di esponenziali complessi >>>

1 ASPETTO 1 Uscita: convoluzione fra risposta impulsiva ed ingresso METODO 1 y(t) = h τ ( ) x t - τ ( ) dτ Nel caso di esponenziale complesso come ingresso si ha: ( x(t) = e α + jβ ) t = e st dove s = α + jβ ( y(t) = h( τ ) e α + jβ ) ( t -τ ) dτ = h( τ ) e s ( t -τ ) dτ = = e st h τ ( ) e sτ dτ = e st H s ( ) = x(t)h ( s) L uscita è pari all ingresso moltiplicato per una quantità dipendente da α e β >>>

11 ASPETTO 1 Per ciascuna coppia α; β (per ciascun s) gli esponenziali complessi sono autofunzioni dei sistemi LTI; H(s) corrispondente autovalore associato H(s) direttamente legato alla h(t) attraverso la: H s ( ) = h( τ ) e sτ dτ y(t) st = e h sτ ( τ ) e dτ = x(t) H( s) che definiremo Trasformata di Laplace della risposta impulsiva se α= (s puramente immaginario) la H(s) diviene H s ( ) s= jω = H( ω) = F h(t) { } che definiremo Trasformata di Fourier della risposta impulsiva

12 ASPETTO 1 ESEMPIO Calcolare la risposta all exp complesso exp(j2t) del sistema caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita y(t)=x(t-3) -semplice ritardo di tre secondi- Evidentemente ho h( t) = δ ( t 3) Di conseguenza H sτ = e dτ sτ ( s) h( τ ) e dτ = δ ( τ 3) τ 3 L integrale è nullo per per cui si ottiene ( ) s H s = e 3 L uscita sarà ( ) j 2t 3s j2t j6 j2( t-3) s = e e = e e e u ( t) = x( t) H = s= j2 s= j 2 Cioè, come atteso, una translazione di tre secondi dell ingresso

13 ASPETTO 1 ESPONENZIALI COMPLESSI AUTOFUNZIONI DI SISTEMI LTI: METODO 2 Sia P un sistema lineare e permanente: y(t)=p-[x(t)] Se x(t)=e st =e (α+jβ)t ho che y(t)=p-[e (α+jβ)t ] Dalle proprietà di linearità e permanenza ho: permanenza [ ( ) [ t +τ ] ] y(t + τ) = P e α + jβ Linearità, essendo costante la quantità τ ( α + jβ) ( y(t + τ) = e α + jβ ) τ P e α + jβ [ ( ) t ] = e α + jβ ( ) τ y(t) Ad una translazione di τ della eccitazione corrisponde, in uscita, una alterazione secondo una costante complessa Tale costante complessa è pari all eccitazione calcolata in t = τ >>>

14 ASPETTO 1 e ( α + jβ y(t ) ) τ + τ = y(t) L espressione può vedersi come funzione del tempo t e del ritardo τ Fissando t = ho, in funzione di τ e ricordando che x(t)=e st =e (α+jβ)t y( τ ) = y( + τ ) = y()e ( α + jβ ) τ = y()x( τ ) La risposta di un sistema LTI ad un exp complesso è proporzionale all exp complesso stesso. La costante di proporzionalità è pari all uscita allo stesso exp complesso calcolata, per quella coppia s=(α; β), per valore zero della variabile temporale La costante di proporzionalità H=y() sarà in generale: complessa; dipendente da s=(α; β): H(s)

15 ASPETTO 1 Sinusoide smorzata ed autofunzioni dei sistemi lineari

16 ASPETTO 1 Esponenziali complessi AUTOFUNZIONI dei sistemi lineari: SE il sistema è lineare e SE l eccitazione è un exp complesso ALLORA l uscita è pari all ingresso moltiplicato per una quantità complessa H(s) dipendente da s: ( ) t se x(t) = e α + jβ = e st dove s = α + jβ y(t) = [ x(t) ] x(t)= e st = e st H( s) = x(t)h ( s) Se h(t) è la risposta impulsiva del sistema ho trovato che (lucido 1) H s = e τ dτ ( s) h( τ ) Voglio mostrare le conseguenze di tale proprietà quando in ingresso al sistema lineare ho segnali sinusoidali, eventualmente smorzati.

17 ASPETTO 1 Sappiamo che una sinusoide smorzata può esprimersi come somma di esponenziali complessi (relazioni di Eulero) e jβt + e jβt Ae αt cos(βt) = Ae αt = 2 = A 2 e ( α + jβ ) t + e ( ) ( ( α jβ ) t ) = A 2 est + e s* t 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1

18 ASPETTO 1 Per la linearità del sistema, la risposta ad una sinusoide smorzata sarà combinazione lineare delle risposte agli esponenziali complessi nei quali può scomporsi [ ] = A 2 est + e s* t Ae αt cos(βt) ( ) = A 2 est ( [ ] + [ e s* t ] ) = { ( ) [ e st ] + H( s* ) [ e s* t ] } = A 2 H s ma essendo h(t) reale, ho che H(s*)=H*(s) H * s ( ) = h( τ ) e sτ dτ ( ) e s*τ dτ * = h τ = H s* = h * ( τ )e s*τ dτ ( ) >>>

19 ASPETTO 1 Segue che la risposta al segnale è: A 2 H s { ( ) [ e st ] + H( s* ) [ e s* t ] } = A 2 H ( s ) e st = A 2 H s = A 2 H s = A 2 H s { [ ( ) ] [ e st ] + e jarg[ H ( s) ] [ e s* t ] } = ( ) e jarg H s ( ) e jarg H s [ ] + e jarg H s { [ ] + H * ( s) [ e s* t ] } = [ ] { [ ( ) ] e ( α + jβ ) t [ ( ) ] α jβ e ( ) t } = ( ) e αt e = A H s α Ae t cos( βt) { [ j ( βt +Arg [ H ( s) ] ) ] βt +Arg H ( s) + [ ( [ ] ) ] } e-j = ( [ ] ) ( ) e αt cos βt + Arg H( s) risposta dello stesso tipo dell ingresso, a meno di un alterazione dell ampiezza H(s) e della fase Arg[H(s)]

2 ASPETTO 1 La risposta di un sistema lineare e permanente ad una sinusoide smorzata è un segnale dello stesso tipo, caratterizzato dalla stessa pulsazione, alterato per un fattore moltiplicativo di ampiezza H(s) e di uno additivo di fase Arg[H(s)] α Ae t cos( βt) A αt ( s) e cos( βt Arg[ H( s) ]) H + 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Sistema Lineare H(s) 1.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1

21 ASPETTO 1 ESEMPIO Calcolare tramite H(s) la risposta dello stesso sistema -semplice ritardo di tre secondi- al segnale x(t)=cos(4t)+cos(7t) Essendo lo stesso sistema dell es. di pg 12 ho per h(t) ancora: h(t) = δ(t 3) L ingresso questa volta vale: x(t) = 1 [ ( 2 e j4t + e -j4t ) + ( e j7t + e -j7t ) ] y(t) = x(t)h(s) = [ ( ) + ( H(s) s= j7 e j7t + H(s) s= j7 e -j7t ) ] = = 1 2 H(s) e j4t + H(s) s= j4 s= j4 e -j4t = 1 2 [ ( j4 e-3 ( ) + j4t + e -3( -j4 ) -j4t ) -3 j7 + ( e ( ) + j7t + e -3( j7) -j7t ) ] = ( ) + e j7(t -3) -j7(t -3) ( + e ) [ ] = cos 4(t - 3) = 1 2 e j4(t -3) -j4(t -3) + e [ ] + cos[ 7(t - 3) ] Il calcolo tramite H(s) conferma quanto prevedibile in questo caso elementare: l uscita è una translazione di tre secondi dell ingresso

22 ASPETTO 1 Quella trovata è una caratteristica propria della sola sinusoide smorzata fra i segnali reali t Sistema Lineare H1(s) 2, 1,5 1,,5, -1 5 1 15 2 25 t Sistema Lineare H2(s) 1,5 1,,5, -1 5 1 15 2 25 t

23 ASPETTO 2 CALCOLO DEI COEFFICIENTI DELLO SVILUPPO ADDITIVO

24 ASPETTO 2 ASPETTO 2: INDIVIDUAZIONE dei coefficienti a i Approssimazione funzione s(t) tramite combinazione funzioni di base b i (t) note: ˆ s (t) = a i b i (t) = a 1 b 1 (t) + a 2 b 2 (t) + a 3 b 3 (t) +... i Per ogni scelta degli a i diversa forma della s ˆ (t)-e diversa distribuzione delle componenti di errore- PROBLEMA: definire gli a i minimizzando una MISURA GLOBALE dell errore >>>

25 ASPETTO 2 Possibile misura globale dell errore in un intervallo [a;b] Al crescere di n cresce il peso delle componenti di errore più elevate: per n=2 effettuiamo una media quadratica delle componenti di errore. Misura globale: errore quadratico medio e.q.m. n=2 b e ab = a b e(t) n dt e qmab = e(t) 2 dt = s(t) a i b i (t) a b a i=1 2 dt Si mantiene l operatore modulo anche nel caso quadratico per tenere conto del caso di segnali complessi >>>

26 ASPETTO 2 Scelta a i per minimizzare e.q.m.: per ogni k impongo [s(t) reale] eqm a k = a k = a k b a b a s t ( ) a i b i ( t) i=1 [ s( t) ] 2 + a i b i ( t) i=1 2 dt = a j b j t j=1 ( ) b = + 2b k ( t) a i b i ( t) 2b k ( t) s( t) dt = a i=1 2s t ( ) a i b i ( t) i=1 dt = b = 2 s( t) a i b i ( t) b k ( t) dt = a i=1 b s( t ) b k ( t ) a k b 2 k ( t) a i b i ( t) b k ( t) dt = k =1,2, 3,... a i k Sistema lineare di infinite equazioni (una per ogni k) eqm a k = >>>

27 ASPETTO 2 MA scegliendo funzioni di base ortogonali in [a,b] b [ b i ( t) b k ( t) ] dt = a (k i) CIASCUNA DELLE EQUAZIONI DIVENTA: b [ s( t) b k ( t) ] dt a k b 2 k ( t) dt = k =1,2,3,... a [ ] Ciascun coefficiente può calcolarsi indipendentemente dagli altri (completo disaccoppiamento del sistema) b [ s( t) b k ( t) ] dt a a k = b k =1,2,3,... b 2 k t dt a b a [ ( ) ]

28 RAPPRESENTAZIONE ARMONICA DEI SEGNALI PERIODICI

Rappresentazioni additive Autofunzioni sistemi LTI Calcolo coefficienti Rappresent. armonica 29 FUNZIONI DI BASE SINUSOIDALI (sviluppo armonico): consideriamo inizialmente un segnale s(t) periodico di periodo T =2 π. Osserviamo che sia le funzioni sinusoidali di pari periodo (pulsazione ω =(2 π /T )=1) che quelle con periodo pari ad un sottomultiplo intero di T (pulsazione multipla intera di ω ) se sommate fra loro in qualunque numero danno luogo ad un segnale di periodo T. La famiglia di funzioni sinusoidali di pulsazione k ω candidata come base per la rappresentazione additiva b =1;b 1A = sin(t);b 1B = cos(t);b 2A = sin(2t);b 2B = cos(2t);......; b ka = cos(kt);b kb = sin(kt);... s(t) = a + k=1 [ a cos k cos( kω t) + a sin k sin( kω t) ]

3 LE FUNZIONI SONO FRA LORO ORTOGONALI IN[ π,π] (è nullo l integrale nell intervallo di due funzioni diverse) π π π π π π π π sin( mt)sin( nt) dt = π cos( mt)cos( nt) dt = π sin( mt)cos( nt) dt 1 dt = 2π = m n m = 1,2, m = n n = 1,2, m n NO per m = n m = n m qualunque = n = m ed = n Le sinusoidi di pulsazione multipla intera di quella di s(t) adatte ad una rappresentazione additiva

31 Nella rappresentazione armonica del segnale s(t) ciascun coefficiente assuma la forma: a κ sin = a κ cos = π sin s(t)b π κ (t)dt π ( sin b ) 2 κ (t)dt = π π cos s(t)b π κ (t)dt π ( cos b ) 2 κ (t)dt = π Dove il numeratore deve essere di volta in volta calcolato, ed il denominatore vale: π 2 b π κ (t)dt = 2π π π π π s(t)sin(kt)dt sin 2 π π π π k = k =1,2, (kt)dt s(t)cos(kt)dt cos 2 π (kt)dt

32 Nel caso s(t) abbia periodo generico T considereremo la base ortogonale di rappresentazione: b =1;b 1A = sin(ω t);b 1B = cos(ω t);b 2A = sin(2ω t);b 2B = cos(2ω t);......; b ka = cos(kω t);b kb = sin(kω t);... dove ω = 2π In questo caso: T

33 In questo caso avremo per i coefficienti, calcolati nel periodo - T : a sin κ = a cos κ = T sin s(t)b κ (t)dt T ( sin b ) 2 κ (t)dt = T cos s(t)b κ (t)dt T ( cos b ) 2 κ (t)dt = s(t)sin(kω t)dt Dove il denominatore vale, in entrambi i casi: T T T sin 2 (kω t)dt s(t)cos(kω t)dt T cos 2 (kω t)dt T 2 b κ (t)dt = T /2 T k = k =1,2,

34 un segnale s(t) periodico di pulsazione fondamentale ω =2π/T (T = periodo) rappresentabile come combinazione lineare di infinite sinusoidi e cosinusoidi caratterizzate da: Frequenze multiple intere di ω (periodo sottomultiplo intero di T ) Sulla base di quanto visto: S E R I E D I F O U R I E R. Ampiezze a sin k acos k calcolate come indicato CONDIZIONI DI DIRICHLET: in ciascun periodo Massimi e minimi in numero finito e di ampiezza finita Numero finito di discontinuità Τ.. s(t) dt s(t) = a + < k=1 [ a cos k cos( kω t ) + a sin k sin( kω t ) ]

35 La serie di Fourier: rappresenta s(t) periodico -periodo T- k=1 dove ω = 2π ed i coefficienti possono calcolarsi come: s(t) = a + a = 1 T T s(t) dt T a k cos = 2 T [ a cos cos( kω t) + a sin sin( kω t) ] k k T s(t)cos( kω t) SEGNALE PERIODICO (periodo T ) espresso come SOMMA PESATA DI INFINITE FUNZIONI SENO E COSENO di frequenze f k =k/t E FASI NULLE dt a k sin = 2 T T ( ) s(t)sin kω t dt

36 Rappresentazione aletrnativa per la serie di Fourier: combinando le funzioni seno e coseno di stassa frequenza scrivo: s(t) = a + [ d k cos( kω t + ϕ ) ] k k=1 ω = 2π T dove i coefficienti possono calcolarsi come: a = 1 s(t) dt T cos d k = ( a ) 2 sin k + ( a ) 2 sin a k ϕ k = tan 1 k cos a k SEGNALE PERIODICO SOMMA PESATA DI INFINITE FUNZIONI COSENO di frequenze f k =k/t E FASI OPPORTUNE T

37 USI della SERIE DI FOURIER: ANALISI di s(t) per evidenziarne PERIODICITA

38 USI della SERIE DI FOURIER: DAGLI a κ (o dai d κ e Φ κ ) POSSO RICOSTRUIRE L s(t) PERIODICO I coefficienti dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ALTERNATIVA DI s(t) 1 bk 1,4 a k,9 1,2,8,7 1,6,8,5,4,6,3,4,2,2,1 1 2 3 4 5 6 7 kw 1 2 3 4 5 6 7 kw LA CONOSCENZA DELLA SEQUENZA DI COEFFICIENTI a κ PER LE DIVERSE PULSAZIONI κω EQUIVALE A QUELLA DI s(t)

39 FORMA ALTERNATIVA DELLA SERIE DI FOURIER s(t) = Infatti [ c e jkω t ] k k= [ ] s(t) = a + a cos k cos( kω t) + a sin k sin( kω t) = k=1 cos e jkω t + e jkω t sin e jkω t e jkω t = a + a k + a k = c k e jkω t 2 2 j dove k=1 c k = a cos sin k ja k 2 = 1 T T s(t)e jkω t dt = ω 2π S kω c k = 1 T ( ) s(t)e jkω t dt = ω 2π S kω k= [ ] I coefficienti complessi c κ dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE DI s(t) T ( )

4 I coefficienti dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ALTERNATIVA DI s(t) Abs[S(kw)] Arg[S(kw)] 1,4 15 1,2 1 1,8 5,6,4,2-5 kw 1 2 3 4 5 6 7-1 1 2 3 4 5 6 7 kw kw LA CONOSCENZA DELLA SEQUENZA DI COEFFICIENTI a κ PER LE DIVERSE PULSAZIONI κω EQUIVALE A QUELLA DI s(t)

41 Esempi di sviluppo in SERIE DI FOURIER di segnali tempo continui Riportiamo alcuni esempi di sviluppo di segnali periodici in serie di Fourier, secondo la rappresentazione s(t) = a + k=1 [ a cos( kω t) + b sin( kω t ) ] k k ω = 2π T a = 1 T T s(t) dt a k = a k cos = 2 T T ( ) s(t)cos kω t dt b k = a k sin = 2 T T ( ) s(t)sin kω t dt

42 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 1 Tempo Frequenza _

43 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 2 Tempo Frequenza _ =

44 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 3 Tempo Frequenza _ +T + s i n ω t CONSIDERATO COME SVILUPPO DI, QUINDI DI PERIODO T DOPPIO => f metà, AVREBBE NULLE TUTTE LE ARMONICHE DISPARI (portando in pratica allo stesso risultato) +- T- +

45 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 1 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Linearità translazione nel tempo Ax(t) + By(t) x(t - t ) Ac k X + Bc k Y c X k e jkω t = c X jk ( 2π /T ) t k e inversione temporale x( t) c -k X

46 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 2 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Simmetria coniugata x * (t) ( c X * ) -k Simmetria coniugata nel caso di segnali reali x * (t) = x(t) c X k = c X * X Re c k X Im c k c X X k = c -k X Arg c k ( ) -k X { } = Re{ c-k } X { } = Im{ c -k } X { } = Arg{ c -k }

47 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 3 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Segnali reali e pari x(t) reale e pari [ X c ] k reale e pari ovvero a k sin cos cos [ ] nulli; [ a k ] = [ a-k ] sviluppo in soli coseni; coefficienti in sequenza pari Segnali reali e dispari x(t) reale e dispari [ X c ] k puramente ovvero a k cos immaginaria e dispari sin sin [ ] nulli; [ a k ] = [ -a-k ] sviluppo in soli seni; coefficienti in sequenza dispari

48 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 4 Relazione di Parseval per segnali periodici Segnale Potenza media in un periodo 1 c X k e jkω t Osserviamo che 2 dt T T periodico x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 1 T = 1 T x(t) 2 X dt = c 2 k T π / T X c 2 X k dt = c 2 k T k= Il Teorema di Parseval stabilisce che Coefficienti serie Potenza media di una componente armonica in un periodo la potenza media di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze medie delle componenti del suo sviluppo armonico c k X c k Y

49 BANDA DEL SEGNALE

5 s(t) PERIODICO RAPPRESENTATO DA INFIN ITE SINUSOIDI COSA SUCCEDE LIMITANDO IL NUMERO DI COMPONENTI ARMONICHE CONSIDERATE? ESEMPIO: ONDA QUADRA,9,8,7,6,5,4,3,2,1 Abs[F(kw )] 1 AL CRESCERE DELLA FREQUENZA DECRESCE LA RILEVANZA DELLA CORRISPONDENTE COMPONENTE ARMONICA 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 kw

51 EFFETTO DELLA ELIMINAZIONE DI UN NUMERO CRESCENTE DI COMPONENTI NON NULLE 1.5 -.5 1 1 e 3 1.5 -.5-1.5 1-1.5 1 1.5 -.5 1, 3 e 5 1, 3, 5 e 7 1.5 -.5-1.5 1-1.5 1 BANDA DEL SEGNALE Gamma di frequenze le cui ampiezze d k sono non trascurabili ai fini di interesse

52 TRASFORMATA DI FOURIER s(t) = 1 T ( ) [ S kω ] e jkω t = ω 2π k= k= S( kω ) [ ] e jkω t PER T ω DIVIENE INFINITESIMO LO SVILUPPO IN SERIE DI s(t) TENDE AD UNO SVILUPPO INTEGRALE s(t) = 1 2π ( ) e jωt dω S ω dove S ω ( ) = s(t)e jωt dt S(ω): TRASFORMATA DI FOURIER DEL SEGNALE s(t) RAPPRESENTAZIONE ARMONICA DI UN SEGNALE NON PERIODICO